文档内容
专题17 函数初步与一次函数13个考点集训（解析版）
第一部分 知识导航
模块一：函数初步
1．常量与变量的概念：在一些变化过程中，有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量；
在一些变化过程中，有一种量，可以取不同数值的量，叫做变量．
2．函数的概念：在某一变化过程中，有两个量x和y，对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，
此时称y是x的函数．其中x是自变量，y是因变量．
例如：圆的面积S与圆的半径r存在相应的关系： ，这里 表示圆周率；它的数值不会变化，
是常量，S随着r的变化而变化，r是自变量，S是因变量．
3．数学上表示函数关系的方法通常有三种：
（1）解析法：用数学式子表示函数的方法叫做解析法．譬如： ， ．
（2）列表法：通过列表表示函数的方法．
（3）图象法：用图象直观、形象地表示一个函数的方法．
4．关于函数的关系式（解析式）的理解：
（1）函数关系式是等式．例如 就是一个函数关系式．
（2）函数关系式中指明了哪个是自变量，哪个是函数．通常等式右边代数式中的变量是自变量，等
式左边的一个字母表示函数． 例如 中x是自变量，y是x的函数．
（3）函数关系式在书写时有顺序性． 例如： 是表示y是x的函数，若写成 就表
示x是y的函数．
（4）求y与x的函数关系时，必须是只用变量x的代数式表示y，得到的等式右边只含x的代数式．
5．函数图象：
（1）列表：对应到x的每一个值，y有唯一确定的值，列表；
（2）描点：把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横纵坐标，画点；
（3）连线：坐标平面内把这些点连接起来所组成的图形，就是这个函数的图象．
6．函数解析式与函数图象的关系：
①以满足函数解析式的有序实数对为坐标的点一定在函数图象上；
②函数图象上点的坐标满足函数解析式．
模块二：一次函数图像、性质及解析式
1．正比例函数
（1）定义：一般地，形如 （k为常数， ）的函数，叫正比例函数，k叫比例系数．
（2）图象：正比例函数图象是一条经过原点的直线.函数 也叫直线 .
（3）性质：
示意图（草图） 图象位置 变化趋势 性质（增减性）
y
经过原点和 从左向右 y随x的增大而增大
O
x 第一、三象限 上升 y随x的减小而减小y
经过原点和 从左向右 y随x的增大而减小
O x 第二、四象限 下降 y随x的减小而增大2．一次函数
（1）定义：一般地，形如 （k，b为常数， ）的函数，叫做一次函数．
当 时， 即为 ，所以正比例函数是特殊的一次函数．
（2）图象：一次函数 的图象是一条直线，我们称它为直线 ，它可以看作直线
平移 个单位长度而得到（当 时，向上平移；当 时，向下平移）．
（3）图象与坐标轴交点：图象与y轴交于点 ，与x轴交于点 ．
（4）性质：
示意图（草图） 经过的象限 变化趋势 性质（增减性）
y
O
一、二、三
x
从左向右 y随x的增大而增大，
y 上升 y随x的减小而减小
O
一、三、四
x
y
一、二、四
O x
从左向右 y随x的增大而减小，
y 下降 y随x的减小而增大
O
二、三、四
x
（5）一次函数的解析式
①待定系数法：
因为两点确定一条直线，所以有两个已知的点 ， 带入解析式 中，通过解关于
k、b的二元一次方程组确定k与b的值，就可以求出解析式．步骤：一设二代三解．
②点斜式，让学生理解这种方法，并熟练使用，提升解题速率．
第二部分 典例剖析+变式训练
考点一 函数的概念
典例1（2023•泾阳期末）如图所示的图象分别给出了x与y的对应关系，其中表示y不是x的函数的是（
）
A． B．C． D．
思路引领根据函数的概念：对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，逐一判断即可
解答．
【解答】解：A、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y是x
的函数，故A符合题意；
B、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以能表示y是x的函数，故B不符合
题意；
C、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以能表示y是x的函数，故C不符合
题意；
D、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以能表示y是x的函数，故D不符
合题意；
故选：A．
【总结提升】本题考查了函数的概念，熟练掌握函数的概念是解题的关键．
变式训练
1．（2023秋•长丰县期末）下列各曲线中，表示y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
思路引领根据函数的意义即可求出答案．
【解答】解：根据函数的意义可知：对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，所以B正确．
故选：B．
【总结提升】本题主要考查了函数图象的读图能力和函数概念．函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：作垂直于x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点．
2．（2023秋•佛山期末）下列各图中不能表示y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
思路引领根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即
可确定函数的个数．
【解答】解：A、对于每一个x的值，都有唯一一个y值与其对应，所以y是x的函数，故本选项不符合
题意；
B、对于每一个x的值，都有唯一一个y值与其对应，所以y是x的函数，故本选项不符合题意；
C、对于每一个x的值，都有唯一一个y值与其对应，所以y是x的函数，故本选项不符合题意；
D、对于每一个x的值，不都是有唯一一个y值与其对应，有时有多个y值相对应，所以y不是x的函数，
故本选项符合题意．
故选：D．
【总结提升】本题考查了函数的定义．解题的关键是掌握函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量
x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．
3．（2023春•栾城区校级期中）下列四个选项中，y不是x的函数的是（ ）
3
A．y＝2x﹣7 B．y= C．y＝x2 D．y=±❑√x
x
思路引领利用函数的定义：给定一个自变量的值，都有唯一确定的函数值与其对应可得答案．
【解答】解：A、y＝2x﹣7，y是x的函数，故此选项不合题意；
