文档内容
第 02 讲 三角恒等变换
本讲为高考命题热点，分值10分，题型以选择题为主，多出现于高考前六题选择题中，
平面向量主要考察线性运算，坐标运算与数量积运算，近几年多考察拓展类，例如平面向
量中的范围最值，平面向量与三角函数结合等内容；复数主要考察复数的概念，四则运算
与复数的模与几何意义，考察逻辑推理能力，运算求解能力.
考点一 同角三角函数的基本关系是与诱导公式
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系： sin 2 α ＋ cos 2 α ＝ 1 .
(2)商数关系： ＝ ta n__α.
2.三角函数的诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
2kπ＋
角 π＋α －α π－α －α ＋α
α(k∈Z)
－
正弦 sin α － si n__α sin__α cos__α cos__α
sin__α
－
余弦 cos α － co s__α cos__α sin__α － si n__α
cos__α
－
正切 tan α tan__α － ta n__α
tan__α
函数名改变，符号看
口诀 函数名不变，符号看象限
象限
3.同角三角函数关系式的常用变形
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α.
3.诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不
变指函数名称的变化.
4.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.考点二 三角恒等变换
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin(α±β)＝sin__ α cos __ β ±cos __ α sin __β.
cos(α∓β)＝cos__ α cos __ β ±sin __ α sin __β.
tan(α±β)＝.
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2α＝2sin__ α cos __α.
cos 2α＝ cos 2 α － sin 2 α ＝ 2cos 2 α － 1 ＝ 1 － 2sin 2 α .
tan 2α＝.
3.函数 f(α)＝asin α＋bcos α(a，b 为常数)，可以化为 f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝
·cos(α－φ).
4.tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β).
5.cos2α＝，sin2α＝.
6.1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝sin.
高频考点一 诱导公式的应用
【例1】化简的结果是( )
A.－1 B.1
C.tan α D.－tan α
【答案】C
【解析】由诱导公式，得原式
＝＝＝tan α，故选C.
【例2】 2.(2021·长春模拟)已知α为锐角，且＝tan，则角α＝( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由条件得＝，又因为α为锐角，所以sin＝cos，即sin＝sin，所以有α
－＝－，解得α＝，故选C.
【方法技巧】
1.诱导公式的两个应用
(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.
2.含2π整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知，在计算含有 2π的整数倍的三角函数式中可直接将
2π的整数倍去掉后再进行运算.如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α.
高频考点二 共线定理及其应用
【例3】 (1)已知α是第四象限角，tan α＝－，则sin α等于( )
A. B.－
C. D.－
(2)已知曲线f(x)＝x3在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为α，则＝( )
A. B.2
C. D.－
【答案】(1)D (2)C
【解析】(1)因为 tan α＝－，所以＝－，所以cos α＝－sin α，代入 sin2α＋
cos2α＝1，得sin2α＝，又α是第四象限角，所以sin α＝－.
(2)由f′(x)＝2x2，得tan α＝f′(1)＝2，故＝＝.故选C.
【例4】 (2022·东北三省三校联考)若sin θ－cos θ＝，且θ∈，则sin(π－θ)－
cos(π－θ)＝( )
A.－ B.
C.－ D.
【答案】A
【解析】由sin θ－cos θ＝得1－2sin θcos θ＝，即2sin θcos θ＝－，
∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝，
又θ∈，∴sin θ＋cos θ<0，∴sin θ＋cos θ＝－，
则sin(π－θ)－cos(π－θ)＝sin θ＋cos θ＝－，故选A.
【方法技巧】
1.(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以
实现角α的弦切互化.
(2)形如，asin2x＋bsin xcos x＋ccos2x等类型可进行弦化切.
2.注意公式的逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－
sin2α.3.应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos
α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二.
【变式训练】
1.已知α是第四象限角，sin α＝－，则tan(π＋α)等于( )
A.－ B.
C.－ D.
【答案】C
【解析】因为α是第四象限角，sin α＝－，所以cos α＝＝，
故tan(π＋α)＝tan α＝＝－.
2.(2021·兰州诊断)已知sin α＋cos α＝，则tan α＝________.
【答案】或
【解析】将sin α＋cos α＝两边平方得1＋2sin αcos α＝，
∴sin αcos α＝，∴＝＝，
整理得12tan2α－25tan α＋12＝0，解得tan α＝或tan α＝.
高频考点三 同角三角函数的基本关系与诱导公式综合应用
【例5】 (1)(2020·全国Ⅰ卷)已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α
＝( )
A. B.
C. D.
(2)已知tan＝，则tan＝________.
(3)已知cos＝a(|a|≤1)，则cos＋sin的值是________.
【答案】(1)A (2)－ (3)0
【解析】(1)由3cos 2α－8cos α＝5，
得3(2cos2α－1)－8cos α＝5，
即3cos2α－4cos α－4＝0，
解得cos α＝－或cos α＝2(舍去).
又因为α∈(0，π)，
所以sin α＝＝＝.故选A.
(2)∵＋＝π，
∴tan＝tan＝－tan＝－.
