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专题07 反比例函数中的正方形
1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 图象与 轴、 轴分别相交于点 、点 ，以
线段 为边作正方形 ，且点 在反比例函数 的图象上．则 的值为（ ）
A．－9 B．－20 C．－21 D．－22
【答案】C
【分析】过点C作CE⊥x轴于E，证明△AOB≌△BEC，可得点C坐标，代入求解即可．
【详解】解：∵一次函数 中，当x=0时，y=0+4=4，
∴A（0，4），
∴OA=4；
∵当y=0时，0= ，
∴x=-3，
∴B（-3，0），
∴OB=3；
过点C作CE⊥x轴于E，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，AB=BC，
∵∠CBE+∠ABO=90°，∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠CBE=∠BAO．
在△AOB和△BEC中，，
∴△AOB≌△BEC（AAS），
∴BE=AO=4，CE=OB=3，
∴OE=3+4=7，
∴C点坐标为（-7，3），
∵点C在反比例函数 图象上，
∴k=-7×3=-21．
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点、待定系数法求函数解析式、正方形的性质，以及
全等三角形的判定与性质，解答此题的关键是正确作出辅助线及数形结合思想的运用．
2．如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为（4，0），点B在y轴上，若反比例函数y＝
（k≠0）的图像过点C，则k的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．﹣3 D．3
【答案】C
【分析】过点C作CE⊥y轴于E，根据正方形的性质可得AB＝BC，∠ABC＝90°，再根据同角的
余角相等求出∠OAB＝∠CBE，然后利用“角角边”证明 ABO和 BCE全等，根据全等三角形对
应边相等可得OA＝BE＝4，CE＝OB＝3，再求出OE，然△后写出点△C的坐标，再把点C的坐标代
入反比例函数解析式计算即可求出k的值．
【详解】解：如图，过点C作CE⊥y轴于E，在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBE＝90°，
∵∠OAB+∠ABO＝90°，∴∠OAB＝∠CBE，
∵点A的坐标为（4，0），
∴OA＝4，
∵AB＝5，
∴OB＝ ＝3，
在 ABO和 BCE中， ，
△ △
∴△ABO≌△BCE（AAS），
∴OA＝BE＝4，CE＝OB＝3，
∴OE＝BE﹣OB＝4﹣3＝1，
∴点C的坐标为（﹣3，1），
∵反比例函数y＝ （k≠0）的图像过点C，
∴k＝xy＝﹣3×1＝﹣3，
故选：C．
【点睛】此题考查的是反比例函数与几何综合，涉及到正方形的性质，全等三角形的判定与性质，
勾股定理，作辅助线构造出全等三角形并求出点C的坐标是解题的关键．
3．如图，正方形ABCD的边长为 ，点 ，点 在 轴上且在点 的右侧，点 ， 均在第
一象限， 为 的中点，反比例函数 的图像 经过点 ，则（ ）A．点 在 上 B．点 在 上方
C．点 在 下方 D．以上三种情况都有可能
【答案】B
【分析】根据 的坐标以及正方形的边长得到 ，然后利用待定系数法求得 ，进而求
得反比例函数的图像与 的交点即可得到结论．
【详解】解：∵正方形ABCD的边长为 ，点 ， 为 的中点，
∴ ， ， ，
∵反比例函数 的图像 经过点 ，
∴ ，
∴ ，
当 时， ，
∵ ，
∴点 在 上方．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，正方形的性质．反比例函数图像上点的坐
标满足其解析式是解题的关键．
4．如图，四边形OABC和四边形BDEF都是正方形，反比例函数 在第一象限的图像经过点
E，若两正方形的面积差为12，则k的值为（ ）A．12 B．6 C．10 D．8
