文档内容
专题 05 三角函数的图象与性质
目录
题型一： 三角函数的定义域...........................................................................................................3
题型二： 三角函数的值域...............................................................................................................5
题型三： 三角函数的单调性...........................................................................................................8
题型四： 三角函数的周期性、对称性、奇偶性........................................................................10
题型五： 综合运用.........................................................................................................................15
知识点总结
知识点一、“五点法”作图
(1)在确定正弦函数y＝sin x在[0,2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是(0,0)，， (π ，
0)，， (2π ， 0) ．
(2)在确定余弦函数y＝cos x在[－π，π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是 ( － π ，－
1)，，(0,1)，， (π ，－ 1) ．
知识点二、三角函数的图象和性质
函数性质 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象(一
个周期)
｛ x|x≠kπ ＋ ，
定义域 R R
k∈Z｝
值域 [ － 1,1] [ － 1,1] R当 x＝＋2kπ 时，y
max 当x＝2kπ时，y ＝1；
最值 ＝1； max
无
当x＝2kπ＋π时，y ＝
(k∈Z) 当 x＝－＋2kπ 时， min
－1
y ＝－1
min
对称轴： 对称轴：
无对称轴；
对称性 x＝kπ＋； x ＝ k π ；
对称中心：
(k∈Z) 对称中心： 对称中心：
( k π ， 0)
最小正
2π 2π π
周期
单调递增区间： [2 k π －
单调性 单调递增区间：； π ， 2 k π] ； 单调递增区间：
(k∈Z) 单调递减区间： 单调递减区间： [2 k π ，
2 k π ＋ π]
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
例题精讲
题型一：三角函数的定义域
【要点讲解】根据函数解析式特征列出与三角函数有关的不等式,借助三角函数性质及图象
求解.
涉及与正切函数有关的定义域,要注意正切函数本身的定义域.
【例1】函数 的定义域为 ，且 ， ．
【解答】解： 函数 ，，且 ， ，
函数 的定义域为 ，且 ， ， ，
故答案为： ，且 ， ， ，
【变式训练1】（ 2022 春 • 南 阳 期 末 ） 函 数 的 定 义 域 是
．
【解答】解：要使函数有意义，需要满足 ，
解得： ，
即 ，
故答案为 ．
【变式训练2】（2023春•金牛区校级月考） 定义域为
A． B．
C． D．
【解答】解：由题意得 ，
解得 ，故定义域为 ．
故选： ．【变式训练3】求下列函数的定义域：
（1） ；
（2） ；
（3） ．
【解答】解：（1）要使 有意义，可得 ，解得 ，
；
（2）要使 有意义，
可得 ，即： ，
解得 ， ；
（3）要使 有意义，可得 ．
所以函数的定义域为： ， ．
题型二：三角函数的值域
【要点讲解】(1)求解形如或可化为 或 的值
域,先求出 的范围,再结合三角函数的性质求最值.
(2)形如或可化为 的函数值域问题,可以通过换元转化为
二次函数最值问题.
(3)形如或可化为 ,其中f(x),g(x)为正、余弦函数,常将已知条件式变形后,利用
正、余弦函数的有界性求解;(4)形如 的三角函数,可先设 ,化为关
于t的二次函数再求值域(最值).
【例2】（2022秋•南关区校级期末）函数 的值域是
A． ， B． C． D．
【解答】解：由于函数 ，
在 处，函数最大值2，在 处，取得最小值为 ，
故可知函数的值域为： ， ．
故选： ．
【变式训练1】（2023春•郫都区校级期中）若函数 的最大值为 ，则 的值
等于
A．2 B． C．0 D．
【解答】解：由于 ，所以 时， 取最大值，
故 ，所以 ．
故选： ．
【变式训练2】（2023春•全南县校级期中）已知函数 ，任取 ，记函数
在 ， 上的最大值为 ，最小值为 ，设 ，则函数 的值域为
A． B． C． D．
【解答】解：因为 ，其中 ， 分别是指 在区间 ，
上的最大值和最小值，因为 的周期 ，故 在区间 ， 的图象与在区间 ， 上的图
象完全相同，
故 ， ，故 ，即 是周期为4的函数，故 ， 的值
域与 ， ， 时的值域相同；
又 在 ， 单调递减， ， 单调递增，在 ， 单调递减，
故当 时， 在区间 ， 上的最大值为 ，最小值为 ，此时
；
当 时， 在区间 ， 上的最大值为 ，最小
值为 ，此时 ；
当 ， 时，在区间 ， 上的最大值为，最小值为 ，此时
；
当 时， 在区间 ， 上的最大值为 1，最小值为 ，此时
；
当 时， 在区间 ， 上的最大值为 1，最小值为 ，此时
；
当 ， 时 ， 在 区 间 ， 上 的 最 大 值 为 ， 最 小 值 为
，此时 ；故 在 ， 的函数图象如下所示：
数形结合可知， 的值域为 ．
故选： ．
【变式训练3】（2023春•长葛市校级月考）求下列函数的值域，并求出最值．
（1） ， ，
（2） ．
【解答】解：（1） ， ，
，
，
，
值域为 ， ，最小值是1，最大值是2；
（2）
，又 ，
当 时，
当 时， ，
所以 的值域为 ， ，最小值是 ，最大值是1．
题型三：三角函数的单调性
【要点讲解】1.形如 的单调区间求法
将 看作一个整体,结合 的性质求解,若 时,先利用诱导公式将x的系数
化为正数.
