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考向 13 简单的三角恒等变换
1．【2022年新高考2卷第6题】角 满足 ，则
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】解法一：设 则 ，取 ，排除A，C；
再取 则 ，取 ，排除B；选D．
解法二：由
，
故 ，
故 ，即 ，
故 ，
故 ，故 ．故选D.
2.【2022年北京卷第5题】已知函数 ，则
（A） 在 上单调递减 （B） 在 上单调递增
（C） 在 上单调递减 （D） 在 上单调递增
【答案】C【解析】因为 .
对于A选项，当 时， ，则 在 上单调递增，A错；
对于B选项，当 时， ，则 在 上不单调，B错；
对于C选项，当 时， ，则 在 上单调递减，C对；
对于D选项，当 时， ，则 在 上不单调，D错.
故选：C.
3．【2022 年浙江卷第 13 题】若 ，则 ，
．
【答案】
【解析】由题 ，所以 ，解得 ．
所以 ．
1.三角函数公式的应用策略
(1)使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角
差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反．”
(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．
2.三角函数公式活用技巧
①逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式；
②tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，
注意公式的正用、逆用和变形使用．3.三角函数公式逆用和变形使用应注意的问题
①公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系；
②注意特殊角的应用，当式子中出现，1，，等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把
“值变角”以便构造适合公式的形式．
4.三角公式求值中变角的解题思路
①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；
②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再
应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
5.三角函数名的变换技巧
明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，
或者把正切化为正弦、余弦．
1.降幂公式：cos2α＝，sin2α＝.
2.升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α.
3.tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)，
1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，
1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，
sin α±cos α＝sin.
4.辅助角公式
asin x＋bcos x＝sin (x＋φ)，其中tan φ＝.
1.明确二倍角是相对的，如：是的2倍，3α是的2倍．
2.解题时注意观察角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题．
3.运用公式时要注意公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升幂、降幂
的灵活运用，要注意“1”的各种变形．
4.在三角求值时，往往要估计角的范围后再求值．特别是在(0，π)内，正弦值对应的角不唯一．
1．sin2＋sin2－sin2α＝( )
A．－ B．－ C. D.
【答案】C
【解析】原式＝＋－sin2α＝1－·[cos＋cos]－sin2α＝1－cos 2αcos －sin2α＝1－－＝.
2．已知sin α＝，α∈，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为( )
A．－ B. C. D．－
【答案】A
【解析】因为sin α＝，α∈，所以cos α＝－＝－，
所以tan α＝＝－.
因为tan(π－β)＝＝－tan β，所以tan β＝－，
则tan(α－β)＝＝－.
3.已知sin α＋cos α＝，则cos＝( )
A．－ B． C．－ D．
【答案】C
【解析】由sin α＋cos α＝，得2cos＝，
即cos＝，所以cos＝2cos2－1＝2×－1＝－.故选C.
4．若＝sin 2θ，则sin 2θ＝( )
A． B． C．－ D．－
【答案】C
【解析】由题意知＝sin 2θ，
所以2(cos θ＋sin θ)＝sin 2θ，
则4(1＋sin 2θ)＝3sin22θ，
解得sin 2θ＝－或sin 2θ＝2(舍去)．
5．(多选)下列各式的值等于的是( )
A．2sin 67.5°cos 67.5° B．2cos2－1
C．1－2sin215° D．
【答案】BC
【解析】选项A，2sin 67.5°cos 67.5°＝sin 135°＝.选项B，2cos2－1＝cos ＝.选项C，1－2sin215°＝cos 30°＝.选项D，＝tan 45°＝1.故选BC.
6．(多选)下列四个命题中是真命题的是( )
A．∃x∈R，sin2＋cos2＝
B．∃x，y∈R，sin(x－y)＝sin x－sin y
C．∀x∈[0，π], ＝sin x
D．sin x＝cos y⇒x＋y＝
【答案】BC
【解析】.因为sin2＋cos2＝1≠，所以A为假命题；当x＝y＝0时，sin(x－y)＝sin x－sin
y，所以B为真命题；因为 ＝ ＝|sin x|＝sin x，x∈[0，π]，所以C为真命题；当x＝，y＝2π
时，sin x＝cos y，但x＋y≠，所以D为假命题．故选BC.