【答案】A
【分析】设正方形OABC、BDEF的边长分别为a和b，则可表示出D（a，a﹣b），F（a+b，
a），根据反比例函数图像上点的坐标特征得到E（a+b， ），由于点E与点D的纵坐标相同，
所以 ＝a﹣b，则a2﹣b2＝k，然后利用正方形的面积公式易得k＝12．
【详解】解：设正方形OABC、BDEF的边长分别为a和b，则D（a，a﹣b），F（a+b，a），
所以E（a+b， ），
所以 ＝a﹣b，
∴（a+b）（a﹣b）＝k，
∴a2﹣b2＝k，
∵两正方形的面积差为12，
∴k＝12．
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、正方形的性质，掌握反比例函数图象上点
的坐标特征是解题的关键．
5．如图，边长为2的正方形ABCD的顶点A在y轴上，顶点D在反比例函数 的图象上．
已知点B的坐标是 ，则k的值为（ ）
A．16 B．12 C．8 D．4
【答案】C
【分析】过点B作BE⊥y轴于E，过点D作DF⊥y轴于F，根据正方形的性质可得AB＝AD，
∠BAD＝90°，再根据同角的余角相等求出∠BAE＝∠ADF，然后利用“角角边”证明△ABE和△DAF全等，根据全等三角形对应边相等可得AF＝BE，DF＝AE，再求出OF，然后写出点D的
坐标，再把点D的坐标代入反比例函数解析式计算即可求出k的值．
【详解】解：如图，过点B作BE⊥y轴于E，过点D作DF⊥y轴于F，
在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠BAE+∠DAF＝90°，
∵∠DAF+∠ADF＝90°，
∴∠BAE＝∠ADF，
在△ABE和△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF（AAS），
∴AF＝BE，DF＝AE，
∵正方形的边长为2，B（ ， ），
∴BE ，AE ，
∴OF＝OE+AE+AF 5，
∴点D的坐标为（ ，5），
∵顶点D在反比例函数y （x＞0）的图象上，
∴k＝xy 5＝8．
故选：C．
【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，证明△ABE≌△DAF是解本题的关键．
6．如图，正方形 的顶点分别在反比例函数 和 的图象上．若
轴，点 的横坐标为3，则 （ ）
A．36 B．18 C．12 D．9
【答案】B
【分析】设PA=PB=PC=PD=t（t≠0），先确定出D（3， ），C（3-t， +t），由点C在反比例
函数y= 的图象上，推出t=3- ，进而求出点B的坐标（3，6- ），再点C在反比例函数y=
的图象上，整理后，即可得出结论．
【详解】解：连接AC，与BD相交于点P，
设PA=PB=PC=PD=t（t≠0）．
∴点D的坐标为（3， ），∴点C的坐标为（3-t， +t）．
∵点C在反比例函数y= 的图象上，
∴（3-t）（ +t）=k2，化简得：t=3- ，
∴点B的纵坐标为 +2t= +2（3- ）=6- ，
∴点B的坐标为（3，6- ），
∴3×（6- ）= ，整理，得： + =18．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、正方形的性质，解题的关键是利用反比例
函数图象上点的坐标特征，找出 ， 之间的关系．
7．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 （x＞0）的图象与边长是4的正方形OABC的
两边AB，BC分别相交于M，N两点，△OMN的面积为6．则k的值是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【分析】由正方形OABC的边长是4，得到点M的横坐标和点N的纵坐标为4，求得M（4，
），N（ ，4），根据三角形的面积列方程得到M、N的坐标，然后利用待定系数法确定函数解
析式．
【详解】解：∵正方形OABC的边长是4，
∴点M的横坐标和点N的纵坐标为4，∴M（4， ），N（ ，4），
∴BN＝4﹣ ，BM＝4﹣ ，
∵△OMN的面积为6，
∴4×4﹣ ×4× ﹣ ×4× ﹣ ×（4﹣ ）2＝6，
