文档内容
微专题：求平面向量的投影
【考点梳理】
向量的投影
①定义：如图，设a，b是两个非零向量，AB＝a，CD＝b，作如下的变换：过AB的起点A和终点B，分别作
CD所在直线的垂线，垂足分别为A ，B ，得到A1B1，则称上述变换为向量a向向量b投影，A1B1叫做向量a在向
1 1
量b上的投影向量.
②计算：设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则向量a在向量b上的投影向量是 | a |cos θ e .
【题型分类】
题型一：求投影向量
1．已知 ， 为单位向量，当向量 与 的夹角 等于 时，则向量 在向量 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量 ， 在 方向上的投影向量为 ，则 （ ）
A．4 B．8 C． D．
3．已知向量 ，若 在 上的投影向量为 ，则 =（ ）
A． B． C． D．
题型二：求向量的投影
4．设向量 ， ，则 在 上的投影的数量为（ ）
A． 1 B． 2 C．1 D．2
5．已知向量 ，则 在 方向上的投影是（ ）
A． B． C． D．
6．已知 ， ，且 ，则向量 在向量 上的投影等于（ ）
A． B．4 C． D．
第 1 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【双基达标】
7．若 ， ， 和 的夹角为 ，则 在 的方向上的投影向量的模长为（ ）
A． B． C．2 D．4
8．已知 ， 与 的夹角为60°，则 在 上的投影为（ ）
A．1 B．2 C．－2 D．－1
9．在直角坐标系xOy中的三点 ， ， ，若向量 与 在向量 方向上的投影相等，则
m与n的关系为（ ）
A． B．
C． D．
10．已知向量 ，点 ， ，则向量 在 上的投影向量的模长为（ ）
A． B． C． D．
11．已知 ， ，其中 的夹角为 ，则 在 上的投影为（ ）
A．1 B． C． D．
12．已知向量 ，则 在 方向上的投影数量为（ ）
A． B． C． D．
13．设平面向量 ， 满足 ， ， ，则 在 方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
14．已知向量 ， ，则 在 方向上的投影为（ ）
A． B．
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司C． D．
15．已知向量 与 的夹角为 ， ，则 在 上投影的数量为（ ）
A．1 B．2 C． D．
16．已知 ，向量 在向量 上的投影向量是 （ 是与 方向相同的单位向量），则 （ ）
A．2 B．-2 C．3 D．
17．已知 ，向量 在向量 上的投影向量的模为 ，则 与 的夹角可以为（ ）
A． B． C． D．
18．在 中，已知 ， ， ，则向量 在 方向上的投影为（ ）．
A． B．2 C． D．
19．已知不共线平面向量 ， 在非零向量 上的投影向量互为相反向量，则（ ）
A． B．
C． D．
20．已知向量 ，则 在 方向上的投影为（ ）
A． B． C．1 D．2
【高分突破】
21．已知 ， 与 夹角为 ， ． 为与 同向的向量，则 在 上投影向量 为（ ）
A． B． C． D．
22．已知 ，且 ，则 在 方向上的投影是（ ）
A． B． C．3 D．
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司23．已知 ， ，且 ， 的夹角 的余弦 ，则向量 在向量 上的投影等于（ ）
A． B．4 C． D．
24．已知 ，求向量 在 方向上投影是（ ）
A． B．1 C．2 D．
25．在 中， ， ，则向量 在向量 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
26．已知向量 ， ，则 在 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
27．若向量 ， ，则 在 上的投影为（ ）
A． B． C． D．
28．已知 为单位向量， 与 的夹角为 ，则 在 方向上的投影为（ ）
A． B． C． D．
29．已知 ， 在 上的投影为1，则 在 上的投影为（ ）
A．-1 B．2 C．3 D．
30．已知向量 ，若 ，则 在 方向上的投影为（ ）
A． B． C． D．
31．若向量 ，向量 ，则向量 在向量 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
32．在 中，已知 ， ， 在 方向上的投影为 ，P为线段 上的一点，
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司且 .则 的最小值为（ ）
A． B．4 C．8 D．
33．已知 ABC的外接圆圆心为O，且 ， ，则向量 在向量 上的投影向量为
△
（ ）
A． B． C． D．
34．在 中， ，若 ，则向量 在 上的投影是（ ）
A． B． C． D．
35．非零向量 ， ， 满足 ， 与 的夹角为 ， ，则 在 上的正射影的数量为（ ）
A． B． C． D．
36．已知向量 ， ，且 在 上的投影为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
37．非零向量 、 满足 ， 在 方向上的投影为 ，则 的最小值为( )
A．1 B． C．2 D．
38．已知向量 的夹角为60°，且 ， ，则向量 在 方向上的投影向量的模等于（ ）
A． B． C． D．1
39．已知 ， ， 与 的夹角为 ，则 在 上的投影为（ ）
A． B． C． D．
40． 中， ，AC=2， ，则 在 方向上的投影为（ ）
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
41．已知设 分别是 内角 的对边，且 ，
，则向量 在向量 上的投影为( )
A． B． C． D．
42．在 中， ， ， ，与 方向相同的单位向量为 ，则向量 在
上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
43．已知向量 ,且 ，那么向量 在向量 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．D
【解析】
【分析】
通过投影公式进行计算即可．
【详解】
解：由定义可得向量 在向量 上的投影为 ，
所以向量 在向量 上的投影向量为 ．
故选：D．
2．C
【解析】
【分析】
根据投影向量与投影之间的关系可知 在 方向上的投影为 ，进而根据数量积的几何意义即可求解.