3
B、y= ，y是x的函数，故此选项不合题意；
x
C、y＝x2，y是x的函数，故此选项不合题意；
D、y=±❑√x，给定一个自变量x的值，有两个函数值与之对应，y不是x的函数，故此选项符合题意；
故选：D．【总结提升】此题主要考查了函数的概念，对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值
随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值
与之对应，即单对应．
4．（2023秋•大观区校级期中）在式子①y＝3x+1，②y＝x2﹣1，③y=❑√x，④y＝|x|，⑤|y|＝|x|中，y
是x的函数的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
思路引领根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，据此即可逐
一判断．
【解答】解：在①y＝3x+1，②y＝x2﹣1，③y=❑√x，④y＝|x|，中，对于x的每一个取值，y都有唯
一确定的值与之对应，所以y是x的函数；
⑤|y|＝|x|对于x的每一个取值，y都有一个或两个值与之对应，所以y不是x的函数；
故选：C．
【总结提升】本题主要考查函数的概念，解题关键是明确满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的
值与之对应，两个变量为函数关系．
考点二 函数关系式
典例2（2023秋•双流区期末）如图，要围一个长方形ABCD的菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用35
米长的篱笆围成另外三边．为了方便进出，在BC边上留了一个2米宽的小门．设AB边的长为x米，
BC边的长为y米，则y与x之间的关系式是 y ＝﹣ 2 x +3 7 ．
思路引领运用长方形周长公式进行列式、化简．
【解答】解：由题意得，2x+y＝35+2，
整理，得y＝﹣2x+37，
故答案为：y＝﹣2x+37．
【总结提升】此题考查了一次函数的应用能力，关键是能准确根据长方形周长公式进行列式、化简．
变式训练
1．（2023秋•凤阳县期末）水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为 r，则圆周长C与r的关系式
为C＝2 r．在上述变化中，自变量是（ ）
A．2 π B．半径r C． D．周长C
π思路引领可得周长C是半径r的函数，周长C随着半径r的变化而变化，周长C是因变量，半径r为自
变量，即可求解．
【解答】解：由题意得：周长C是半径r的函数，
∵周长C随着半径为r的变化而变化，
∴半径为r是自变量．
故选：B．
【总结提升】本题考查了函数的定义，理解定义是解题的关键．
2．（2022秋•陇南期末）如图，将质量为10kg的铁球放在不计重力的木板OB上的A处，木板左端O处可
自由转动，在B处用力F竖直向上抬着木板，使其保持水平，已知OA的长为1m，OB的长为x m，g
取10N/kg，则F关于x的函数解析式为（ ）
100 90 9 10
A．F= B．F= C．F= D．F=
x x x x
思路引领根据杠杆平衡条件：动力×动力臂＝阻力×阻力臂，把题中数据代入即可得答案．
【解答】解：∵g取10N/kg，铁球质量为10kg，
∴G＝mg＝10×10＝100（N），
∵OA＝1m，OB＝x m，
∴由杠杆平衡原理可得：F×OB＝G×OA，即F⋅x＝100×1，
100
∴F关于x的函数解析式为F= ．
x
故选：A．
【总结提升】本题考查反比例函数的应用，熟练掌握杠杆平衡原理是解题关键．
3．（2023•裕华区校级模拟）验光师测得一组关于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）的对应数据
如下表．根据表中数据，可得y关于x的函数表达式为（ ）
近视眼镜的度 200 250 400 500 1000
数y（度）
镜片焦距x 0.5 0.4 0.25 0.2 0.1
（米）
100 x 400 x
A．y= B．y= C．y= D．y=
x 100 x 400思路引领直接利用已知数据可得xy＝100，进而得出答案．
【解答】解：由表格中数据可得：xy＝100，
100
故y关于x的函数表达式为：y= ．
x
故选：A．
【总结提升】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键．
4．（2024•河北一模）打出租汽车是城市中最常见的运输方式．若出租汽车1km的起步价是5元，之后的
每公里车程需要支付2元，则出租车价格y（元）和里程x（km）对应的函数是 y ＝ 2 x + 3 ．
思路引领根据出租车价格＝起步价+超过1km的付费，即可进行解答．
【解答】解：根据题意，得y＝5+2（x﹣1）＝2x+3，
故答案为：y＝2x+3．
【总结提升】此题考查根据实际问题列一次函数关系式，根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题
的关键．
5．（2023秋•无锡期末）已知一根弹簧秤不挂物体时弹簧的长度为7cm，在弹性限度内，每挂重1kg物体，
弹簧伸长0.5cm，则挂重后弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间的函数表达式是 y ＝
0.5 x +7 ．
思路引领根据挂重后弹簧的长度＝不挂物体时弹簧的长度+弹簧伸长的长度列出函数关系式即可．
【解答】解：由题意得，y＝0.5x+7，
故答案为：y＝0.5x+7．
【总结提升】本题考查了函数关系式，读懂题意，正确列出函数关系式是解题的关键．
6．（2023秋•太原期末）有若干张如图①所示的拼图卡，用3张这样的拼图卡按图②的方式无缝隙拼接
在一起，拼成的图案总长为10cm；如图③，用8张这样的拼图卡按同样的方式拼接，拼成的图案总长
为25cm；若用x张这样的拼图卡按同样的方式拼接，拼成的图案总长为y（cm），则y与x之间的函数
关系式为 y ＝ 3 x + 1 （x为正整数）．25−10
思路引领由图②和图③可知，每增加一张拼图卡拼成的图案总长度增加 =3cm，即可得出答案．
8−3
25−10
【解答】解：由题意可知，每增加一张拼图卡拼成的图案总长度增加 = 3（cm），
8−3
∴图①的长度为10﹣3×2＝4（cm），
∴y与x之间的函数关系式为y＝3x+1．
故答案为：y＝3x+1．
【总结提升】本题考查了函数关系式，利用拼成的图案总长的变化得出规律：每增加一张拼图卡拼成的
图案总长度增加3cm是解题关键．
7．（2023秋•曹县期末）将长为20cm，宽为8cm的长方形白纸若干张，按如图所示的方式黏合起来，黏
合部分的宽为3cm．
（1）根据题意，将下面的表格补充完整；
