文档内容
微专题：解三角形的长度、面积的取值范围问题
【考点梳理】
解三角形中的长度范围问题时，要着眼于边长之间的关系，可以将边的关系转化为角的关系，也可以将角的
关系转化为边的关系，这类问题的主要思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，借助于三角函数的有界
性，从而求出范围或最值，或利用余弦定理以及基本不等式求范围或最值.
【题型归纳】
题型一：长度问题
1．已知 中， 、 分别是线段 、 的中点， 与 交于点 ，且 ，若 ，则
周长的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．在锐角三角形中，a，b，c分别是内角A，B，C的对应边，设A＝2C，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3． 中， ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
题型二：面积问题
4．在 中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若 ，则 面积的最大值
为( )
A．1 B．3 C．2 D．4
5． 的内角 所对的边分别为 .已知 ，则 的面积
的最大值（ ）
A．1 B． C．2 D．
6．在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 ， ，则 的面积的最大值
第 1 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司为（ ）
A．3 B．6 C． D．
【双基达标】
7．在 中，角 所对的边分别为 ， ， ，则 面积的最大值是
（ ）
A． B． C． D．
8．在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ， ，若 ，则 的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．设点P在 内且为 的外心， ，如图，若 的面积分别为 ，x，y，则
的最大值是（ ）
A． B． C． D．
10．在 中，角 所对的边分别为 ，已知 ，且 的面积 ，则 周
长的最大值是（ ）
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
11．已知锐角 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 .若 的外接圆直径为 ，
则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．某小区打算将如图的一直三角形 区域进行改建,在三边上各选一点连成等边三角形 ,在其内建造文化
景观.已知 , ,则 区域内面积(单位： )的最小值为
A．25 B． C． D．
13．在 中， 、 、 分别为边 、 、 所对的角，若 、 、 成等差数列，则 的取值范围是
A． B． C． D．
14．在平面内，四边形ABCD的 与 互补， ，则四边形ABCD面积的最大值=
（ ）
A． B． C． D．
15．在 中， ， ，且有 ，则线段 长的最大值为（ ）
A． B． C． D．
16．阿波罗尼奥斯是与阿基米德、欧几里得齐名的古希腊数学家，以他姓名命名的阿氏圆是指平面内到两定点的
距离的比值为常数 的动点的轨迹．已知在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，且
， ，则 面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司17．在 中， 的平分线交 于点 ， ，则 周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
18．如图，某湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台 ，已知射线 ， 为湿地两边夹角为
的公路（长度均超过 千米），在两条公路 ， 上分别设立游客接送点 ， ，且 千米，若
要求观景台 与两接送点所成角 与 互补且观景台 在 的右侧，并在观景台 与接送点 ， 之间
建造两条观光线路 与 ，则观光线路之和最长是（ ）
A． B． C． D．
19．在 中，内角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，且 ， ，则 面积的最
大值为（ ）
A． B． C． D．
20． 的外接圆半径 ，角 ，则 面积的最大值为（ ）
A． B． C．4 D．
21．在钝角 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，若 ， ，则最大边 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
22．我国南宋时期数学家秦九韶发现了求三角形面积的“三斜求积”公式：设△ 内角 ， ， 所对的边分
别为 ， ， ，面积 ．若 ， ，则△ 面积的最大值为（ ）
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
23．在 中， ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ，且 ，则 面
积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
24．在 中，已知 ， ，则 周长的最大值为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
25．在锐角 中， 分别为角 的对边，已知 ，则 的面积S的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
【高分突破】
一、单选题
26．在 中， ， ，则 周长的最大值为
A．8 B．7 C．6 D．5
27．如图，在 中， ，点D在线段BC上，且 ， ，则 的面积的最大值
为（ ）
A． B．4 C． D．
28．在 中，A，B，C分别为 三边a，b，c所对的角，若 ，且
，则 的最大值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司29．已知双曲线 的左右焦点分别为F，F，点M是双曲线右支上一点，满足 ，点N是
1 2
FF 线段上一点，满足 ．现将△MF F 沿MN折成直二面角 ，若使折叠后点F，F 距离最
1 2 1 2 1 2
小，则 为（ ）
A． B． C． D．
30． 内角A，B，C的对边分别为a，b，c， ，则 周长的最大
值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
二、多选题
31．在 中， 、 、 所对的边为 、 、 ，设 边上的中点为 ， 的面积为 ，其中 ，
，下列选项正确的是（ ）
A．若 ，则 B． 的最大值为
C． D．角 的最小值为
32．在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， ，则 的
取值可以是（ ）
A． B． C．1 D．
33．在锐角 中，边长 ， ，则边长c可能的取值是（ ）
A． B．2 C． D．
34．在锐角 中，角 ， ， 所对边分别为 ， ， ，外接圆半径为 ，若 ， ，则（ ）
A．
B．
C． 的最大值为3
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司D． 的取值范围为
三、填空题
35．已知在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ， 是 的中点，若 ，则
的最大值为___________.
