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专题 05 九种函数与抽象函数模型归类
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题型一：三大补充函数：对勾函数.....................................................................................................................................1
题型二：三大补充函数：复杂分式型“反比例”函数.....................................................................................................2
题型三：三大补充函数：双曲函数（双刀函数）.............................................................................................................3
题型四：一元三次函数.........................................................................................................................................................3
题型五：高斯取整函数.........................................................................................................................................................4
题型六：绝对值函数.............................................................................................................................................................5
题型七：对数绝对值型.........................................................................................................................................................7
题型八：对数无理型.............................................................................................................................................................8
题型九：对数反比例型.........................................................................................................................................................8
题型十：指数反比例型.........................................................................................................................................................9
题型十一：抽象函数模型：过原点直线型.......................................................................................................................10
题型十二：抽象函数模型：不过原点直线型...................................................................................................................11
题型十三：抽象函数模型：正切型...................................................................................................................................11
题型十四：抽象函数模型：一元二次型...........................................................................................................................12
题型十五：抽象函数模型：一元三次函数型...................................................................................................................13
题型十六：抽象函数模型：余弦或者双曲余弦模型.......................................................................................................13
题型一：三大补充函数：对勾函数
对勾函数： 图像特征
形如 称为对勾函数
1.有“渐近线”：y=ax
2.“拐点”：解方程 （即第一象限均值不等式取等处）
1.（2022秋·四川成都·高三成都七中校考阶段练习）若对任意的 ，不等式 恒成立，
则 的最大值是 .
2.（2022·安徽合肥·高二校联考开学考试）已知函数 ，关于x的不等式 只有一
个整数解，则正数a的取值范围是 ．3.．（2023·高三单元测试）已知函数 ，若存在 ，使得
，则正整数 的最大值为 .
4.（2022·上海闵行·高三上海市七宝中学校考开学考试）已知函数 ，若对任意的
，长为 的三条线段均可以构成三角形，则正实数 的取值范围是 .
题型二：三大补充函数：复杂分式型“反比例”函数
反比例与分式型函数
解分式不等式，一般是移项（一侧为零），通分，化商为积，化为一元二次求解，或者高次不等式，再用
穿线法求解
形如： 。对称中为P ，其中
① ；
②
③一、三或者二、四象限，通过 计算判断
1.（2022·湖北武汉·高三校联考模拟）已知函数 为奇函数， 与 的图
像有8个交点，分别为 ，则
.
2.（2023·全国·高三对口高考）函数 的值域是 或 ，则此函数的定义域为 .