白纸张数x 1 2 3 4 5
6
纸条总长度y/cm 20 54 71
37 88 105
（2）写出y与x的表达式．
思路引领（1）从第一张白纸开始，之后每增加一张白纸，纸条的总长度就增加17cm，据此填空即可；
（2）根据表格中数据的变化规律解答即可．
【解答】解：（1）∵从第一张白纸开始，之后每增加一张白纸，纸条的总长度就增加17cm，
∴当x＝2时，y＝37；
当x＝5时，y＝88；
当x＝6时，y＝105；
故答案为：6，37，88，105．
（2）根据表格中的数据变化规律，得y＝20x﹣3（x﹣1）＝17x+3，
∴y与x的表达式为y＝17x+3．
【总结提升】本题考查函数关系式，找到纸条总长度随白纸张数的变化规律是解题的关键．
考点三 函数自变量的取值范围1 1
典例3 （2024•肇源县开学）函数y= + 中，自变量x的取值范围是（ ）
❑√x−1 x−2
A．x≤1 B．x≥1且x≠2 C．x＞1且x≠2 D．x＞1
思路引领根据二次根式和分式有意义的条件列出式子，求解即可．
【解答】解：由题意可得：x﹣1＞0且x﹣2≠0，
解得x＞1且x≠2．
∴自变量x的取值范围是x＞1且x≠2．
故选：C．
【总结提升】本题考查函数自变量的取值范围．正确判断式子有意义的条件是解题关键．
变式训练
1．（2024•邹城市校级一模）函数y=❑√2−x中自变量x的取值范围是（ ）
A．x≤2 B．x≥2 C．x＜2 D．x≤0
思路引领根据被开方数大于等于0，即可求解．
【解答】解：根据题意得：2﹣x≥0，
x≤2，
故选：A．
【总结提升】本题考查二次根式有意义的条件，自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义．
2．（2024•昭通一模）下列函数中，自变量x的取值范围是x＞1的函数是（ ）
2 1
A．y=2❑√x−1 B．y= C．y＝x﹣1 D．y=
❑√x−1 x−1
思路引领根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为零列出不等式，解不等式即可判断．
【解答】解：A、由题意得：x﹣1≥0，
解得：x≥1，不符合题意；
B、由题意得：x﹣1＞0，
解得：x＞1，符合题意；
C、由题意得：x的取值范围是全体实数，不符合题意；
D、由题意得：x﹣1≠0，
解得：x≠1，不符合题意；
故选：B．
【总结提升】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，熟记二次根式的被开方数是非负数、分母不
为零是解题的关键．2x
3．（2024•五华区校级模拟）函数y= 的自变量x的取值范围是（ ）
1−x
A．x≠1 B．x＜1 C．x≠0 D．x≤1
思路引领根据分式的分母不为零列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：1﹣x≠0，
解得：x≠1，
故选：A．
【总结提升】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，熟记分式的分母不为零是解题的关键．
❑√x+5
4．（2024•湖南模拟）若函数 有意义，则自变量的取值范围为： x ≥﹣ 5 且 x ≠﹣ 2 ．
x+2
思路引领根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为零列出不等式组，解不等式组得到答案．
【解答】解：由题意得：x+5≥0且x+2≠0，
解得：x≥﹣5且x≠﹣2，
故答案为：x≥﹣5且x≠﹣2．
【总结提升】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，熟记二次根式的被开方数是非负数、分母不
为零是解题的关键．
❑√1−x
5．（2023秋•绥化期末）函数y= 中自变量x的取值范围是 x ≤ 1 且 x ≠﹣ 3 ．
x+3
思路引领根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：1﹣x≥0且x+3≠0，
解得：x≤1且x≠﹣3，
故答案为：x≤1且x≠﹣3．
【总结提升】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不
为0是解题的关键．
3
6．（2023秋•富锦市校级期末）函数y=❑√2x+4− 的自变量x的取值范围是 x ≥﹣ 2 且 x ≠ 1 ．
x−1
思路引领根据二次根式和分式有意义的条件列出不等式组，求解即可．
【解答】解：由题意可得：2x+4≥0且x﹣1≠0，
解得x≥﹣2且x≠1．
∴自变量x的取值范围是x≥﹣2且x≠1．
故答案为：x≥﹣2且x≠1．
【总结提升】本题考查函数自变量的取值范围．正确判断式子有意义的条件是解题关键．考点四 函数的图象
典例4 （2024•淮安区一模）已知点M（4，a），N（﹣4，a），P（﹣2，a﹣2）在同一个函数图象上，
则这个函数图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
思路引领由点M（4，a），N（﹣4，a），关于y轴对称，可排除选项A、C，再根据N（﹣4，a），P
（﹣2，a﹣2）可知在y轴的左侧，y随x的增大而减小，从而排除选项B．
【解答】解：由M（4，a），N（﹣4，a）在同一个函数图象上，可知图象关于y轴对称，故选项A、C
不符合题意；
由N（﹣4，a），P（﹣2，a﹣2），可知在y轴的左侧，y随x的增大而减小，故选项D符合题意；
故选：D．
【总结提升】此题考查了函数的图象．注意掌握排除法在选择题中的应用是解此题的关键．
变式训练
kx
1．（2024•武汉模拟）如图是小华同学利用计算机软件绘制函数y=
（k，b为常数）的图象，则
(x+b) 2
k，b的值满足（ ）
A．k＞0，b＞0 B．k＜0，b＞0 C．k＞0，b＜0 D．k＜0，b＜0
思路引领由图象可知，当x＜0时，y＜0，可知k＞0；x＝﹣b时，函数值不存在，则b＜0；【解答】解：由图象可知，当x＜0时，y＜0，
∴k＞0；
x＝﹣b时，函数值不存在，
∴﹣b＞0，
∴b＜0；
故选：C．
【总结提升】本题考查函数的图象；能够通过已学的反比例函数图象确定b的取值是解题的关键．
考点五 一次函数的定义
3 1
典例 5（2023 秋•山亭区期末）函数① y＝kx+b；② y＝2x；③y=− ；④y= x+3；⑤ y＝x2﹣
x 3
2x+1．是一次函数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
思路引领根据一次函数的定义对各函数进行逐一分析即可．
【解答】解：①y＝kx+b，当k＝0时，不是一次函数；
②y＝2x是一次函数；
3
③y=− 不是一次函数；
x
1
④y= x+3是一次函数；
3
⑤y＝x2﹣2x+1不是一次函数；
所以是一次函数的有2个．
