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§2.4 函数的对称性
考试要求 1.能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论.2.会利用对称公
式解决问题．
知识梳理
1．奇函数、偶函数的对称性
(1)奇函数关于原点对称，偶函数关于 y 轴 对称．
(2)若f(x－2)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为 x ＝－ 2 ；若f(x－2)是奇函数，则函数f(x)
图象的对称中心为 ( － 2,0) ．
2．若函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称，则f(a－x)＝f(a＋x)；
若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数的图象关于点 ( a ,0) 对称．
3．两个函数图象的对称
(1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)关于 y 轴 对称；
(2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)关于 x 轴 对称；
(3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)关于原点对称．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝f(x＋1)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．( √ )
(2)函数y＝f(x－1)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称．( × )
(3)若函数f(x)满足f(x－1)＋f(x＋1) ＝0，则f(x)的图象关于y轴对称．( × )
(4)若函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称．( √ )
教材改编题
1．函数f(x)＝图象的对称中心为( )
A．(0,0) B．(0,1)
C．(1,0) D．(1,1)
答案 B
解析 因为f(x)＝＝1＋，由y＝向上平移一个单位长度得到y＝1＋，又y＝关于(0,0)对称，
所以f(x)＝1＋的图象关于(0,1)对称．
2．已知定义在R上的函数f(x)在[－2，＋∞)上单调递减，且f(－2－x)＝f(－2＋x)，则f(－4)
与f(1)的大小关系为________．
答案 f(－4)>f(1)
解析 ∵f(－2－x)＝f(－2＋x)，∴f(x)关于直线x＝－2对称，
又f(x)在[－2，＋∞)上单调递减，
∴f(－4)＝f(0)>f(1)，
故f(－4)>f(1)．
3．偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，且当x∈[2,3]时，f(x)＝2x－1，则f(－1)＝
________.
答案 5
解析 ∵f(x)为偶函数，
∴f(－1)＝f(1)，
由f(x)的图象关于x＝2对称，
可得f(1)＝f(3)＝2×3－1＝5.
题型一 轴对称问题
例1 (1)已知定义在R上的函数f(x)是奇函数，对x∈R都有f(x＋1)＝f(1－x)，当f(－3)＝
－2时，则f(2 023)等于( )
A．－2 B．2 C．0 D．－4
答案 B
解析 定义在R上的函数f(x)是奇函数，且对x∈R都有f(x＋1)＝f(1－x)，
故函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，
∴f(x)＝f(2－x)，
故f(－x)＝f(2＋x)＝－f(x)，
∴f(x)＝－f(2＋x)＝f(4＋x)，
∴f(x)是周期为4的周期函数．
则f(2 023)＝f(505×4＋3)＝f(3)＝－f(－3)＝2.
(2)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋2)为偶函数，f(x)在[2，＋∞)上单调递减，则不等式
f(x－1)>f(1)的解集为________．
答案 (2,4)
解析 ∵f(x＋2)是偶函数，
∴f(x＋2)的图象关于直线x＝0对称，
∴f(x)的图象关于直线x＝2对称，
又f(x)在[2，＋∞)上单调递减，
∴f(x)在(－∞，2]上单调递增．
又f(x－1)>f(1)，
∴|x－1－2|<|1－2|，即|x－3|<1，解得2f(1)的解集为( )
A．(－∞，e)∪(e3，＋∞) B．(1，e2)
C．(e，e3) D．(e，＋∞)
答案 C
解析 因为函数f(x＋2)是R上的偶函数，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，在[2，＋∞)
上恒有<0(x≠x)，当xf(x)，所以f(x)在[2，＋∞)上单调递减，f(x)在(－∞，2)
1 2 1 2 1 2
上单调递增，不等式f(ln x)>f(1)需满足|ln x－2|<|1－2|⇒1；
(2)求函数g(x)＝图象的对称中心．
解 (1)对任意的x∈R,2x＋2－x>0，故函数f(x)的定义域为R，
又因为函数f(x)＝为奇函数，则f(0)＝＝0，解得a＝1，
所以f(x)＝，下面验证函数f(x)＝为奇函数，
f(－x)＝＝－f(x)，故函数f(x)＝为奇函数，
由f(x)＝＝＝>，得2·4x>4，即22x＋1>22，
所以2x＋1>2，解得x>，
因此不等式f(x)>的解集为.