【详解】
由 得 ，根据 在 方向上的投影向量为 ，可知 在 方向上的投影为 ，故根据数量积的几何
意义， 等于 与 在 方向上的投影的乘积，故 ，
故选：C
3．B
【解析】
【分析】
先求出 ，再求出
【详解】
因为 ，
所以 在 上的投影向量为
，
所以
因为 ，
所以 ，
故选：B
4．B
【解析】
【分析】
利用平面向量数量积的几何意义直接求解即可
第 7 页【详解】
因为 ， ，
所以 在 上的投影的数量为
，
故选：B
5．C
【解析】
【分析】
在 方向上的投影为 ，将已知条件代入即可求解
【详解】
因为 ， ，
则 在 方向上的投影为
故选：C
6．A
【解析】
【分析】
根据平面向量数量积的几何意义计算可得；
【详解】
解：因为 ， ，且 ，
所以向量 在向量 上的投影等于 ；
故选：A
7．C
【解析】
【分析】
利用 在 的方向上的投影即可求得 在 的方向上的投影向量的模长
【详解】
， ， 和 的夹角为 ，
则 在 的方向上的投影向量的模长为
故选：C
8．A
【解析】
【分析】
第 8 页直接用定义即可求出.
【详解】
由题可得 在 上的投影为 .
故选：A.
9．A
【解析】
【分析】
根据向量在向量上的投影的定义列式可求出结果.
【详解】
, , ,
向量 在向量 方向上的投影为 ，
向量 在向量 方向上的投影为 ，
由题意可得 ，即 .
故选：A.
10．D
【解析】
【分析】
求出 ，从而利用投影向量的模长公式进行求解.
【详解】
，故 在 上的投影向量的模长为
.
故选：D
11．D
【解析】
【分析】
由平面向量投影的定义即可求得答案.
【详解】
由题意， 在 上的投影为 .
故选：D.
12．D
【解析】
【分析】
第 9 页根据平面向量数量积的几何意义进行求解即可.
【详解】
因为 ，
所以 ，
因此 在 方向上的投影数量为 ，
故选：D
13．A
【解析】
【分析】
直接利用投影向量的计算公式求解．
【详解】
解： ， ，
在 方向上的投影向量 .
故选：A.
14．B
【解析】
【分析】
利用平面向量投影的定义求解.
【详解】
解： 在 方向上的投影为：
，
故选：B．
15．A
【解析】
【分析】
根据向量在向量上投影的定义求解.
【详解】
根据向量在向量上投影可知， 在 上投影的数量为 ．
故选：A
16．A
【解析】
【分析】
第 10 页根据投影向量的定义有 ，结合已知即可求 .
【详解】
由题意， 且 ，
所以 ，而 ，则 .
故选：A
17．B
【解析】
【分析】
利用平面向量投影的定义，列出方程求出 与 夹角的余弦值，即可得出夹角大小．
【详解】
解：记向量 与向量 的夹角为 ， ，
而 ，
在 上的投影为 ，
在 上的投影为 ， ，
，
，
．
故选：B．
18．C
【解析】
【分析】
利用三角形内角和及正弦定理求得 、 ，再根据向量投影的定义求结果.
【详解】
由题设 ，则 ，可得 ，
所以向量 在 方向上的投影为 .
故选：C
19．A
【解析】
【分析】
第 11 页根据题意得向量 在向量 上的投影为： ；向量 在向量 上的投影为： ，所以 ，整理化简
即可求解.
【详解】
根据题意得，向量 在向量 上的投影为： ，
向量 在向量 上的投影为： ，
又因为不共线平面向量 在非零向量 上的投影向量互为相反向量，
所以 ，即 ，即 ，所以 .
故选：A.
20．B
【解析】
【分析】
利用向量的投影公式直接计算即可．
【详解】
向量 ，则 在 方向上的投影为 ，
故选：B．
21．C
【解析】
【分析】
利用数量积的几何意义求解即可
【详解】
因为 ， 与 夹角为 ， ． 为与 同向的向量，
所以 在 上投影向量 ，
故选：C
22．C
【解析】
【分析】
根据题意求出向量的模长 ，再根据投影的定义计算 在 方向上的投影.
【详解】
依题意得，
第 12 页设 与 的夹角为 ，则
在 方向上的投影为：
故选：C.
23．D
【解析】
【分析】
根据向量 在向量 上投影的定义求解即可.
【详解】
因为 ，且 ， 的夹角 的余弦 ，
所以向量 在向量 上的投影为 ，
故选：D
24．A
【解析】
【分析】
根据向量投影定义计算可得.
【详解】
因为 ， ，所以向量 在 方向上投影是
故选：A.
