专题03因式分解重难点题型专训（14大题型+15道拓展培优）（教师版）_初中数学_八年级数学上册（人教版）_重难点专题提升-V7_2025版

专题03 因式分解重难点题型专训（14大题型+15道拓展培优） 题型一 判断是否是因式分解 题型二 已知因式分解的结果求参数 题型三 公因式 题型四 提公因式法分解因式 题型五 判断能否用公式法分解因式 题型六 运用平方差公式分解因式 题型七 运用完全平方公式分解因式 题型八 综合运用公式法分解因式 题型九 综合提公因式和公式法分解因式 题型十 因式分解在有理数简算中的应用 题型十一 十字相乘法 题型十二 分组分解法 题型十三 因式分解的应用 题型十四 利用因式分解求最值 知识点一、公因式 多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式. 特别说明：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式. （2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式. （3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字 母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的. 知识点二、提公因式法 把多项式 分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因 式是 ，即 ，而 正好是 除以m所得的 商，这种因式分解的方法叫提公因式法． 特别说明：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律， 即 . （2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式. （3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数 变为正数，同时多项式的各项都要变号. （4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取 公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误. 知识点三、公式法——平方差公式两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即： a2 b2 abab 特别说明：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式. （2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式） 的和与这两个数（整式）的差的积. a b a b （3）套用公式时要注意字母 和 的广泛意义， 、 可以是字母，也可以是单项式 或多项式. 知识点四、公式法——完全平方公式 两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． a2 2abb2 ab2 a2 2abb2 ab2 即 ， . a2 2abb2 a2 2abb2 形如 ， 的式子叫做完全平方式. 特别说明：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式； （2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方. （3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件. a b a b （4）套用公式时要注意字母 和 的广泛意义， 、 可以是字母，也可以是单项式 或多项式. 知识点五、十字相乘法 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. pq c  x2 bxc pq b x2 bxcx pxq 对于二次三项式 ，若存在 ，则 x2 bxc c c0 特别说明：（1）在对 分解因式时，要先从常数项 的正、负入手，若 ，则 p、q c0 p、q b p、q 同号(若 ，则 异号)，然后依据一次项系数 的正负再确定 的符号 x2 bxc b、c c （2）若 中的 为整数时，要先将 分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)， b 然后看这两个整数之和能否等于 ，直到凑对为止. 知识点六、首项系数不为1的十字相乘法 ax2 bxc a a a aa 在二次三项式 ( ≠0)中，如果二次项系数 可以分解成两个因数之积，即 1 2，常 c ccc a，a，c，c 数项 可以分解成两个因数之积，即 1 2，把 1 2 1 2排列如下： ac a c ax2 bxc b 按斜线交叉相乘，再相加，得到 1 2 2 1，若它正好等于二次三项式 的一次项系数 ，ac a c b a xc a xc 即 1 2 2 1 ， 那 么 二 次 三 项 式 就 可 以 分 解 为 两 个 因 式 1 1与 2 2之 积 ， 即 ax2 bxca xc a xc  1 1 2 2 . 特别说明：（1）分解思路为“看两端，凑中间” a （2）二次项系数 一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三 项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上. 知识点七、分组分解法 对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方 法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先 对题目进行分组，然后再分解因式. 特别说明：分组分解法分解因式常用的思路有： 方法 分类 分组方法 特点 ①按字母分组②按系数分组 二项、二项 四项 ③符合公式的两项分组 三项、一项 先完全平方公式后平方差公式 分组分 五项 三项、二项 各组之间有公因式 解法 三项、三项 各组之间有公因式 六项 二项、二项、二项 三项、二项、一项 可化为二次三项式 知识点八：添、拆项法 把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或 分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形. 添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟 练掌握技巧和方法. 知识点九：因式分解的解题步骤 因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等. 特别说明：落实好方法的综合运用： 首先提取公因式，然后考虑用公式； 两项平方或立方，三项完全或十字； 四项以上想分组，分组分得要合适； 几种方法反复试，最后须是连乘式； 因式分解要彻底，一次一次又一次. 