2.已知单调区间求参数范围的两种方法
(1)求出原函数的相应单调区间,由已知区间是所求某区间的子集,列不等式(组)求解.
(2)由所给区间求出整体角的范围,由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集,
列不等式(组)求解.
【例3】（2023春•凌源市月考）下列区间中，函数 单调递增的是
A． B． C． D．
【解答】解：由 ，
得 ．
所以 在 上不单调递增，
在 上单调递增．
故选： ．
【变式训练1】（2023秋•崂山区校级期末）下列区间中，函数 的单调递增区间是
A． B． ， C． ， D． ，
【解答】解：函数 ，
由 ， ，
解得 ， ，
取 ，可得 ．
， ， ，
函数 单调递增的区间是 ， ．
故选： ．
【变式训练2】（2022•长治模拟）下列区间中，函数 单调递增的是
A． B． C． D．
【解答】解：函数 ，
令 ，
解得 ，
所以函数 的单调递增区间是 ，
因为 ，
所以函数 单调递增的是 ，
故选： ．
【变式训练3】（2022春•河北月考）函数 的单调递减区间为A． B．
C． D．
【 解 答 】 解 ： 将 整 体 代 入 正 弦 函 数 单 调 递 减 区 间 ， 即
．解得 ，
所以函数 的单调递减区间为 ．
故选： ．
题型四：三角函数的周期性、对称性、奇偶性
【要点讲解】1.三角函数周期的求法
① 求 或 或 ( 为 常 数 ,
)的周期直接应用公式 或 求解.
②形如y=|f (x)|(其中f(x)是三角函数)的周期,可以借助函数图象特征或定义求解.
2.三角函数奇偶性判断及应用
三角函数奇偶性判断借助定义,而根据奇偶性求解问题则利用性质 为奇函
数,则 ,若 为偶函数,则 .
【例4】（2023春•镇巴县期末）已知函数 在 上单调递
减，且 ， ，则
A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：因为函数 ，
当 时， ，
因为函数 在 上单调递减，
则 ，其中 ，
所以 ，其中 ，解得 ，
所以 ，解得 ，又因为 且 ，则 ，
所以 ，因为 ， ，即 ，
所以 ，解得 ，因此， ．
故选： ．
【变式训练1】（2023•镇安县校级模拟）若函数 在区间 上单调
递减，则正数 的取值范围为
A． B． C． D．
【解答】解：根据 在区间 上单调递减，
得 ，
可得 ，
又由 ，
必有 ，
可得 ，即正数 的取值范围为 ， ．
故选： ．
【变式训练2】（2023•烟台模拟）已知函数 在 上单调
递增，则 的取值范围为
A． B． C． D．
【解答】解：由 ，所以 ，
又 ，所以 ，
且函数 在 上单调递增，
所以 ，解得 ，
即 的取值范围为 ．
故选： ．
【变式训练3】（2023•宜春模拟）已知函数 满足 ，且
在 上单调，则 在 上的值域为
A． ， B． ， C． ， D．
【解答】解：由 得 ， 或 ，
当 时 在 上不单调，
当 时 在 上单调，
所以 ．当 时， ，
所以 ，
所以在 上的值域为 ， ．
故选： ．
【例5】（2023春•新邱区校级期中）函数 的最小正周期是
A． B． C． D．
【解答】解：由正切函数的周期公式得函数 的最小正周期是 ；
故选： ．
【变式训练1】（2023春•凉州区期中）函数 的最小正周期和最大值
分别是
A． 和3 B． 和2 C． 和3 D． 和2
【解答】解： 的最小正周期 ，最大值为 ．
故选： ．
【变式训练2】（2023春•金安区校级期中）函数 的最小正周期为
，则
A．4 B．2 C．1 D．
【解答】解：由 得 ，
故选： ．
【变式训练3】（2023•广东模拟）已知函数 ， 的最小正周期为 ，若 ，且 为函数 的极值点，则 的最小值为
A．3 B． C． D．
【解答】解： ， ，
，
得 ．
则 ，
为函数 的极值点，
， ，
得 ， ，
， 当 时， 最小，最小为 ．
故选： ．
【例6】（2023春•房山区期中）已知函数 ．
（Ⅰ）求 的最小正周期；
