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第 2 节 同角三角函数的基本关系与诱导公式
考试要求 1.理解同角三角函数的基本关系：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α；2.能利
用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系： sin 2 α ＋ cos 2 α ＝ 1 .
(2)商数关系： ＝ ta n__α.
2.三角函数的诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
2kπ＋
角 π＋α －α π－α －α ＋α
α(k∈Z)
－
正弦 sin α － si n__α sin__α cos__α cos__α
sin__α
－
余弦 cos α － co s__α cos__α sin__α － si n__α
cos__α
－
正切 tan α tan__α － ta n__α
tan__α
函数名改变，符号
口诀 函数名改变，符号看象限
看象限
1.同角三角函数关系式的常用变形
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；
sin α＝tan α·cos α.
2.诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变
指函数名称的变化.
3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.( )
(2)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角.( )
(3)若α∈R，则tan α＝恒成立.( )
(4)若sin(kπ－α)＝(k∈Z)，则sin α＝.( )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)×
解析 (1)对任意的角α，sin2α＋cos2α＝1.
(2)中对于任意α∈R，恒有sin(π＋α)＝－sin α.
(3)中当α的终边落在y轴上时，商数关系不成立.
(4)当k为奇数时，sin α＝，
当k为偶数时，sin α＝－.
2.求值：cos＝________.
答案 －
解析 cos＝－cos ＝－.
3.若cos α＝，则tan α＝________.
答案 ±
解析 因为cos α＝，
所以sin α＝±＝±＝±.
故tan α＝＝±.
4.(易错题)已知sin θ＋cos θ＝，θ∈，则sin θ－cos θ的值为________.
答案 －
解析：∵sin θ＋cos θ＝，∴sin θcos θ＝.
又∵(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝，θ∈，
∴sin θ－cos θ＝－.
5.(2022·昆明诊断)若cos＝，则sin＝________.
答案
解析 sin＝sin＝cos＝.
6.(2021·沈阳模拟)已知2sin(π－α)＝3sin，则sin2α－sin 2α－cos2α＝________.
答案 －
解析 由2sin(π－α)＝3sin，得2sin α＝3cos α.
所以tan α＝，从而sin2α－sin 2α－cos2α＝
＝＝－.
考点一 诱导公式的应用
1.化简：＝________.
答案 －
解析 原式＝＝－.
2.在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对
称.若sin α＝，则sin β＝________.
答案
解析 由已知得α＋β＝π＋2kπ，k∈Z.
∵sin α＝，
∴sin β＝sin(π＋2kπ－α)＝sin α＝.
3.(2022·皖北名校联考)sin 613°＋cos 1 063°＋tan(－30°)的值为________.
答案 －
解析 sin 613°＋cos 1 063°－tan 30°
＝sin(180°＋73°)＋cos(－17°)－tan 30°
＝－sin 73°＋cos(－17°)－tan 30°
＝－cos 17°＋cos 17°－＝－.
感悟提升 1.诱导公式的两个应用
(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.
(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.
2.含2π整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知，在计算含有 2π的整数倍的三角函数式中可直接将
2π的整数倍去掉后再进行运算.
考点二 同角三角函数基本关系及其应用
角度1 切弦互化
例1 (1)已知α是第四象限角，tan α＝－，则sin α等于( )
A. B.－ C. D.－(2)(2021·新高考Ⅰ卷)若tan θ＝－2，则＝( )
A.－ B.－ C. D.
答案 (1)D (2)C
解析 (1)因为tan α＝－，
所以＝－，
所以cos α＝－sin α，
代入sin2α＋cos2α＝1，得sin2α＝，
又α是第四象限角，所以sin α＝－.
(2)因为tan θ＝－2，
所以＝
＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝
＝＝＝.
角度2 sin α±cos α与sin αcos α的转化
例2 若sin θ－cos θ＝，且θ∈，则sin(π－θ)－cos(π－θ)＝( )
A.－ B. C.－ D.
答案 A
解析 由sin θ－cos θ＝得1－2sin θcos θ＝，即2sin θcos θ＝－，
∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcosθ＝.
又θ∈，∴sin θ＋cos θ＜0，
∴sin θ＋cos θ＝－，
则sin(π－θ)－cos(π－θ)＝sin θ＋cos θ＝－，故选A.
感悟提升 1.(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝
tan α可以实现角α的弦切互化.
(2)形如，asin2x＋bsin xcos x＋ccos2x等类型可进行弦化切.
2.注意公式的逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－
sin2α.
3.应用公式时注意方程思想的应用：对于 sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α
这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二.
训练1 (1)(2022·北京市西城区模拟)已知α∈(0，π)，cos α＝－，则tan α等于(
)A. B.－ C. D.－
(2)(2022·成都联考)在△ABC中，sin A·cos A＝－，则cos A－sin A的值为( )
A.－ B.－ C. D.±
(3)(2021·兰州诊断)已知sin α＋cos α＝，则tan α＝________.
答案 (1)D (2)B (3)或
解析 (1)因为cos α＝－且α∈(0，π)，
所以sin α＝＝，
所以tan α＝＝－.
(2)∵在△ABC中，sin A·cos A＝－，
∴A为钝角，∴cos A－sin A＜0，
∴cos A－sin A＝－
＝－
＝－＝－.
(3)将sin α＋cos α＝两边平方得1＋2sin αcos α＝，
∴sin αcos α＝，
∴＝＝，
整理得12tan2α－25tan α＋12＝0，解得tan α＝或tan α＝.
考点三 同角三角函数基本关系和诱导公式的综合应用
例3 (1)(2020·全国Ⅰ卷)已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α＝( )
A. B. C. D.
(2)已知cos＝a(|a|≤1)，则cos＋sin的值是________.