36．拿破仑是十九世纪法国伟大的军事家、政治家，对数学也很有兴趣，他发现并证明了著名的拿破仑定理：
“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心恰为另一个等边三角形的顶
点”，在△ABC中，以AB，BC，CA为边向外构造的三个等边三角形的中心依次为D，E，F，若
，利用拿破仑定理可求得AB＋AC的最大值为___．
37．线段AB外有一点C，∠ABC＝60°，AB＝200 km，汽车以80 km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50
km/h的速度由B向C行驶，则运动开始________h后，两车的距离最小．
38．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，其中 ， ，则S
的最大值为______．
39．如图，扇形OPQ的半径为6，圆心角为60°，C为弧 上一动点，B为半径上一点且满足 ，则
的周长的最大值是______．
40．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2ccosB=acosB+bcosA，b=2，则△ABC的面积的最大值是
___________.
四、解答题
41．在 中，内角 所对边分别为 ，已知
(1)求角 的值；
(2)若 ，求 周长的最大值.
42．在 中， 、 、 分别是角 、 、 所对的边，已知 ， ， 且 .
（1）求角 的大小；
（2）若 的面积为 ，求 的值.
第 7 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（3）求 周长的取值范围.
43．在 中， .
（1）当 时，求 的最大值；
（2）当 时，求 周长的最小值.
44．已知函数 .
（1）求 在 上的单调递增区间；
（2）若对 ，恒有 成立，且______，求 面积的最大值.
在① 的外接圆直径为4，② 是直线 截圆 所得的弦长，③ 这
三个条件中，任选两个补充到上面问题中，并完成求解，其中 ， ， 分别为 的内角A， ， 所对的边.
45．在锐角 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 且 ．
（1）求角A的大小；
（2）若 ，求 的面积；
（3）求 的取值范围．
第 8 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案：
1．A
【解析】
【分析】
推导出 为 的重心，可得出 ，利用平面向量加法的平行四边形法则可得出 ，利用平
面向量数量积的运算性质结合余弦定理可得出 ，利用基本不等式可求得 的最大值，即可
得解.
【详解】
在 中， 、 分别是线段 、 的中点， 与 交于点 ，则 为 的重心，
因为 ，故 ，则 .
，
，
所以， ，
即
，
所以， ，
，当且仅当 时，等号成立.
因此， 周长的最大值为 .
故选：A.
【点睛】
方法点睛：求三角形周长的最值是一种常见的类型，主要方法有两类：
（1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解；
（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解.
2．A
【解析】
【分析】
由正弦定理把边化角，再用三角恒等变换化简，转化为三角函数的值域问题，即可求解
【详解】
由正弦定理可得
第 9 页又因为三角形是锐角三角形，
所以 ，即 ，也即 ,
所以 ，
所以 ， ， ，
，
所以 的取值范围是 ，
故选：A
3．A
【解析】
【分析】
利用平方关系及正弦定理将角化边，再由余弦定理求出 ，最后由正弦定理及正弦函数的性质计算可得；
【详解】
解：因为 ，
所以 ，
即 ，
由正弦定理可得 ，
由余弦定理 ，
因为 ，所以 ，
由正弦定理 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 .
故选：A
4．C
【解析】
【分析】
根据 利用三角恒等变换和正余弦定理得到 ，再根据余弦定理和基本不等式可得
第 10 页cosB的范围，由此得B的范围，从而得到sinB的最大值，从而根据 可求△ABC面积的最大值．
【详解】
，
，
即 ，
即 ，
则 ，
整理得 ，
∴ ，
√ 8
当且仅当a2=3c2⇔c=❑ ,a=❑√8❑√3时取等号，
❑√3
，
则 ．
故选：C．
5．B
【解析】
【分析】
根据 ，利用正弦定理化角为边，结合余弦定理求得角 ，再根据 ，利
用余弦定理化角为边求得边 ，再利用余弦定理结合基本不等式求得 的最大值，再根据三角形的面积公式即可
得出答案.