【经典例题一 判断是否是因式分解】 【例1】（24-25七年级上·上海·期中）下列各式从左到右是因式分解的是（ ） A． B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的判断，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据因式分解的定义，把一个多项式分成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，据此依次进 行判断即可． 【详解】解：A、是几个整式的积的形式化为一个多项式，是整式的乘法，不符合题意； B、是把一个多项式分成几个整式的积的形式，是因式分解，符合题意； C、 ，分解错误，不符合题意； D、等式右边不是整式的积的形式，不是因式分解，不符合题意； 故选B． 1．（24-25八年级上·黑龙江绥化·阶段练习）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的定义及提公因式法分解因式，根据因式分解是指将几个单项式和的形式转 化为几个单项式或多项式的积的形式，逐个判断即可，熟练掌握把一个多项式化为几个整式的积的形式， 这种变形叫作把这个多项式因式分解是解题的关键 【详解】解：A、是单项式乘以多项式不是因式分解，不符合题意， B、等号右边不是积的形式不是因式分解，不符合题意， C、 ，原因式分解错误，不符合题意， D、是因式分解，符合题意， 故选：D． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）以下等式：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．从左到右的变形属于因式分解的是 ． 【答案】④ 【分析】根据因式分解的定义逐项进行判断即可得出答案． 【详解】① 是整式乘法，不是因式分解； ② 从左到右的变形不是因式分解； ③ 是整式乘法，不是因式分解； ④ 是因式分解； ⑤ ，不是因式分解． 故选④． 【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，熟练掌握把一个多项式化为几个整式的积的形式叫做因式分解 是解题的关键． 3．（2023七年级下·浙江·专题练习）下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？哪些不是因式分解？ (1) ； (2) ； (3) ； (4) 【答案】(1)不是因式分解 (2)不是因式分解 (3)是因式分解 (4)是因式分解 【分析】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，利用排除法求解． 【详解】（1）解： ，是整式的乘法，不是因式分解； （2）解： ，最后结果不是几个整式的积，不是因式分解；（3）解： ，是因式分解； （4）解： ，是因式分解． 【点睛】本题考查了因式分解的意义，把一个多项式转化成几个整式的积的形式是解题关键． 【经典例题二 已知因式分解的结果求参数】 【例2】（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）若 可以分解为 ，那么 的值为 （ ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．根据因式分解 的意义，把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案． 【详解】解： ， ， ， ， ， ， 故选：B． 1．（23-24八年级下·四川成都·期末）把多项式 分解因式，结果是 ，则a，b的值 为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式乘法，解二元一次方程组，因式分解的定义等知识点，根据多项式乘法将因式展开，然后组成方程组，解方程组即可得解， 熟练掌握整式乘法法则是解决此题的关键． 【详解】∵ ， ∴ ， ∴ ， 故选：D． 2．（24-25八年级上·山东滨州·阶段练习）已知关于 的多项式 有一个因式为 ，则 的值 ； 【答案】14 【分析】本题主要考查了已知因式分解的结果，求参数，求出当 时， ，则当 时， ，据此求解即可． 【详解】解：当 时， ， ∵关于 的多项式 有一个因式为 ， ∴当 时， ， ∴ ， ∴ ， 故答案为：14． 3．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式以及 的值． 解：设另一个因式为 ，得 ， 则 ， ． 解得： ， ∴另一个因式为 ， 的值为 ，问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)已知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式以及 的值． 解：设另一个因式为________，得： =________， 则 ． 解得： =________， =________． 另一个因式为________， 的值为________． (2)已知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式以及 的值． 【答案】(1) ； ； ； ； ； (2)另一个因式为 ， 的值为 【分析】本题考查了因式分解与整式乘法的关系，方程组的解法，正确理解因式分解与整式的乘法互为逆 运算是关键． （1）设另一个因式是 ，则 ，再建立方程组解题即可； （2）设另一个因式是 ，利用多项式的乘法运算法则展开，然后根据对应项的系数相等列式求出m、 p的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】（1）解：设另一个因式为 ，得： ， 则 ． 解得： ， ． 另一个因式为 ， 的值为20， 故答案为： ； ； ； ； ； ；（2）解：二次三项式 有一个因式是 ，设另一个因式是 ，则 ， 则 ， 解得 ， ∴另一个因式是 ， 的值为 ． 【经典例题三 公因式】 【例3】（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）下列多项式中，没有公因式的是（ ） A． 和 B． 和 C． 和 D． 和 【答案】B 【分析】本题考查了公因式，掌握公因式是多项式中每项都有的因式是解题关键．根据公因式的定义可得 答案． 【详解】解：A、 和 有公因式 ，不符合题意； B、 和 没有公因式，符合题意； C、 和 有公因式 ，不符合题意； D、 和 有公因式 ，不符合题意； 故选：B． 1．（23-24八年级上·山东威海·期中）多项式 的公因式是（ ）A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大 公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式 （或相同多项式因式）的指数的最低次幂．按照公因式的确定方法，公因式的系数应取 ，字母x取x， 字母y取y, 字z取z． 【详解】∵多项式 中， 各项系数绝对值的最大公约数是4， 各项相同字母x的最低次幂是x， 各项相同字母y的最低次幂是y， 各项相同字母z的最低次幂是z， ∴多项式 的公因式是 ． 故选：C． 2．