（Ⅱ）求 的单调递减区间．
【解答】解：因为 ．
（Ⅰ）故 的最小正周期 ；
（Ⅱ）令 ， ，
则 ，
故 的单调递减区间为 ， ， ．【变式训练1】（2023春•简阳市校级期中）已知函数 ．
（1）求 的最小正周期；
（2）求当 时， 的值域．
【解答】解：（1） ，
，
，
，
的最小正周期 ．
（2） ， ，
，
故 的值域 ．
【例7】（2023春•合江县校级期中）下列直线中，是函数 图象的对称
轴的是
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
【解答】解： ，
由 ， ，得 ， ．
取 ，可得 ．函数 图象的一条对称轴为直线 ．
故选： ．
【变式训练1】（2023•扬州三模）以点 为对称中心的函数是
A． B． C． D．
【解答】解： 的对称中心为 ， ， 错误；
的对称中心为 ， ， 错误；
的对称中心为 ， ， 正确；
令 ，
，不恒等于0，
的图象不关于 ， 成中心对称， 错误；
故选： ．
【变式训练2】（2023春•朝阳区校级月考）已知函数 的最
小正周期为 ，且 恒成立，则 图象的一个对称中心坐标是
A． B． C． D．
【解答】解：依题意， ，
解得 ，
又 ，则 ，所以 ，
令 ，
解得 ，
令 ，可得 ，
所以函数 的一个对称中心为 ．
故选： ．
题型五：综合运用
【例8】（2023春•焦作期末）已知函数 的图象的一个对称中心
的横坐标在区间 内，且两个相邻对称中心之间的距离大于 ，则 的取值范围为
A． B． C． D．
【解答】解：函数 ， ，
令 ， ；
， ；
图象的一个对称中心的横坐标在区间 内，
所以 ，
又因为 ，所以 ， ；
时， ，
又因为 图象两个相邻对称中心之间的距离大于 ，所以 ，由 ，所以 ，
所以 的取值范围是 ， ．
故选： ．
【变式训练1】（2023春•高安市校级期中）函数 ，则下列结
论正确的是
A． 的最大值为1
B． 的图象关于点 对称
C． 在 上单调递增
D． 的图象关于直线 对称
【解答】解：
．
对于 选项， ， 错；
对于 ， 选项， ，
所以函数 的图象关于点 对称，不关于点 对称，
没有取得最值，则 的图象不关于直线 对称， ， 均错；
对于 选项，当 时， ，
所以 在 上单调递增， 对．
故选： ．课后练习
一．选择题（共6小题）
1．（2023春•盐城期中）设函数 在区间 恰有三条对称轴、两个零
点，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：由函数 ， ，
可得 ， ．
由题意可得 ，
解得 ．
故选： ．
2．（2023•唐山二模）函数 的单调递减区间为
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【解答】解：令 ，
解得 ，
故单调递减区间为 ，
故选： ．
3．（2023•武侯区校级模拟）当 ， 时，函数 的值域是 ，，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：法一：由题意，画出函数的图象．
由 ， ，可知 ，
因为 且 ，
要使 的值域是 ， ，只要 ，
即 ， ．
法二：由题 ， ，可知 ，
由 的图像知，要使 的值域是 ， ，
则 ，解之得 ， ．
故选： ．
4．（2023•武侯区校级模拟）已知函数 在 上单调递增，则
在 上的零点可能有
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【解答】解：由 ，， ，
即 只能取0，得 ，
因为 在 上单调递增，则 解得 ，
由 ，则 ，设 ，
则 ，
因为 ，且 ，
所以函数 在 上的零点最多有2个．
故选： ．
5．（2023春•西城区校级期中）函数 的图象
A．关于直线 对称 B．关于直线 对称
C．关于点 对称 D．关于点 对称
【解答】解：对于函数 ，
令 ，求得函数值 ，不是最值，故它的图象不关于直线 对称，也不关于点
对称，故 ， 错误；