【详解】
解：因为 ，
所以 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
由 ，得 ，
第 11 页所以 ，当且仅当 时，取等号，
则 ，
所以 的面积的最大值为 .
故选：B.
6．A
【解析】
【分析】
先求出 ，再使用余弦定理和面积公式表达出 ，结合三角形三边关系求得 ，
从而得到面积的最大值.
【详解】
，故 ，因为 ，所以 ，又 ，由余弦定理得：
，由面积公式得： ，由三角形
三边关系得： ，解得： ，故当 时，△ABC面积取得最大值，此时面积为3.
故选：A
7．A
【解析】
【分析】
利用二倍角公式和正弦定理化简已知等式可得 ；利用余弦定理可构造等量关系求得 ，进而得
到 ；利用三角形面积公式，将 表示为以 为自变量的二次函数的形式，利用二次函数最值的求法可求
得所求最大值.
【详解】
由 得： ，
即 ，由正弦定理得： ；
由余弦定理得： ， ，
即 ， ， ，
，
， ，
，
第 12 页则当 时， ， .
故选：A.
8．C
【解析】
【分析】
首先由数量积的定义求出 ，再由余弦定理及基本不等式求出 的最小值；
【详解】
解：∵ ，∴ ，∴ ，
由余弦定理得 ，
当且仅当 时取等号，∵ ，∴ ，即 的最小值为 ，
故选：C．
9．B
【解析】
【分析】
由 得到外接圆半径的平方，设 ，将x，y用 表示，再结合二倍角公式化简即可得到答案.
【详解】
因为 ，所以 ，设 外接圆半径为r，
所以 ，解得 ，
设 ，则 ，
， ，
故
当 时，等号成立．
故选：B.
【点睛】
关键点点睛：引入变量 ，将 均用变量 表示，将最后结果表示为关于 的三角函数，利用三角函数
的性质求最值是解题的关键.
10．B
【解析】
【分析】
第 13 页由已知利用三角形的面积公式可求的 ，进而可得 ， ，由余弦定理，基本不等式
可求 ，根据三角形的周长即可求解其最大值．
【详解】
，
即 ，又 ，
解得 ， ，
又 ，由余弦定理可得： ，
，即
当且仅当 时取等号，
则 周长的最大值是 ，
故选：B
11．C
【解析】
【分析】
首先由正弦定理化简关系式得到 ，接着有正弦定理将 表示成 ，代入已
知条件得到 ，最后根据锐角三角形求出角B的范围，进而三角函数单调性求出 的取值范围.
【详解】
由正弦定理及 ，
得 ，
，
即 ，
.
， .
即 ， ，
.
又 是锐角三角形，
第 14 页，解得 ，
.
， ，
，
.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查解三角形，在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若
出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变
式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．
12．D
【解析】
【分析】
设∠CED＝θ；DE＝x，则∠BFE＝ +θ；则CE＝xcosθ，
在△BFE中利用正弦定理即可求出x与θ的关系式，即可得到x的最小值，即可解出 面积的最小值．
【详解】
△ABC是直三角形，AB＝20m，AC＝10 m，可得CB ，
△DEF是等边三角形，设∠CED＝θ；DE＝x，那么∠BFE＝ +θ；则CE＝xcosθ，
△BFE中由正弦定理，可得
可得x ，其中tanα ；
∴x ；
则△DEF面积S
故选D
【点睛】
第 15 页本题考查解三角形，合理设出参数，找到等式是解题的关键．属于中档题．
13．B
【解析】
【分析】
由题意得出 ，利用余弦定理以及基本不等式求出 的取值范围，再结合角 的取值范围，以及余弦函
数的单调性可求出角 的取值范围.
【详解】
由于 、 、 成等差数列，则 ，
由余弦定理得 ，
由基本不等式得 ，当且仅当 时，等号成立，
又 ， ，故选B.
