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第2讲 同角三角函数基本关系式及诱导公式
复习要点 1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α.2.借助单位
圆的对称性，利用定义推导出诱导公式.
一 同角三角函数的基本关系式
1．平方关系： sin 2 α ＋ cos 2 α ＝ 1 .
2．商数关系： tan α ＝ .
二 六组诱导公式
角 2kπ＋α
π＋α －α π－α －α ＋α
函数 (k∈Z)
正弦 sin_α － sin _α － sin _α sin_α cos_α cos_α
余弦 cos_α － cos _α cos_α － cos _α sin_α － sin _α
正切 tan_α tan_α － tan _α － tan _α — —
诱导公式可简记为“奇变偶不变，符号看象限”．“奇”“偶”指的是“k·＋α(k∈Z)”
中的k是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数名称的变化．若 k是奇数，则正、余
弦互变；若k为偶数，则函数名称不变．“符号看象限”指的是在“k·＋α(k∈Z)”中，将α
看成锐角时，“k·＋α(k∈Z)”的终边所在的象限．
常/用/结/论
1．sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)；
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.
2． sin α ＝ tan α cos α .
在已知tan α，cos α后，用此法求sin α.
1．判断下列结论是否正确．
(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.()
(2)若α∈R，则tan α＝恒成立．()
(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．()
(4)若sin＝，则cos α＝－.(√)
2．sin 210°cos 120°的值为( )
A. B．－ C．－ D.
解析：sin 210°cos 120°＝(－sin 30°)·(－cos 60°)＝×＝.
答案：A
3．(多选)若角A，B，C是△ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是( )
A．cos(A＋B)＝cos C
B．sin(A＋B)＝－sin CC．cos＝sin
D．sin＝cos
解析：因为A＋B＋C＝π，所以A＋B＝π－C，＝，＝，所以cos(A＋B)＝cos(π－C)＝
－cos C，sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，cos＝cos＝sin，sin＝sin＝cos.
答案：CD
4．化简的结果是( )
A．－1 B．1
C．tan α D．－tan α
解析：原式＝＝＝tan α.
答案：C
题型 诱导公式及应用
典例1(1)下列三角函数的值中(k∈Z)， 与 sin 的值相同的个数是 ( )
与和终边相同的角的正弦值；或者与或－终边相同的角的余弦值．
①sin；②cos；③sin；④cos；⑤sin.
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)化简：＝________.
对于kπ±α的诱导公式，顺口溜为“函数名不变，符号看象限”；对于±α和±α的诱导
公式，顺口溜为“函数名改变，符号看象限”．
解析：(1)对于①，sin＝sin，当k为奇数时，sin＝sin；当k为偶数时，sin＝－sin，不
满足题意；对于②，cos＝cos＝sin，满足题意；对于③，sin＝sin，满足题意；对于④，cos
＝cos＝－cos＝－sin，不满足题意；对于⑤，sin＝sin＝sin，满足题意．故选C.
(2)原式＝
＝＝
＝－＝－·＝－1.
故答案为－1.
1．诱导公式的两个应用方向与原则
(1)求值．化角的原则与方向：负化正，大化小，化到锐角为终了．
(2)化简．化简的原则与方向：统一角，统一名，同角名少为终了．
2．含2π整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的
整数倍去掉后再进行运算，如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α.
对点练1(1)(2024·福建三明模拟)已知cos＝－，则sin－2cos＝( )
A．－ B. C．－ D.
(2)已知f(α)＝，则f＝________.
解析：(1)因为sin＝sin＝－sin＝－cos＝，cos＝－cos＝－cos＝，所以sin－2cos＝－2×＝－，故选A.
(2)因为f(α)＝＝＝cos α，
所以f＝cos＝cos＝.
答案：(1)A (2)
题型 同角三角函数基本关系的多维研讨
维度1 公式的直接应用
典例2(1)(2024·广东惠州模拟)已知 tan α ＝ 2 ， π< α < ，则 cos α－sin α＝( )
知一求二的计算，简捷的算法是以直角三角形为模型，可迅速求出三角函数值，符号
由角的范围确定．
A. B．－
C. D．－
(2)已知sin α＝m(m≠0，m≠±1)，求tan α.
(1)解析：因为tan α＝＝2，且sin2α＋cos2α＝1，π<α<，所以sin α＝－，cos α＝－，
所以cos α－sin α＝－－＝.故选A.
(2)解：∵sin α＝m(m≠0，m≠±1)，
∴ cos α ＝ ± ＝ ±( 当 α为第一
符号由角所在象限决定. 此类题目属于基础题．
或第四象限角时取正号，当α为第二或第三象限角时取负号)．
∴当α为第一或第四象限角时，tan α＝；
当α为第二或第三象限角时，tan α＝－.
