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2024−2025 学年度七年（上）期末试卷数学（人教版）（一）
一、选择题（每小题2分，共12分）
1. 的倒数是 （ ）
A. B. 2024 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了求一个数的倒数，乘积为1的两个数互为倒数，据此可得答案．
【详解】解：∵
∴ 的倒数是 ，
故选：C．
2. 若单项式 与 是同类项，则关于x的方程 的解为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查同类项、解一元一次方程，先根据同类项的定义（所含字母相同，且相同字母的指数也
相同）求出a和b的值，再代入 解一元一次方程即可．
【详解】解： 单项式 与 是同类项，
， ，
， ，
关于x的方程 为 ，解得 ，
故选C．
3. 如图所示为由 个大小相同的正方体组成的几何体，则从正面看到的平面图形是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了从不同方向看几何体．解题的关键是掌握从不同方向看几何体画出平面图形的方法．
找到从正面看所得到的图形即可，所有的看到的棱都应表现在从正面看到的图中．
【详解】解：从正面看到的平面图形是，
故选：B．
4. 已知关于x的方程 的解是 ，则a的值为（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的
值，据此把 代入原方程中求出a的值即可得到答案．
【详解】解；∵关于x的方程 的解是 ，
∴ ，
解得 ，故选：D．
5. 可化为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查度分秒的换算，根据 ， 进行计算即可．
【详解】解： ，
故选D．
6. 小刚同学在做作业时，不小心将方程 中的一个常数涂黑了，在询问老师后，老师
告诉她方程的解是 请问这个被涂黑的常数 是（ ）
A. B. 4 C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了方程的解，将 代入 求解即可．
【详解】解：将 代入 ，
得： ，
解得： ，
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7. 比 大2025的数是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了有理数的加法计算，计算出 加上2025的结果即可得到答案．
【详解】解： ，∴比 大2025的数是 ，
故答案为： ．
8. 据统计，2024年国庆节假期，全国国内出游人数约为765000000人次，与2023年相比，增长了 ．
765000000用科学记数法表示为_______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为 的形式，其中
， 为整数即可求解，解题的关键要正确确定 的值以及 的值．
【详解】解： ，
故答案为： ．
9. 如图，从小明家到学校有4条路，其中沿路线③走最近，其数学依据是______．
【答案】两点之间，线段最短
【解析】
【分析】本题考查了线段的性质，熟记线段的性质是解决本题的关键．
根据线段的性质即可求解．
【详解】解：依题意，小明家到学校有4条路，其中③走最近，
依据 是两点之间线段最短，
故答案为：两点之间，线段最短
10. 在方程 中用含x的代数式表示 ___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的等式的性质，根据等式的性质用含一个字母的式子表示另一个字母即可解题.【详解】解：
，
故答案为： ．
11. 某种商品原价为每件 元，第一次降价打八折，第二次降价每件又减 10元，则第二次降价后的售价是
______元．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查列代数式，解题的关键是理解题意；因此此题可根据题意易得第一次降价后的价格
为 元，然后问题可求解．
【详解】解：由题意得：第二次降价后的售价为 元；
故答案为 ．
12. 如图，是一个正方体的展开图，折叠后它们的相对两面的数字之和相等，则 的值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是几何体展开图的特征，根据展开图的形状求出对应面是解决本题的关键．
先找出每个面的对应值，再根据相对两面的数字之和相等，列式计算即可得出答案．
【详解】解：因为，正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
所以，3和 相对，x和y相对， 和2相对．
因为，相对两面的数字之和相等，所以， ， ，
所以， ， ，
所以， ．
13. 若代数式 与 的值互为相反数，则m的值是___________．
【答案】2
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，相反数的定义，根据互为相反数的两个数的和为0得到方程
，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵代数式 与 的值互为相反数，
∴ ，
∴ ．
故答案为：2．
14. 如图，射线 表示北偏西 ，射线 表示北偏东 ，且 ，则射线 表示的
方向是________．
【答案】北偏东
【解析】
【分析】本题考查方位角，熟练运用方位角表示物体的位置是解题的关键．求解 即可得到答案．
【详解】解：由题可知： ，
∵ ，∴ ，
如图，
∴ ，
∴射线 表示的方向是北偏东 ．
故答案为北偏东 ．
三、解答题
15. 解下列方程： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次方程．熟练掌握解一元一次方程是解题的关键．先去分母，去括号，然后
移项合并，最后系数化为1即可．
【详解】解： ，
