文档内容
专题 05 三角恒等变换
一、核心先导
二、考点再现
sinθ
cosθ
1 同角三角函数的基本关系式 ： ， = ，
2 正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）
3 和角与差角公式
; ;
(sinα±cosα) 2 =1±2sinαcosα
.
= ( 由点 的象限决定, ).
3 二倍角公式及降幂公式
.
.
4 三角函数的周期公式
函数 ， (A,ω, 为常数，且A≠0)的周期 ；
函数 ， (A,ω, 为常数，且A≠0)的周期 .三角函数的图像：
y=sinx y
1
-π/2 3π/2
-2π -3π/2 -π o π/2 π 2π x
-1
三、解法解密
1．基本公式的变形
(1)、 诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变,符号看象限．
[来源:学科网ZXXK]
(2)、同角三角函数基本关系式的常用变形：
(sin α±cosα)2＝1±2sin αcosα；(sin α＋cosα)2＋(sin α－cosα)2＝2；
(3)、降幂公式：cos2α＝,sin2α＝.
(4)、升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α,1－cos 2α＝2sin2α.
(5)、辅助角公式：asinx＋bcosx＝sin(x＋φ),其中sin φ＝,cosφ＝.
2．对称与周期
(1)、正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称
轴之间的距离是个周期．
(2)、正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．
3．奇偶性
若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A,ω≠0),则(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)；(2)f(x)为奇函数的充要条件
是φ＝kπ(k∈Z)．
4．由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0,φ>0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度．
5．函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋,k∈Z确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ,k∈Z确定其横坐标．
6.三角形中的三角函数关系
(1)、sin(A＋B)＝sin C；(2)、cos(A＋B)＝－cos C；(3)、sin ＝cos ；(4)、cos ＝sin .
7.若G是△ABC的重心，则GA＋GB＋GC＝0.
8.在△ABC中，若AB·BC<0，则△ABC为钝角三角形．
9. 在△ABC中，若 成等差数列，则 ；若 成等比数列，则 ；若 成等差
数列，则 .
10.在锐角△ABC中， ， ， .
四、考点解密
题型一:应用三角函数公式化简求值
例1．（1）、（2022·河北·模拟预测（理））已知 ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知条件利用二倍角的余弦公式可求 ，进而利用两角和的正弦公式化简所求
即可得解．
【详解】解：因为 ，
所以 ．
故选：B.
1sin
(0, ),(0, ), tan ,
（2）、设 2 2 且 cos 则( )
3 3
2 2
A. B.
2 2
2 2
C. D.
【答案】C
【解析】由
,又 , ,故 ,即 .
【变式训练1-1】、已知 ,那么 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
π 2 1 3
tan(α+β)−tan(β− ) −
π [ π ] 4 5 4 20 3
tan(α+ )=tan (α+β)−(β− ) = = = =
4 4 π 2 1 22 22
1+tan(α+β)⋅tan(β− ) 1+ ×
4 5 4 20
【解析】【变式训练1-2】、（2022·广东韶关·一模）已知 ，且 ，则 ___________.
【答案】
【分析】由 ，利用二倍角公式得到 ，再结合诱导公式，利用商数关系求解.
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ .
故答案为：
题型二:应用三角函数的性质求参数的范围
例2．（1）、（2022·吉林·东北师大附中模拟预测）已知函数 ，若关于x的方程
在 上有三个不同的实根，则实数m的取值范围是_________．
【答案】
【分析】结合函数 的奇偶性，化简后画出函数在 上的图象，数形结合求出实数 的取值范
围.
【详解】当 时， ，故 为偶函数，
当 时， ， 图象可由 向右平移 个单位得到.根据偶
函数图象关于 轴对称画出 在 上的图象如图所示，
要想保证方程 在 上有三个不同的实根，则 ，
故答案为：（2）、【2017河北沧州一中11月月考】将函数 的图象向右平移 个单位后得到函数
的图象,若函数 在区间 和 上均单调递增,则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
【答案】A
【变式训练2-1】、【2018届江苏省常熟市高三上学期期中】已知函数 ,若对任意的实
数 ,都存在唯一的实数 ,使 ,则实数 的最小值是__________．
【答案】
【解析】函数 ,若对任意的实数 ,
则：f（α）∈[﹣ ,0],由于使f（α）+f（β）=0,则：f（β）∈[0, ]． ,
,β= ,所以：实数m的最小值是 ．故答案为：
【变式训练2-2】、（2022·广西北海·一模（理））已知函数 ，将 的图
象上所有点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变，得到函数 的图象，已知 在 上恰有5个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求得 ，换元转化为 在 上恰有5个不相等的实根，
结合 的性质列出不等式求解.