∴k＝8，（负根舍去）
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的系数k的几何意义，正方形的性质，由三角形的面积公式列出
方程并解答是解题的关键．
8．如图，正方形ABCD的顶点A的坐标为（-1，0），点D在反比例函数y= 的图象上，B点在
反比例函数y= 的图象上，AB的中点E在y轴上，则m的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设B（a， ），由A点和中点坐标公式可得a的值，从而得出B点坐标；过B作BM⊥x
轴于M，过D作DN⊥x轴于N，由△DAN≌△ABM可得DN、AN的长度，便可求得D点坐标，再
代入反比例函数y= 求m即可；
【详解】解：B点在反比例函数y= 的图象上，设B（a， ），
∵AB的中点E在y轴上，A的坐标为（-1，0），
∴ （-1+a）=0，解得：a=1，即B（1，2），如图，过B作BM⊥x轴于M，过D作DN⊥x轴于N，
ABCD是正方形，则AD=BA，∠BAD=90°，
∵∠DAN+∠ADN=90°，∠DAN+∠BAM=90°，
∴∠ADN=∠BAM，又∵∠AND=∠BMA=90°，AD=BA，
∴△DAN≌△ABM（AAS），∴DN=AM=2，NA=MB=2，
∵A（-1，0），∴D（-3，2），代入比例函数y= 得：m=-6，
故选： C．
【点睛】本题考查了正方形的性质，反比例函数解析式，全等三角形的判定和性质等知识；由全
等的性质求得D点坐标是解题关键．
9．如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为 ，点B在y轴上，若反比例函数
的图象过点C，则该反比例函数的表达式为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过点C作CE⊥y轴于E，点A的坐标为 ， ，求出OB，得到点B坐标，证明和 全等，得点C坐标，代入 ，求出k，得解析式；
【详解】解：如图，过点C作CE⊥y轴于E．在正方形ABCD中，
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∵点A的坐标为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴点C的坐标为 ，
∵反比例函数 的图象过点C，
∴ ，
∴反比例函数的表达式为 ，
故选：D．
【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，涉及到正方形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数图象上的点的坐标特征，作辅助线构造出全等三角形并求出点C的坐标是
解题的关键．
10．如图，正方形OAPB的顶点A，B分别在x轴和y轴上，矩形OCQD的顶点C，D分别在 边
OA和y轴上，反比例函数 的图像经过P，Q两点，BP，CQ交于点E．若四边形
BDQE的面积为4，则点Q的坐标为__________．
【答案】Q（3， ）
【分析】根据反比例函数k值的几何意义可知OA×OB=OC×OD=16，再根据四边形OAPB是正方形，
即可求出OA和OB的长度，最后结合矩形BDQE的面积，求出点Q的横坐标即可解答．
【详解】解：∵反比例函数解析式为： ，
∴OA×OB=OC×OD=16，
∵四边形OAPB是正方形，
∴OA=OB=4，
∵四边形BDQE的面积为4，
∴四边形BOCE面积为16-4=12，
∴OC=3，即点Q的横坐标为3，
当x=3时， ，
∴Q（3， ）
【点睛】本题主要考查了反比例函数k值的几何意义，正方形的性质以及矩形的性质，熟练掌握
反比例函数k值的几何意义是解题的关键．
11．如图，正方形ABCD的边长为3，AD边在x轴负半轴上，反比例函数y= （x＜0）的图像经
过点B和CD边中点E，则k的值为______．【答案】-9
【分析】设B(m，3)，把E点的坐标用含m的代数式表示出来．把B、E两点的坐标都代入y= 中，
先求出m的值，则可求出k的值．
【详解】设B(m，3)，则C((m-3，3)，
∵E点是CD的中点，
∴(m-3， ).