去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项、合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ．
16. 计算： ．
【答案】【解析】
【分析】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级
运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．先算乘方，再算乘除法，最后
算加减．
【详解】解：
．
17. 先化简下式，再求值： ，其中 ， ．
【答案】 ，
【解析】
【分析】本题考查了整式的化简求值，先去括号，再合并同类项，化简后再代入求值即可．
【详解】解：
，
当 ， 时，原式 ．
18. 一个角的余角比它的补角的 还少 ，求这个角的度数．
【答案】这个角度数为60°
【解析】
【分析】此题综合考查余角与补角及一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题关键．首先根据余角
（如果两个角的和是90°，那么称这两个角“互为余角”）与补角（如果两个角的和是180°，那么称这两个角“互为补角”）的定义，设这个角为x，则它的余角为 ，补角为 ，再根据题中给
出的等量关系列方程即可求解．
【详解】解：设这个角度数为x，则它的余角为 ，补角为 ，根据题意得：
，
解得 ，
∴这个角度数为60°．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19. （1）解方程： ；
（2）阅读下面解不等式 的过程，完成任务：
解： ……第一步
……第二步
……第三步
……第四步
①第一步去分母的依据是 ；
②第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ；直接写出原不等式的正确解集是
；
③请你根据平时的学习经验，就解不等式时需要注意的事项给其他同学提出1条建议．
【答案】（1） （2）①不等式的性质②一，去分母时，没有添括号，导致符号出错， ③去分
母时注意常数项不要漏乘最小公倍数，去括号和移项时要注意符号的变化（合理准确即可）
【解析】
【分析】本题考查解一元一次方程，不等式的性质，解一元一次不等式：
（1）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，进行求解即可；
（2）①根据不等式性质，作答即可；②根据不等式的性质作答求解即可；
③根据解不等式的过程中易出现的问题，进行作答即可．
【详解】解：（1）
去分母，得： ，
去括号，得： ，
移项，合并，得： ，
系数化1，得： ；
（2）①去分母的依据是：不等式的性质；
故答案为：不等式的性质；
②第一步出现错误，错误的原因是去分母时，没有添括号，导致符号出错，
；
故答案为：一，去分母时，没有添括号，导致符号出错， ；
（3）去分母时注意常数项不要漏乘最小公倍数，去括号和移项时要注意符号的变化．
20. 已知多项式 ，其中 ， 满足 ．
（1）若 ， ，将多项式化简并求值；
（2）若多项式的值与字母 的取值无关，求 ， 的值．
【答案】（1） ，3
（2） ，
【解析】
【分析】本题考查了整式的化简求值，掌握整式加减的法则是解题的关键．
（1）先去括号，然后合并同类项，最后代入数值进行计算即可；
（2）先去括号，然后合并同类项，最后根据题意得出关于a、b的方程，解方程即可得．【小问1详解】
解：原式
把 ， 代入得：原式
∵ ，
∴原式
【小问2详解】
解：由（1）得：原式 ，
∵ ，
∴
把 代入 得：原式
∵多项式的值与字母 的取值无关，
∴ ， ，
解得： ，
21. 某车间为提高生产总量，在原有16名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是
新调入工人人数的3倍多4人．
（1）求调整后车间共有多少名工人；
（2）在（1）的条件下，每名工人每天可以生产120个螺栓或200个螺母，1个螺栓需要2个螺母，为使每
天生产的螺栓和螺母刚好配套，应该安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？
【答案】（1） 名
（2）10名工人生产螺栓，12名工人生产螺母，可使每天生产的螺栓和螺母刚好配套
【解析】
【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程．
（1）设调入x名工人，根据“调整后车间的总人数是调入工人人数的3倍多4人”得： ，
可解得答案；（2）设y名工人生产螺栓，由“1个螺栓需要2个螺母”，可得 ，即可解得答案．
【小问1详解】
解：设调入x名工人，根据题意得： ，
解得 ，
∴调入6名工人；
答：车间有工人 （名）．
【小问2详解】
设y名工人生产螺栓，则 名工人生产螺母，
∵每天生产的螺栓和螺母刚好配套，
∴ ，解得 ，
∴ ，
的
答：10名工人生产螺栓，12名工人生产螺母，可使每天生产 螺栓和螺母刚好配套．
22. 已知A，B，C，D四点在同一直线上，点D在线段 上．
（1）如图，若线段 ，点C是线段 的中点， ，求线段 的长度；
（2）若线段 ，点C是线段 上一点，且满足 ， ，求线段 的长
度（用含a的式子表示）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查线段和差倍分的计算，掌握线段中点、三等分点的概念是解题的关键．（1）根据线段中点的定义得到 ，于是得到 ；
（2）根据 ， ，得到 ， ，求得 ， ，于是得
到结论．
【小问1详解】
解： 线段 ，点 是线段 的中点，
，
，
；
【小问2详解】
点 在线段 上， ， ，
， ，
， ，
， ，
．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23. 定义一种新运算★：当 时， ；当 时， ．例如， ．
（1）计算： ________；
（2）对于式子 ，
①若 ，求 的值；
②当 的值分别取 ， ， ， （ 为整数）时，式子 的值的和的最大值为
_____．
【答案】（1）（2）① 的值为4或6；②16