（24-25九年级上·全国·期中）多项式 分解因式时应提取的公因式是 ． 【答案】 / 【分析】本题考查了公因式，方法是：①定系数，即确定各项系数的最大公因数；②定字母，即确定各项 的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的 最低次幂．按照此方法即可找到公因式． 【详解】解：多项式的公因式为： ； 故答案为： ． 3．（23-24七年级上·上海嘉定·期末）分解因式： 【答案】 【分析】运用平方差公式分解因式即可. 【详解】原式== = = 【点睛】本题考查了运用公式法分解因式，解题需要注意的是每个因式都要分解到不能再分解为止. 【经典例题四 提公因式法分解因式】 【例4】（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）已知 ，则 的值是（） A．6 B．7 C．4 D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了代数式求值、因式分解，根据题意， ，把 代入 即可求出结果，解题的关键是要能将 看成一个整体代入代数式求值． 【详解】解： ， ∵ ， ∴原式 ， 故选：D． 1．（23-24七年级下·浙江·期中）若多项式 ，则 是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】提取公因式后剩下的各项的和就是所要求的 的值． 【详解】解：， ∴ ， 故选：C． 【点睛】本题考查了提公因式法分解因式的解答过程，要灵活运用符号的变换． 2．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．提出公因式 即可得出答 案． 【详解】解： ． 故答案为： ． 3．（23-24八年级下·广西柳州·开学考试）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式 ，再提取公因式 进行二次分解即可，熟练掌握提公因 式法因式分解是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 【经典例题五 判断能否用公式法分解因式】 【例5】（23-24八年级下·江西抚州·阶段练习）下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D【分析】此题主要考查了利用完全平方公式分解因式，熟练掌握完全平方公式的特点是解题关键．根据完 全平方公式的结构特点：必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另-项是这两个 数(或式)的积的2倍，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、 ，不符合完全平方公式，故此选项错误； B、 ，不符合完全平方公式，故此选项错误； C、 ，不符合完全平方公式，故此选项错误； D、 ，符合完全平方公式，故此选项正确； 故选：D． 1．（23-24八年级下·河北保定·阶段练习）在因式① ；② ；③ ；④ ；⑤ 中，能用公式法分解因式的有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查了公式法分解因式，掌握公式法分解因式的方法是解题的关键． 根据乘法公式，分解因式的概念“把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做分解因式”进行判定即可求 解． 【详解】解：① ，不能用公式法分解因式，不符合题意； ② ，能用公式法分解因式，符合题意； ③ ，不能用公式法分解因式，不符合题意； ④ ，不能用公式法分解因式，不符合题意； ⑤ ，能用公式法分解因式，符合题意；综上所述，能用公式法分解因式的有②⑤，共2个， 故选：A ． 2．（23-24七年级下·江苏徐州·期中）给出下列多项式：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ．其中能够因式分解的是： （填上序号）． 【答案】②④⑤⑥ 【分析】根据提公因式法以及公式法对各个多项式依次加以分析进行判断求解即可. 【详解】① ，不符合公式，也没有公因式，故无法因式分解； ② ，故可以因式分解； ③ ，不符合公式，也没有公因式，故无法因式分解； ④ ，故可以因式分解； ⑤ ，故可以因式分解； ⑥ ，故可以因式分解； 综上所述，②④⑤⑥可以因式分解， 故答案为：②④⑤⑥. 【点睛】本题主要考查了因式分解的运用，熟练掌握相关方法及公式是解题关键. 3．（23-24七年级下·广西贵港·期中）探究：如何把多项式 因式分解？ (1)观察：上式能否可直接利用完全平方公式进行因式分解？答：______．（填“能”或“不能”）； 【阅读与理解】由多项式乘法，我们知道 ，将该式从右到左地使用，即可 对形如 的多项式进行因式分解，即： ； 此类多项式 的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和．(2)猜想并填空： ＋（___＋_____） ＋___×_____＝（ ＋_____）（ ＋_____）； (3)请运用上述方法将下列多项式进行因式分解： ① ② 【答案】(1)不能 (2)3，5，3，5，3，5 (3)① ；② 【分析】本题考查因式分解，掌握十字相乘法，是解题的关键． （1）根据完全平方式的特点判断即可； （2）将15拆解乘 ，又 ，即可得出结果； （3）利用十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】（1）解：∵ 不是完全平方式， ∴不能利用完全平方公式进行因式分解； 故答案为：不能； （2）∵ ， ∴ ； （3）① ； ② ． 【经典例题六 运用平方差公式分解因式】 【例6】（2024八年级上·全国·专题练习）若 为任意正整数， 的值总可以被 整除，则 等 于（ ） A．11 B．22 C．11或22 D．11的倍数 【答案】A【分析】本题考查了因式分解的应用．先将 因式分解，进而可以得出答案． 【详解】解： ， 的值总可以被11整除，即 ， 故选：A． 1．（24-25八年级上·甘肃天水·期中）下列因式分解正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解，根据因式分解的方法逐一判断即可求解，掌握因式分解的方法是解题的关 键． 【详解】解：A、 ，该选项分解错误，不合题意； B、 ，该选项分解正确，符合题意； C、 ，该选项分解错误，不合题意； D、 ，该选项分解错误，不合题意； 故选：B． 2．（23-24八年级下·山东滨州·阶段练习）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解—提公因式法与公式法的综合运用，解题的关键是先提取公因式 ， 然后再根据平方差公式进一步分解即可．因式分解要彻底，要分解到不能分解为止．【详解】解： ． 故答案为： ． 3．