(2)g(x)＝＝，
则g(－x)＝，
所以g(x)＋g(－x)＝＝2，
因此函数g(x)＝图象的对称中心为(0,1)．10．函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数．
(1)若f(x)＝x3－3x2.求此函数图象的对称中心；
(2)类比上述推广结论，写出“函数y＝f(x)的图象关于y轴成轴对称的充要条件是函数y＝
f(x)为偶函数”的一个推广结论．
解 (1)设函数f(x)＝x3－3x2图象的对称中心为P(a，b)，g(x)＝f(x＋a)－b，
则g(x)为奇函数，故g(－x)＝－g(x)，故f(－x＋a)－b＝－f(x＋a)＋b，
即f(－x＋a)＋f(x＋a)＝2b，
即[(－x＋a)3－3(－x＋a)2]＋[(x＋a)3－3(x＋a)2]＝2b.
整理得(3a－3)x2＋a3－3a2－b＝0，故解得
所以函数f(x)＝x3－3x2图象的对称中心为(1，－2)．
(2)推论：函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a成轴对称的充要条件是函数y＝f(x＋a)为偶函数．
11．(多选)已知函数y＝f(x)，x∈R，下列4个命题中是真命题的是( )
A．若y＝f(x＋1)为偶函数，则f(x)的图象自身关于直线x＝1对称
B．函数f(x－1)与f(1－x)的图象关于直线x＝1对称
C．若f(x)为奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)，则f(x)的图象自身关于点(1,0)对称
D．若f(x)为奇函数，且f(x)＝f(－x－2)，则f(x)的图象自身关于直线x＝1对称
答案 ABD
解析 对于A，若y＝f(x＋1)为偶函数，其函数图象关于直线x＝0对称，故y＝f(x＋1)的图
象向右平移1个单位长度得f(x)的图象，故f(x)的图象自身关于直线x＝1对称，正确；
对于B，将f(x)的图象向右平移1个单位长度，可得f(x－1)的图象，将f(x)的图象关于y轴对
称得f(－x)的图象，然后将其图象向右平移1个单位长度得f(1－x)的图象，故f(x－1)与f(1－
x)的图象关于直线x＝1对称，故正确；
对于C，若f(x)为奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)＝f(－x)，故f(x＋1)＝f(1－x)，所以f(x)的图象自
身关于直线x＝1对称，故不正确；
对于D，因为f(x)为奇函数，且f(x)＝f(－x－2)，故f(x＋2)＝－f(x)＝f(－x)，所以f(x)的图象
自身关于直线x＝1对称，故正确．
12．已知函数f(x)满足f(x＋2)是偶函数，若函数y＝|x2－4x－5|与函数y＝f(x)图象的交点为
(x，y)，(x，y)，…，(x，y)，则横坐标之和x＋x＋…＋x＝________.
1 1 2 2 n n 1 2 n
答案 2n
解析 因为f(x＋2)是偶函数，所以函数f(x＋2)的图象关于直线x＝0对称，
又因为函数f(x＋2)向右平移2个单位长度得到函数f(x)的图象，
所以函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，
因为y＝|x2－4x－5|＝|(x－2)2－9|，所以函数y＝|x2－4x－5|的图象也关于直线x＝2对称，
所以x＋x＋…＋x＝·4＝2n.
1 2 n
13．已知函数f(x)＝则此函数图象上关于原点对称的点有( )
A．0对 B．1对 C．2对 D．3对
答案 B
解析 作出函数y＝f(x)的图象，如图所示，
再作出－y＝f(－x)，记为曲线C，
由图象可知，满足条件的对称点只有一对，图中的A，B就是符合题意的点．
14．已知函数f(x)＝则满足f(2＋log x)>f(1－log x)的x的取值范围是( )
4 4
A. B.
C．(0,2) D．(2，＋∞)
答案 A
解析 当x≤2时，f(x)＝x－2－4＝22－x－4＝2|x－2|－4，
当x>2时，f(x)＝2x－2－4＝2|x－2|－4，
所以对任意的x∈R，f(x)＝2|x－2|－4，
则f(4－x)＝2|4－x－2|－4＝2|x－2|－4＝f(x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，
因为函数f(x)在[2，＋∞)上单调递增，
由f(2＋log x)>f(1－log x)可得|2＋log x－2|>|1－log x－2|，
4 4 4 4
即|log x|>|1＋log x|，不等式|log x|>|1＋log x|两边平方得log x<－，解得0