令 ，求得函数值 ，是最值，故它的图象关于直线 对称，故 正确；
令 ，求得函数值 ，是最值，故它的图象不关于点 对称，故 错误．
故选： ．
6．（2023•广州二模）已知函数 ，若 恒成立，且，则 的单调递增区间为
A． B．
C． D．
【解答】解：函数 ，其中 为实数，若 ，对 恒成立，
则： 为函数 的对称轴，
， ， ， ，
由于 ， ，
不妨取 ，
即： ，
令： ， ，
解得： ， ，
则 的单调递增区间为 ， ， ．
故选： ．
二．多选题（共2小题）
7．（2023春•振兴区校级期中）下列关于函数 的表述正确的是
A．函数 的最小正周期
B． 是函数 的一条对称轴
C． 是函数 的一个对称中心
D．函数 在区间 上是增函数【解答】解：对于函数 ，
对于 ：由于函数的周期 ，故 正确；
对于 ：当 时， ，故 正确；
对于 ：根据选项 的结论，故 错误；
对于 ：由于 ，所以 ，故 正确．
故选： ．
8．（2022秋•保定期末）已知函数 ，对 ， ， ， ，
且 ， 都有 ，满足 的实数 有且只有3个，则下列选
项中正确的是
A． 的取值范围是
B． 的最小值为
C．满足条件的实数 有且只有2个
D．满足条件的实数 有且只有2个
【解答】解： 函数 ，对 ， ， ， ，
且 ， 都有 ，
的极大值为 ，极小值为 ．
满足 的实数 有且只有3个，
在区间 ， 上，有且只有3个零点，故函数的最大值为2，最小值为 ，故
错误；设 ，则当 ， 时， ， ，
作 的图象如图所示：
，求得 ，故 正确；
满足条件的实数 可能有1个，也可能2个，故 错误；
结合函数的图象可得，满足条件的实数 有且只有2个，故 正确，
故选： ．
三．填空题（共4小题）
9．（2023•湖北模拟）已知函数 ，若 是函数 的图像
的一条对称轴， 是函数 的图像的一个对称中心，则 的最小值为 ．
【解答】解：根据题意可得， ， ， ， ，
， ，
又 ，故 ．
故答案为： ．
10．（2023•闵行区校级一模）已知 ，若在 上恰有两个不相等的实数 、 满足 （a） （b） ，则实数 的取值范围是 ， ．
【解答】解：因为 ，所以 ，
因 为 在 上 恰 有 两 个 不 相 等 的 实 数 、 满 足 （ a ） （ b ） ， 且
，
所以，函数 在 上恰有两个最大值点，
所以， ，解得 ，
因此，实数 的取值范围是 ， ．
故答案为： ， ．
11．（2023•绵阳模拟）已知函数 ，则 在 ， 上的零点
个数为 2 ．
【解答】解： 函数
的零点个数，即方程 的
实数根的个数．
当 时，
0， ，
本题即求函数 ， 0， 和直线 交点的个数．
由于 ，
故函数 ， 0， 图中蓝色曲线和直线 交点的个数为2．
故答案为：2．12．（2022秋•荔湾区校级期末）函数 图象的一个对称中心为 ，图
象的对称轴为 ．
【解答】解：函数 的图象对称中心为 ，
可 知 ， 可 得 ， 令
．
得 ．
故答案为：
四．解答题（共3小题）
13．（2022秋•金凤区校级月考）已知函数 ， ．
（1）求 的对称轴方程；
（2）求 在区间 上的单调区间．
【解答】解：（1），
令 ， ，解得 ， ，
的对称轴方程为 ， ．
（2） ，
， ，
当 ， ，即 ， 时，函数 单调递减；
， ，即 ， 时，函数 单调递增．
在区间 上的单调递减区间为 ， ，单调递增区间为 ， ．
14．（2022秋•河南月考）已知函数 的最大值为 ．
（1）求函数 的最小正周期以及单调递增区间；
（2）求使 成立的 的取值集合．
【 解 答 】 解 ： 函 数
的最大值为 ， ，
函数 ，故它的最小正周期为 ．令 ， ，求得 ， ，
故函数的增区间为 ， ， ．
（2） ，即 ，即 ，
，求得 ， ，
故使 成立的 的取值集合为 ， ．
15．（2022春•凉州区校级期中）已知函数 ．
（1）求 的值；
（2）求 的最小正周期；
（3）求函数 的单调递减区间．
【解答】解：因为 ，
所以（1） ；
（2） ；
（3）由 ， ，
可得 ， ，
所以 的单调递减区间为： ， ， ．