∵B、E都在y= 的图像上，
∴ ，
解得m=-3，
∴B(-3，3)，
∴k=-3×3=-9，
故答案为-9．
【点睛】本题主要考查了用待定系数法求反比例函数的表达式．熟练掌握待定系数法是解题的关
键．
12．如图，在直角坐标系中，正方形 的顶点 与原点重合，顶点 、 分别在 轴、 轴上，
反比例函数 的图像与正方形的两边 、 分别交于点 、 ， 轴，
垂足为 ，连接 、 、 ．下列结论：
① ；
② ；
③四边形 与 面积相等；④若 ， ，则点 的坐标为 ．
其中正确结论的有____．
【答案】①③④
【分析】设正方形 的边长为 ，表示出 ， ， ， ， 的坐标，利用 得到三角形
与三角形 全等，结论①正确；利用勾股定理表示出 与 ，即可对于结论②做出判
断；利用反比例函数的性质得到三角形 与三角形 全等，根据三角形 面积 三角形
面积 四边形 面积 三角形 面积，等量代换得到四边形 与 面积相
等，结论③正确；过 作 垂直于 ，如图所示，利用 得到三角形 与三角形 全
等，利用全等三角形对应边相等得到 ，求出 的值，确定出 坐标，即可对于结论④做
出判断．
【详解】解：设正方形 的边长为 ，
得到 ， ， ， ， ， ，
在 和 中，
，
，结论①正确；
根据勾股定理， ， ，
和 不一定相等，结论②错误；
，
，结论③正确；过点 作 于点 ，如图所示，
，
， ，
， ，
， ，
，
，
，即 ，
由 得， ，
整理得： ，
解得： （舍去负值），
点 的坐标为 ，结论④正确，
则结论正确的为①③④，
故答案为：①③④
【点睛】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，全等三角形的判定与性
质，勾股定理，以及反比例函数的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
13．如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，
反比例函数 的图像与大正方形的一边交于点 ，且经过小正方形的顶点B．(1)求反比例函数的解析式；
(2)求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)
(2)48
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）根据点B是小正方形在第一象限的一个点，知其横纵坐标相等，求得点B的坐标，继而求得
小正方形的面积，再求得大正方形的面积，从而求得阴影部分的面积．
（1）
解：由题意，点A(1，4)在反比例函数y= 的图像上，
∴ ，
∴反比例函数的解析式为 ．
（2）
解：点B是小正方形在第一象限的一个点，由题意知其横纵坐标相等，
设B(a，a)，则有 ，
∴ ，即B(2，2)，
∴小正方形的边长为4，
∴小正方形的面积为 ，
大正方形经过点A(1，4)，则大正方形的边长为8，
∴大正方形的面积为 ，
∴图中阴影部分的面积为64-16=48．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何的综合、反比例函数图像上点的坐标特征，解题的关键是
根据点的坐标和利用待定系数法求出反比例函数解析式．
14．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，已知点A(0，﹣6)、D(﹣3，﹣7)，点B、C在第三象限内．
(1)求点B的坐标；
(2)在y轴上是否存在一点P，使 ABP是AB为腰的等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存
在，请说明理由．
(3)将正方形ABCD沿y轴向上平移，若存在某一位置，使在第二象限内点B、D两点的对应点 、
正好落在某反比例函数的图象上，求该反比例函数的解析式．
【答案】(1)B(-1，-3)
(2)存在， 或 或
(3)
【分析】（1）过点B作BE y轴于点E，过点D作DF y轴于点F，证明 得出BE
与OE的长度便可求得B点坐标；
（2）先求出AB的值，再根据题意可得分类讨论，分为当AB=AP时有两种情况和当AB=BP时有
一种情况进行求解即可；