故选：B．
【总结提升】本题考查的是一次函数的定义，熟知一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，
叫做一次函数是解答此题的关键．
变式训练
1．（2023春•兴城市期末）若函数y＝（a﹣2）x|a|﹣1+4是一次函数，则a的值为（ ）
A．﹣2 B．±2 C．2 D．0
思路引领根据一次函数y＝kx+b的定义可知，k、b为常数，k≠0，自变量的次数为1，即可求解．
【解答】解：∵y＝（a﹣2）x|a|﹣1+4是关于x的一次函数，
∴|a|﹣1＝1且a﹣2≠0，
∴|a|＝2且a≠2，
∴a＝±2且a≠2，∴a＝﹣2．
故选：A．
【总结提升】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义和性质是解题的关键．
2．（2022秋•博山区校级期末）下列关于x的函数：①y＝（k+1）x+5（k为常数）；②y＝2x+k（k为常
数）；③y＝﹣3x；④y=❑√x；⑤y＝x﹣4，一次函数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
思路引领根据一次函数的定义条件解答即可．
【解答】解：①y＝（k+1）x+5当k＝﹣1时不是函数；
②y＝2x+k是一次函数；
③y＝﹣3x是一次函数；
④y=❑√x自变量次数不为1，不是一次函数；
⑤y＝x﹣4是一次函数．
故选：C．
【总结提升】本题主要考查一次函数的定义，一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自
变量次数为1，掌握一次函数的定义是解题关键．
3．（2023秋•修水县期末）若y＝mx|m+1|﹣2是关于x的一次函数，则m的值为 ﹣ 2 ．
思路引领根据一次函数的定义条件：次数最高项是一次项，且一次项系数不等于0即可求解．
【解答】解：根据题意得：m≠0且|m+1|＝1，
解得：m＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【总结提升】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的定义，一次函数 y＝kx+b的定
义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．
考点六 正比例函数的定义
典例6 （2023秋•宣汉县期末）已知函数y＝（m+1）x❑ m2−3是正比例函数，且图象在第二、四象限内，
则m的值是（ ）
1
A．2 B．﹣2 C．±2 D．−
2
思路引领根据正比例函数的定义，正比例函数的性质，可得答案．
【解答】解：由题意，得
m2﹣3＝1，且m+1＜0，
解得m＝﹣2，故选：B．
【总结提升】本题考查了正比例函数，利用正比例函数的定义得出方程是解题关键，注意比例系数是负
数．
变式训练
1．（2023秋•三元区期末）在下列函数中，正比例函数是（ ）
A．y＝2x﹣1 B．y＝﹣2x+1 C．y＝2x D．y＝2x2+1
思路引领根据正比例函数的概念即可得出正确的答案．
【解答】解：A．y＝2x﹣1不是正比例函数，故该选项不符合题意；
B．y＝﹣2x+1不是正比例函数，故该选项不符合题意；
C．y＝2x是正比例函数，故该选项符合题意；
D．y＝2x2+1不是正比例函数，故该选项不符合题意．
故选：C．
【总结提升】本题主要考查正比例函数的概念，熟练掌握正比例函数的概念是解题的关键．
典例7 一次函数的图象
{ x(x≥0) )
典例7（2024•南宁一模）我们知道|x| = ，小明同学据此画出了函数y＝﹣|x﹣1|的大致图象，
−x(x＜0)
你认为小明同学所作图象正确的是（ ）
A． B．
C． D．
思路引领根据解析式和绝对值非负性，函数y＝﹣|x﹣1|的图象在x轴下方，据此判断即可．
【解答】解：A、函数y＝﹣|x﹣1|的图象在x轴下方，故错误，不符合题意；
B、函数y＝﹣|x﹣1|的图象在x轴下方，故正确，符合题意；
C、函数y＝﹣|x﹣1|的图象在x轴下方，故错误，不符合题意；
D、函数y＝﹣|x﹣1|的图象在x轴下方，故错误，不符合题意；
故选：B．【总结提升】本题考查了一次函数的图象，熟练掌握含有绝对值的一次函数图象是关键．
变式训练
1．（2024•雁塔区校级四模）直线l ：y＝kx﹣b和l ：y＝﹣2kx+b在同一直角坐标系中的图象可能是（
1 2
）
A． B．
C． D．
思路引领先看一条直线，得出k和b的符号，然后再判断另外一条直线是否正确，这样可得出答案．
【解答】解：A、直线l ：y＝kx﹣b中k＞0，b＜0，l ：y＝﹣2kx+b中k＞0，b＞0，b的取值相矛盾，
1 2
故本选项不符合题意；
B、直线l ：y＝kx﹣b中k＞0，b＜0，l ：y＝﹣2kx+b中k＞0，b＜0，k、b的取值一致，故本选项符合
1 2
题意；
C、直线l ：y＝kx﹣b中k＜0，b＞0，l ：y＝﹣2kx+b中k＞0，b＞0，k的取值相矛盾，故本选项不符
1 2
合题意；
D、直线l ：y＝kx﹣b中k＞0，b＜0，l ：y＝﹣2kx+b中k＜0，b＜0，k的取值相矛盾，故本选项不符
1 2
合题意．
故选：B．
【总结提升】此题考查了一次函数图象与k和b符号的关系，关键是掌握当b＞0时，（0，b）在y轴的
正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
2．（2023秋•建平县期末）一次函数y ＝ax+b与y ＝bx+a在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
1 2A． B．
C． D．
思路引领先由一次函数y ＝ax+b图象得到字母系数的符号，再与一次函数 y ＝bx+a的图象相比较看是
1 2
否一致．
【解答】解：A、∵一次函数y ＝ax+b的图象经过一、二、三象限，
1
∴a＞0，b＞0；
∴一次函数y ＝bx+a图象应该经过一、二、三象限，故不符合题意；
2
B、∵一次函数y ＝ax+b的图象经过一、三、四象限，
1
∴a＞0，b＜0；
∴一次函数y ＝bx+a图象应该经过一、二、四象限，故符合题意；
2
C、∵一次函数y ＝ax+b的图象经过一、二、四象限，
1
∴a＜0，b＞0；
∴一次函数y ＝bx+a图象应该经过一、三、四象限，故不符合题意；
2
D、∵一次函数y ＝ax+b的图象经过一、二、四象限，
1
∴a＜0，b＞0；
∴一次函数y ＝bx+a图象应该经过一、三、四象限，故不符合题意；
2
故选：B．
【总结提升】此题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．一次函数 y＝kx+b
的图象有四种情况：
①当k＞0，b＞0，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限；