7．求4sin 20°＋tan 20°的值为________．
【答案】
【解析】原式＝4sin 20°＋
＝＝
＝＝.
8．若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin＝________．
【答案】－
【解析】因为α是第三象限角，所以sin α＝－＝－，所以sin＝－×＋×＝－.
9.已知α，β都是锐角，cos(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则cos 2α＝________．
【答案】－.
【解析】因为α，β都是锐角，所以0<α＋β<π，－<α－β<，
又因为cos(α＋β)＝，sin(α－β)＝，所以sin(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则
cos 2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)＝×－×＝－.
10．已知sin α＝－，α∈，若＝2，则tan(α＋β)＝________．
【答案】.
【解析】因为sin α＝－，α∈，所以cos α＝.
又因为＝2，所以sin(α＋β)＝2cos[(α＋β)－α]．
展开并整理，得cos(α＋β)＝sin(α＋β)，所以tan(α＋β)＝.一、单选题
1．（2022·广西桂林·模拟预测（文））若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令 可得 ，故 ，则
故选：C
2．（2022·广东汕头·二模）若 ，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由已知可得
.
故选：A.
3．（2022·湖北武汉·二模）设 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 .
故选：A.
4．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知不等式对 恒成立，则m的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为不等式 对 恒成立，
所以不等式 对 恒成立，
令 ，因为 ，所以 ，
则 ，所以 ，所以 ，解得 ，
所以m的最小值为 ，
故选：D
5．（2022·福建省福州第一中学三模）若 ，且 ，则 （ ）
A． B． C．2 D．2
【答案】D
【解析】 ，故 ，
可解得 或 ，又 ，故 ，故 ，
故选：D6．（2022·河南·长葛市第一高级中学模拟预测（文））设 ，
，在平面直角坐标系内，点 为角 终边上任意一点，则
的一个对称中心为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据已知得到，
，
所以 ，又因为
，
所以 ，所以点 ．不妨取 ，所以 ，令 ， ，
， ，所以对称中心为 ， ，
当 时，函数的一个对称中心是
故选：A
7．（2021·上海虹口·二模）在平面上，已知定点 ，动点 .当 在区间 上变化时，动线段 所形成图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以点 在单位圆 上，
由于 ， ，
所以， 是其与 轴正方向的有向角为 ，
，则 ，
记点 ， ，所以，点 的轨迹是劣弧 ，
所以，动线段 所形成图形为阴影部分区域，
因为 ，因此，阴影部分区域的面积为 .
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题考查动线段运动轨迹图形的面积，解题的关键在于确定动点 的轨迹图形，数
形结合求出图形的面积.
8．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知 ，设函数 ， ，若当
对 恒成立时， 的最大值为 ，则（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设 ，因为 的最大值为 ，所以 时， 必取到最值，
当 时，根据余弦函数对称性得 ，此时
或者 ，此时
由 ，
设 时 对应解为 ，
由上分析可知
当 ， 或 ， 时，满足 的最大值为 ，
所以 ，即 ，所以 .
或 ，即 或 ，
故选：A.
二、多选题
9．（2022·全国·模拟预测）已知函数 ，则下列说法正确的有（ ）A．函数 的最大值为2
B．函数 在区间 上单调递增
C．函数 图像的一个对称中心为
D．将函数 的图像向左平移 个单位长度得到函数 的图像
【答案】AD
【解析】 ，
所以函数 的最大值为2，所以A选项正确．
因为函数 在区间 上单调递增，所以函数 在 上单调递减，所以B选项不
正确．
当 时， ，所以 为对称轴，所以C选项不正确．
函数 的图像向左平移 个单位长度得到函数 的图像，所以D选项
正确．
故选：AD．
10．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）向量
函数 ，则下述结论正确的有
（ ）
A．若 的图像关于直线 对称，则 可能为
B．周期 时，则 的图像关于点 对称C．若 的图像向左平移 个单位长度后得到一个偶函数，则 的最小值为
D．若 在 上单调递增，则
【答案】ACD
【解析】
，
对于A选项，若 的图像关于直线 对称，则 ，所以 ，当
时， ，故A正确；
对于B选项，当 ，则 =2，令 ， ，当 时， ，
所以 关于 对称，故B错误；
对于C选项，若 的图像向左平移 个单位长度后得到
，
所以 ，又 ，所以 ，故C正确；
对于D选项，因为函数在 上递增，所以 ，故D正
确.