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）观察下列各式： ； ； ，不难发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除． (1) 的结果是3的____倍； (2)设偶数为 ，试说明比 大5的数与 的平方差能被5整除； (3)比任意一个整数大5的数与此整数的平方差被10整除的余数是几？说明理由． 【答案】(1)19 (2)见解析 (3)余数为5，理由见解析 【分析】本题主要考查了运用平方差公式分解因式，分解因式的应用； （1）计算出 的结果，即可； （2）根据“比 大5的数与 的平方差”列式，再利用平方差公式计算即可； （3）设这个数为 ，比 大5的数为 ，再利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解： ， 即 的结果是3的 倍， 故答案为： ； （2）解：偶数为 ，比 大5的数为 ， ∴ ， ∵ 为整数， ∴ 能被5整除，∴比 大5的数与 的平方差能被5整除； （3）解：余数为 ，理由如下： 设这个数为 ，比 大5的数为 ， ∴ ， ∵ ， ∴ 被10整除的余数是 ， 即比任意一个整数大5的数与此整数的平方差被10整除的余数是 ． 【经典例题七 运用完全平方公式分解因式】 【例7】（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）多项式① ② ③ ④ 在分解因式后，结果含有相同因式的是（ ）． A．①④ B．①② C．③④ D．②③ 【答案】A 【分析】本题主要考查了提公因式分解因式和利用完全平方公式分解因式，熟练掌握公式结构是求解的关 键． 根据提公因式法和完全平方公式把各选项的多项式分解因式，然后再找出结果中含有相同因式的即可． 【详解】解：① ，② ，③ ，④ ， ∴①④含有相同因式． 故选：A． 1．（23-24七年级下·全国·单元测试）多项式 与多项式 的公因式是（ ）A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查公因式的确定，利用公式法分解因式是解本题的关键．利用平方差公式和完全平方 公式分解因式，然后再确定公因式，即可解题． 【详解】解： ， ， 多项式 与多项式 的公因式是 ． 故选 A． 2．（23-24九年级上·广东揭阳·期中）若 ，则 的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了运用完全平方公式进行运算，熟练掌握完全平方公式的结构特点是解题关键．首 先将等号左边部分进行整理，可得 ，即可获得答案． 【详解】解：∵ ， ∴ ． 故答案为： ． 3．（2024八年级上·全国·专题练习）下面是某同学对多项式 进行因式分解的 过程． 解：设 ． 原式 （第一步） （第二步）（第三步） ．（第四步） 请问： (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的（ ） A．提公因式法 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式 (2)已知该同学因式分解的结果不彻底，请直接写出因式分解的最后结果：_______； (3)请你模仿以上方法，尝试对多项式 进行因式分解． 【答案】(1)C (2) (3) 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式 法，完全平方公式法，十字相乘法等 （1）根据分解因式的过程可得答案； （2）将结果再次因式分解即可； （3）将 看作整体进行因式分解即可； 掌握运用公式法分解因式是解题的关键，注意因式分解要分解彻底． 【详解】（1）解： ， 则运用了两数和的完全平方公式进行因式分解， 故选：C； （2）解： ， 故答案为： ； （3）解：设 ， ∴． 【经典例题八 综合运用公式法分解因式】 【例8】（23-24七年级下·湖南株洲·期中）因式分解 的结果为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 原式利用完全平方公式和平方差公式分解即可． 【详解】分解：原式 ， 故选：D． 1．（2021·河北沧州·一模）对于： ① ； ② ； ③ ；④ ． 其中因式分解正确的是（ ） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】D 【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可． 【详解】解：① ，此项错误； ② ，此项正确； ③ ，此项错误； ④ ，此项正确． 故选D． 【点睛】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解题的关键，注意：把一个多项式化成几 个整式的积的形式，叫因式分解． 2．（23-24八年级下·浙江宁波·开学考试）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解．先根据整式的乘法运算，把原式变形为 ， 再由完全平方公式和平方差公式，即可求解． 【详解】解： 故答案为：3．（24-25八年级上·全国·期末）（1）若 ，则 的值是 ； （2）分解因式： ① ； ② ； （3）若多项式 能分解成两个一次式（常数项为整数）的乘积，求a的值． 【答案】（1） ；（2）① ；② ；（3） 或 【分析】本题主要考查了因式分解及其应用，多项式乘以多项式，代数式求值： （1）根据多项式乘以多项式的计算法则求出 的结果，进而得到 ，据此求 出a、b的值，再代值计算即可； （2）①先分组得到 ，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可；②先 分组得到 ，再利用十字相乘法分解因式即可； （3）设 ，则可推出 ，则 ，即 ，根据 都是整数， ，得到 或 或 或 ，据此求出m、n的值，即可求出a的值． 【详解】解：（1）∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，∴ ， ∴ ， 故答案为： ； （2）① ； ② ； （3）∵ 能分解成两个一次式（常数项为整数）的乘积， ∴可设 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵m、n都是整数，∴ 都是整数， ∵ ， ∴ 或 或 或 ， ∴ 或 或 或 ， ∴ 或 ， 解得 或 ． 【经典例题九 综合提公因式和公式法分解因式】 【例9】（2024八年级·全国·竞赛）已知a、b、c分别是 的三边，则 为（ ） A．正数 B．负数 C．零 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解，三角形三边的关系，先利用平方差公式和完全平方公式把原式分解因 式得到 ，再根据三角形中，任意两边之差小于第三边，任意两边之 和大于第三边推出 即可得到答案． 【详解】解： ， ∵a、b、c分别是 的三边， ∴ ， ∴ ，∴ 故选：B． 1．（23-24七年级上·上海闵行·期中）有一种用“因式分解”法产生的密码记忆法，方法是：取一个多项 式，如： ，将此多项式因式分解的结果是： ．再取两个值，如： ， 那么各个因式的值是： ，于是就可以把“162130”作为一个六位数密 码．如果取多项式 以及 ，那么下列密码不可能是用上述方法产生的是（ ） A．