②当k＞0，b＜0，函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限；
③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限；
④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限．3．（2023秋•薛城区期末）如果❑√a2=−a，则一次函数y＝（a﹣2）x+1﹣a的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
思路引领先求出a的取值范围，再判断出a﹣1及2﹣a的符号，进而可得出结论．
【解答】解：∵❑√a2=−a，
∴a≤0，
∴2﹣a＞0，a﹣2＜0，
∴一次函数y＝（a﹣2）x+2﹣a的图象过一、二、四象限．
故选：C．
【总结提升】本题考查的是一次函数的图象，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．
4．（2023秋•峡江县期末）若点（m，n）在第二象限，则一次函数y＝nx+m﹣n的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
思路引领根据点（m，n）在第二象限，可得m＜0，n＞0，利用一次函数的图象与性质的关系即可得出
答案．
【解答】解：∵点（m，n）在第二象限，
∴m＜0，n＞0，
∴m﹣n＜0，
∴一次函数y＝nx+m﹣n图象经过第一、三、四象限，
故选：B．
【总结提升】此题主要考查了一次函数的图象性质，解答本题的关键是判断出m、n的正负情况，利用一次函数的性质解答．
b
5．（2023秋•沙坪坝区校级期末）一次函数l ：y＝kx﹣b与l ：y= x+k在同一平面直角坐标系内的图
1 2 k
象可能为（ ）
A． B．
C． D．
思路引领先看直线l ，得出k和b的符号，然后再判断另外一条直线是否正确，这样可得出答案．
1
【解答】解：A、由直线l 可知k＞0，b＜0，由直线l 可知k＞0，b＞0，故本选项错误；
1 2
B、由直线l 可知k＜0，b＜0，由直线l 可知k＜0，b＜0，故本选项正确；
1 2
C、由直线l 可知k＜0，b＜0，由直线l 可知k＞0，b＜0，故本选项错误；
1 2
D、由直线l 可知k＞0，b＜0，由直线l 可知k＜0，b＞0，故本选项错误；
1 2
故选：B．
【总结提升】此题考查了一次函数图象与系数的关系，关键是掌握当b＞0时，（0，b）在y轴的正半
轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
考点八 一次函数的性质
典例8（2024•长沙模拟）关于一次函数y＝﹣2x+4，下列说法不正确的是（ ）
A．图象不经过第三象限
B．y随着x的增大而减小
C．图象与x轴交于（﹣2，0）
D．图象与y轴交于（0，4）
思路引领由k＝﹣2＜0，b＝4＞0，可得图象经过一、二、四象限，y随x的增大而减小，再分别求解一
次函数与坐标轴的交点坐标，从而可得答案．
【解答】解：∵y＝﹣2x+4，k＝﹣2＜0，b＝4＞0，
∴图象经过一、二、四象限，y随x的增大而减小，故A，B不符合题意；
当y＝0时，﹣2x+4＝0，解得x＝2，
∴图象与x轴交于（2，0），故C符合题意；
当x＝0时，y＝4，
∴图象与y轴交于（0，4），故D不符合题意；
故选：C．
【总结提升】本题考查的是一次函数的图象与增减性，一次函数与坐标轴的交点坐标，熟记一次函数的
性质是解本题的关键．
变式训练
1．（2024•望城区一模）在一次函数 y＝（2m+2）x+4中，y随x的增大而增大，那么 m的值可以是
（ ）
A．0 B．﹣1 C．﹣1.5 D．﹣2
思路引领根据一次函数的性质得到2m+2＞0，然后解不等式得到m的取值范围，再对各选项进行判断．
【解答】解：∵y随x的增大而增大，
∴2m+2＞0，
∴m＞﹣1．
故选：A．
【总结提升】本题考查了一次函数的性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随
x的增大而减小，函数从左到右下降．由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴
的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
2．（2024•朝阳区模拟）已知一次函数y＝﹣2x+3，当0≤x≤5时，函数y的最大值是（ ）
A．0 B．3 C．﹣3 D．﹣7
思路引领由于一次函数y＝﹣2x+3中k＝﹣2＜0由此可以确定y的值随x的增减性，然后利用解析式即
可取出在0≤x≤5范围内的函数值最大值．
【解答】解：∵一次函数y＝﹣2x+3中k＝﹣2＜0，
∴y的值随x的值增大而减小，
∴在0≤x≤5范围内，
x＝0时，函数值最大﹣2×0+3＝3．
故选：B．
【总结提升】一次函数y＝kx+b的图象的性质：
①当k＞0，y的值随x的值增大而增大；②当k＜0，y的值随x的值增大而减小．
3
3．（2023秋•广陵区期末）已知点(−❑√5，y )，（1，y ），（﹣2，y ）都在直线y=− x+b上，则
1 2 3 4
y ，y ，y 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
2 3 1 2 1 3 1 3 2 3 2 1
3
思路引领由k=− ＜0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合−❑√5＜−2＜1，即可得
4
出y ＜y ＜y ．
2 3 1
3
【解答】解：∵k=− ＜0，
4
∴y随x的增大而减小，
3
又∵点(−❑√5，y )，（1，y ），（﹣2，y ）都在直线y=− x+b上，且−❑√5＜−2＜1，
1 2 3 4
∴y ＜y ＜y ．
2 3 1
故选：A．
【总结提升】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减
小”是解题的关键．
4．（2023秋•莱州市期末）已知点A（1，y ）和点B（a，y ）均在一次函数y＝﹣2x+b的图象上，且y ＞
1 2 1
y ，则a的值可能是（ ）
2
A．3 B．0 C．﹣1 D．﹣2
思路引领由k＝﹣2＜0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合y ＞y ，即可得出a＞
1 2
1，再对照四个选项即可得出结论．
【解答】解：∵k＝﹣2＜0，
∴y随x的增大而减小，
又∵点A（1，y ）和点B（a，y ）均在一次函数y＝﹣2x+b的图象上，且y ＞y ，
1 2 1 2
∴a＞1，
∴a的可能值是3．
故选：A．
【总结提升】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减