【解析】
的
【分析】（1）根据新 运算列式计算即可；
（2）①分 和 两种情况讨论根据新定义计算即可；
②分别对x的取值范围进行讨论得出当 的值分别取 ， ， ， （ 为整数）时式子
的值，然后求和得到最大值即可得到答案．
【小问1详解】
解：∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
【小问2详解】
解：①当 ，即 时，则原式可化为 ，
解得 ；
当 ，即 时，原式可化为
综上， 的值为4或6．
②当 时， ，
∴当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
∴当 时，式子 的值的和 ，∵ ，
∴ ，
即 的最大值为14；
当 ，即 时， ，
∵
∴当 ，即 时，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
∴式子 的值的和 ，
∵ ，m取整数，
∴m最大只能取1，
∴ 的最大值为10；
当 时，x与 的大小关系不确定，分别考虑m取2、3、4时，计算 的
值的和，
当 时， ，
式子 的值的和为： ，
当 时， ，
式子 的值的和为： ，当 时， ，
式子 的值的和为： ，
综上所述， 式子 最大值为16．
【点睛】本题主要考查了新定义运算、代数式求值等知识点，正确理解代数式的值是解答本题的关键．
24. 如图，直角三角板的直角顶点O在直线 上， ， 是三角板的两条直角边， 平分 ．
（1）如图1，若 ，则 ________；
若 ，则 ________（用含 的代数式表示）；
（2）将图1中三角板绕O逆时针旋转到图2的位置时，试猜测 与 之间有怎样的数量关系，
并说明理由．
【答案】（1） ，
（2） ，理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了角的计算，角平分线的计算．正确使用角平分线的计算是解题的关键．
（1）①利用角的和差可求得 ，利用角平分线的性质得到 ，再利用平角的定义，
可求；
（2）设 ，则 ，利用角平分线的性质得到 ，进而可求得 ，从而得到 ．
【小问1详解】
解：若 ，
，
．
平分 ，
．
；
若
，
．
平分 ，
．
．
故答案为： ， ；
【小问2详解】
解： ，理由如下：
设 ，则 ，
平分 ，
，
∵ ，，
∴ ．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25. 综合应用
春节前夕，某商场从厂家购进了甲、乙两种商品，乙种商品的每件进价比甲种商品的每件进价高20元．若
购进甲种商品10件，乙种商品2件，需要1000元．
（1）求甲、乙两种商品的每件进价分别是多少元？
（2）若甲种商品按标价出售，则每件可获利40元，为了促销，现对甲种商品在标价基础上打折出售，若
按此促销方案售出6件所能获得的利润，与按标价每件降价35元出售12件所获得利润一样，求甲种商品
打了几折出售？
（3）该商场从厂家购进了甲、乙两种商品共60件，所用资金恰好为5600元，在销售时，甲种商品的每件
售价为100元，要使得这60件商品全部售出所获利润率为25%，求每件乙种商品售价为多少元？
【答案】（1）甲种商品的进价80元，则乙种商品的进价100元
（2）甲种商品打了七五折出售
（3）乙种商品的售价为125元
【解析】
【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出方程．
（1）设甲乙两种商品的进价分别为x元、 元，由“甲种商品的件数 甲种商品的单价 乙种商品
的件数 乙种商品的单价 总金额”建立方程，再求解即可．
（2）设甲种商品打了 折，根据“售出6件商品获得的利润与售出12件商品获得的利润相同”建立方程，
求解即可．
（3）设购进甲种商品 件，建立方程 ，求得甲乙两种商品的件数；设乙种商品的
售价为 元， 则售出甲乙两种商品的利润之和等于全部售出所获利润的 ，以此建立方程即可求解．
【小问1详解】
的
解：设甲种商品 进价 元，则乙种商品的进价 元，
由题意可得， ，解得 ，
（元 ，
甲种商品的进价80元，则乙种商品的进价100元．
【小问2详解】
设甲种商品打了 折，
由题意可知， ，
解得 ，
甲种商品打了七五折出售．
【小问3详解】
设购进甲种商品 件，乙种商品的售价为 元，
由题意可知， ，解得 ，
（件 ，即购进乙种商品40件．
，
解得 ，
乙种商品的售价为125元．
26. 已知：如图，点M是线段 上一定点， ，C、D两点分别从M、B出发以 、
的速度沿直线 向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段 上，D在线段 上）
（1）若 ，当点C、D运动了 ，此时 ， ；（直接填空）
（2）当点C、D运动了 ，求 的值；
（3）若点C、D运动时，总有 ，则 ；（直接填空）（4）在（3）的条件下， 是直线 上一点，且 ，求 的值．
【答案】（1） ；
（2）
（3）
（4） 或1
【解析】
的
【分析】本题考查了线段上 动点问题，线段的和差，较难的是题（4），依据题意，正确分两种情况
讨论是解题关键．
（1）先求出 、 的长，再根据线段的和差即可得；
（2）先求出 与 的关系，再根据线段的和差即可得；
（3）根据已知得 ，然后根据 ，代入即可求解；
（4）分点N在线段 上和点N在线段 的延长线上两种情况，再分别根据线段的和差倍分即可得．
【小问1详解】
解：根据题意知， ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
故答案为： ； ．
【小问2详解】
解：当点C、D运动了 时， ， ，
∵ ，
∴ ；
故答案为： ；【小问3详解】
解：根据C、D的运动速度知： ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
【小问4详解】
解：①当点N在线段 上时，如图1，
∵ ，
又∵
∴ ，
∴
∴ ；
②当点N在线段 的延长线上时，如图2，
∵ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ；综上所述： 或1．