221820 B．222018 C．222180 D．201822 【答案】C 【分析】先提取公因式，再根据平方差公式将 因式分解，根据题意即可进行解答． 【详解】解： ， 当 时， ， ∴可以产生的密码是：202218，201822，222018，221820，182220，182022； 不能产生的密码是222180， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法和步骤． 2．（2024·山西长治·模拟预测）在现今“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经紧密相连，密不可分， 而诸如“ ”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必 要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式 因式分解的结果是 ，若取 ， 时，则各个因式的值是： ， ， ，把 这些值从小到大排列得到 ，于是就可以把“ ”作为一个六位数的密码，对于多项式 ，取 ， 时，请你写出用上述方法产生的密码 ．【答案】 【分析】本题考查了综合提公因式和公式法进行因式分解．熟练掌握综合提公因式和公式法进行因式分解 是解题的关键． 由题意知， ，然后代值求解并作答即可． 【详解】解： ， 当 ， 时， ， ， ， ∴密码为 ， 故答案为： ． 3．（24-25八年级上·全国·期中）下面是小禾同学对多项式 进行因式分解的过程，请仔 细阅读并解答后面的问题． 解：原式 第一步 第二步 第三步 第四步 (1)在上述过程中，第一步依据的乘法公式是 ； (2)第四步因式分解的方法是提公因式法，其依据的运算律为 ； (3)第 步出现错误，错误的原因是 ； (4)因式分解正确的结果为 ． 【答案】(1)平方差公式（或 ） (2)乘法分配律 (3)二；括号前是图“ ”号，去掉括号后，原括号里的第二项没有变号 (4) 【分析】（ ）根据平方差公式即可求解； （ ）根据乘法分配律即可求解； （ ）根据去括号法则即可判断求解；（ ）根据平方差公式和去括号法则进行分解即可求解； 本题考查了利用平方差公式因式分解，掌握平方差公式是解题的关键． 【详解】（1）解：在上述过程中，第一步依据的乘法公式是平方差公式， 故答案为：平方差公式； （2）解：第四步因式分解的方法是提公因式法，其依据的运算律为乘法分配律， 故答案为：乘法分配律； （3）解：第二步出现错误，错误的原因是括号前是图“ ”号，去掉括号后，原括号里的第二项没有变号， 故答案为：二；括号前是图“ ”号，去掉括号后，原括号里的第二项没有变号； （4）解：原式 故答案为： ． 【经典例题十 因式分解在有理数简算中的应用】 【例10】（23-24八年级上·河北邢台·期末）计算 的值为 （ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】原式各括号利用平方差公式变形，约分即可得到结果． 【详解】原式 ， ，， ， 故选：C． 【点睛】本题考查的是平方差公式，掌握运算法则和平方差公式是解题关键． 1．（23-24七年级下·广西来宾·期中）计算： 的结果是 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据平方差公式把每个括号内的式子分解因式，进一步计算乘法即得答案． 【详解】解：原式= = = = ． 故选：B． 【点睛】本题考查了多项式的因式分解和有理数的简便运算，属于常考题型，熟练掌握分解因式的方法是 解题关键． 2．（23-24八年级上·广东广州·期中）计算： ． 【答案】 /【分析】接利用平方差公式把每一个算式因式分解，再进一步发现规律计算即可． 【详解】解：原式= ， 故答案为： ． 【点睛】此题考查因式分解的应用，解题关键在于利用公式进行计算． 3．（23-24七年级上·福建泉州·阶段练习）（1）按下表已填的完成表中的空白处代数式的值： ， 1 ， 46 ， （2）比较两代数式计算结果，请写出你发现的 与 有什么关系？ （3）利用你发现的结论，求： 的值． 【答案】（1）见解析；（2） ；（3）1 【分析】（1）把每组 的值分别代入 与 进行计算，再填表即可； （2）观察计算结果，再归纳出结论即可； （3）利用结论 可得 再代入进行简便运算即可. 【详解】解：（1）填表如下：， 1 1 ， 16 16 ， 9 9 （2）观察上表的计算结果归纳可得： （3） = = =1 【点睛】本题考查的是代数式的求值，运算规律的探究，完全平方公式的应用，熟练的利用完全平方公式 进行简便运算是解本题的关键. 【经典例题十一 十字相乘法】 【例11】（23-24九年级上·江苏南通·期末）设二次三项式 可分解为两个一次因式的乘积，且各 因式的系数都是整数，则满足条件的整数的个数为（ ） A．8 B．6 C．4 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了利用十字相乘法分解因式，利用十字相乘法，即可确定 的值，进一步即可求解． 【详解】解： ， ， ， ， ， ， 各因式的系数都是整数， 满足条件的整数 的个数为 ． 故选：B．1．（23-24八年级下·重庆·期中）若多项式 能分解成两个一次因式的积，且其中一个次因式 ，则 的值为（ ） A．1 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】根据两个一次多项式的两个一次项的乘积得到结果中的二次项，两个常数项的积得到结果中的常 数项，从而可判断出另一个因式，再利用整式的乘法进行计算，即可得到答案． 【详解】解： 多项式 能分解成两个一次因式的积，且其中一个次因式 ， 由多项式的乘法运算法则可得另一个因式的一次项为 常数项为 故选：A 【点睛】本题考查的是因式分解的应用，整式乘法与因式分解的关系，理解题意得出多项式的另一个因式 为 是解本题的关键． 2．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）若多项式 可因式分解为 ，其中 均为整数，则 的值是 ． 【答案】1 【分析】首先利用十字相乘法将 因式分解，即可得到 的值，从而得到答案． 【详解】解：利用十字相乘法将 因式分解， 得 ， ， ， 故答案为：1． 【点睛】本题考查十字相乘法分解因式，掌握十字相乘法是正确分解因式的前提，确定 的值是得 出正确答案的关键．3．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·开学考试）阅读：用“十字相乘法”分解因式 的方法． （1）二次项系数 ． （2）常数项 ，验算：“交叉相乘之和”． ． （3）发现第③个“交叉相乘之和”的结果 ，等于一次项系数． 即 ，则 ． 像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法． 