【详解】 ，令 ，由题意 在 上恰有5个零点，即 在
上恰有5个不相等的实根，由 的性质可得 ，解得 ．
故选：D．
题型三:三角函数的图像变换
例3．（1）、（2022·广西·模拟预测（理））若将函数 的图象向右平移
个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先对 化简得到 ，再写出平移后的解析式 ，因为
其为奇函数，则 ，解出 即可得到最小值.
【详解】 ，向右平移 个单位后得到
函数 ，由于是奇函数，因此，得 ，
.又 ，则当 时， 的最小值是 ，
故选：B.
（2）、（2023·全国·模拟预测（理））已知函数 与函数 的部分图象
如图所示，且函数 的图象可由函数 的图象向右平移 个单位长度得到，则 （ ）A． B．1 C． D．
【答案】C
【分析】根据函数平移，利用图象上已知条件求函数解析式，求函数值，可得答案.
【详解】由题意可知，将函数 图象上的点 向右平移 个单位长度，
可得 的图象与 轴负半轴的第一个交点为 ，
因为 的图象与 轴正半轴的第一个交点为 ，
所以 ，得 ，则 ，
又 ，所以 ，由 知， ，
则 ， ，故 .
故选：C.
【变式训练3-1】、（2022·全国·安阳市第二中学模拟预测（理））已知函数 （
， ， ）的部分图象如图所示，其中 ， ， ．将函数 的图
象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移 个单位长度，得到函数 的图
象，则函数 的单调递减区间为（ ）．
A． ( ) B． ( )C． ( ) D． ( )
【答案】D
【分析】由点 和点 之间的距离为 ，从而求得 ，将 代入 结合
求出 ，根据三角函数的图象的变换得到 ，令 （
），即可求出 的单调递减区间.
【详解】由题意得： ，
则 ， ，所以 ，
将 代入 得： ，
即 （ ），则 （ ）．
因为 ，所以 ，故 ．
因为 ，则 ，解得 ，故 .
将函数 的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得到 ，
再向左平移 个单位长度，得到 ，
令 （ ），解得： （ ）．
所以函数 的单调递减区间为 （ ）,
故选：D．
【变式训练3-2】、（2022·河南河南·一模（文））把函数 的图象向左平移 个单位，再将得
到的曲线上所有点的横坐标变为原来的 倍， 纵坐标不变， 得到函数 的图象. 若函数
在 上恰有 3 个零点， 则正数 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据图象变换求得 ，再以 为整体结合正弦函数分析运算.
【详解】把函数 的图象向左平移 个单位，得到 ，
再将得到的曲线上所有点的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变，得到 ，
∵ ， ，则 ，
令 则 ， ，
若函数 的图象在 上恰有3个交点，则 .
故正数 的取值范围是 .
故选：B.
题型四:与数列、向量等结合的综合问题
例4．（1）、（2022·浙江省杭州学军中学高一期中）已知 为单位向量，且 ，若非零向量
满足 ，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设 ， ，由 ，计算可得 ，设 ，，由 ，计算可得 ，可推出 时，等号成立，计算可得
，结合 ，可求出
，从而可求出 的最大值.
【详解】由题意，可设 ， ，则 ，
由 ，可得 ，整理得 ，
设 ， ，
由 ，可得 ，
即 ，所以 ，
当 时， 或 ，
即 或 ，
因为 ，所以 不符合题意，
故 时， .
而 ，
因为 ，所以 ，
当 时，等号成立，此时 ，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 .