3.（2023·全国·高三专题练习）已知集合 ，其中 且 ，函数 ，且
对任意 ，都有 ，则 的值是 ．
4.（2023·浙江·高二校联考开学考试）已知函数 ，若函数 在 的最大值为2，
则实数 的值为 .
题型三：三大补充函数：双曲函数（双刀函数）双刀函数
（两支各自增），或者 （两支各自减）
1.有“渐近线”：y=ax与y=-ax
2.“零点”：解方程 （即方程等0处）
1.（2023·江苏南通·高二统考期末）已知函数 ，则关于x的不等式 的解集是
.
2.（2023春·湖北·高二统考期末）已知奇函数 ，有三个零点，则t的取值范围为
.
3.（2023春·辽宁铁岭·高二校联考期末）已知函数 若 ，则
．
4...2023春·上海黄浦·高三上海市大同中学校考）已知函数 ，则不等式
的解集为 ．
题型四：一元三次函数
一元三次函数：
所有的三次函数 都有“拐点”，且该“拐点”也是函数 的图像的对称中心，
设 是函数 的导数， 是 的导数，若方程 有实数解 ，则称点 为函数
的“拐点”．
1.．给出定义：设 是函数 的导函数， 是函数 的导函数，若方程 有
实数解 ，则称 为函数 的“拐点”．经研究发现所有的三次函
都有“拐点”，且该“拐点”也是函数 的图像的对称中心．若函数
，则 （ ）
A． B． C． D．2.已知函数 f (x)=ax3+3x2+1，若至少存在两个实数 m，使得 f (−m)，f (1)，f (m+2) 成等差数列，
则过坐标原点作曲线 y=f (x) 的切线可以作 ()
A. 3 条 B. 2 条 C. 1 条 D. 0 条
3.（多选）（全国名校大联考2022-2023学年高三上学期第三次联考数学试卷）对于三次函数
，给出定义：设 是函数 的导数， 是函数 的导数，
若方程 有实数解 ，则称 为函数 的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个
三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若函数
，则下列说法正确的是（ ）
A． 的极大值点为
B． 有且仅有3个零点
C．点 是 的对称中心
D．
4. （多选）（江苏省苏州市常熟市2022-2023学年高三上学期12月抽测二数学试题）对于三次函数
,给出定义:设 是函数 的导数, 是 的导数,若方程
有实数解 ,则称点 为函数的“拐点”.经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”,
任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.设函数 ,则以下说法正确
的是（ ）
A．
B．当 时, 有三个零点
C．
D．当 有两个极值点 时,过 的直线必过点
题型五：高斯取整函数取整函数 表示不超过 的最大整数，又叫做“高斯函数”，
1.（黑龙江省大庆市铁人中学2022-2023学年高三月考数学试题）符号 表示不超过 的最大整数，如
， ， ，定义函数 则下列说法正确的个数是（ ）
①函数 的定义域为R
②函数 的值域为
③函数 是增函数
④函数 是奇函数
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2.（广东省广州市第四中学2021-2022学年高三上学期月考数学试题）高斯（1777-1855）是德国著名数学
家，物理学家，天文学家，大地测量学家，近代数学奠基者之一，并享有“数学王子”之称，高斯一生的
数学成就很多，其中：设 ，用 表示不超过 的最大整数，则 称为高斯函数，例如：
， ，已知函数 ， ，设函数 的值域为集合 ，则
中所有负整数元素个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3.（百师联盟2020-2021学年高三上学期一轮复习联考（四）全国卷 I 理科数学试题）高斯
是德国著名数学家，物理学家，天文学家，大地测量学家，近代数学奠基者之一.高斯被认为是历史上最重
要的数学家之一，并享有“数学王子”之称，用其名字命名的高斯函数为：设 用 表示不超过 的
最大整数，则 称为高斯函数，例如： 已知函数 .设函
数 的值域为集合 ，则 中所有正整数元素个数为（ ）
A． B． C． D．
4.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设 ，用 表示不超过
的最大整数， 也被称为“高斯函数”，例如： ， .已知函数 ，
下列说法中正确的是（ ）
A． 是周期函数 B． 的值域是
C． 在 上是减函数 D． ，题型六：绝对值函数
绝对值函数：
1.（2023春·湖南长沙·高二长沙一中校考阶段练习）定义 为与 距离最近的整数，令函数
，如： .
2.（2023·天津和平·统考三模）已知函数 ，若关于 的方程 恰有三个不相等
的实数解，则实数 的取值集合为 .
3.（2022·浙江·高三模拟）已知函数 ，有下列结论：
① ，等式 恒成立；
② ，方程 有两个不等实根；
③ ，若 ，则一定有 ；
④存在无数多个实数k，使得方程 在 上有三个不同的实数根．
则其中正确结论序号为 ．4.（2023春·上海松江·高三上海市松江一中校考阶段练习）已知 若存在
，使得 成立的最大正整数 为6，则 的取值范围为
.
题型七：对数绝对值型
对数绝对值型函数
对于 ， 若有两个零点，则满足
1.
2.
3.要注意上述结论在对称轴作用下的“变与不变”
1.（2022·吉林白山·抚松县第一中学校考二模）已知函数 ，若方程 有4个不同
的根 ， ， ， ，且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2.（2023春·江苏苏州·高二星海实验中学校考阶段练习）设函数 ，若关于x的方
程 有四个实根 （ ），则 的最小值为（ ）
A． B．16 C． D．17
3.（2020秋·陕西延安·高三校考模拟）已知 ，则函数 的零点个数是
（ ）
A．5 B．4 C．3 D．24.（2023春·安徽安庆·高三统考模拟）设函数 ，若
（其中 ），则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型八：对数无理型
对数与无理式复合是奇函数： ，如
1.（2023春·黑龙江绥化·高二校考期末）已知函数 ，若任意的正数 ， 均满足
，则 的最小值为 ．
2.（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若 ，则 的取值
范围是 .
3.（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校考模拟）已知函数
的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝ ．
4.（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若正实数 满足 ，
则 的最小值为 .