(3)∵cos＝cos＝－cos＝－a，sin＝sin＝cos＝a，∴cos＋sin＝0.
【方法技巧】
1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论
间的联系，灵活使用公式进行变形.注意角的范围对三角函数值符号的影响.
2.用诱导公式求值时，要善于观察所给角之间的关系，利用整体代换的思想简
化解题过程.常见的互余关系有－α与＋α，＋α与－α，＋α与－α等，常见的互
补关系有－θ与＋θ，＋θ与－θ，＋θ与－θ等.
【变式训练】
1.已知α是第四象限角，且3sin2α＝8cos α，则cos＝( )
A.－ B.－
C. D.
【答案】C
【解析】∵3sin2α＝8cos α，∴sin2α＋＝1，
整理可得9sin4α＋64sin2α－64＝0，
解得sin2α＝或sin2α＝－8(舍去)，
又∵α是第四象限角，∴sin α＝－，
∴cos＝cos
＝cos＝－sin α＝，故选C.
2.(2022·九江模拟)已知cos＝，则sin＝________.
【答案】－
【解析】因为2＋＋2α＝，所以sin＝sin
＝cos＝2cos2－1＝2×－1＝－.
高频考点四 公式的变形及应用
【例6】 (1)下列式子化简正确的是( )
A.cos 82°sin 52°－sin 82°cos 52°＝
B.sin 15°sin 30°sin 75°＝
C.＝
D.cos215°－sin215°＝(2)(2021·杭州模拟)函数f(x)＝cos x－sin－sin在[0，π]的值域为( )
A.[－1，1] B.[－2，1]
C.[－2，2] D.
(3)(1＋tan 17°)·(1＋tan 28°)的值为________.
【答案】(1)D (2)B (3)2
【解析】(1)选项 A 中，cos 82°sin 52°－sin 82°cos 52°＝sin(52°－82°)＝sin(－
30°)＝－sin 30°＝－，故A错误；
选项B中，sin 15°sin 30°sin 75°＝sin 15°cos 15°＝sin 30°＝，故B错误；
选项C中，＝tan (48°＋72°)＝tan 120°＝－，故C错误；
选项D中，cos215°－sin215°＝cos 30°＝，故D正确.
(2)f(x)＝cos x－sin x－cos x－sin x＋cos x＝cos x－sin x＝2cos.
∵0≤x≤π，∴≤x＋≤，
则当x＋＝π时，函数取得最小值2cos π＝－2，当x＋＝时，函数取得最大值
2cos＝2×＝1，
即函数的值域为[－2，1].故选B.
(3)原式＝1＋tan 17°＋tan 28°＋tan 17°·tan 28°＝1＋tan 45°(1－tan 17°·tan 28°)＋
tan 17°·tan 28°＝1＋1＝2.
【方法技巧】
运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟悉公式的正用，还要熟悉公式的
逆用及变形应用，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公
式的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能拓展思路，培养从正向思维向逆向
思维转化的能力.
【变式训练】
1.下列选项中，值为的是( )
A.2sin sin B.－cos215°
C.＋ D.cos 72°·cos 36°
【答案】D
【解析】对于A，2sinsin＝2sin cos＝sin＝，故A错误；
对于B，－cos215°＝－(2cos215°－1)＝－cos 30°＝－，故B错误；对于C，原式＝
＝＝＝＝4，故C错误；
对于D，cos 36°·cos 72°＝＝＝＝，故D正确.
2.若α＋β＝，则tan αtan β－tan α－tan β的值为________.
【答案】
【解析】∵α＋β＝，∴tan(α＋β)＝＝tan＝－，
可得tan α＋tan β＝－(1－tan αtan β)，
∴tan α·tan β－tan α－tan β＝tan αtan β－(tan α＋tan β)＝tan αtan β＋－tan
αtan β＝.
高频考点五 角的变换
【例7】(1)(2020·全国Ⅲ卷)已知sin θ＋sin＝1，则sin＝( )
A. B.
C. D.
(2)若0<α<，－<β<0，cos＝，cos＝，则cos等于( )
A. B.－
C. D.
(3)(2022·长春质量监测)若sin＝，则sin＝________.
【答案】(1)B (2)C (3)－
【解析】(1)因为 sin θ＋sin＝sin＋sin＝sincos －cossin ＋sincos ＋cossin ＝
2sincos ＝sin＝1，所以sin＝.故选B.
(2)cos＝cos
＝coscos＋sinsin.
∵0<α<，则<＋α<，
∴sin＝.
又－<β<0，则<－<，
∴sin＝.
故cos＝×＋×＝.故选C.
(3)法一 因为cos＝cos＝1－2sin2＝1－2×＝，cos＝sin＝sin＝－sin＝，所以
sin＝－.
法二 因为cos＝cos＝1－2sin2＝1－2×＝，cos＝(cos 2θ－sin 2θ)，sin＝(sin 2θ－cos 2θ)，所以sin＝－cos＝－.
【方法技巧】
1.求角的三角函数值的一般思路是把“所求角”用“已知角”表示.
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的
形式；
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的
关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.
2.常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，α＝＋，＝－
等.
