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§4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式
考试要求 1.理解同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，＝tan α.
2.掌握诱导公式，并会简单应用．
知识梳理
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系： .
(2)商数关系： .
2．三角函数的诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin α
余弦 cos α
正切 tan α －tan α
口诀 奇变偶不变，符号看象限
常用结论
同角三角函数的基本关系式的常见变形
sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；
cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)；
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)使sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( )
(2)若sin(kπ－α)＝(k∈Z)，则sin α＝.( )
(3)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.( )
(4)若α∈R，则tan α＝恒成立．( )
教材改编题
1．若cos α＝，α∈，则tan α等于( )
A．－ B. C．－2 D．22．若sin α＋cos α＝，则sin αcos α等于( )
A．－ B．－ C. D．2
3．化简·cos(2π－α)的结果为 ．
题型一 同角三角函数基本关系
例1 (1)(多选)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝，则下列结论正确的是( )
A．θ∈ B．cos θ＝－
C．tan θ＝－ D．sin θ－cos θ＝
(2)已知cos α＝－，则13sin α＋5tan α＝ .
(3)已知tan α＝2，则＝ ；sin2α＋cos2α＝ .
听课记录：______________________________________________________________
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思维升华 (1)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos
α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．
(2)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
跟踪训练1 (1)(2023·苏州模拟)已知＝5，则cos2α＋sin 2α等于( )
A. B．－ C．－3 D．3
(2)若α∈(0，π)，sin(π－α)＋cos α＝，则sin α－cos α的值为( )
A. B．－ C. D．－
题型二 诱导公式
例2 (1)已知x∈R，则下列等式恒成立的是( )
A．sin(3π－x)＝－sin x
B．sin ＝－cos
C．cos＝sin 3x
D．cos＝－sin 2x
(2)已知sin＝，且0<x<，则sin－cos的值为 ．
听课记录：______________________________________________________________
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思维升华 诱导公式的两个应用
(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了；
(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了．
跟踪训练2 (1)若＝，则tan α等于( )
A. B．－ C．－ D.(2)已知cos＝，则sin的值为( )
A. B．－ C. D．－
题型三 同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用
例3 (1)(2022·聊城模拟)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)
－1＝0，则sin α的值是( )
A. B. C. D.
(2)已知－π<x<0，sin(π＋x)－cos x＝－.则＝ .
听课记录：______________________________________________________________
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思维升华 (1)利用同角三角函数基本关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、
结论间的联系，灵活使用公式进行变形．
(2)注意角的范围对三角函数值符号的影响．
跟踪训练3 (1)(2023·衡水模拟)已知sin＋cos(π－α)＝sin α，则2sin2α－sin αcos α等于(
)
A. B. C. D．2
(2)已知sin＝，其中α∈，则cos＝ ，sin＝ .