（3）先设向上平移了m表示 和 的坐标，再根据B、D两点的对应点 、 正好落在某反比
例函数的图象上得 和 点的横、纵坐标的积相等，列出关于m的方程即可求解．
（1）
过点B作BE y轴于点E，过点D作DF y轴于点F，如下图，则 ，
∵点A(0，-6)，D(-3，-7)，
∴DF=3，AF=1，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴DF=AE=3，AF=BE=1，
∴OE=OA-AE=6-3=3，
∴B(-1，-3)．
（2）
存在3种情况，
由（1）得 且在 中
AB=AD= ，
一：当AB=AP时的等腰三角形，如图，则AP= ，
∵A为(0，-6)，
∴P点的坐标为(0，-6+ )；
二：当AB=AP时，如下图，
则AP= ，
∵A为(0，-6)，
∴P点的坐标为(0，-6- )；
三：当AB=BP时，如下图，则BP= ，且过B作BE AP于点E，
∵ ，
∴ ，
∴P点在原点上，
则P为(0，0)．
综上所述点P的坐标为 或 或 ．
（3）
设向上平移了m可得
为(-1，-3+m)， 为(-3，-7+m)，
反比例函数关系式为 ，
∴ ，
解得m=9，
∴k= ，
∴反比例函数解析式为： ．
【点睛】此题是反比例函数与正方形结合的综合体，主要考查了反比例函数的性质、待定系数法、
全等三角形的性质和判定和等腰三角形的性质和判定，解决本题的关键是证明全等三角形和分类
讨论．15．如图，在平面直角坐标系中，四边形 为正方形，已知点 ， ，点 、
在第二象限内．
(1)点 的坐标_________；
(2)将正方形 以每秒1个单位的速度沿 轴向右平移 秒，若存在某一时刻 ，使在第一象限
内点 、 两点的对应点 、 正好落在某反比例函数的图象上，请求出此时 的值以及这个反
比例函数的解析式；
(3)在（2）的情况下，问是否存在 轴上的点 和反比例函数图象上的点 ，使得以 、 、 、
四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点 、 的坐标；若不
存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2) ，
(3)存在，点 、 的坐标为 、 或 、 或P(-7，0)、Q(-3,-2)．
【分析】（1）过点D作DE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，由正方形的性质结合同角的
余角相等即可证出△ADE≌△BAF，从而得出DE=AF，AE=BF，再结合点A、D的坐标即可求出点
B的坐标；
（2）设反比例函数为 ，根据平行的性质找出点B′、D′的坐标，再结合反比例函数图象上点
的坐标特征即可得出关于k、t的二元一次方程组，解方程组解得出结论；
（3）假设存在，设点P的坐标为（m，0），点Q的坐标为（n， ）．分B′D′为对角线或为边考虑，根据平行四边形的性质找出关于m、n的方程组，解方程组即可得出结论．
（1）
解：（1）过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，如图1所示．
∵四边形 为正方形，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ．
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ．
∵点 ， ，
∴ ， ，
∴点 的坐标为 ，即 ．
故答案为： ．
（2）
设反比例函数为 ，
由题意得：点 坐标为 ，点 坐标为 ，
∵点 和 在该比例函数图象上，∴ ，
解得： ， ，
∴反比例函数解析式为 ．
（3）
假设存在，设点P的坐标为（m，0），点Q的坐标为（n， ）．
以P、Q、B′、D′四个点为顶点的四边形是平行四边形分两种情况：
①B′D′为对角线时，
∵四边形B′PD′Q为平行四边形，
∴ ，
解得： ，
∴P（ ，0），Q（ ，4）；
②当B′D′为边时．
∵四边形PQB′D′为平行四边形，
∴ ，解得： ，
∴P（7，0），Q（3，2）；
∵四边形B′QPD′为平行四边形，
∴ ，
解得： ．
∴P（-7，0）、Q（-3，-2）.