25．A
【解析】
【分析】
根据题意得 在 方向上的投影向量为： ，再求解计算即可.
【详解】
由题意： ，
所以 在 方向上的投影向量为：
.
故选：A.
26．B
第 13 页【解析】
【分析】
由已知求出 、 和 ，进而可得 ，从而由 在 上的投影向量为 即可求解.
【详解】
解：因为向量 ， ，
所以 ， ，
所以 ，
所以 在 上的投影向量为 ，
故选：B.
27．A
【解析】
【分析】
根据向量投影的定义计算 在 上的投影即可.
【详解】
因为 ， ，
所以向量 在向量 方向上的投影为： ．
故选：A
28．B
【解析】
【分析】
直接利用平面向量的数量积的几何意义求解即可
【详解】
因为 为单位向量， 与 的夹角为 ，
所以 在 方向上的投影为
，
故选：B
29．C
【解析】
【分析】
利用向量投影的定义进行计算即可.
【详解】
第 14 页在 上的投影为 ，即 ，
在 上的投影为 ，
故选：C
30．D
【解析】
【分析】
由 得 ，所以 在 上的投影 ，求出 ，代入即可得出答案.
【详解】
， ，
由 得 ，
得 ，
在 上的投影 .
故选：D.
31．B
【解析】
【分析】
求出向量 的模，根据投影向量的概念，即可求得答案.
【详解】
由题意得， ，
则向量 在向量 上的投影向量为 ，
故选：B
32．B
【解析】
【分析】
先求出 ， ，根据三点共线得到 ，利用基本不等式求出最小值.
【详解】
因为 ， 在 方向上的投影为 ，所以 ，解得： .
因为 ，所以 ，即 ，所以 ，解得：
.
第 15 页因为P为线段 上的一点，且 ，所以 ，即 .
所以 （当且仅当 时取等号）.
所以 的最小值为4.
故选：B
33．B
【解析】
【分析】
由题意作出符合题意的图形，判断出OBAC为菱形,直接得到向量 在向量 上的投影向量.
【详解】
如图示：
因为 ABC的外接圆圆心为O， ， ，
△
所以 ,所以△AOC为等边三角形，所以OBAC为菱形，
所以 .
所以向量 在向量 上的投影向量为 .
故选：B
34．C
【解析】
【分析】
根据给定条件，利用正弦定理求出 ，进而求出 ，再利用向量投影的意义计算作答.
【详解】
在 中， ， ，由正弦定理得： ，
即有 ，整理得 ，解得 ， ，
因此， ， ，
第 16 页，
所以向量 在 上的投影是 .
故选：C
35．D
【解析】
【分析】
利用垂直的向量表示，再利用正射影的数量的意义计算作答.
【详解】
非零向量 ， ， 满足 ，则 ，即 ，又 与 的夹角为 ， ，
所以 在 上的正射影的数量 .
故选：D
36．B
【解析】
【分析】
根据 在 上的投影为 可求得 ，再根据三角函数的二倍角公式求得答案．
【详解】
由题意得： 在 上的投影 ，
即 ，
故 ，
故选：B
37．A
【解析】
【分析】
根据 在 方向上的投影为 可知 = ，根据 和二次函数性质
即可求出 的最小值﹒
【详解】
∵ 在 方向上的投影为 ，∴ = ，
∴ ，
∴当 时， ．
第 17 页故选：A﹒
38．B
【解析】
【分析】
由已知及向量数量积的运算律可得 ，求出向量 的模，再由向量 在 方向上的投影向量的模
，即可得结果.
【详解】
由题设， ，而 ，
所以 ，可得 或 (舍)，
综上，向量 在 方向上的投影向量的模为 .
故选：B
39．A
【解析】
【分析】
求出 ， ，设 与 上的夹角为 可得 ，由 在 上的投影为 可得答案.
【详解】
因为 ， ， 与 的夹角为 ，
所以 ，
，所以 ，
设 与 上的夹角为 ，则 ，
所以 ，
可得 在 上的投影为 .
故选：A.
40．B
【解析】
【分析】
利用余弦定理求出 的长，再利用平面向量数量积的几何意义可求得结果.
【详解】
由余弦定理可得 ，即 ，解得 ，
第 18 页因此，则 在 方向上的投影为 .
故选：B
41．B
【解析】
【分析】
根据 求出cosA；根据 结合余弦定理可求c，则向量
在向量 上的投影为 .
【详解】
由 ，
得 ，
则 ，即 ；
∵ ，
∴根据余弦定理得， ，解得 ，
故向量 在向量 上的投影为 .
故选：B.
42．B
【解析】
【分析】
易知 是等边三角形，再根据 方向相同的单位向量为 ，由 求解.
【详解】
在 中， ， ，
所以D为BC的中点，且|AD|=|BD|，
又 ，
所以 是等边三角形，
因为 方向相同的单位向量为 ，
所以向量 在 上的投影向量为 ，
故选：B
43．A
【解析】
【分析】
第 19 页根据投影向量的概念，结合向量的坐标以及向量的模，即可求得答案.
【详解】
由题意可得 ，
故向量 在向量 上的投影向量为 ，
故选：A
第 20 页第 21 页