答案 (1)A (2)0
解析 (1)由3cos 2α－8cos α＝5，
得3(2cos2α－1)－8cos α＝5，
即3cos2α－4cos α－4＝0，
解得cos α＝－或cos α＝2(舍去).
又因为α∈(0，π)，
所以sin α＝＝＝.故选A.
(2)∵cos＝cos
＝－cos＝－a，sin＝sin＝cos＝a，
∴cos＋sin＝0.
感悟提升 1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条
件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.注意角的范围对三角函数值符号的
影响.
2.用诱导公式求值时，要善于观察所给角之间的关系，利用整体代换的思想简化
解题过程.常见的互余关系有－α与＋α，＋α与－α，＋α与－α等，常见的互补
关系有－θ与＋θ，＋θ与－θ，＋θ与－θ等.
训练2 (1)已知θ为第四象限角，sin θ＋3cos θ＝1，则tan θ＝________；
(2)已知tan＝，则tan＝________.
答案 (1)－ (2)－
解析 (1)由(sin θ＋3cos θ)2＝1＝sin2θ＋cos2 θ， 得6sin θcos θ＝－8cos2 θ，
又因为θ为第四象限角，所以cos θ≠0，
所以6sin θ＝－8cos θ，所以tan θ＝－.
(2)∵＋＝π，
∴tan＝tan＝－tan＝－.
1.sin 1 050°等于( )
A. B.－ C. D.－
答案 B
解析 sin 1 050°＝sin(3×360°－30°)
＝－sin 30°＝－.
2.若角α的终边在第三象限，则＋的值为( )
A.3 B.－3 C.1 D.－1
答案 B
解析 由角α的终边在第三象限，得sin α＜0，cos α＜0，故原式＝＋＝＋＝－1
－2＝－3，故选B.
3.已知α是第四象限角，sin α＝－，则tan(π＋α)等于( )A.－ B. C.－ D.
答案 C
解析 因为α是第四象限角，sin α＝－，
所以cos α＝＝，
故tan(π＋α)＝tan α＝＝－.
4.已知sin α－cos α＝，则sin 2α＝( )
A.－ B.－ C. D.
答案 A
解析 ∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α，∴sin 2α＝1－＝－.
5.已知sin(π＋θ)＝cos(2π－θ)，|θ|<，则θ等于( )
A.－ B.－ C. D.
答案 A
解析 ∵sin(π＋θ)＝cos(2π－θ)，
∴－sin θ＝cos θ，∴tan θ＝－，
∵|θ|<，∴θ＝－.
6.若3sin α＋cos α＝0，则的值为 ( )
A. B. C. D.－2
答案 A
解析 由3sin α＋cos α＝0，得tan α＝－，
则＝
＝＝＝.
7.若θ∈，则＝( )
A.sin θ－cos θ B.cos θ－sin θ
C.±(sin θ－cos θ) D.sin θ＋cos θ
答案 A
解析
＝＝
＝|sin θ－cos θ|，
又∵θ∈，
∴sin θ－cos θ>0，所以原式＝sin θ－cos θ.
8.(2022·太原调研)已知3sin＝－5cos，则tan等于( )
A.－ B.－ C. D.
答案 A
解析 由3sin＝－5cos，
得sin＝－cos，
所以tan＝＝＝－.
9.(2022·合肥模拟)已知tan(π－α)＝2，则＝________.
答案
解析 由tan(π－α)＝2，得tan α＝－2，则＝＝＝.
10.已知k∈Z，则的值为________.
答案 －1
解析 当k＝2n(n∈Z)时，
原式＝
＝
＝＝－1.
当k＝2n＋1(n∈Z)时，
原式＝
＝＝＝－1.
综上，原式＝－1.
11.已知α为钝角，sin＝，则sin＝________，cos＝________.
答案 －
解析 sin＝cos
＝cos，
∵α为钝角，∴π<＋α<π.
∴cos<0.
∴cos＝－＝－.
cos＝sin＝sin＝.
12.若sin θ，cos θ是方程4x2＋2mx＋m＝0的两根，则m的值为________.答案 1－
解析 由题意知sin θ＋cos θ＝－，
sin θcos θ＝，
又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，
∴＝1＋，解得m＝1±，
又Δ＝4m2－16m≥0，∴m≤0或m≥4，
∴m＝1－.
13.已知角α和β的终边关于直线y＝x对称，且β＝－，则sin α等于( )
A.－ B. C.－ D.
答案 D
解析 终边在直线y＝x上的角为kπ＋(k∈Z)，因为角α和β的终边关于直线y＝
x对称，所以α＋β＝2kπ＋(k∈Z).又β＝－，所以α＝2kπ＋(k∈Z)，即得
sin α＝sin＝.
14.已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则
sin α＝( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 由已知得
消去sin β，得tan α＝3，
∴sin α＝3cos α，代入sin2α＋cos2α＝1，
化简得sin2α＝，则sin α＝(α为锐角).
15.已知函数 f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且 f(4)＝3，则 f(2 023)的值为
________.
答案 －3
解析 因为f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，
所以f(4)＝asin(4π＋α)＋bcos(4π＋β)
＝asin α＋bcos β＝3，
所以f(2 023)＝
asin(2 023π＋α)＋bcos(2 023π＋β)＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)
＝－acos α－bcos β＝－3.
16.已知2θ是第一象限角，且sin4θ＋cos4θ＝，那么tan θ＝________.
答案
解析 因为sin4θ＋cos4θ＝，
所以(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝.
所以sin θcos θ＝，所以＝，
即＝，解得tan θ＝或tan θ＝.
又因为2θ为第一象限角，
所以2kπ<2θ<2kπ＋，k∈Z.
所以kπ<θ<＋kπ，k∈Z.
所以0