【变式训练】
1.(2022·南昌三模)已知sin＝，则＝________.
【答案】－
【解析】因为sin＝，所以＝
＝＝＝－sin＝－.
2.(2021·重庆调研改编)已知sin＝，则cos 2α＝________.
【答案】
【解析】法一 因为sin＝－sin＝，所以sin＝－，又sin2＋cos2＝1，所以cos2
＝，cos＝sin α＝2cos2－1＝，所以cos 2α＝1－2sin2α＝.
法二 因为cos＝cos＝sin α＝1－2sin2＝，所以cos 2α＝1－2sin2α＝.
高频考点六 三角函数式的化简
【例8】·等于( )
A.－sin α B.－cos α
C.sin α D.cos α
【答案】D
【解析】原式＝＝＝cos α.
【例9】化简：＝________.
【答案】cos 2x
【解析】原式＝
＝
＝＝＝cos 2x.【例10】化简：(－tan )·＝________.
【答案】
【解析】(－tan )·(1＋tan α·tan )
＝(－)·(1＋·)
＝·
＝·＝.
【方法技巧】
1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则：
一看角，二看名，三看式子结构与特征.
2.三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补
等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点.
高频考点七 三角函数式求值
【例11】 (1)(2022·武汉检测)已知＝－，则cos＝( )
A. B.－
C.－ D.
(2)(2022·潍坊模拟)已知α∈，sin＝，则tan α＝________.
【答案】(1)B (2)3
【解析】(1)＝＝－2sin＝－，故sin＝.而sin＝sin＝cos＝，
所以cos＝2cos2－1＝－1＝－.故选B.
(2)因为α∈，所以α－∈，故cos>0，所以cos＝＝＝，所以tan＝＝.
所以tan α＝tan＝＝＝3.
【例12】求下列各式的值：
(1)coscoscoscos；
(2)；
(3)sin 50°(1＋tan 10°).
【解析】(1)coscoscoscos
＝coscoscos
＝·＝·
＝·＝·
＝·＝·＝.
(2)＝
＝－＝－＝－1.
(3)sin 50°(1＋tan 10°)＝sin 50°·
＝sin 50°·
＝sin 50°·
＝＝＝＝1.
【例13】 (1)已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，则β＝________.
(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，则2α－β的值为________.
【答案】(1) (2)－
【解析】(1)∵0<β<α<，∴0<α－β<，sin α＝.又cos(α－β)＝，
∴sin(α－β)＝＝.
∴cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝×＋×＝.又0<β<，∴β＝.
(2)∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝>0，
又α∈(0，π)，∴0<α<，
又∵tan 2α＝＝＝>0，∴0<2α<，
∴tan(2α－β)＝＝＝1.
∵tan β＝－<0，∴<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－.
【方法技巧】
1.给值求值问题一般是将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数
值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入即可.
2.给角求值问题一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔
细观察非特殊角与特殊角之间总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关
系，结合公式转化为特殊角并且消除特殊角三角函数而得解.
3.给值求角问题一般先求角的某一三角函数值，再求角的范围，最后确定角.遵照以下原则：(1)已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦
或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；(2)若角的范围是(0，π)，选余
弦较好；若角的范围为，选正弦较好.
【变式训练】
1.已知tan＝，则＝( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为tan＝，
所以tan α＝tan＝＝＝－.
所以＝＝＝.
2.(2022·石家庄综合训练)若cos α(1＋tan 10°)＝1，则α的一个可能值为( )
A.70° B.50°
C.40° D.10°
【答案】C
【解析】cos α(1＋tan 10°)＝cos α＝cos α·＝cos α·＝1，即2sin 40°cos α＝cos
10°＝sin 80°＝2sin 40°cos 40°，所以cos α＝cos 40°，则α的一个可能值为40°，
故选C.
高频考点八 角的变换
【例14】已知函数f(x)＝sin＋cos.
(1)求函数f(x)在区间上的最值；
(2)若cos θ＝，θ∈，求f的值.
【解析】(1)由题意得f(x)＝·sin＋cos＝×[sin＋cos]＝－·sin.
因为x∈，所以x－∈，
所以sin∈，
所以－sin∈，
即函数f(x)在区间上的最大值为，最小值为－.
(2)因为cos θ＝，θ∈，
所以sin θ＝－，
所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝－，所以cos 2 θ＝cos2θ－sin2θ＝－＝，
所以f＝－sin
＝－·sin
＝－(sin 2θ－cos 2θ)＝(cos 2θ－sin 2θ)
＝·＝.
【方法技巧】
1.进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关
系；注意公式的逆用和变形使用.
2.把形如y＝asin x＋bcos x化为y＝sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期性、单
调性、最值与对称性.
【变式训练】
1.已知函数f(x)＝＋2sin x.
(1)在△ABC中，cos A＝－，求f(A)的值；
(2)求函数f(x)的最小正周期及其图象的对称轴的方程.
【解析】(1)由sin x＋cos x≠0得x≠kπ－，k∈Z.
因为f(x)＝＋2sin x＝＋2sin x＝cos x＋sin x，
在△ABC中，cos A＝－<0，所以