小”是解题的关键．
2
5．（2023秋•莲池区期末）已知点A（﹣2，y ），点B（4，y ），点C（− ，y ），是关于x的一次函
1 2 3 3数y＝﹣2x+a图象上的三点，y ，y ，y 的大小关系为（ ）
1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
2 3 1 1 2 3 3 2 1 3 1 2
2
思路引领由k＝﹣2＜0，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而减小，再结合﹣2＜− ＜4，即
3
可得出y ＜y ＜y ．
2 3 1
【解答】解：∵k＝﹣2＜0，
∴y随x的增大而减小，
2
又∵点A（﹣2，y ），点B（4，y ），点C(− ，y )是关于x的一次函数y＝﹣2x+a象上的三点，且
1 2 3 3
2
﹣2＜− ＜4，
3
∴y ＜y ＜y ．
2 3 1
故选：A．
【总结提升】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减
小”是解题的关键．
考点九 正比例函数的性质
典例9 （2023秋•驿城区期末）正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随着x增大而减小，则一次函数y＝
x+k的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
思路引领根据自正比例函数的性质得到k＜0，然后根据一次函数的性质得到一次函数y＝x+k的图象经过第一、三、四象限．
【解答】解：∵正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，
∴k＜0，
∵一次函数y＝x+k的一次项系数大于0，常数项小于0，
∴一次函数y＝x+k的图象经过第一、三、四象限，
故选：D．
【总结提升】本题考查了一次函数图象：一次函数 y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）是一条直线，当k＞
0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减
小；图象与y轴的交点坐标为（0，b）．
变式训练
1．（2023秋•中原区期末）已知正比例函数y＝kx，当x每增加1时，y减少2，则k的值为（ ）
1 1
A．− B． C．2 D．﹣2
2 2
思路引领根据题意可得：y﹣2＝k（x+1），再求解即可．
【解答】解：∵正比例函数y＝kx，当x每增加1时，y减少2，
∴y﹣2＝k（x+1），即y﹣2＝kx+k，
∴k＝﹣2．
故选：D．
【总结提升】本题考查的是正比例函数的性质，正确理解题意、掌握解答的方法是解题的关键．
2．（2023秋•敦煌市期末）正比例函数y＝ax的图象经过第一、三象限，则直线y＝（﹣a﹣1）x经过（
）
A．第一、三象限 B．第二、三象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
思路引领根据正比例函数y＝ax的图象经过一、三象限，可以得到a＞0，从而可以得到﹣a﹣1＜0，再
根据正比例函数的性质，即可得到直线y＝（﹣a﹣1）x经过的象限．
【解答】解：∵正比例函数y＝ax的图象经过一、三象限，
∴a＞0，
∴﹣a﹣1＜0，
∴直线y＝（﹣a﹣1）x经过第二、四象限，
故选：C．
【总结提升】本题考查正比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用正比例函数的性质解答．3．（2024•恩施市校级模拟）已知函数y=(m+1)xm2−3是正比例函数，且y随x的增大而减小，则m＝
﹣ 2 ．
思路引领根据正比例函数定义可得m2﹣3＝1，再根据正比例函数的性质可得m+1＜0，再求解．
【解答】解：由题意得：m2﹣3＝1，且m+1＜0，
解得：m＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【总结提升】此题主要考查了正比例函数的性质和定义，熟记基础知识点是解题的关键．
考点十 一次函数图象与系数的关系
典例10 （2024•新城区校级一模）若一次函数y＝（m﹣1）x﹣m﹣4的图象不经过第三象限，则m的取值
范围是（ ）
A．﹣4≤m＜1 B．m＞1 C．m≤﹣4 D．0＜m＜1
思路引领根据一次函数的性质解答判断即可．
【解答】解：∵一次函数y＝（m﹣1）x﹣m﹣4的图象不经过第三象限，
∴m﹣1＜0，﹣m﹣4≥0，
解得m≤﹣4．
故选：C．
【总结提升】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解答本题的关键．
变式训练
1．（2024•泉州模拟）已知一次函数 y＝（k﹣3）x+1 中，y 随 x 的增大而减小，则 k 的取值范围是
（ ）
A．k＞﹣1 B．k＜﹣1 C．k＞3 D．k＜3
思路引领根据一次函数y＝（k﹣3）x+1中，y随x的增大而减小，可知k﹣3＜0，然后即可求得k的取
值范围．
【解答】解：∵一次函数y＝（k﹣3）x+1中，y随x的增大而减小，
∴k﹣3＜0，
解得k＜3，
故选：D．
【总结提升】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确一次函数y＝kx+b中y随x的增大而减
小，暗示着k＜0．
2．（2023秋•大埔县期末）两个一次函数y ＝mx+n，y ＝nx+m，它们在同一坐标系中的图象可能是图中的
1 2（ ）
A． B．
C． D．
思路引领首先设定一个为一次函数y ＝mx+n的图象，再考虑另一条的m，n的值，看看是否矛盾即可．
1
【解答】解：A、如果过第一、二、四象限的图象是y ，由y 的图象可知，m＜0，n＞0；由y 的图象可
1 1 2
知，n＞0，m＞0，两结论相矛盾，故错误；
B、如果过第一、二、四象限的图象是y ，由y 的图象可知，m＜0，n＞0；由y 的图象可知，n＞0，m
1 1 2
＜0，两结论不矛盾，故正确；
C、如果过第一、二、四象限的图象是y ，由y 的图象可知，m＜0，n＞0；由y 的图象可知，n＞0，m
1 1 2
＞0，两结论相矛盾，故错误；
D、如果过第二、三、四象限的图象是y ，由y 的图象可知，m＜0，n＜0；由y 的图象可知，n＜0，m
1 1 2
＞0，两结论相矛盾，故错误．
故选：B．
【总结提升】此题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．一次函数 y＝kx+b
的图象有四种情况：
①当k＞0，b＞0，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限；
②当k＞0，b＜0，函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限；
