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§4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式
考试要求 1.理解同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，＝tan α.2.借助单位圆的对
称性，利用定义推导出诱导公式.
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系： sin 2 α ＋ cos 2 α ＝ 1 .
(2)商数关系：＝tan α.
2．三角函数的诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin α － sin α － sin α sin α cos α cos α
余弦 cos α － cos α cos α － cos α sin α － sin α
正切 tan α tan α － tan α －tan α
口诀 奇变偶不变，符号看象限
微思考
1．诱导公式记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”中的奇、偶是何意义？
提示 所有诱导公式均可看作k·±α(k∈Z)和α的三角函数值之间的关系，口诀中的奇、偶指
的是此处的k是奇数还是偶数．
2．同角三角函数关系式的常用变形有哪些？
提示 同角三角函数关系式的常用变形(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α
等．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.( × )
(2)若α∈R，则tan α＝恒成立．( × )
(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( × )
(4)若sin＝，则cos α＝－.( √ )
题组二 教材改编2．若sin α＝，<α<π，则tan α等于( )
A．－2 B．2 C. D．－
答案 D
解析 ∵<α<π，∴cos α＝－＝－，
∴tan α＝＝－.
3．已知tan α＝2，则等于( )
A. B．－ C. D．－
答案 A
解析 原式＝＝＝.
4．化简·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为 ．
答案 －sin2α
解析 原式＝·(－sin α)·cos α＝－sin2α.
题组三 易错自纠
5．(多选)已知A＝＋(k∈Z)，则A的值是( )
A．2 B．1 C．－2 D．0
答案 AC
解析 当k为偶数时，A＝＋＝2；
当k为奇数时，A＝－＝－2.
6．已知sin θ＋cos θ＝，θ∈，则sin θ－cos θ的值为 ．
答案 －
解析 ∵sin θ＋cos θ＝，∴sin θcos θ＝.
又∵(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝，θ∈，
∴sin θ－cos θ＝－.
题型一 同角三角函数基本关系式的应用
1．(2021·北京市西城区模拟)已知α∈(0，π)，cos α＝－，则tan α等于( )
A. B．－ C. D．－
答案 D
解析 因为cos α＝－且α∈(0，π)，
所以sin α＝＝，
所以tan α＝＝－.故选D.
2．已知α是三角形的内角，且tan α＝－，则sin α＋cos α的值为 ．
答案 －解析 由tan α＝－，得sin α＝－cos α，
将其代入sin2α＋cos2α＝1，得cos2α＝1，
所以cos2α＝，易知cos α<0，
所以cos α＝－，sin α＝，
故sin α＋cos α＝－.
3．若角α的终边落在第三象限，则＋的值为 ．
答案 －3
解析 由角α的终边落在第三象限，
得sin α<0，cos α<0，
故原式＝＋＝＋＝－1－2＝－3.
4．已知sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，π)，则tan θ＝ .
答案 －
解析 方法一 由sin θ＋cos θ＝，得sin θcos θ＝－，
因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，cos θ<0，
所以sin θ－cos θ＝＝，
联立解得
所以tan θ＝－.
方法二 因为sin θ＋cos θ＝，
所以sin θcos θ＝－，
由根与系数的关系，知sin θ，cos θ是方程x2－x－＝0的两根，所以x＝，x＝－.
1 2
又sin θcos θ＝－<0，θ∈(0，π)，
所以sin θ>0，cos θ<0.
所以sin θ＝，cos θ＝－.
所以tan θ＝＝－.
方法三 由sin θ＋cos θ＝，得sin θcos θ＝－，
所以＝－.
齐次化切，得＝－，
即60tan2θ＋169tan θ＋60＝0，
解得tan θ＝－或tan θ＝－.
又θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝>0，sin θcos θ＝－<0，
所以θ∈，所以tan θ＝－.
思维升华 (1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角α所在象限确
定符号；利用＝tan α可以实现角α的弦切互化．
(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于 sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．
(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
题型二 诱导公式的应用
例1 (1)在平面直角坐标系xOy中，角α的终边经过点P(3,4)，则sin等于( )
A．－ B．－ C. D.
