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专题 05 三角恒等变换
一、核心先导
二、考点再现
sinθ
cosθ
1 同角三角函数的基本关系式 ： ， = ，
2 正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）
3 和角与差角公式
; ;
(sinα±cosα) 2 =1±2sinαcosα
.
= ( 由点 的象限决定, ).
3 二倍角公式及降幂公式
.
.
4 三角函数的周期公式
函数 ， (A,ω, 为常数，且A≠0)的周期 ；
函数 ， (A,ω, 为常数，且A≠0)的周期 .三角函数的图像：
y=sinx y
1
-π/2 3π/2
-2π -3π/2 -π o π/2 π 2π x
-1
三、解法解密
1．基本公式的变形
(1)、 诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变,符号看象限．
[来源:学科网ZXXK]
(2)、同角三角函数基本关系式的常用变形：
(sin α±cosα)2＝1±2sin αcosα；(sin α＋cosα)2＋(sin α－cosα)2＝2；
(3)、降幂公式：cos2α＝,sin2α＝.
(4)、升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α,1－cos 2α＝2sin2α.
(5)、辅助角公式：asinx＋bcosx＝sin(x＋φ),其中sin φ＝,cosφ＝.
2．对称与周期
(1)、正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称
轴之间的距离是个周期．
(2)、正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．
3．奇偶性
若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A,ω≠0),则(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)；(2)f(x)为奇函数的充要条件
是φ＝kπ(k∈Z)．
4．由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0,φ>0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度．
5．函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋,k∈Z确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ,k∈Z确定其横坐标．
6.三角形中的三角函数关系
(1)、sin(A＋B)＝sin C；(2)、cos(A＋B)＝－cos C；(3)、sin ＝cos ；(4)、cos ＝sin .
7.若G是△ABC的重心，则GA＋GB＋GC＝0.
8.在△ABC中，若AB·BC<0，则△ABC为钝角三角形．
9. 在△ABC中，若 成等差数列，则 ；若 成等比数列，则 ；若 成等差
数列，则 .
10.在锐角△ABC中， ， ， .
四、考点解密
题型一:应用三角函数公式化简求值
例1．（1）、（2022·河北·模拟预测（理））已知 ，则 （ ）A． B． C． D．
1sin
(0, ),(0, ), tan ,
（2）、设 2 2 且 cos 则( )
3 3
2 2
A. B.
2 2
2 2
C. D.
【变式训练1-1】、已知 ,那么 等于（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-2】、（2022·广东韶关·一模）已知 ，且 ，则 ___________.题型二:应用三角函数的性质求参数的范围
例2．（1）、（2022·吉林·东北师大附中模拟预测）已知函数 ，若关于x的方程
在 上有三个不同的实根，则实数m的取值范围是_________．
（2）、【2017河北沧州一中11月月考】将函数 的图象向右平移 个单位后得到函数
的图象,若函数 在区间 和 上均单调递增,则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
【变式训练2-1】、【2018届江苏省常熟市高三上学期期中】已知函数 ,若对任意的实
数 ,都存在唯一的实数 ,使 ,则实数 的最小值是__________．
【变式训练2-2】、（2022·广西北海·一模（理））已知函数 ，将 的图
象上所有点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变，得到函数 的图象，已知 在 上恰有5个
零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．题型三:三角函数的图像变换
例3．（1）、（2022·广西·模拟预测（理））若将函数 的图象向右平移
个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
（2）、（2023·全国·模拟预测（理））已知函数 与函数 的部分图象
如图所示，且函数 的图象可由函数 的图象向右平移 个单位长度得到，则 （ ）
A． B．1 C． D．
【变式训练3-1】、（2022·全国·安阳市第二中学模拟预测（理））已知函数 （
， ， ）的部分图象如图所示，其中 ， ， ．将函数 的图
象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移 个单位长度，得到函数 的图
象，则函数 的单调递减区间为（ ）．
A． ( ) B． ( )
C． ( ) D． ( )【变式训练3-2】、（2022·河南河南·一模（文））把函数 的图象向左平移 个单位，再将得
到的曲线上所有点的横坐标变为原来的 倍， 纵坐标不变， 得到函数 的图象. 若函数
在 上恰有 3 个零点， 则正数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型四:与数列、向量等结合的综合问题
例4．（1）、（2022·浙江省杭州学军中学高一期中）已知 为单位向量，且 ，若非零向量
满足 ，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
（2）、【2018 届河北省定州高三上学期期中】设向量 满足 ， ，
，则 的最大值等于（ ）
A. 4 B. 2 C. D. 1
【变式训练4-1】、设 2a n =a m +a p的内角5⋅3 2 n−3 = 5⋅3 1 m−3 + 5⋅3 1 p−3 ⇒的对边分别为2= 5 5 ⋅ ⋅ 3 3 m n− − 3 3 + 5 5 ⋅ ⋅ 3 3n p − − 3 3,且 5 5 ⋅ ⋅ 3 3 m n− − 3 3 > 5 5 ⋅ ⋅ 3 3 m n− − 3 3 + + 3 3 =3n−m≥3成等比数列,则角 5 5 ⋅ ⋅ 3 3n p − − 3 3 >0的取值范围
