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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 09 讲 同角三角函数的基本关系、诱导公式（精讲）
题型目录一览
①“知一求二”问题
②已知 tan α 求 sin α，cos α 齐次式的
值
③sin α±cos α 与 sin αcos α 关系的应用
④诱导公式化简与求值
⑤诱导公式的应用
一、知识点梳理
一、同角三角函数基本关系
(1)平方关系：
sin2α+cos2α=1
．
sinα π
=tanα(α≠ +kπ)
(2)商数关系： cosα 2 ；
二、三角函数诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
π π
角 2kπ+α(k∈Z) π+α −α π−α −α +α
2 2
正弦 sinα −sinα −sinα sinα cosα cosα
余弦 cosα −cosα cosα −cosα sinα −sinα
正切 tanα tanα −tanα −tanα
口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限
【记忆口诀】奇变偶不变，符号看象限，说明：
（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作 ；
（2）无论有多大，一律视为锐角，判断 所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；
（3）当 为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当 为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可．
【常用结论】
sinα
=tanα
1．利用
sin2α+cos2α=1
可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用
cosα
可以实现角α的弦切互化．
2．
二、题型分类精讲
题型 一 “知一求二”问题
策略方法 对sin α，cos α，tan α的知一求二问题
(1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实现角α的弦切互
化．
2由一个角的任意一个三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用”平方
关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不
明确时，要进行分类讨论.
【典例1】已知 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据同角三角函数的关系即可求解.
【详解】由于 ，所以 因此 ，
故选：A
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·西藏拉萨·统考一模）已知 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】首先由 ， ，求出 ，再得出 ，根据 得出答案．
【详解】因为 ， ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
故选：D．
2．（2023·全国·高三专题练习）若角 的终边不在坐标轴上，且 ，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】结合易知条件和同角三角函数的平方关系即可求出cosα，从而求出sinα，根据 即可
求得结果．
【详解】 或 ，
∵ 的终边不在坐标轴上，∴ ，
∴ ，∴ ．
故选：A．
3．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）设 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】求出 ，即得解.
【详解】∵ ，
∴
∴
∵ ，
∴ .
故选：D
二、填空题
4．（2023春·上海杨浦·高三复旦附中校考开学考试）已知 是第四象限角，且 ，则
______．
【答案】
【分析】利用同角三角函数的关系求解.
【详解】因为 是第四象限角，且 ，
所以 ，
故答案为: .
5．（2023春·上海奉贤·高三校考阶段练习）已知角 为 的内角， ，则 _________．
【答案】
【分析】根据同角三角函数，即可求解.
【详解】由条件可知 ， .故答案为：
三、解答题
6．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，求 的值.
【答案】
【分析】根据同角三角函数关系求解即可.
【详解】解：因为 ，
所以， 同号，且 ，
所以 ， ，
因为
所以 ，解得 ，
因为 ，
所以
题型二 已知 tan α 求 sin α ， cos α 齐次式的值
策略方法
若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次分式的值，则可以通过分子、分母同时除以一
个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正切的分式，代入正切值就可以求出这个分式的值，对
于分母为1的二次式，可用sin2α＋cos2α做分母求解．
【典例1】已知 ，则 （ ）
A．2 B．5 C．6 D．8
【答案】B
【分析】利用“齐次式”和条件可直接求出结果.【详解】因为 ，所以 ，
故选：B.
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·广东·高三专题练习）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用弦化切可求得 的值，再利用两角和的正切公式可求得 的值.
【详解】因为 ，解得 ，
所以， .
故选：A.
2．（2023·海南海口·校联考一模）已知 ，则 （ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】A
【分析】根据同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式，分子分母同除以余弦平方得到正切的式子，
再将正切值代入即可.
【详解】因为 ，
所以 ，
故选：A.
3．（2023·陕西咸阳·统考三模）已知方程 ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知可得 ， 用齐次式方法处理后得 ，将 值代入即可
得出答案.
【详解】方程 ，化简得 ，
则 ，
分子分母同时除以 可得： ，
将 代入可得 ，
故选：B.
4．（2023·江苏·统考模拟预测）已知 ，则 （ ）
A．－3 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】利用诱导公式化简条件，再利用二倍角公式将目标式化为齐次式，代入正切值可得.
【详解】因为 ，
所以
.
故选：B.
5．（2023·河南·校联考模拟预测）已知 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】由题解得 ，再由 求解即可.【详解】由 ，解得 ，
所以 .