【点睛】
本题考查利用基本不等式求三角形中角的取值范围，同时也考查了余弦定理的应用，考查分析问题和解决问题的
能力，属于中等题.
14．B
【解析】
【分析】
根据正弦定理，可求得 ，即角 或 ，分类讨论， 由 ，计算
三角形的面积，利用均值不等式求最值即可.
【详解】
因为 与 互补， ，且 四点共圆.
所以 ，在 中，由正弦定理得 ，
在 中，由正弦定理得 ，所以 ，
得 ，所以 或 .
第 16 页设四边形 的外接圆半径为 ，则 ，解得 .
（1）设 .
当 ，则 ，故 ，此时 ，且 ，在 中，
，所以 ，即 .
所以四边形 面积 ，当且仅当 时，四边形 面积取得最大值为
（2）当 ，则 ，故 ，所以 .因为 ，
所以 ，则在 中由余弦定理得 ，
所以 ，即 .所以 ，
此时，四边形 面积 .
综上，四边形 面积的最大值等于 ，
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了正弦定理解三角形，三角形面积公式，均值不等式，属于难题.
15．C
【解析】
【分析】
在 中，设角 、 、 的对边分别为 、 、 ，利用正弦定理得出 ， ，利用平面
向量数量积的运算性质得出 ，利用三角恒等变换思想化简得出 ，利用
正弦型函数的有界性可得出线段 长的最大值.
【详解】
在 中，设角 、 、 的对边分别为 、 、 ，
由正弦定理可得 ，则 ， ，
，即 ，
所以，
第 17 页，
所以， ，
，则 ，当 时，即当 时， 取最大值，
即 .
故选：C.
【点睛】
思路点睛：求三角形有关代数式最值是一种常见的类型，主要方法有两类：
（1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解；
（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解.
16．A
【解析】
【分析】
求得 ， ，然后以 的中点 为原点， 所在直线为 轴建立平面直角坐标系，求出点 的轨迹方程，
可得出 中 边上的高的最大值，由此可求得 面积的最大值.
【详解】
由正弦定理可得 ，设 的外接圆半径为 ，
则 ，
以 的中点 为原点， 所在直线为 轴建立平面直角坐标系，如下图所示：
则 、 ，
设点 ，由 ，可得 ，
第 18 页化简可得 ，
所以， 的边 上的高的最大值为 ，因此， .
故选：A.
【点睛】
方法点睛：求与圆有关的轨迹方程时，常用以下方法：
（1）直接法：根据题设条件直接列出方程；
（2）定义法：根据圆的定义写出方程；
（3）几何法：利用圆的性质列方程；
（4）代入法：找出要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．
17．C
【解析】
【分析】
根据等面积法得 ，进而结合基本不等式得 ， ，当且仅当 时等号成立，再结合余
弦定理得 ，当且仅当 时等号成立，进而得周长最小值.
【详解】
解：根据题意，设 ，
因为 ， ， ，
所以 ，即 ，
所以 ，
因为根据基本不等式有 ，
所以 ， ，当且仅当 时等号成立，
由余弦定理得
，当且仅当 时等号成立，
所以 ，当且仅当 时等号成立.
所以 周长的最小值为 .
故选：C
18．B
【解析】
【分析】
求出 ， ，在 中，利用余弦定理结合基本不等式即可得出答案.
【详解】
第 19 页解：在 中，因为 ， ，
所以 ，
又 与 互补，所以 ，
在 中，由余弦定理得： ，
即 ，即 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，当且仅当 时，取等号，
所以观光线路之和最长是4.
故选：B.
19．B
【解析】
【分析】
利用正弦定理结合余弦定理可求得 的值，可求得角 的值，利用余弦定理结合基本不等式可求得 的最大
值，再利用三角形的面积公式可求得结果.
【详解】
，
所以， ，
由正弦定理可得 ，
即 ，
、 ，则 ，则 ， ，
由余弦定理可得 ，即 ，
当且仅当 时，等号成立，
故 .
故选：B.
20．A
【解析】
【分析】
由正弦定理得 ，进而结合余弦定理得 ，再根据基本不等式得 ，最后根据三角形面积
公式求解即可.
第 20 页【详解】
解：由正弦定理得 ，
所以由余弦定理 得： ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，
所以 ，
所以 .