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量与三角函数的综合问题，解题的关键是设出题中向量的坐标，利
用平面向量的坐标运算及三角函数的运算性质，将所求不等式转化为三角函数关系式，进而求出最大值.考
查学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于难题．
（2）、【2018 届河北省定州高三上学期期中】设向量 满足 ， ，，则 的最大值等于（ ）
A. 4 B. 2 C. D. 1
【答案】A
【变式训练4-1】、设 2a n =a m +a p的内角5⋅3 2 n−3 = 5⋅3 1 m−3 + 5⋅3 1 p−3 ⇒的对边分别为2= 5 5 ⋅ ⋅ 3 3 m n− − 3 3 + 5 5 ⋅ ⋅ 3 3n p − − 3 3,且 5 5 ⋅ ⋅ 3 3 m n− − 3 3 > 5 5 ⋅ ⋅ 3 3 m n− − 3 3 + + 3 3 =3n−m≥3成等比数列,则角 5 5 ⋅ ⋅ 3 3n p − − 3 3 >0的取值范围
是( )
π π π π
(0, ] [ ,π) (0, ] [ ,π)
6 6 3 3
A． B． C． D．
【分析】利用 5 5 ⋅ ⋅ 3 3 m n− − 3 3 > 5 5 ⋅ ⋅ 3 3 m n− − 3 3 + + 3 3 =3n−m≥3成等比数列,得 b2 =ac ,再利用余弦定理,将边与角联系,最后用基本不等式求出cos 5 5 ⋅ ⋅ 3 3n p − − 3 3 >0的
范围.
【解析】由 5 5 ⋅ ⋅ 3 3 m n− − 3 3 > 5 5 ⋅ ⋅ 3 3 m n− − 3 3 + + 3 3 =3n−m≥3成等比数列,得 b2 =ac ,
a2 +c2 −b2 a2 +c2 −a×c 1
cosB= = ≥
所以
2×a×c 2×a×c 2
,
π
(0, ]
由于B是 2a n =a m +a p的内角,所以 5 5 ⋅ ⋅ 3 3n p − − 3 3 >0的取值范围是 3 ． 故选C.
【点评】“ 5 5 ⋅ ⋅ 3 3 m n− − 3 3 > 5 5 ⋅ ⋅ 3 3 m n− − 3 3 + + 3 3 =3n−m≥3成等比数列”是为了给出“ b2 =ac ”这一条件,所以,解题的重点是如何利用这个条件将
边与角的关系联系起来.
【变式训练4-2】、（2020·湖南·长郡中学模拟预测（理））如图， ， ， 是由直线 引出的三个不重
合的半平面，其中二面角 大小为60°， 在二面角 内绕直线 旋转，圆 在 内，且圆在 ， 内的射影分别为椭圆 ， .记椭圆 ， 的离心率分别为 ， ，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】显然圆在两平面内的射影均为椭圆，且椭圆的长轴都为圆的直径，设圆的直径为2，要求椭圆的
离心率，关键是求出其短轴，现将问题平面化，如图所示，设 ，在平面 内的投影为 ，平面
内的投影为 ，设 ， 则 ，根据锐角三角函数表示出 ， ，
再利用三角恒等变换及三角函数的性质求出取值范围.
【详解】解：显然圆在两平面内的射影均为椭圆，且椭圆的长轴都为圆的直径，设圆的直径为 ，要求椭
圆的离心率，关键是求出其短轴，现将问题平面化，如图所示，设 ，在平面 内的投影为 ，平
面 内的投影为 ，设 ， 则
则 ，
所以 ，即
故选：
【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，三角恒等变换及三角函数的性质，属于难题.
五、分层训练
A组 基础巩固
1．（2022·河北·模拟预测）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用倍角公式和弦切互化法可求三角函数式的值.
【详解】
,故选：A．
2．（2022·四川资阳·一模（理））已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据条件可求得 ，从而求得 ，然后利用余弦的和差角公式展开化简，即可得
到结果.
【详解】由已知可得 ，
则 ，所以 ，
则 ，
所以由 可得，
，
则
故选:C.
3．（2022·江苏·苏州外国语学校模拟预测）若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】结合同角三角函数关系以及辅助角公式，可化简原式得到 ，再利用辅助角公式
可得 ，由余弦的二倍角公式可得解
【详解】 ，则
故选：D
4．（2022·吉林长春·模拟预测）定义域为 的函数 ，其值
域为 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】化简函数 的解析式为 ，可得出 ，由 可求
出 的取值范围，结合已知条件可出关于 的不等式，解之即可.
【详解】因为 ，
由 可得 ，
，则 ，由题意可得 ，解得 .
故选：D.