题型九：对数反比例型
1.（2024·江苏泰州·模拟预测）已知函数 ，若函数 的图象关于点 对称，
则 （ ）
A．-3 B．-2 C． D．2.（21-22高三上·云南曲靖·阶段练习）设定义在区间 上的函数 是奇函数，且
.若 表示不超过 的最大整数， 是函数 的零点，则
A． B． 或 C． D．
3.（2024·山东菏泽·模拟预测）已知函数 是定义在区间 上的奇函数，则
实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4.（23-24高三上·浙江宁波·模拟）已知 是奇函数，则 （ ）
A．1 B． C．2 D．
题型十：指数反比例型
变化
1.（23-24高三上·河南·模拟）已知函数 是定义在 上的奇函数，且对任意 ，不等式
恒成立，则实数 有（ ）
A．最大值 B．最小值 C．最小值 D．最大值
2.（23-24高三上·安徽铜陵·阶段练习）已知函数 ，若实数 满足 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
3.（21-22高三上·辽宁锦州·模拟）已知函数 的图像与过点 的直线有3个不同的交点
， ， ，则 （ ）
A．8 B．10 C．13 D．18
4.（2024·河北衡水·模拟预测）设 ，若函数 是偶函数，则
（ ）
A． B． C．2 D．3
题型十一：抽象函数模型：过原点直线型
--过原点直线型f（x）=kx
1.（23-24高三上·山东泰安·模拟）已知函数 对于任意的 ，都有 成立，
则（ 多选 ）
A．
B． 是 上的偶函数
C．若 ，则
D．当 时， ，则 在 上单调递增
2.（23-24高三上·江苏·阶段练习）已知函数 ， ，对于任意 ， ， ，
且当 时，均有 ，则（ 多选 ）
A．
B．
C．
D．若 ，则3.（23-24高二下·广东深圳·阶段练习）定义在 上的函数 满足 ，当 时，
，则函数 满足（ ）
A． B． 是偶函数
C． 在 上有最小值 D． 的解集为
4.（2023·广西玉林·三模）函数 对任意x， 总有 ，当 时， ，
，则下列命题中正确的是（ ）
A． 是偶函数 B． 是R上的减函数
C． 在 上的最小值为 D．若 ，则实数x的取值范围为
题型十二：抽象函数模型：不过原点直线型
1. （多选）（23-24高三上·四川成都·阶段练习）设函数 满足：对任意实数 、 都有,
且当 时， .设 .则下列命题正确的是（ ）
A． B．函数 有对称中心
C．函数 为奇函数 D．函数 为减函数
2. （多选）（23-24高三上·辽宁朝阳·模拟）若定义在R上的函数 满足 ，且
当 时， ，则（ ）
A．
B． 为奇函数
C． 在 上是减函数
D．若 ，则不等式 的解集为
3.（23-24高三上·湖南株洲·模拟）已知函数 对 ，都有 ，若
在 上存在最大值M和最小值m，则 （ ）
A．8 B．4 C．2 D．0
4.（23-24高三下·河南周口·开学考试）已知定义在 上的函数 满足，若函数
的最大值和最小值分别为 ，则 ．
题型十三：抽象函数模型：正切型
1.（20-21高三上·浙江宁波·模拟）已知函数 的图象是连续不断的，其定义域为 ，满足：当
时， ；任意的x， ，均有 .若 ，
则x的取值范围是（ ）（e是自然对数的底数）
A． B． C． D．
2.（山东·高考真题）给出下列三个等式： ， ，
．下列函数中不满足其中任何一个等式的是（ ）
A． B． C． D．
3. （多选）（2023·全国·模拟预测）已知函数 的定义域为 ，且
， ，则（ 多选 ）
A．
B． 为偶函数
C． 为周期函数，且4为 的周期
D．
4.（20-21高三上·浙江宁波·模拟）已知函数 的图象是连续不断的，其定义域为 ，满足：当
时， ；任意的x， ，均有 .若 ，
则x的取值范围是（ ）（e是自然对数的底数）
A． B． C． D．题型十四：抽象函数模型：一元二次型
1.（23-24高三上·上海普陀·模拟）已知对于任意的整数 、 、 ， ，有
成立，且 ，则
2.（23-24高三上·内蒙古赤峰·开学考试）已知函数 的定义域为R， ，
，则下列说法不正确的是（ ）
A． B．
C． 是奇函数 D． 是偶函数
3.（23-24高三上·吉林长春·模拟）函数 满足：任意 ， .且
.则 的最小值是（ ）
A．1775 B．1850 C．1925 D．2000
4.（23-24高三上·河北保定·模拟）已知函数 满足： ， ， 成立，
且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
题型十五：抽象函数模型：一元三次函数型
1. （多选）（2024·福建莆田·二模）已知定义在 上的函数 满足： ，
则（ ）
A． 是奇函数
B．若 ，则
C．若 ，则 为增函数
D．若 ，则 为增函数2. （多选）（2024·贵州·三模）已知定义域为 的函数 满足 为
的导函数，且 ，则（ ）
A．
B． 为奇函数
C．
D．设 ，则
3. （多选）（2024·辽宁大连·一模）已知函数 是定义域为R的可导函数，若
，且 ，则（ ）
A． 是奇函数 B． 是减函数
C． D． 是 的极小值点
题型十六：抽象函数模型：余弦或者双曲余弦模型
（2）模型二：双曲余弦函数
1.（多选）（23-24高三上·浙江湖州·模拟）已知函数 对任意实数 ， 都满足
特征：
，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 是偶函数 B．
C． D．
2. （多选）（23-24高三上·河南许昌·模拟）已知函数 满足 ，
且 ，则下列命题正确的是（ ）
A． B． 为奇函数
C． 为周期函数 D． ，使得 成立3. （多选）（2024·河南·模拟预测）已知定义在 上的函数 ，满足 ，
且 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B． 为偶函数
C． D．2是函数 的一个周期
4. （多选）（23-24高三下·重庆·阶段练习）函数 的定义域为R，且满足
， ，则下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． 为偶函数 D． 的图象关于 对称