故选：A
21．D
【解析】
【分析】
根据给定条件利用余弦定理建立不等关系即可计算作答.
【详解】
因 是钝角三角形， ， ，且 是最大边，则由余弦定理得： ，
于是得 ， ，解得 ，而有 ，即 ，
所以最大边 的取值范围是： .
故选：D
22．C
【解析】
【分析】
由正弦定理边角关系得 ，则 ，由题设得 ，结合二次函数的性质即可求△
面积的最大值.
【详解】
∵ ，
∴由正弦定理得 且 ，即 且 ，
∴ ，
∴ 时，△ 面积取最大值 ．
故选：C．
23．B
【解析】
【分析】
由条件可得 ，根据正弦定理可得 ，从而得出角 ,由余弦定理结合均值不等式可得
第 21 页，从而得出答案.
【详解】
由 ，得
即 ，即
由正弦定理可得： ，则 ，即
由 ,则
由余弦定理可得 ,即
当且仅当 时取得等号. 所以
面积
故选：B
24．C
【解析】
【分析】
根据余弦定理算出 ，再利用基本不等式即可得 ，从而可得到 周长的最大值．
【详解】
解： 在 中， ， ，
由余弦定理，得 ，
即 ，
由基本不等式有 ，所以 ，
（当且仅当 时等号成立），
周长 （当且仅当 时等号成立），
即当且仅当 时， 周长的最大值为12，
故选：C．
【点睛】
关键点点睛：先用余弦定理得 ，再结合基本不等式 即可求 的最大值，从而得
周长的最大值.
25．C
【解析】
【分析】
根据条件求出 ，利用三角形面积公式得到 ，采用极端值方法求出 的最值，进而得到
第 22 页的范围，求出面积的取值范围.
【详解】
，因为 为锐角三角形，故 ，
，当BC⊥AB时， ，当CB⊥AC时， ，故 ，所以
.
故选：C
26．C
【解析】
先由 得到A= ,再利用基本不等式求b+c的最大值，即得三角形周长的最大值.
【详解】
由题得
所以
所以 ,
因为
所以 .
由余弦定理得 ,
所以 ，
当且仅当b=c=2时取等.
所以 .
故选C
【点睛】
本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和
分析推理能力.
27．C
【解析】
设 ，则 ，根据三角形的面积公式求出AC，AB，然后由
，根据三角函数的性质求出面积的最大值．
【详解】
第 23 页解：设 ，则 ．
， ， ， ，
，同理 ，
其中 ，
， 当 时， ， ．
故选：C．
【点睛】
本题考查了余弦定理和三角恒等变换，以及三角形的面积公式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．
28．D
【解析】
【分析】
根据已知条件求得 ，再利用正弦定理将角化边，将问题转化为求 的最大值问题求解即可.
【详解】
得 ，又 ，所以 .
在 中，由正弦定理得：
所以 ，所以 .
故当 ，即 时， 取得最大值
故选：D
29．B
【解析】
【分析】
由已知条件及双曲线的定义可得 ， ，将△MF F 沿MN折成直二面角 后，过 作
1 2
，应用直角三角形边角关系、余弦定理及勾股定理求 最小时 的大小，进而求 值.
【详解】
∵ ， ，
∴ ， ，
第 24 页将△MF F 沿MN折成直二面角 ，过 作 ，易知 面 ，
1 2
设 ，在 中有 ， ，
∴在△ 中， ，有 ，
∴ ，
∴ ，当且仅当 ， 时等号成立.
∴F，F 距离最小时， 为角平分线，故 ，可得 .
1 2
故选：B
【点睛】
关键点点睛：由双曲线的定义求 、 ，结合直角三角形边角关系、余弦定理、勾股定理求 与
的函数关系，再求最小值，最后即可求参数值.
30．B
【解析】
【分析】
结合两角和的正切公式、诱导公式求得 ，结合正弦定理、三角函数值域的求法，求得 周长的最大值.
【详解】
， ，
第 25 页依题意 ，
即 ， ，
所以 为锐角， .
由正弦定理得 ，
所以 ，
所以三角形 周长为
，
由于 ，
所以当 时，三角形 的周长取得最大值为 .
故选：B
31．ABC
【解析】
【分析】
利用余弦定理结合三角形的面积公式可判断A选项的正误；利用基本不等式结合三角形的面积公式可判断B选项
的正误；利用余弦定理可判断C选项的正误；利用余弦定理结合基本不等式可判断D选项的正误.