答案 B
解析 由题意知sin α＝，cos α＝，
∴sin＝sin＝－cos α＝－.
(2)已知f(α)＝，则f 的值为 ．
答案
解析 因为f(α)＝
＝＝cos α，
所以f ＝cos＝cos ＝.
思维升华 (1)诱导公式的两个应用
①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了．
②化简：统一角，统一名，同角名少为终了．
(2)含2π整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍
去掉后再进行运算．如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α.
跟踪训练1 (1)已知sin＝，则cos等于( )
A. B. C．－ D．－
答案 B
解析 因为sin＝，
所以cos＝sin
＝sin＝.
(2)(2021·江西临川第一中学等九校联考)已知α∈(0，π)，且cos α＝－，则sin·tan(π＋α)等于
( )
A．－ B. C．－ D.
答案 D
解析 sin·tan(π＋α)＝cos α·tan α＝sin α，因为α∈(0，π)，且cos α＝－，所以sin α＝＝
＝，即sin·tan(π＋α)＝.故选D.
题型三 同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用
例2 (1)(2021·聊城模拟)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－
1＝0，则sin α的值是( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 由已知得
消去sin β，得tan α＝3，
∴sin α＝3cos α，代入sin2α＋cos2α＝1，
化简得sin2α＝，则sin α＝(α为锐角)．
(2)已知－π0，∴sin x－cos x<0，
故sin x－cos x＝－.
∴＝
＝
＝＝－.
思维升华 (1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间
的联系，灵活使用公式进行变形．
(2)注意角的范围对三角函数符号的影响．
跟踪训练2 (1)(2021·潍坊调研)已知3sin＝－5cos，则tan等于( )
A．－ B．－ C. D.
答案 A
解析 由3sin＝－5cos，
得sin＝－cos，
所以tan＝＝＝－.
(2)已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(4)＝3，则f(2 021)的值为 ．
答案 －3解析 因为f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，
所以f(4)＝asin(4π＋α)＋bcos(4π＋β)
＝asin α＋bcos β＝3，
所以f(2 021)＝asin(2 021π＋α)＋bcos(2 021π＋β)
＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)
＝－asin α－bcos β＝－3.
课时精练
1．sin 1 050°等于( )
A. B．－ C. D．－
答案 B
解析 sin 1 050°＝sin(3×360°－30°)＝－sin 30°＝－.
2．已知α是第四象限角，tan α＝－，则sin α等于( )
A. B．－ C. D．－
答案 D
解析 因为tan α＝－，所以＝－，
所以cos α＝－sin α，
代入sin2α＋cos2α＝1，得sin2α＝，
又α是第四象限角，所以sin α＝－.
3．(2020·杭州学军中学模拟)已知cos 31°＝a，则sin 239°·tan 149°的值为( )
A. B.
C. D．－
答案 B
解析 sin 239°·tan 149°＝sin(270°－31°)·tan(180°－31°)＝－cos 31°·(－tan 31°)＝sin 31°＝.
4．(2020·天津西青区模拟)已知sin α＋cos α＝－，则tan α＋等于( )
A．2 B. C．－2 D．－
答案 A
解析 由已知得1＋2sin αcos α＝2，
∴sin αcos α＝，
∴tan α＋＝＋
＝＝＝2.
5．(多选)在△ABC中，下列结论正确的是( )A．sin(A＋B)＝sin C
B．sin ＝cos
C．tan(A＋B)＝－tan C
D．cos(A＋B)＝cos C
答案 ABC
解析 在△ABC中，有A＋B＋C＝π，
则sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，A正确．
sin ＝sin＝cos ，B正确．
tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tan C，C正确．
cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C，D错误．故选ABC.