故选：A.
二、填空题
6．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，则 __________
【答案】
【分析】根据齐次式，由弦化切即可求值.
【详解】 .
故答案为：
7．（2023·高三课时练习）若 ，则 的值为______.
【答案】
【分析】先由 求出 ，再利用同角三角函数的基本关系及 的值求
的值即可.
【详解】∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，即 ，
∴
.
故答案为： .
三、解答题8．（2023·全国·高三专题练习）（1）已知 ，求 和 的值；
（2）已知 ，求 的值.
【答案】（1） 或 ；（2）
【分析】根据同角三角函数的商式关系以及平方关系，建立方程，可得答案；
【详解】（1）由同角三角函数的商式关系，则 ，即 ，
由同角三角函数的平方关系，则 ，即 ，解得 ，
由 ，可得 ，
即可得 或 .
（2）由 ，则 ，即 ，
.
题型三 sin α±cos α 与 sin αcos α 关系的应用
策略方法 对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，知一可求二，若令
sin α＋cos α＝t(t∈[－，])，则sin αcos α＝，sin α－cos α＝±(注意根据α的范围选取正、负
号)，体现了方程思想的应用．
【典例1】已知在 中， ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据同角三角关系分析运算，注意三角函数值的符号.
【详解】因为 ，则 ，
可得 ，
又 ，则 ，
即 ，可得 ，
又因为 ，
所以 .
故选：B.
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用同角三角函数的平方关系和二倍角公式求解即可.
【详解】 ， ，
解得 .
故选：D.
2．（2023·山西阳泉·统考二模）已知 ， ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用同角三角函数基本关系式，以及三角函数在各个象限内的正负，可得 ，从而
求出 的值.
【详解】因为 ，所以 ，即 ，所以
.
因为 ，所以 ，所以 .
因为 ，
所以 .
故选：B.
3．（2023·山西·校联考模拟预测）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据同角三角关系分析运算，注意三角函数值的符号的判断.
【详解】由题意可得： ，整理得 ，
且 ，可得 ，
即 ，可得 ，
因为 ，可得 ，
所以 .故选：D.
二、多选题
4．（2023·浙江金华·浙江金华第一中学校考模拟预测）已知 ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据同角基本关系，结合完全平方公式可判断各项.
【详解】对于A：因为 所以
即 ，所以A正确;
对于B、C： 因为 ，且 ，
所以 ，即 ，所以 所以B错误，C正确;
对于D：联立 ，解得 所以 ，所以D正确.
故选：ACD.
三、填空题
5．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，则 ______．
【答案】
【分析】由同角三角函数的平方关系和商数关系，并分析三角函数值的正负即可求解.
【详解】解：已知 ①，则 ，
，， ，则 ， ，
②，
联立①②，得 ，
，
故答案为： .
6．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知 ，则
___________．
【答案】
【分析】根据 的关系，即可平方得 ，结合同角关系以及二倍角公
式即可求解.
【详解】由 平方得 ，结合 得
，
所以 ，由于 ，所以 ,
所以 ，
故答案为：
四、解答题
7．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， 是关于x的一元二次方程 的两根．
(1)求 的值；
(2)若 ，求 的值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由韦达定理结合平方关系得出 的值；
（2）先判断出 ，则 ，再代值计算即可.
(1)
因为 ， 是关于x的一元二次方程 的两根，
所以 ， ，且 ，
所以 ，
所以 ，得 ，满足 ，
所以 ，即
(2)因为 ，
又因为 ，所以 ，所以
所以
8．（2023·全国·高三专题练习）已知 ( )，求 的值.
【答案】
【分析】将 两边平方可得 ，判断x的范围，并求出 ，进而
可求得 ， ，即可求得答案.
【详解】∵ ( )，∴ ，即 ，
把 两边平方得 ，
即 ，
∴ ，
即 ，
联立
解得 ， ，
∴ .
题型四 诱导公式化简与求值
策略方法 1．利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤
也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了”．
2．明确三角函数式化简的原则和方向
(1)切化弦，统一名．
(2)用诱导公式，统一角．
(3)用因式分解将式子变形，化为最简．
也就是：“统一名，统一角，同角名少为终了”．【典例1】已知角 的顶点与坐标原点重合，始边与 轴的正半轴重合，终边过点 .
(1)求 的值；
(2)求 的值.