5．（2023·四川资阳·模拟预测（文））已知函数 ，其中 ．若 在区间
上单调递增，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】若 在区间 上单调递增，满足两条件：
①区间 的长度超过 ；② 的整体范围在正弦函数的增区间内，取合适的整数 求出 的取
值范围.
【详解】 ，
∵函数 在区间 内单调递增，
∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
若 在区间 上单调递增，
则
解得 ，
当 时， ，
当 时， ，
当 取其它值时不满足 ，
∴ 的取值范围为 ，
故选：D
6．（2022·河北沧州·二模）将函数 图象上的点 向右平移 个单位长度得
到点 ，若 恰好在函数 的图像上，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意易知 和 ，根据辅角公式可知 ，由此可知，再根据 ，即可求出结果.
【详解】由题意知，点 在 的图象上，所以 ，所以 ，点
向右平移 个单位长度得到点 .
因为 在函数 的图象上，所以 ，解得
，
所以 ，或 .
因为 ，所以 .
故选：D.
7．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测）求值 _________．
【答案】 ##
【分析】先用同角三角函数基本关系切化弦，同角正余弦平方和化为1，再利用倍角公式，化为可以求值
的角的三角函数.
【详解】 ，
故答案为： .
8．（2022·江西师大附中三模（理））定义在 上的函数 有零点，
且值域 ，则 的取值范围是__________．
【答案】
【分析】化简可得 ，根据题意可得 ，即可求出.
【详解】 ，当 时， ，
因为函数有零点，所以 ，解得 ，
当 时， ，
因为值域 ，所以 ，解得 ，
综上， .
故答案为： .
9．（2022·黑龙江·大庆实验中学模拟预测）已知函数 在 有且仅有
个零点，则 的取值范围为__________．
【答案】
【分析】先化简函数式，然后根据 的范围求出 的范围，结合 在 ， 有且仅有3个零点，
再利用正弦函数 的相关知识求得 的范围．
【详解】 ,
当 ， 时， ，
在 ， 有且仅有3个零点，
，
综上： ,
故答案为：
10．（2022·安徽·芜湖一中三模（理））已知函数 的图象与函数
的图象相邻的三个交点依次为A，B，C，且 的面积是 ，则 ______．
【答案】【分析】由 得 ， ，不妨设 ， ， ，求
出 ， ， 后，根据三角形面积公式列式可求出结果.
【详解】由 得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，即 ， ，
因为相邻的三个交点依次为A，B，C，
所以不妨设 ， ， ，
所以 ，
，
，
所以 ， 边上的高为 ，
所以 ，
依题意可得 ，得 .
故答案为： .
11．（2021·陕西·宝鸡市陈仓区教育体育局教学研究室一模（理））已知函数
的最小正周期为 ．
求 的值；
中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， ， ， 面积 ，求b．
【答案】(1) (2)3
【分析】（1）化简 ，根据函数的最小正周期 即可求出 的值2）由（1）知， .由 ，求得 ，再根据 的面积
，解得 ，最后由余弦定理可求出 .
【详解】（1）
故函数的最小正周期 ，解得 .
（2）由（1）知， .由 ，得 （ ）.所以
（ ）.又 ，所以 . 的面积 ，解
得 .由余弦定理可得 ，所以 .
【点睛】本题主要考查三角恒等变换、三角函数的图象与性质、解三角形等基础知识；考查运算求解能力，
考查函数与方程思想、数形结合思想，属于中档题．
12．（2022·四川泸州·模拟预测（文））已知函数 .
（1）求 的最小正周期和 的单调递减区间；
（2）当 时，求函数 的最小值及取得最小值时x的值.
【答案】（1）π； ；（2）当 时，函数 取得最小值，最小值为
．
【分析】（1）利用二倍角降幂公式、辅助角公式可得出 ，利用周期公式可计算出函
数 的最小正周期，解方程 可得出函数 的对称中心坐标；解不等式
，可得出函数 的单调递减区间；
（2）由 ，计算出 的取值范围，利用正弦函数的性质可得出该函数的最小值以及对应的
的值.
【详解】（1）
，所以，函数 的最小正周期为 .
由 ，可得 ，
函数 的对称中心为 ；
解不等式 ，解得 .