【详解】
对于A，由余弦定理可得 ，得 ，
故 ，A对；
对于B，由基本不等式可得 ，即 ，
当且仅当 时，等号成立，
由余弦定理可得 ，
则 ，B对；
对于C， ，则 ，
第 26 页由余弦定理可得 ， ，
所以， ，整理可得 ，
则 ，C对；
对于D，由余弦定理可得 ，
当且仅当 时，等号成立，
因为 且函数 在 上单调递减，故 ，D错.
故选：ABC.
32．CD
【解析】
【分析】
结合正弦定理、三角函数值域的求法，求得 的取值范围，从而确定正确答案.
【详解】
依题意 ， ，
即 ，
由正弦定理得 ，
，
由正弦定理得 ，则 ，
所以
，
由于 ，
所以 ，
所以 ，所以CD选项正确，AB选项错误.
故选：CD
33．BD
【解析】
第 27 页【分析】
根据c边最大边或 最大边，利用余弦定理的变形形式即可求解.
【详解】
若c边为最大边，则 ，
， ，
若 边为最大边，则 ，
， ，
所以 ，
所以边长c可能的取值是2、 .
故选：BD
【点睛】
本题考查了余弦定理的应用，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
34．ACD
【解析】
【分析】
由正弦定理求外接圆半径；由题设知 ，结合 即可求范围；由余弦定理及基本不等式求 的
最大值，注意取最大的条件；由C分析有 ，结合正弦定理边角关系及 的范围，应用
二倍角正余弦等恒等变换，根据三角函数的值域求范围.
【详解】
由题设，外接圆直径为 ，故 ，A正确；
锐角 中 ，则 ，故 ，B错误；
，则 ，当且仅当 时等号成立，C正确；
由C分析知： ，而 ，
又 且 ，
则
，而 ，
所以 ，则 ，
所以 ，D正确.
故选：ACD
第 28 页【点睛】
关键点点睛：D选项 ，应用边角关系及角的范围，结合三角恒等变换将 转化为三
角函数性质求范围.
35．
【解析】
【分析】
由正弦定理和题设条件，得到 ，即 ，再在 和 中，由余弦定理化简得到 ，转化
为 ，令 ，得到 ，求得 ，进而得到
的最大值.
【详解】
因为 ，由正弦定理可得 ，
即 ，可得 ，所以 ，所以 ，
在 中，由余弦定理，
可得 ，
在 中，由余弦定理，
可得 ，
因为 ，所以 ，
两式相加，可得 ，可得 ，
即 ，所以 ，
令 ，可得 ，即 ，解得 ，
因为 ，所以 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 ，即 的最大值为 .
故答案为： .
36．
【解析】
【分析】
结合拿破仑定理求得 ，利用勾股定理列方程，结合基本不等式求得AB＋AC的最大值.
【详解】
设BC＝a，AC＝b，AB＝c，如图，连接AF，BD，AD．
由拿破仑定理知，△DEF为等边三角形．
第 29 页因为D为等边三角形的中心，所以在△DAB中， ，
同理 ．
又 ，
所以 ．
在△ADF中，由勾股定理可得 ，
即 ，化简得 ，
由基本不等式得 ，解得
（当且仅当 时取等号），所以 ．
故答案为：
37．
【解析】
【分析】
如图所示，设t h后，汽车由A行驶到D，摩托车由B行驶到E，利用余弦定理求出DE2＝12900t2－42000t＋40000.
再利用二次函数的性质求出t的值和最小值.
【详解】
如图所示，设t h后，汽车由A行驶到D，摩托车由B行驶到E，则AD＝80t，BE＝50t.因为AB＝200，所以BD＝
200－80t，由余弦定理得，DE2＝(200－80t)2＋2500t2－(200－80t)·50t＝12900t2－42000t＋40000.所以当t＝ 时，
DE最小．
故答案为
第 30 页【点睛】
(1)本题主要考查解三角形的应用，考查余弦定理解三角形和二次函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的
掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是利用余弦定理求出DE2＝12900t2－42000t＋40000.
38．
【解析】
【分析】
应用余弦定理有 ，再由三角形内角性质及同角三角函数平方关系求 ，根据基本不等式求得
，注意等号成立条件，最后利用三角形面积公式求S的最大值.