仿照以上方法，分解因式： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是利用十字乘法分解因式； （1）直接利用十字乘法分解因式即可； （2）直接利用十字乘法分解因式即可； （3）把 看整体，再利用十字乘法分解因式即可；【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： 【经典例题十二 分组分解法】 【例12】（23-24八年级上·全国·单元测试）把多项式 分解因式的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是分组分解法分解因式，提公因式法分解因式，先分组，再提取公因式即可. 【详解】解： ； 故选A 1．（23-24七年级上·湖南怀化·阶段练习）把 分解因式，正确的分组为（ ） A． B． C． D．【答案】A 【分析】把后三项为一组，利用完全平方公式计算，再利用平方差公式继续分解因式即可． 【详解】解： ． 故选：A． 【点睛】本题考查用分组分解法进行因式分解．难点是采用两两分组还是一三分组．本题中后三项正好符 合完全平方公式，应考虑后三项为一组． 2．（23-24七年级下·湖南娄底·期末）阅读下面的文字与例题． 将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如： （1） （2） 试用上述方法分解因式： = ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解，要能够熟练运用分组分解法、提公因式法和完全平方公式．首先进行合理 分组，然后运用提公因式法和公式法进行因式分解．【详解】解： ， 故答案为： ． 3．（24-25八年级上·山东东营·阶段练习）阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公 因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进 行分组分解． 例1：“两两分组”： 例2：“三一分组”： 解：原式 解：原式 ． ． 归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解． 请同学们在阅读材料的启发下解答下列问题： 分解因式： (1) ； (2) ． 【答案】(1) ； (2) 【分析】本题主要考查因式分解，理解题目中的例题的方法是解题的关键． （1）根据“两两分组”中的例题因式分解即可； （2）根据“三一分组”中的例题写出因式分解的结果． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 【经典例题十三 因式分解的应用】 【例13】（24-25八年级上·全国·期中）若实数x满足 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，利用因式分解整理出已知条件的形式是解题的关键，整体代入 思想的利用比较重要．由 可得 ，把所求代数式中 分解成 与 相加，然 后整理成用 表示的形式，最后代入数据计算求解即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ， 故选：A．1．（23-24七年级下·江苏常州·期中）如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“和 谐数”，如：因为 ，所以称40为“和谐数”，下面4个数中为“和谐数”的是（ ）． A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】D 【分析】本题主要考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式进行求解是解决本题的关键．设这两个连续奇 数为n， ，应用平方差公式进行计算可得 ，代入计算n的值，即可得出答案． 【详解】解：设这两个连续奇数为n， ， 则 ， A． ，解得 ，n不是奇数，故不符合题意； B． ，解得 ，n不是奇数，故不符合题意； C． ，解得 ，n不是奇数，故不符合题意； D． ，解得 ，n是奇数，故符合题意． 故选：D． 2．（24-25八年级上·全国·期中）如图 是一个棱长为 的正方体中挖去一个棱长为 的小正方体 ， 将剩余部分进行切割得到如图 所示的三个长方体．通过计算剩余部分的体积，可对多项式 进行因 式分解，即 ． 【答案】【分析】本题考查了因式分解的应用，提公因式法分解因式等知识点，正确表示出三块长方体的体积之和 是解题的关键． 根据正方体和长方体的体积公式及体积关系即可求解． 【详解】解：根据题意可得： 图 的体积为： ， 图 的体积为： ， 图 的体积 图 的体积， ， 故答案为： ． 3．（24-25八年级上·全国·单元测试）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有其他多项 式只用上述方法无法分解，如 观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项 可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因 式了．过程为： ，这种分解因式的方 法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题． (1)分解因式： (2)分解因式： (3)已知 的三边长分别为a、b、c，且满足 ，判断 的形状． 【答案】(1) (2) (3) 的形状是等腰三角形或等边三角形 【分析】本题主要考查了分组分解法分解因式，以及因式分解的作用，等腰三角形以及等边三角形的定义 等知识． （1）按照分组分解法分解因式即可． （2）按照分组分解法分解因式即可 （3）按照分组分解法分解因式可得出 ，然后分 当 ， 当 ， 当 ① ② ③三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：原式 （2）原式 （3）由 ， 可得 ， 所以 ． 当 ，即 时， 是等腰三角形； ①当 ，即 时， 是等腰三角形； ②当 ，且 ，即 时， 是等边三角形． ③综上所述， 的形状是等腰三角形或等边三角形． 【经典例题十四 利用因式分解求最值】 【例14】（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）多项式 有最值是（ ） A．小，4 B．大，15 C．大，25 D．小，16 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，根据完全平方公式把原式变形为 ， 然后根据偶次幂的非负性求解即可． 【详解】解∶ ， ∵ ， ，∴当 且 时， 多项式 有最小值为16， 故选：D． 1．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）已知 为实数，整式 的最小值是（ ） A．1 B．2 C．−8 D． 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式的应用和偶次方的非负性，正确运用该完全平方公式是解答本题的关键． 先分组，然后运用配方法得到 ，最后利用偶次方的非负性得到最小值． 【详解】解： ， ∵ ， ， ∴ 的最小值是 ， 故选C． 2．