因此，函数 的单调递减区间为 ；
（2）当 时， ，
当 时，即当 时，函数 取得最小值，最小值为 ．
【点睛】本题考查正弦型函数周期、对称中心、单调区间以及最值的求解，解题的关键就是要将三角函数
解析式化简，借助正弦函数的基本性质求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
13．（2021·浙江·温州中学模拟预测）已知函数 ．
（Ⅰ）求函数 在区间 上的值域．
（Ⅱ）在 中，角A，B，C，所对的边分别是a，b，c，若角C为锐角， ，且 ，求
面积的最大值．
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）
【分析】（Ⅰ）利用差角的正弦公式、辅助角公式化简函数，结合正弦函数的性质，可得函数 在区间
， 上的值域；
（Ⅱ）先求出 ，再利用余弦定理，结合基本不等式，即可求得 面积的最大值．
【详解】解：（Ⅰ）
，由 ，有 ，所以
函数 的值域为 ．
（Ⅱ）由 ，有 ，
为锐角， ， ．
， 由余弦定理得： ，
， ．
，
当 ，即 为正三角形时， 的面积有最大值 ．B组 能力提升
14．（2022·全国·模拟预测）将函数 的图象向左平移 个单位长
度后，得到函数 的图象，若 满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先化简 ，再平移 ，由函数 的图象关于直线
对称有 ，进而得到 的最小值.
【详解】解法一：
，
则 ，
因为 满足 ，
所以函数 的图象关于直线 对称，
所以 ， ，所以 ， ，
因为 ，所以 的最小值为 ．故选:A．
解法二
，
则 ，
因为 满足 ，
所以函数 的图象关于直线 对称．
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ， ，所以 ， ，
因为 ，所以 的最小值为 ．
故选：A．
15．（2022·浙江·永嘉中学高一竞赛）已知点 是边长为 的正五边形 内(含边界)一点，则
的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用坐标处理本题，借助于标准圆上点的设法结合三角恒等变换运算整理.
【详解】如图，建立平面直角坐标系，取 的中点 ，则
∴圆O的半径
则 ，即
，即
，即
，即
，即
则
∵
设 ，则
∵ ，则
又∵ ，则
∴ ，则即
∴ ，则
由此易得 ，即其最大值是 .
故选：D.
【点睛】利用二倍角推导三倍角，结合 ，整理得出
.
16．（2023·全国·高三专题练习）奔驰定理：已知 是 内的一点，若 、 、 的面积
分别记为 、 、 ，则 ．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，
这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知 是
的垂心，且 ，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由O是垂心，可得 ，结合 可得
，根据三角形内角和为π，结合正切的和差角公式即可求解.
【详解】∵ 是 的垂心，延长 交 与点 ，∴
，
同理可得 ，∴ ： ，
又 ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
不妨设 ，其中 ，
∵ ，
∴ ，解得 或 ，
当 时，此时 ，则 都是钝角，则 ，矛盾.
故 ，则 ，∴ 是锐角， ，
于是 ，解得 .
故选：A.
17．（2022·江苏·扬中市第二高级中学模拟预测）（多选题）在 中，角 、 、 的对边分别为 、
、 ，面积为 ，有以下四个命题中正确的是（ ）
A． 的最大值为
B．当 ， 时， 不可能是直角三角形
C．当 ， ， 时， 的周长为
D．当 ， ， 时，若 为 的内心，则 的面积为
【答案】ACD
【解析】利用三角形面积公式，余弦定理基本不等式，以及三角换元，数形结合等即可判断选项A；
利用勾股定理的逆定理即可判断选项B；利用正弦定理和三角恒等变换公式即可判断选项C；
由已知条件可得 是直角三角形，从而可以求出其内切圆的半径，即可得 的面积即可判断选项
D.【详解】对于选项A：
（当且仅当 时取等号）.