综上可知：存在x轴上的点P和反比例函数图象上的点Q，使得以P、Q、B′、D′四个点为顶点的
四边形是平行四边形，
符合题意的点P、Q的坐标为：P（ ，0）、Q（ ，4）或P（7，0）、Q（3，2）或P（-7，
0）、Q（-3，-2）．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、正方形的性质、全等三角形的判定及性质、
平行四边形的性质以及解方程组，解题的关键是：（1）证出△ADE≌△BAF；（2）找出关于k、t
的二元一次方程组；（3）分类讨论．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的
坐标，利用反比例函数图形上点的坐标表示出来反比例函数系数k是关键．
16．如图1，四边形ABCD为正方形，点A在y轴上，点B在x轴上，且OA＝6，OB＝3，反比例
函数 在第一象限的图象经过正方形的顶点C．
(1)求点C的坐标和反比例函数的表达式；
(2)如图2，将正方形ABCD沿x轴向右平移m个单位长度得到正方形 ，点 恰好落在反
比例函数的图象上，求此时点 的坐标；(3)在（2）的条件下，点P为x轴上一动点，平面内是否存在点Q，使以点O、 、P、Q为顶点
的四边形为菱形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)C（9，3），
(2)
(3)存在，（－3，6）或（12，6）或 或
【分析】（1）过点C作CH⊥x轴，交于点H，根据正方形的性质及各角之间的关系得出
∠OAB=∠CBH，利用全等三角形的判定和性质得出BH=OA=6，CH=OB=3，即可确定点的坐标；
（2）利用（1）中方法确定D(6,9)，由点A’恰好落在反比例函数图象上，确定函数图象的平移方
式即可得出点D’的坐标；
（3）根据题意进行分类讨论：当OA’=OP时；当A’O=A’P时；当PO=PA’时；分别利用菱形的性
质及等腰三角形的性质求解即可．
（1）
解：过点C作CH⊥x轴，交于点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠CBH=90°，
∵∠ABO+∠OAB=90°，
∴∠OAB=∠CBH，
∴∆AOB ∆BHC，
∴BH=OA≅=6，CH=OB=3，
∴OH=9，∴C(9，3)
∵反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点C，
∴k=9×3=27，
∴ ；
（2）
如图所示，过点D作 轴， ， ,
同（1）方法可得： ，
∵ ，
∴四边形OGEA为矩形，
∴AO=EG=6，DE=OB=3，AE=AO=6，
∴D(6，9)，
∵点A’恰好落在反比例函数图象上，
∴当y=6时，x= ，
∴m= ，
∴D’(6+ ，9)即D’( ，9)；
（3）
当OA’=OP时，如图所示：∵A’( ，6)，
OA’= ，
四边形OPQA’是菱形，
A’Q∥OP，A’Q=OP，
Q(12,6)，
当点Q’在第二象限时，Q’(-3,6)；
当A’O=A’P时，如图所示：
点A’与点Q关于x轴对称，
Q( ，-6)；
当PO=PA’时，如图设P（m,0），则PO=PA’，
∴ ，
解得： ，
∴OP=A’Q= ，
∴Q( ，6)，
综上可得：Q( ，6)或( ，-6)或(12,6)或(-3,6) ．
【点睛】题目主要考查反比例函数的性质，正方形的性质，平移的性质，全等三角形的判定和性
质，菱形的性质，等腰三角形的性质等，理解题意，（3）中根据等腰三角形进行分类讨论是解题
关键．
17．如图，直线AD： 与坐标轴交于A、D两点，以AD为边在AD右侧作正方形ABCD，
过C作CG⊥y轴于G点，过点C的反比例函数 与直线AD交于E、F两点．
(1)求反比例函数 表达式；
(2)根据图像，求出不等式 的解集；
(3)在x上是否存在一点Q使 CBQ为等腰三角形，若存在，求出Q点坐标，若不存在，请说明理
由． △【答案】(1) ；
(2) ；
(3)Q点的坐标为： ， ， ， ， ．
【分析】（1）首先证明 ，再根据直线AD求出点A、D的坐标，利用全等三角形的
对应边相等，写出点C的坐标，将点C的坐标代入反比例函数的解析式，即可得出反比例函数的
表达式；
（2）利用图像可以看出当 时，一次函数图象在A点之后，E点之前符合条件，所以
将一次函数与反比例函数的表达式联立，求出点E的坐标，点A的坐标（1）中已求出，根据两点
的横坐标，即可得到不等式 的解集；
（3）△DAO≌△ABM得到点B的坐标，然后设出Q点的坐标，分别讨论当CB=CQ，BC=BQ，
QC=QB时，得出Q点的坐标．
（1）
证明： 四边形 是正方形，
， ，