（23-24九年级上·福建漳州·自主招生）已知正整数m，n满足 ，则 的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用，设 ， ，则 ， ，再根据 ，可得 ， 同为正偶数且为 的因数，掌握因式分解的应用是解题的关键． 【详解】解：设 ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， 同为正偶数且为 的因数，∴ 或 或 ， ∴ 的最大值为 ， 故答案为： ． 3．（23-24八年级上·云南昆明·期末）小王同学在学校开设的数学课后辅导时，听老师在讲完乘法公式( 的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式 的最值？同学 们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解： ， ∴ 当 时， 值最小，最小值是0． ∴ 当 时， 的值最小，最小值是1． ∴ 当 时， 的最小值是1．请你根据上述方法，解答下列各题： (1)当 时，代数式 有最小值，最小值是 ； (2)若 此时W有 值(填“最大”或“最小”)，即当 时， ； (3)若 则 （用含x的代数式表示） ，请求出 的最值． 【答案】(1) ； ； (2)大， ， (3) ，当 时， 的最小值为 ； 【分析】本题考查的是利用完全平方公式的应用，非负数的性质； （1）由 ，再结合非负数的性质可得答案； （2）由 ，再结合非负数的性质可得答案；（3）由 可得 ，结合 ，再进一步解答即可； 【详解】（1）解：∵ ，而 ； ∴当 时，有最小值2； （2）解：∵ ，而 ； ∴当 时有最大值 ； 故 有最大值，当 时，最大值为 ． （3）解：∵ ， ∴ ， ∵ ，而 ； ∴当 时， 的最小值为 ； 1．（24-25六年级上·上海·期中）下列各等式中，从左到右是因式分解的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的定义，熟记定义并正确理解是解题的关键． 把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式，据 此作答即可． 【详解】A． 等式右边不是整式积的形式，是整式乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意； B．等式的左边不是多项式，不是因式分解，故本选项不符合题意； C． 分母中含有未知数，不是整式乘积形式，不是因式分解，故该选项不符合题意；D． 是因式分解，故该选项符合题意； 故选：D． 2．（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）多项式 有最值是（ ） A．小，4 B．大，15 C．大，25 D．小，16 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，根据完全平方公式把原式变形为 ， 然后根据偶次幂的非负性求解即可． 【详解】解∶ ， ∵ ， ， ∴当 且 时， 多项式 有最小值为16， 故选：D． 3．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）若多项式 有一个因式是 ，则这个多项式中 的值 是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键； 根据特点先进行整式的分解，然后对比可得 的值； 【详解】解：多项式 有一个因式是 ， ∴另一个因式的 的系数为 ，另一数为 ， ∴另一个因式为 ， ∴ ∴ ∴ ， 故选：B4．（23-24七年级下·湖南永州·期中）已知 ， ， ，则多项 式 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是完全平方公式的变形求值，因式分解的应用，解题的关键是利用因式分解把所 求代数式进行变形．根据题意可得 ， ， ，再利用提公因式法原式可变形为 ，再利用完全平方公式可变形为 ，然后代 入，即可求解． 【详解】解： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 5．（2024·湖北武汉·模拟预测）杨辉是我国南宋数学家，他著作的《详解九章算法》中有一道计算问题： 已知 ， ，①由 ，可得 ；②由 ，可得 依此方法计算 的值是（ ） A．29 B．30 C．31 D．32【答案】A 【分析】本题考查多项式乘多项式，因式分解，掌握多项式乘多项式法则是正确解答的关键． 根据题目所提供的方法进行计算即可． 【详解】解：已知 ， ①由 ，可得 ； ②由 ，可得 ； ③由 ，可得 ； ④由 ，可得 ； ⑤由 ，可得 ； ⑥由 ，可得 ； 故选：A． 6．（24-25八年级上·甘肃定西·期中）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了提公因式分解因式，先计算积的乘方运算，再提公因式 即可． 【详解】解： 故答案为： ． 7．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）二次三项式 在整数范围内可以分解成两个一次因式， 则k的值的个数有 个． 【答案】无数 【分析】本题考查了整式的因式分解，掌握整式和因式分解的关系是解决本题的关键．先设 分解的两个因式为 （a，b都是整数），根据因式分解与整式的关系得 与 间关系， 判断满足条件的a、b得结论． 【详解】解： 在整数范围内可以分解成两个一次因式， 设 分解的两个因式为 （a，b都是整数）， ， 在整数范围内，满足两个整数的和为 的a、b有无数对， 满足条件的k有无数个． 故答案为：无数． 8．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）若一个四位正整数 满足： ，我们就称该数是“交替 数”，则最小的“交替数”是 ；若一个“交替数”m满足千位数字与百位数字的平方差是15，且 十位数字与个位数的和能被5整除．则满足条件的“交替数”m的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义，解二元一次方程组，因式分解的应用，对于第一空要使“交替数” 最小，则 要最小，即 ，同理可知 ，据此根据“交替数”的定义确定c的最小值即可得到答案； 对于第二空分解因式可得 ，求出 都是正整数，再由 ，得到 或 ，则 或 ，据此求出当 时m的最大值即可得到答案． 【详解】解：∵要使“交替数” 最小， ∴ 要最小，即 ， 同理可知 ， 又∵ ， ∴ ， ∴ 最小为0， ∴最小的“交替数”为 ；设 ， ∵“交替数”m满足千位数字与百位数字的平方差是15， ∴ ， ∴ ， ∵a是正整数，b是自然数， ∴ ， ∴ ， ∴ 都是正整数， ∵ ， ∴ 或 ， ∴ 或 ， 当 时， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵m的十位数字与个位数的和能被5整除， ∴ 能被5整除， ∴ 或 或 ， ∵要使m最大， ∴c要最大， ∴ ， ∴ ， ∴此时满足题意的m的最大值为 ， ∵ ，∴当 时，满足题意的m的最大值一定要大于当 时满足题意的m的最大值， ∴m的最大值为 ． 故答案为： ； ． 9．