是( )
π π π π
(0, ] [ ,π) (0, ] [ ,π)
6 6 3 3
A． B． C． D．【变式训练4-2】、（2020·湖南·长郡中学模拟预测（理））如图， ， ， 是由直线 引出的三个不重
合的半平面，其中二面角 大小为60°， 在二面角 内绕直线 旋转，圆 在 内，且圆
在 ， 内的射影分别为椭圆 ， .记椭圆 ， 的离心率分别为 ， ，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．五、分层训练
A组 基础巩固
1．（2022·河北·模拟预测）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2022·四川资阳·一模（理））已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2022·江苏·苏州外国语学校模拟预测）若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·吉林长春·模拟预测）定义域为 的函数 ，其值
域为 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·四川资阳·模拟预测（文））已知函数 ，其中 ．若 在区间
上单调递增，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·河北沧州·二模）将函数 图象上的点 向右平移 个单位长度得
到点 ，若 恰好在函数 的图像上，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测）求值 _________．
8．（2022·江西师大附中三模（理））定义在 上的函数 有零点，且值域 ，则 的取值范围是__________．
9．（2022·黑龙江·大庆实验中学模拟预测）已知函数 在 有且仅有
个零点，则 的取值范围为__________．
10．（2022·安徽·芜湖一中三模（理））已知函数 的图象与函数
的图象相邻的三个交点依次为A，B，C，且 的面积是 ，则 ______．
11．（2021·陕西·宝鸡市陈仓区教育体育局教学研究室一模（理））已知函数
的最小正周期为 ．
求 的值；
中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， ， ， 面积 ，求b．
12．（2022·四川泸州·模拟预测（文））已知函数 .
（1）求 的最小正周期和 的单调递减区间；
（2）当 时，求函数 的最小值及取得最小值时x的值.13．（2021·浙江·温州中学模拟预测）已知函数 ．
（Ⅰ）求函数 在区间 上的值域．
（Ⅱ）在 中，角A，B，C，所对的边分别是a，b，c，若角C为锐角， ，且 ，求
面积的最大值．B组 能力提升
14．（2022·全国·模拟预测）将函数 的图象向左平移 个单位长
度后，得到函数 的图象，若 满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
15．（2022·浙江·永嘉中学高一竞赛）已知点 是边长为 的正五边形 内(含边界)一点，则
的最大值是（ ）
A． B． C． D．
16．（2023·全国·高三专题练习）奔驰定理：已知 是 内的一点，若 、 、 的面积
分别记为 、 、 ，则 ．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，
这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知 是
的垂心，且 ，则 ( )
A． B． C． D．
17．（2022·江苏·扬中市第二高级中学模拟预测）（多选题）在 中，角 、 、 的对边分别为 、
、 ，面积为 ，有以下四个命题中正确的是（ ）
A． 的最大值为
B．当 ， 时， 不可能是直角三角形
C．当 ， ， 时， 的周长为
D．当 ， ， 时，若 为 的内心，则 的面积为
18．（2022·全国·武功县普集高级中学模拟预测（理））若 的图象向右平移 个单
位长度得到 的图象，则 的值可以是______．（写出满足条件的一个值即可）19．（2022·山东潍坊·三模）已知函数 向右平移 个单位长度后得到 ．若对于任意的
，总存在 ，使得 ，则 的最小值为______．
20．（2022·江苏扬州·模拟预测）已知函数 ，将 的图象上所有点横坐标变为原
来的 倍（纵坐标不变），再将所得函数图象向左平移 个单位长度，得到 图象，若 在
有 个不同的解 ，则 __________.
21．（2021·广东深圳·二模）著名的费马问题是法国数学家皮埃尔德费马（1601-1665）于1643年提出的平
面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”费马问
题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当 的三个内角均小
于 时，则使得 的点 即为费马点．已知点 为 的费马点，且
，若 ，则实数 的最小值为_________．
22．（2020·江苏·南京师大附中模拟预测）在锐角三角形 中，已知
，则 的取值范围是________.
23．（2021·江西九江·二模（文））费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三
角形三个内角都小于 时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为 .已知点 为 的费
马点，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ，且 ，则
的值为__________.C组 真题实战练
24．（2021·全国·高考真题）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
25．（2013·重庆·高考真题（理））4cos50°﹣tan40°=（ ）
A． B． C． D．2 ﹣1
26．（2014·全国·高考真题（文））函数 的最大值为________．
27．（2007·重庆·高考真题（理））若函数 的最大值为2,则
.
28．（2007·上海·高考真题）函数 的最小正周期为_____________．
29．（2007·北京·高考真题（文））已知向量 ，且 ，那么 与
的夹角的大小是___________.
30．（2021·浙江·高考真题）设函数 .
（1）求函数 的最小正周期；
（2）求函数 在 上的最大值.31．（2017·浙江·高考真题）已知函数
（I）求 的值
（II）求 的最小正周期及单调递增区间.
32．（2015·广东·高考真题（文））已知 .
（1）求 的值；
（2）求 的值.