令 ， ，故 ，
因为 ，且 ，
故可得点 表示的平面区域是半圆弧上的点，如下图所示：
目标函数 上，表示圆弧上一点到点 点的斜率，
数形结合可知，当且仅当目标函数过点 ，即 时，取得最小值 ，
故可得 ，
又 ，故可得 ，
当且仅当 ， ，即三角形为等边三角形时，取得最大值，故选项A正确；
对于选项B：因为 ，所以由正弦定理得 ，若 是直角三角形的斜边，则有 ，
即 ，得 ，故选项B错误；
对于选项C，由 ，可得 ，由 得 ，
由正弦定理得， ，即 ，
所以 ，化简得 ，
因为 ，所以化简得 ，
因为 ，所以 ，所以 ，则 ，所以 ，所以 ， ， ，
因为 ，所以 ， ，
所以 的周长为 ，故选项C正确；
对于选项D，由C可知， 为直角三角形，且 ， ， ， ， ，所以
的内切圆半径为 ，
所以 的面积为
所以选项D正确，
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是正余弦定理以及面积公式，对于A利用面积公式和余弦定理，结合
不等式得 ，再利用三角换元、数形结合即可得证，综合性
较强，属于难题.
18．（2022·全国·武功县普集高级中学模拟预测（理））若 的图象向右平移 个单
位长度得到 的图象，则 的值可以是______．（写出满足条件的一个值即可）
【答案】 （答案不唯一，满足 均可）
【分析】根据图象平移得平移后的函数，从而可得 ，再根据 ，取合适的一个 的
值即可.
【详解】解： 的图象向右平移 后得到的函数为
则 ，解得 ，又
所以 的值可以是当 时， .
故答案为： （答案不唯一，满足 均可）19．（2022·山东潍坊·三模）已知函数 向右平移 个单位长度后得到 ．若对于任意的
，总存在 ，使得 ，则 的最小值为______．
【答案】
【分析】求出 ，则 ， ，因为对于任意的 ，总
存在 ，使得 ，所以 的取值范围应包含 ，为使 取最小值，只需函
数 在 上单调且值域为 即可.
【详解】函数 向右平移 个单位长度后得到 ，因为 ，所以
，所以 ，因为对于任意的 ，总存在 ，使得
，所以 的取值范围应包含 ，根据余弦函数的性质，为使 取最小值，只需
函数 在 上单调且值域为 即可.
由 可得 ，因此 的最小值为 .
故答案为： .
20．（2022·江苏扬州·模拟预测）已知函数 ，将 的图象上所有点横坐标变为原
来的 倍（纵坐标不变），再将所得函数图象向左平移 个单位长度，得到 图象，若 在
有 个不同的解 ，则 __________.
【答案】
【分析】根据三角函数平移伸缩变换法则求出函数 的解析式，再利用函数的对称性即可求出在
的解，即可得解．
【详解】根据题意可知， ，由 得 ，由，可得 ，所以函数 关于 对称，因为 ，所以由
可得 ，因此 ．
故答案为： ．
21．（2021·广东深圳·二模）著名的费马问题是法国数学家皮埃尔德费马（1601-1665）于1643年提出的平
面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”费马问
题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当 的三个内角均小
于 时，则使得 的点 即为费马点．已知点 为 的费马点，且
，若 ，则实数 的最小值为_________．
【答案】
【分析】根据题意 ，不妨设 ，故
，进而得 ，所以在 和 中，由正弦定理
得 ， ，故 ，在结合三角恒等变换
化简整理求函数最值即可.
【详解】根据题意, 点 为 的费马点， 的三个内角均小于 ,
所以 ，
设 ，
所以在 和 中， ，且均为锐角，
所以
所以由正弦定理得： ， ，
所以 ， ，
因为所以
，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以
故实数 的最小值为 .
故答案为：
【点睛】本题考查数学文化背景下的解三角形，三角恒等变换解决三角函数取值范围问题，考查运算求解
能力，数学建模能力，化归转化思想，是难题.本题解题的关键在于根据题目背景，通过设 ，进
而建立解三角形的模型，再根据正弦定理及三角恒等变换化简求最值即可.
22．（2020·江苏·南京师大附中模拟预测）在锐角三角形 中，已知
，则 的取值范围是________.
【答案】
【分析】利用同角三角函数关系式化简条件，构造函数将双变量转化单变量并结合锐角三角形得到
取值范围，利用三角函数的恒等变换化简 为 ，构
造函数利用导数研究其值域即可.
【详解】由题意可得， ，
即 .不妨设
则由 得 令 ，
单调递减，
单调递增，
取得极小值，也是最下值， ，
所以 在 上的值域为 ，
所以 ,又△ 为锐角三角形，
所以 ，
则 ，故 .