【答案】(1)
(2)-1
【分析】（1）根据三角函数的定义，即可求得 的值；
（2）方法：1：由（1）知 ，结合诱导公式和三角函数的基本关系式，化为齐次式，代入，即可求
解；
方法2：利用三角函数的定义求得 ，结合诱导公式，代入即可求解.
【详解】（1）解：因为角 的顶点与坐标原点重合，始边与 轴的正半轴重合，终边过点 ，
由三角函数的定义，可得 .
（2）解：方法1：由（1）知 ，
则 .
方法2：由角 终边过点 ，可得 ，则 ， ，
所以 .
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·吉林长春·东北师大附中模拟预测）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】切化弦，结合 得出 ，然后根据诱导公式及二倍角公式求解.
【详解】因为 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
故选：C．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据诱导公式、两角差的正弦公式、二倍角的余弦公式化简即可求解.
【详解】由 ，
所以 .故选：D.
二、填空题
3．（2023·上海徐汇·位育中学校考模拟预测）已知 为锐角，若 ，则 ________．
【答案】
【分析】运用诱导公式和同角的基本关系求解即可.【详解】 ，所以 ，
因为 为锐角，所以 ， ，
故答案为：
三、解答题
4．（2023·全国·高三专题练习）已知 .
(1)化简 .
(2)已知 ，求 的值.
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】(1)由诱导公式进行化简，即可求得 ；
(2)由 ，代入即可求值.
(1)
；
(2)
∵ ，
∴ .
5．（2023·全国·高三专题练习）已知α是第三象限角，且 .
（1）若cos ，求f（α）的值；
（2）若α=-1860°，求f（α）的值.【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）化简f（α）= =-cosα，由条件求得cosα，从而求得f（α）.
（2）由诱导公式得，f（α）=-cos（-1860°）=-cos（-60°）.
【详解】解析：f（α）= =-cosα.
（1）∵ ，∴sinα= .
∵α是第三象限的角，
∴cosα= .
∴f（α）=-cosα= .
（2）f（α）=-cos（-1860°）=-cos（-60°）= .
题型五 诱导公式的应用
策略方法 求解诱导公式与同角关系综合问题的基本思路和化简要求
①分析结构特点，选择恰当公式；
基本思路 ②利用公式化成单角三角函数；
③整理得最简形式
①化简过程是恒等变换；
化简要求 ②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值
的要求出值
【典例1】若 ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由三角函数的诱导公式，即可求得答案.
【详解】
故选：B
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·陕西西安·长安一中校考二模）已知 ，则 （ ）
A． B． C．- D．
【答案】A
【分析】因为 ，由诱导公式可得选项.
【详解】 .
故选：A.
2．（2023·陕西榆林·校考模拟预测）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将 看作一个整体，找到 与其的关系，用诱导公式和倍角公式求解即可.
【详解】设 ，则 ，且由已知，有 ，
∴ ，其中， ，
∴ .故选：A.
3．（2023·河北·统考模拟预测）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用三角函数诱导公式结合二倍角余弦公式，化简求值，即得答案.
【详解】由题意得
,
故选：B
4．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角函数诱导公式以及二倍角的余弦公式化简、求值，即可得答案.
【详解】由于 ，
故 ，
故选：B．
5．（2023·四川雅安·统考三模）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】根据角的变换及诱导公式将 转化，再利用二倍角的余弦公式即可求得答案.
【详解】因为 ，
故 ，
故选：A
6．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用三角恒等变换可得出关于 的二次方程，求出 的取值范围，求出 的
值，可求得角 的值，代值计算可得出 的值.
【详解】因为 ，
所以， ，
因为 ，则 ，所以， ，
故 ，所以， ，则 ，
故 .
故选：C.
二、填空题7．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，则 __________．
【答案】
【分析】由诱导公式有 ，即可得结果.
【详解】由 ，
又 .
故答案为：
8．（2023·山西阳泉·统考三模）已知 ，且 ，则 _______．
【答案】 /
【分析】整体法诱导公式结合同角三角函数关系求出答案.
【详解】因为 ，所以 ，故 ，
所以 .
。
故答案为：
9．（2023·全国·高三专题练习）已知0＜β＜ ， ＜α＜ ，cos（ ﹣α）＝ ，sin（ +β）＝ ，
则sin（α+β）＝______
【答案】【分析】由诱导公式、拼凑角，再结合两角差的余弦得
，得解．
【详解】解：因为 ，
所以 ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以
故答案为：