③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限；
④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限．
3．（2023秋•贵池区期末）若一次函数y＝（2k﹣1）x+k的图象不经过第三象限，则k的取值范围是（
）
1 1
A．k＞0 B．0≤k＜ C．k≥0 D．0≤k≤
2 2
思路引领先根据一次函数的图象不经过第三象限可得一次函数的图象经过第二、四象限或一次函数的图
象经过第一、二、四象限，分两种情况进行计算即可得到答案．【解答】解：∵一次函数y＝（2k﹣1）x+k的图象不经过第三象限，
∴一次函数y＝（2k﹣1）x+k的图象经过第二、四象限或一次函数y＝（2k﹣1）x+k的图象经过第一、
二、四象限，
{2k−1＜0)
当一次函数y＝（2k﹣1）x+k的图象经过第二、四象限时，则有 ，
k=0
解得：k＝0，
{2k−1＜0)
当一次函数y＝（2k﹣1）x+k的图象经过第一、二、四象限时，则有 ，
k＞0
1
解得：0＜k＜ ，
2
1
综上所述，k的取值范围是：0≤k＜ ，
2
故选：B．
【总结提升】本题考查了一次函数的性质，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0），当k＞0，b＞0时，
图象经过一、二、三象限，当k＞0，b＜0时，图象经过一、三、四象限，当k＜0，b＞0时，图象经过
一、二、四象限，当k＜0，b＜0时，图象经过二、三、四象限．
4．（2024•兴隆台区校级一模）若直线y＝kx+b经过一、二、四象限，则直线y＝﹣bx﹣k的图象只能是图
中的（ ）
A． B．
C． D．
思路引领首先确定k＜0，b＞0，然后再确定﹣b＜0，﹣k＞0，进而可得直线y＝﹣bx﹣k的图象经过的
象限，从而得答案．
【解答】解：∵直线y＝kx+b经过一、二、四象限，
∴k＜0，b＞0，
∴﹣b＜0，﹣k＞0，
∴直线y＝﹣bx﹣k的图象经过第一、二、四象限，故选：A．
【总结提升】此题主要考查了一次函数的图象与系数的关系，关键是掌握一次函数y＝kx+b：
①k＞0，b＞0 y＝kx+b的图象在一、二、三象限；
②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限；
③k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限；
④k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限．
⇔ 考点十一 一次函数图象上点的坐标特征
典例11 （2024•拱墅区一模）小明在平面直角坐标系内画了一个一次函数的图象，图象特点如下：
①图象过点（1，﹣4）
②图象与y轴的交点在x轴下方
③y随x的增大而减小
符合该图象特点的函数关系式为（ ）
A．y＝﹣4x+2 B．y＝﹣3x﹣1 C．y＝3x+1 D．y＝﹣5x﹣1
思路引领根据一次函数图象与性质分别判断选项的正误即可．
【解答】解：A、不符合条件②图象与y轴的交点在x轴下方，不符合题意；
B、符合①②③，符合题意；
C、不符合条件①②③，不符合题意；
D、不规范条件①，不符合题意；
故选：B．
【总结提升】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数性质是解答本题的关键．
变式训练
1．（2024•莲湖区一模）一次函数y＝kx+1的函数值y随x的增大而增大，当x＝2时，y的值可以是（
）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
思路引领首先根据一次函数y＝kx+1的函数值y随x的增大而增大，得k＞0，然后再根据题目中的四个
选项即可得出答案．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+1的函数值y随x的增大而增大，
∴k＞0，
∴x＝2时，y＞1，
故选：D．
【总结提升】此题主要考查了一次函数的性质，解答此题的关键是理解一次函数的性质：对于一次函数y＝kx+b（k≠0），当k＞0时，y随x的增大而增大，当k＜0时，y随x的增大而减小．
2．（2024•雁塔区校级三模）若点A（3，y ），点B（﹣2，y ），点C（2，6）都在一次函数y＝kx+7的
1 2
图象上，则y 与y 的大小关系是（ ）
1 2
A．y ＜y B．y ＝y C．y ＞y D．无法确定
1 2 1 2 1 2
1
思路引领由点C的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出 k的值，由k=− ＜0，利用一次
2
函数的性质，可得出y随x的增大而减小，再结合3＞﹣2，即可得出y ＜y ．
1 2
【解答】解：∵点C（2，6）在一次函数y＝kx+7的图象上，
∴6＝2k+7，
1
解得：k=− ．
2
1
∵k=− ＜0，
2
∴y随x的增大而减小，
1
又∵点A（3，y ），点B（﹣2，y ）都在一次函数y=− x+7的图象上，且3＞﹣2，
1 2 2
∴y ＜y ．
1 2
故选：A．
【总结提升】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增
大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键．
1 13
3．（2024•海州区校级自主招生）已知直线y=− x+ 上横、纵坐标都是整数的点的个数是（ ）
2 4
A．0个 B．1个
C．不少于2个但有限个 D．无数个
1 13 1 13
思路引领由直线y=− x+ ，可得4y＝13﹣2x，如果直线y=− x+ 上存在横、纵坐标都是整数
2 4 2 4
的点，可得x，y都是整数，即可得4y，2x都是偶数，与4y＝13﹣2x中13为奇数矛盾，故应选：A．
1 13
【解答】解：由直线y=− x+ ，
2 4
得4y＝13﹣2x，
1 13
如果直线y=− x+ 上存在横、纵坐标都是整数的点，
2 4
得x，y都是整数，得4y，2x都是偶数，
与4y＝13﹣2x中13为奇数矛盾，
故选：A．
【总结提升】本题主要考查了不定方程问题，解题关键是反证法的应用．
考点12 待定系数法求正比例函数解析式
典例12 （2023秋•姑苏区期末）已知一个正比例函数的图象经过点（﹣2，3），则这个正比例函数的表达
3
式是 y=− x ．
2
思路引领根据待定系数法，可得函数解析式．
【解答】解：设函数解析式为y＝kx，将（﹣2，3）代入函数解析式，得
﹣2k＝3．
3
解得k=− ，
2
3
函数解析式为y=− x，
2
3
故答案为：y=− x．
2
【总结提升】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式，将（﹣2，3）代入函数解析式得出关于k的