,
令 ，故 在 上单调递增，
所以 的值域为
故 的取值范围是 .
故答案为：
【点睛】本题主要考查三角函数式的化简及构造函数，利用导数研究函数的性质，属于能力提升题.
23．（2021·江西九江·二模（文））费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三
角形三个内角都小于 时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为 .已知点 为 的费马点，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ，且 ，则
的值为__________.
【答案】6
【分析】化简 求得 ，结合余弦定理以及 求得 ，利用三角
形的面积列方程，化简求得
【详解】∵ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
由余弦定理知， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
故答案为：6
C组 真题实战练
24．（2021·全国·高考真题）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母( )，进行齐次化处
理，化为正切的表达式，代入 即可得到结果．
【详解】将式子进行齐次化处理得：．
故选：C．
【点睛】易错点睛：本题如果利用 ，求出 的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过
齐次化处理，可以避开了这一讨论．
25．（2013·重庆·高考真题（理））4cos50°﹣tan40°=（ ）
A． B． C． D．2 ﹣1
【答案】C
【详解】4cos50°﹣tan40°=4sin40°﹣tan40°=
= =
= = = ．
故选C
26．（2014·全国·高考真题（文））函数 的最大值为________．
【答案】1
【详解】试题分析：由已知得，
，故函数 的最大值为1．
考点：1、两角和与差的正弦公式；2、三角函数的性质．
27．（2007·重庆·高考真题（理））若函数 的最大值为2,则
.
【答案】
【分析】利用诱导公式,辅助角公式进行化简 解析式,求出 的最大值,使其等于2,即可求出 的值.
【详解】解:由题知,
最大值为2,
,
其中 , ,
,
.
故答案为:
28．（2007·上海·高考真题）函数 的最小正周期为_____________．
【答案】
【分析】利用二倍角公式化简后，由正切函数的性质可得.
【详解】因为 ，即 ，所以
所以
于是
易知，所求函数的最小值周期 .
故答案为：
29．（2007·北京·高考真题（文））已知向量 ，且 ，那么 与
的夹角的大小是___________.
【答案】 ##
【分析】根据题意求出 ， ，然后根据平
面向量的夹角公式求解即可.
【详解】 ， ，，
所以 ，
故答案为：
30．（2021·浙江·高考真题）设函数 .
（1）求函数 的最小正周期；
（2）求函数 在 上的最大值.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）由题意结合三角恒等变换可得 ，再由三角函数最小正周期公式即可得解；
（2）由三角恒等变换可得 ，再由三角函数的图象与性质即可得解.
【详解】（1）由辅助角公式得 ，
则 ，
所以该函数的最小正周期 ;
（2）由题意，
，由 可得 ，
所以当 即 时，函数取最大值 .
31．（2017·浙江·高考真题）已知函数
（I）求 的值
（II）求 的最小正周期及单调递增区间.
【答案】（I）2；（II） 的最小正周期是 ， .
【分析】（Ⅰ）直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函
数的值．
（Ⅱ）直接利用函数的关系式，求出函数的周期和单调区间．
【详解】（Ⅰ）f（x）＝sin2x﹣cos2x sin x cos x，
＝﹣cos2x sin2x，
＝﹣2 ，
则f（ ）＝﹣2sin（ ）＝2，
（Ⅱ）因为 ．
所以 的最小正周期是 ．
由正弦函数的性质得
，
解得 ，
所以， 的单调递增区间是 ．
【点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数 的性质，是高考中的常考知识点，
属于基础题，强调基础的重要性；三角函数解答题中，涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等考点时，
都属于考查三角函数的性质，首先应把它化为三角函数的基本形式即 ，然后利用三角函
数 的性质求解．
32．（2015·广东·高考真题（文））已知 .（1）求 的值；
（2）求 的值.
【答案】（1） ；（2）1
【详解】试题分析：（1）本题考察的是求三角函数的值，本题中只需利用两角和的正切公式，再把
代入到展开后的式子中，即可求出所求答案．
（2）本题考察的三角函数的化简求值，本题中需要利用齐次式来解，先通过二倍角公式进行展开，然后
分式上下同除以 ，得到关于 的式子，代入 ，即可得到答案．
试题解析：（Ⅰ）
（Ⅱ）原式
．
考点：（1）两角和的正切公式（2）齐次式的应用