【详解】
由余弦定理知： ，而 ，
所以 ，而 ，即 ，当且仅当 时等号成立，
又 ，当且仅当 时等号成立.
故答案为：
39． ##
【解析】
【分析】
设 ，则 ，然后利用正弦定理表示出 ，相加化简后利用三角函数的性
质可求出其最大值
【详解】
设 ，则 ，由正弦定理得
，即 ，
所以 ，
所以 的周长为
第 31 页，
因为 ，所以 ，
所以当 时， 取得最大值 ，即 的周长的最大值为 ，
故答案为：
40．
【解析】
【分析】
由余弦定理得出 ， ，由基本不等式得出 ，最后由三角形面积公式得出面积的最大值.
【详解】
因为2ccosB=acosB+bcosA，由余弦定理可得 ，化简可得
，由余弦定理可得 ， ，由 ，b=2，
得出 ，所以 （当且仅当 时，取等号），即 ，故
，故△ABC的面积的最大值是 .
故答案为：
41．(1)
(2)9
【解析】
(1)
因为
由正弦定理可得 ，即
又因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ；
(2)
由余弦定理得 ，
所以 ，
即 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 周长的最大值为9.
第 32 页42．（1） ；（2） ；（3） .
【解析】
【分析】
（1）利用平面向量垂直的坐标表示可求得 的值，结合角 的取值范围可求得角 的值；
（2）利用三角形的面积公式可求得 的值，结合余弦定理可求得 的值；
（3）利用正弦定理以及三角恒等变换可得出 ，求出角 的取值范围，结合正弦型函数的
基本性质可求得 周长的取值范围.
【详解】
（1）由已知条件可得 ，则 ，
，故 ；
（2）由三角形的面积公式可得 ， ，
由余弦定理可得 ，
因此， ；
（3）由正弦定理可得 ，故 ， ，
所以，
，
，所以， ，则 ，所以， ，
所以， .
因此， 的周长的取值范围是 .
43．（1） ；（2）12.
【解析】
【分析】
（1）由题意， ， ，由余弦定理、基本不等式，即可求 的最大值；
（2）当 时，求出 ，利用余弦定理、基本不等式，即可求出 周长的最小值.
【详解】
解：（1）由题意， ， ，
由余弦定理可得 ，
，
第 33 页，
的最大值为 ；
（2） ， ，
又 ，
，
，
周长为
当且仅当 时， 周长的最小值为12.
【点睛】
本题考查了余弦定理、基本不等式，考查三角形面积、周长的求解，考查学生分析解决问题的能力，属于较难题.
44．（1） ， ；（2）答案见解析.
【解析】
【分析】
（1）化简 ，令 ， ，即可求得 的单调递增区间；
（2）由 ，得 ，即可得 ， ， ，即 为锐角三角形；
②利用弦心距、半径、弦长的关系求解；
③由 求得 ．选择①②，选择①③，选择②③，分别结合基本不等式求解最大值．．
【详解】
解：（1） ，
令 ， ，
解得 ， ， ，
所以 的单调递增区间为 ， .
（2）因为 ，所以 ，由 得 ，
所以 ，所以 ，所以 ，同理 ， ，即 为锐角三角形.
②中圆心到直线的距离 ，
第 34 页故 .
③中由 得 ，又A为锐角，所以 .
选择①②， ， ， ，得 ， ；
选择①③， ， ，得 ；
选择②③，即 ， .
由余弦定理得 ，
所以 ，
所以 最大值为 ，当且仅当 时取等号，
所以 的面积为 ，最大值为 .
45．（1） ；（2） ；（3）
【解析】
【分析】
（1）由条件利用两角和差的三角公式求出 ，即可求解；
（2）由余弦定理与三角形面积公式即可求解；
（3）把边化为角利用三角函数的值域求解即可
【详解】
（1）∵ ，
∴ ，
，
，
∵ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
，
；
（2）∵ ，
第 35 页，
∴ ，
∴ ；
（3）由正弦定理可得： ，
，
其中 ， ， ， 为锐角，
因为 为锐角三角形，则 ，
从而 ，得 ，
，
所以 ， ，
所以 ，从而 的取值范围为
第 36 页第 37 页