，
轴，
，
，
，
在 和 中，
，
；
对于直线 ，
令 ，则 ，
，
，令 ，则 ，
，
，
， ，
，将点 代入反比例函数 中，得 ，
反比例函数的解析式为 ①．
（2）
解： 直线 的解析式为 ②，
联立①②得， ，
解得， 或 ，
， ；
由图象可得不等式 的解集为 ．
（3）
证明：如图，过点B作BM垂直于x轴垂足为M，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∵BM⊥x轴，x轴⊥y轴，∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵在△DAO和△ABM中
∴△DAO≌△ABM（AAS），
∴OA BM 1，OD AM 3，
∴OM AM－OA 2，
∴B（2，－1），
设Q（a，0）
CB＝ ，CQ＝ ，BQ＝
①当△CBQ为等腰三角形，CB＝CQ时，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
此时 ，
②当△CBQ为等腰三角形，BC＝BQ时，
∴ ，
∴ ，
解得： ， ，
此时 ， ，
③当△CBQ为等腰三角形，QC＝QB时，
∴ ，∴
解得： ，
此时 ，
∴Q点的坐标为： ， ， ， ， ．
【点睛】此题是反比例函数的综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，待
定系数法，解方程组等知识点，正确理解题意是解题的关键．
18．【发现】如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，连接EF．因为AB＝AD，所
以把 绕A逆时针旋转90°至 ，可使AB与AD重合．因为 ，所以
，所以F、D、G共线．如果______（填一个条件），可得 ．经过进
一步研究我们可以发现：当BE，EF，FD满足______时， ．
【探究】如图2，已知正方形ABCD的边长为4，一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两
边分别与边BC、DC的延长线交于点E、F，连接EF．设 ， ．当 时，
______， ______；当 时， ______， ______．
【应用】如图3，平面直角坐标系中，O为原点，点A、B分别在y轴、x轴的正半轴上，△AOB的两条外角平分线交于点P，P在反比例函数 的图像上，PA的延长线交x轴于点C，PB的
延长线交y轴于点D，连接CD．
①求△COD的面积；
②当△AOB面积最大时，请直接写出 的值．
【答案】【发现】 （答案不唯一）； ；【探究】 ， ； ，
；【应用】①△COD的面积为16；② ．
【分析】发现：由旋转的性质可得 ，又 ，故只需添加条件使之满足 或
即可；以 为条件，利用旋转的性质证明 ，利用全等三角形的性质进行
推导，可证 ．
探究：①证明 ，从而得 ，借助三角形内角和定理可得
，再证 ，由此可得 ，借助勾股定理求解 ；②证
明 ，由此可得 ， ．
应用：①作 于 ， 于 ， 于 ，利用角平分线的性质证明
，进而可得 的坐标，设 ， ，利用平行线间的成比例线段表示出 、 ，
然后计算 的面积，参数 、 可通过约分消除，得到最终答案；②由 可推出
，同理， ，由 可得 ，
由此可求得 的最大值，此时 的面积最大，结合①中结论 可求得此时
的值，即为所求．
【详解】解：发现：添加条件 ，证明如下：由旋转的性质可得 ， ．
在 与 中，
．
当 时， ，证明如下：
由旋转的性质可知 ， ， ，
，
即 ．
，
，即 ．
在 与 中，
，
．
当 时， ．
探究：①当 时，
四边形 是正方形，
， ， ，
在 与 中，
，
．
， ，
，即 ．
又 ，
，
即 ，，
，
，
，
，即 ；
②当 时，
， ，
是等腰直角三角形，且 ．
，
又 ，
．
在 与 中，
，
．
， ，
即 ， ．
应用：①作 于 ， 于 ， 于 ．
平分 ， 平分 ，
， ，
，
又 ，
四边形 是正方形．
在 与 中，
， ，
，同理， ，
， ．
设点 ，则 ，解得 ，
．
设 ， ，则 ， ，．
在 中， ，即 ，
整理得 ，
，
，即 ，
，同理可得 ，
．
② ， ，即 ，
同理， ，即 ．
，且 ，
，
，
，
，
，．
的面积的最大值为 ，此时 ．
由①得 ，
，
整理得 ，
当△AOB面积最大时， ．
【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，反比例函数的应用，全等三角形的性质与判定，
勾股定理，平行线分线段成比例定理，角平分线的性质定理，熟练掌握相关性质定理并灵活运用
是解题的关键．