故选：ACD.三、填空题
11．（2022·黑龙江·鸡东县第二中学二模）已知 ，则 的值为______．
【答案】
【解析】因为 ，
所以 ，
故答案为： .
12．（2021·江西九江·二模（文））费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三
角形三个内角都小于 时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为 .已知点 为 的费
马点，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ，且 ，则
的值为__________.
【答案】6
【分析】化简 求得 ，结合余弦定理以及 求得 ，利用三角
形的面积列方程，化简求得
【详解】∵ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
由余弦定理知， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
故答案为：6
【点睛】三角恒等变换是化简已知条件常用的方法，在解决与三角形有关的问题时，要注意结合余弦定理、
正弦定理、三角形的面积公式.
13．（2022·全国·模拟预测）已知 ， ，则
______．
【答案】
【解析】由题知 ，则
，即 ，即
，即 ，则 或， ．因为 ，所以 ，所以 ，解得 ．
故答案为：
14．（2021·广东深圳·二模）著名的费马问题是法国数学家皮埃尔德费马（1601-1665）于1643年提出的平
面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”费马问
题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当 的三个内角均小
于 时，则使得 的点 即为费马点．已知点 为 的费马点，且
，若 ，则实数 的最小值为_________．
【答案】
【解析】根据题意, 点 为 的费马点， 的三个内角均小于 ,
所以 ，
设 ，
所以在 和 中， ，且均为锐角，
所以
所以由正弦定理得： ， ，
所以 ， ，
因为
所以
，因为 ，所以 ，所以 ，
所以
故实数 的最小值为 .
故答案为：
【点睛】本题考查数学文化背景下的解三角形，三角恒等变换解决三角函数取值范围问题，考查运算求解
能力，数学建模能力，化归转化思想，是难题.本题解题的关键在于根据题目背景，通过设 ，进
而建立解三角形的模型，再根据正弦定理及三角恒等变换化简求最值即可.
1．（2021·北京高考真题）若点 与点 关于 轴对称，写出一个符合题
意的 ___．
【答案】 （满足 即可）
【解析】 与 关于 轴对称，即 关于 轴对称， ，则 ，
当 时，可取 的一个值为 .故答案为： （满足 即可）.
2．(2021年高考全国甲卷理科)若 ，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
，
， ， ，解得 ，
， ．
3．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)若α为第四象限角，则 ( )
A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<0
【答案】D
【解析】方法一：由α为第四象限角，可得 ，
所以
此时 的终边落在第三、四象限及 轴的非正半轴上，所以
故选：D．方法二：当 时， ，选项B错误；
当 时， ，选项A错误；
由 在第四象限可得： ，则 ，选项C错误，选项D正
确；
故选：D．
【点睛】本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的
转化能力和计算求解能力．
4．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)已知 ，且 ，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ，得 ，
即 ，解得 或 （舍去），
又 ．
故选：A．
5．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知2tanθ–tan(θ+ )=7，则tanθ=( )
A．–2 B．–1 C．1 D．2
【答案】D
【解析】 ， ，令 ，则 ，整理得 ，解得 ，即 ．
故选：D．
6．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)已知 ， ，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵ ，∴ . ,∴ ， ，
∴ ， 又 sin2cos21， ∴ ， ， 又 sin0， ∴
，故选B．
【点评】利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．本题为三角函
数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦正负，运算准确性是关键，题
目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负，很关键，切记不能凭感觉．
7．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)若 ，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ，故选B．
8．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)若 在 是减函数，则 的最大值是 ( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由已知 ，得 ，即 ，解得 ，即 ，所以 ，得 ，
所以 的最大值是 ，故选A．
9．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)若 ,则 ( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 ,得 , 或 ,
所以 ,故选A.
10．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科)若 ，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵ ， ，故选D．