方程是解题关键．
变式训练
1．（2023秋•榆阳区校级期末）已知y与x成正比例，且当x＝﹣6时，y＝2．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）设点（a，﹣3）在这个函数的图象上，求a的值．
思路引领（1）设y＝kx，然后把当x＝﹣6，y＝2代入求出k即可；
（2）把（a，﹣3）代入（1）中的解析式可得到a的值．
【解答】解：（1）设y＝kx，
∵当x＝﹣6时，y＝2，
∴2＝﹣6k，
1
解得k=− ，
3
1
∴y与x之间的函数关系式为y=− x；
31 1
（2）把（a，﹣3）代入y=− x得﹣3=− a，
3 3
解得a＝9，
即a的值为9．
【总结提升】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式：设正比例函数解析式为 y＝kx，然后把一组
已知的对应代入求出k得到正比例函数解析式．
2．（2023秋•淮北期末）已知y＝y ﹣2y 中，其中y 与x成正比例，y 与（x+1）成正比例，且当x＝1时，
1 2 1 2
y＝3；当x＝2时，y＝5．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若点（a，3）在这个函数图象上，求a的值．
思路引领（1）y 与x成正比例，可设y ＝k x，y 与（x+1）成正比例，可把x+1看成一个整体，设y ＝
1 1 1 2 2
k （x+1），利用待定系数法即可求解；
2
（2）把x＝a，y＝3代入解析式解答即可．
【解答】解：（1）设y ＝k x，y ＝k （x+1），则y＝k x﹣2k （x+1），
1 1 2 2 1 2
{3=k −4k
)
1 2
根据题意得 ，
5=2k −6k
1 2
{ k 1 =1 )
解得： 1 ．
k =−
2 2
1
∴y＝x﹣2×（− ）（x+1）＝2x+1；
2
（2）把x＝a，y＝3代入解析式y＝2x+1，
可得：2a+1＝3，
解得：a＝1．
【总结提升】此题考查待定系数法求正比例函数解析式，本题的思想应掌握：要求y与x之间的关系，先
找y 与x、y 与x的关系，再根据条件，求出y与x之间的关系．
1 2
考点13 待定系数法求一次函数解析式
典例13 （2024•陕西二模）已知一次函数y＝kx+b，当0≤x≤2时，函数值y的取值范围是﹣1≤y≤3，则
k+b的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣1或1 D．1或2
思路引领由一次函数的性质，分k＞0和k＜0时两种情况讨论求解即可．【解答】解：当k＞0时，y随x的增大而增大，即一次函数为增函数，
∴当x＝0时，y＝﹣1，当x＝2时，y＝3，
代入一次函数解析式y＝kx+b得：
{ b=−1 )
，
2k+b=3
{ k=2 )
解得： ，
b=−1
∴k+b＝2+（﹣1）＝1；
当k＜0时，y随x的增大而减小，即一次函数为减函数，
∴当x＝0时，y＝3，当x＝2时，y＝﹣1，
代入一次函数解析式y＝kx+b得：
{ b=3 )
，
2k+b=−1
{k=−2)
解得： ，
b=3
∴k+b＝（﹣2）+3＝1，
故选：B．
【总结提升】本题考查了一次函数的图象与性质，解题的关键是分两种情况来讨论．
变式训练
1．（2023秋•海陵区校级期末）已知直线y＝kx+k（k＜0）与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，则直线
的解析式为 y ＝﹣ 8 x ﹣ 8 ．
思路引领直线y＝kx+k（k＜0）与x轴的交点坐标是（，0），与y轴的交点坐标是（0，﹣b），根据三
角形的面积是4可得b值，从而求出直线解析式．
【解答】解：直线y＝kx+k（k＜0）与x轴的交点坐标是（﹣1，0），与y轴的交点坐标是（0，k），
1
×1×|k|=4，
2
即|k|＝8，
解得：k＝8或﹣8，
∵k＜0，
∴k＝﹣8，
故直线解析式为：y＝﹣8x﹣8．
故答案为：y＝﹣8x﹣8．【总结提升】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，本题要注意利用三角形的面积，列出方程，求
出未知数，从而求出函数的解析式．
2．（2024•随州一模）如图，光源A（﹣3，2）发出的一束光，遇到平面镜（y轴）上的点B的反射光线
BC交x轴于点C（﹣1，0），再被平面镜（x轴）上的点C反射得光线CD，则直线CD的解析式为
1 1
y=− x− ．
2 2
2−b 1
思路引领根据反射定律，∠ABD＝∠CBE，设点B的坐标为（0，b）可得 =b，解得b= ，继而得
3 2
1
到直线AB解析式，根据两条直线平行k值相等，设直线CD的解析式为y=− x+n，将点C（﹣1，
2
0）代入解得n值，继而可得直线CD的解析式．
【解答】解：设点B的坐标为（0，b），过点B作y轴的垂线，过点A作垂足于该直线的垂线相交于点
D，作CE⊥BD，垂足为E，
根据反射定律，∠ABD＝∠CBE，
∴tan∠ABD＝tan∠CBE，
2−b 1
∴ =b，解得b= ，
3 2
1
设直线AB的解析式为y＝kx+m，将点A（﹣3，2）和B（0， ）代入得：
2
1
{2=−3k+m
)
{k=− )
2
1 ，解得 ，
=m 1
2 m=
2
1 1
∴直线AB的解析式为y=− x+ ，
2 2
∵AB∥CD，
∴直线AB和CD解析式中的k值相等，1
设直线CD的解析式为y=− x+n，将点C（﹣1，0）代入得：
2
1 1
+n=0，解得n=− ，
2 2
1 1
∴直线CD的解析式为：y=− x− ．
2 2
1 1
故答案为：y=− x− ．
2 2
【总结提升】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，求出B点坐标是关键．
3．（2023秋•吴兴区期末）已知y是关于x的一次函数，且点A（0，4），B（﹣2，0）在此函数图象上．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）当y≥﹣1时，求x的取值范围．
思路引领（1）利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）先根据题意列不等式2x+4≥﹣1，然后解不等式即可．
【解答】解：（1）设一次函数解析式为y＝kx+b，
{ b=4 )
根据题意得 ，
−2k+b=0
{k=2)
解得 ，
b=4
∴这个一次函数的表达式为y＝2x+4；
（2）当y≥﹣1时，即2x+4≥﹣1，
5
解得x≥− ，
2
5
即x的取值范围为x≥− ．
2
【总结提升】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．也
考查了一次函数的性质．