（24-25七年级上·上海·期中）如图，正方形 分割成四个长方形 、 、 、 ，它们的面积分别为 、 、 、 （其中 ， ），请用含有 、 的代数 式表示正方形 的边长 ． 【答案】 / 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，根据 求 出正方形 的面积，进而求出其边长即可． 【详解】解：由题意得， ∴正方形 的边长为 ， 故答案为： ． 10．（2024·山西长治·模拟预测）在现今“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经紧密相连，密不可分， 而诸如“ ”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必 要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式 因式分解的结果是 ，若取 ， 时，则各个因式的值是： ， ， ，把 这些值从小到大排列得到 ，于是就可以把“ ”作为一个六位数的密码，对于多项式，取 ， 时，请你写出用上述方法产生的密码 ． 【答案】 【分析】本题考查了综合提公因式和公式法进行因式分解．熟练掌握综合提公因式和公式法进行因式分解 是解题的关键． 由题意知， ，然后代值求解并作答即可． 【详解】解： ， 当 ， 时， ， ， ， ∴密码为 ， 故答案为： ． 11．（24-25八年级上·海南海口·期中）因式分解： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【答案】(1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【分析】本题主要考查利用提取公因式法与公式法分解因式，可以结合分解因式的步骤先提取公因式开始 解答． （1）提公因式 ，即可求解． （2）提公因式 ，然后根据平方差公式因式分解，即可求解． （3）先根据单项式乘以多项式展开，再提公因式 ，然后根据完全平方公式因式分解，即可求解； （4）根据多项式乘以单项式展开，然后根据十字相乘法因式分解，即可求解．【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： （4）解： 42．（24-25七年级上·上海·期中）阅读理解∶ 条件①：无论代数式A中的字母取什么值，A都不小于常数M；条件②：代数式A中的字母存在某个取值， 使得A等于常数M；我们把同时满足上述两个条件的常数M叫做代数式A的下确界． 例如： ， ， （满足条件①） 当 1时， （满足条件② ） ∴4是 的下确界． 请根据上述材料，解答下列问题：(1)求 的下确界． (2)若代数式 的下确界是1，求m的值． (3)求代数式． 的下确界． 【答案】(1) (2) (3)8 【分析】本题主要考查了求代数式的值，完全平方公式的应用，本题是新定义型，正确理解新定义的规定 并熟练应用是解题的关键． （1）根据代数式的下确界的规定，模仿示例，利用完全平方公式把代数式变形为完全平方式和一个常数 和的形式即可解答； （2）根据代数式的下确界的规定，利用完全平方公式把代数式变形为完全平方式和一个代数式和的形式， 这个代数式的值即是的下确界，由此即可解答； （3）利用完全平方公式把代数式变形为两个完全平方式与常数和的形式，即可解答． 【详解】（1）解：（1） ， ， ∴ ，即 （满足条件①）， 当 时， （满足条件②）， 是 的下确界； （2） ，代数式 的下确界是1， ， ， ． （3）， ， ∴ ，即 ， 当 ， 时， ， 的下确界为8． 【点评】本题主要考查了求代数式的值，配方法，本题是新定义型，正确理解新定义的规定并熟练应用是 解题的关键． 43．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）“试根法”是一种常见的数学方法可以应用于分解因式、多项 式的除法等运算，其算法如下：对于多项式 ，令 时， ，则 必有一个 因式是 ，且 可以分解为 ，对于多项式 ，令 时， ，则 必有一个因式是 ，且 可以分解为 (1)分解因式： （当 时，原式为0）（方法任意）； (2)已知多项式 既能被 整除，又能被 整除，求m、n的值（方法任意） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解的意义，因式分解的应用，整式的除法； （1）根据当 时， ，得多项式 必有一个因式 ，设 ，然后比较同类项的系数 ，进而可得出答案； （2）根据多项式 既能被 整除，又能被 整除，得当 或 时，，将 代入整理得 ①，将 代入整理得 ②，再由①②解出 ， 的值即可． 【详解】（1）解： 当 时， ， 多项式 必有一个因式 ， 设 ， ， 比较同类项的系数得： ， ， 由 ，解得： ， 由 ，解得： ， ； （2）解： 多项式 既能被 整除，又能被 整除， 多项式 必有因式 和 ， 当 或 时， ， 当 时， ， 整理得： ①， 当 时， ， 整理得： ②， ① ②，得： ， ， 将 代入②，得： ． ， ． 44．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）发现与探索． 小明的解答： 小丽的思考： 代数式 无论 取何值 都大于等于 ，再加上 ，则代数式 大于等于 ，则 有最小值为 ．图 图 (1)根据小明的解答（图 ）分解因式： ； (2)根据小丽的思考（图 ）解决问题． 说明：代数式 的最小值为 ； (3)求代数式 的最大值． 【答案】(1) ； (2)理由见解析； (3)代数式 的最大值为 ． 【分析】（ ）把 看成整体，仿照小明的解答过程，利用完全平方公式、平方差公式计算； （ ）先仿照小明的解答过程把 ，再仿照小丽的思考过程，利用完全平方公式、 平方差公式计算、偶次方的非负性解答即可； （ ）仿照解法，利用完全平方公式、平方差公式计算、偶次方的非负性解答即可； 本题考查了因式分解的应用、偶次方的非负性，掌握完全平方公式、平方差公式、偶次方的非负性是解题 的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ∵无论 取何值 都大于等于 ，∴代数式 大于等于 ， ∴代数式 的最小值为 ； （3）解：原式 ∵无论 取何值 都小于等于 ， ∴代数式 小于等于 ， ∴代数式 的最大值为 ． 45．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）阅读下列材料：分解因式： ． 解1： 解2： ． 【方法总结】对不能直接使用提取公因式法，公式法进行分解因式的多项式，我们可把被分解的多项式分 成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和公式法进行分解，然后，再从总体上按“基本方法”继 续进行分解，直到分解出最后结果．这种分解因式的方法叫做分组分解法： 【学以致用】：尝试运用分组分解法解答下列问题： (1)分解因式： (2)分解因式： 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解： （1）先将原式分组为 ，再利用提取公因式法和公式法进行分解；（2）先将原式变形为 ，再利用平方差公式进行因式分解． 【详解】（1）解： ； （2）解：