6．(多选)若sin α＝，且α为锐角，则下列选项中正确的有( )
A．tan α＝
B．cos α＝
C．sin α＋cos α＝
D．sin α－cos α＝－
答案 AB
解析 ∵sin α＝，且α为锐角，
∴cos α＝＝＝，故B正确，
∴tan α＝＝＝，故A正确，
∴sin α＋cos α＝＋＝≠，故C错误，
∴sin α－cos α＝－＝≠－，故D错误．
7．(2020·河北九校联考)已知点P(sin 35°，cos 35°)为角α终边上一点，若0°≤α<360°，则α
＝ .
答案 55°
解析 由题意知cos α＝sin 35°＝cos 55°，
sin α＝cos 35°＝sin 55°，P在第一象限，
∴α＝55°.
8．sin·cos·tan的值是 ．
答案 －
解析 原式＝sin·cos·tan
＝··
＝××(－)＝－.
9．(2020·上饶模拟)sin＝，则cos＝ .
答案
解析 由sin＝，得cos＝cos
＝sin＝.
10．若3sin α＋cos α＝0，则cos2α＋2sin αcos α的值为 ．
答案
解析 3sin α＋cos α＝0⇒cos α≠0⇒tan α＝－，
所以＝
＝＝＝.
11．已知f(α)＝.
(1)若cos＝，α是第三象限角，求f(α)的值；
(2)若α＝－，求f(α)的值．
解 f(α)＝＝－cos α.
(1)cos＝－sin α＝，
∴sin α＝－.
∵α是第三象限角，
∴cos α＝－＝－.
f(α)＝－cos α＝.
(2)f(α)＝－cos＝－cos＝－.
12．已知－<α<0，且函数f(α)＝cos－sin α·－1.
(1)化简f(α)；
(2)若f(α)＝，求sin αcos α和sin α－cos α的值．
解 (1)f(α)＝sin α－sin α·－1
＝sin α＋sin α·－1＝sin α＋cos α.
(2)方法一 由f(α)＝sin α＋cos α＝，
平方可得sin2α＋2sin α·cos α＋cos2α＝，
即2sin α·cos α＝－.
∴sin α·cos α＝－.
又－<α<0，∴sin α<0，cos α>0，
∴sin α－cos α<0，
∵(sin α－cos α)2＝1－2sin α·cos α＝，
∴sin α－cos α＝－.
方法二 联立方程
解得或
∵－<α<0，∴
∴sin αcos α＝－，sin α－cos α＝－.13．(2020·河北六校联考)若sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，则等于( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 方程5x2－7x－6＝0的两根为x＝－，x＝2，则sin α＝－.
1 2
原式＝＝－＝.
14．已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝ .
答案 －
解析 因为θ是第四象限角，且sin＝，
所以θ＋为第一象限角，
所以cos＝，
所以cos＝sin＝，
sin＝cos＝，
则tan＝－tan＝－＝－＝－.
15.如图是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形
中较小的内角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是，则 sin2θ－cos2θ的值是
．
答案 －
解析 由题意可知，拼图中的每个直角三角形的长直角边为cos θ，短直角边为sin θ，
小正方形的边长为cos θ－sin θ，
∵小正方形的面积是，
∴(cos θ－sin θ)2＝，
∵θ为直角三角形中较小的锐角，
∴cos θ>sin θ，∴cos θ－sin θ＝，
又∵(cos θ－sin θ)2＝1－2sin θcos θ＝，
∴2sin θcos θ＝，
∴1＋2sin θcos θ＝，即(cos θ＋sin θ)2＝，
∴cos θ＋sin θ＝，
∴sin2θ－cos2θ＝(cos θ＋sin θ)(sin θ－cos θ)＝－.16．已知sin α＝1－sin，求sin2α＋sin＋1的取值范围．
解 因为sin α＝1－sin＝1－cos β，
所以cos β＝1－sin α.因为－1≤cos β≤1，
所以－1≤1－sin α≤1,0≤sin α≤2，
又－1≤sin α≤1，所以sin α∈[0,1]．
所以sin2α＋sin＋1＝sin2α＋cos β＋1＝sin2α－sin α＋2＝2＋.(*)
又sin α∈[0,1]，所以当sin α＝时，(*)式取得最小值；当sin α＝1或sin α＝0时，(*)式取
得最大值2，故所求取值范围为.