利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实现角α的
弦切互化．如果没有给出角的范围，那么就要分类讨论．
对点练2(1)若3cos x＋4sin x＝5，则sin x的值为( )
A. B.
C. D.
(2)(2024·湖南长沙模拟)已知sin＝，且－α为第二象限角，则sin＋sin＝________.
解析：(1)∵3cos x＋4sin x＝5，
∴3cos x＝5－4sin x，
两边平方可得9cos2x＝25－40sin x＋16sin2x，
化简可得25sin2x－40sin x＋16＝0，
∴sin x＝.
(2)∵sin＝，且－α为第二象限角，
∴cos＝－，
∴sin＋sin
＝sin＋sin
＝sin－cos＝－＝.
答案：(1)C (2)
维度2 齐次式的求值方法
典例3(1)已知tan α＝2，则 ＝ ________ .
一次齐次分式，分子、分母同除以cos α化切，此为变形技巧. 当然也可以由＝2，把
sin α＝2cos α代入后化简求值．
(2)(2024·陕西西安检测)已知tan θ＝2，则的值是________．
解析：(1)因为tan α＝2，
所以＝
＝＝.故答案为.
(2)因为tan θ＝2，所以
＝
＝
【关键提醒】由于分母是关于sin θ，cos θ的二次形式，利用同角三角函数的基本关
系sin2θ＋cos2θ＝1将分子也化为二次形式，构成齐次形式求解．
＝＝＝5，
故答案为 5 .
【一题多解】因为tan θ＝2，所以＝2，即sin θ＝2cos θ，又sin2θ＋cos2θ＝1，所以
sin2θ＝，cos2θ＝，所以＝＝＝＝＝5.
对于含有sin2α，cos2α，sin αcos α的三角函数求值问题，一般可以考虑添加分母1，
再将1用“sin2α＋cos2α”代替，然后用分子、分母同除以角的余弦的平方的方式将其转化为
关于tan α的式子，从而求解．
对点练3(1)(2024·陕西安康模拟)已知tan θ＝，则＝( )
A. B．2
C. D．6
(2)已知α∈，3sin α－cos α＝，则tan α＝________.
解析：(1)因为tan θ＝，
所以
＝
＝＝
＝＝＝.故选A.
(2)因为3sin α－cos α＝>0，所以α∈，又(3sin α－cos α)2＝5，所以9sin2α－6sin αcos
α＋cos2α＝5，则＝5，所以
＝5，即2tan2α－3tan α－2＝0，解得tan α＝2或tan α＝－(舍去)．
答案：(1)A (2)2
维度3 sin α±cos α，sin αcos α之间的关系
典例4(1)若sin θ－cos θ＝，且 θ ∈ ，则 sin(π － θ)－cos(π－θ)＝( )此范围内|cos θ|＞|sin θ|，则sin θ＋cos θ＜0. 本例属于“sin θ＋cos θ”“sin θ－cos
θ”“sin θ·cos θ”三个代数式，知一求二问题．
A．－ B. C．－ D.
(2)(2024·山东聊城模拟)已知 α ∈ ，且 sin α＋cos α＝，则tan α的
值为________．
已知条件中的范围笼统，要再结合sin α·cos α＜0，进一步确定α的范围. 三角求值问
题中，一定要重视角的范围的讨论，应从多个条件相互印证！
解析：(1)由sin θ－cos θ＝平方，得1－2sin θcos θ＝，则2sin θcos θ＝－，
∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝，
又θ∈，∴sin θ＋cos θ<0，
∴sin θ＋cos θ＝－，
则sin(π－θ)－cos(π－θ)＝sin θ＋cos θ＝－. 故选A.
(2)∵sin α＋cos α＝，∴sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝，∴sin αcos α＝－，
∴sin2α＋cos2α－2sin αcos α＝＝(sin α－cos α)2，又sin αcos α<0，α∈，
∴α∈，∴sin α<0，cos α>0，
∴cos α－sin α＝，∴sin α＝－，cos α＝，∴tan α＝－.
故答案为－.
1．已知asin x＋bcos x＝c可与sin2x＋cos2x＝1联立，求得sin x，cos x.
2．sin x＋cos x，sin x－cos x，sin xcos x之间的关系：
(sin x＋cos x)2＝1＋2sin xcos x，
(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x，
(sin x＋cos x)2＋(sin x－cos x)2＝2.
因此已知上述三个代数式中的任意一个代数式的值，便可求其余两个代数式的值.
对点练4(1)已知tan θ＋＝4，则sin4θ＋cos4θ＝( )
A. B. C. D.
(2)已知α是三角形的内角，且tan α＝－，则sin α＋cos α的值为________．
解析：(1)由题意得tan θ＋＝＋＝＝＝4，则sin θcos θ＝.
故sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－2×＝.
(2)由tan α＝－，得sin α＝－cos α，
将其代入sin2α＋cos2α＝1，得cos2α＝1，
所以cos2α＝，易知cos α<0，
所以cos α＝－，sin α＝，
故sin α＋cos α＝－.
答案：(1)D (2)－
