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专题03 圆中的重要模型-圆弧的中点模型
当圆中出现弧的中点时，我们要注意考虑几个方面：三角形的中位线，垂径定理，圆周角定理，弦，
弧，圆心角，圆周角的关系等等。其关系复杂，在理解其做辅助线的方法和分析技巧的基础之上，还要注
意各知识点之间的联系，才是形成稳固的解题思路以及推导模式的最佳选择，以便于最后才能突破复杂的
综合题型以及压轴题型。
当圆中出现弦的中点或弧的中点时，我们联想到的是利用垂径定理以及圆周角定理进行思路的突破，
这样的解决方式比较直接，而且能够提高大家解题的效率
模型1、与垂径定理相关的中点模型
O O O
A B A B A B
M N M N
P P P
图1 图2 图3
1）如图1，已知点P是 中点，连接OP，则OP⊥AB．
2）如图2，已知过点P作MN∥AB，则MN是圆O的切线．
3）如图3，变换条件：连接BP、AP，若∠BPN=∠A，则MN是圆O切线．
例1．（2023·浙江·九年级假期作业）如图， 是半径为8的 的弦，点C是优弧 的中点，
，则弦 的长度是（ ）
A．8 B．4 C． D．
例2．（2023·山东临沂·统考一模）如图， 是半圆 的直径，点 在半圆 上，点 为 的中点，连接 ， ， ， 与 相交于点 ，过点 作直线 ，交 的延长线于点 ．
(1)求证： 是 的切线；(2)若 ， ，求阴影部分的面积．
例3．（2023·福建龙岩·统考一模）如图，点C是 的中点，直线 与 相切于点C，直线 与切线
相交于点E，与 相交于另一点D，连接 ， ．
(1)求证： ；(2)若 ，求 的度数．
例4．（2023·山东潍坊·统考二模）如图， 为 的直径，点D为圆周上一点（不与A，B重合），点C
为 的中点，连接BC并延长至点E，连接AE，AC，恰有AC平分 ．(1)求证： 为 的切线；
(2)作 ， ，垂足分别为点D，F，若 ， ，求AE的长．模型2、与圆周角定理相关的中点模型（母子型）
C C C
A B
O O O
A B A B
P P P
图1 图2 图3
1）如图1，已知点P是 中点，点C是圆上一点，则∠PCA=∠PCB．
2）如图2，已知点P是半圆中点，则∠PCA=∠PCB=45°．
3）如图 3，已知点 P 是 中点，则∠PBA=∠PCA=∠PCB=∠PAB．可得：△PDA∽△PAC；
△PDB∽△PBC．
C C C C
O O O O
D
A B A B A B A B
D D D
P P P P
可得：△CAP∽△CDB；△CAD∽△CPB．
例1．（2023·浙江温州·九年级校考阶段练习）如图，在 中，点A是 的中点，若 ，则
的度数为（ ）A． B． C． D．
例2．（2023·山东德州·统考二模）如图1， 内接于 ，点 是劣弧 的中点，且点 与点 位
于 的异侧．
(1)请用圆规和无刻度直尺在图1中确定劣弧 的中点 ；
(2)在图1中，连接 交 于点 ，连接 ，求证 ；
(3)如图2，点 是半圆的中点，若⊙O的直径 ，求 和 的长．
例3．（2023春·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，已知 是圆 的直径，点 在圆 上，且
，过点 作弦 的平行线与 的延长线交于点 (1)若圆 的半径为 ，且点 为弧 的中点
时，求线段 的长度；(2)在（1）的条件下，当 ， α时，求线段 的长度；（答案用
含α的代数式表示）；(3)若 ，且 ，求 的面积．
例4．（2023·四川巴中·统考一模）如图， 是半圆O的直径，D为半圆O上的点（不与A，B重合），
连接 ，点C为 的中点，过点C作 ，交 的延长线于点F，连接 ， 交于点E．(1)求证： 是半圆O的切线．(2)求证： ．(3)若 ， ，求阴影部分的面积．
模型3、垂径定理与圆周角定理结合的中点模型
P P
P C C
C
D D
D A B A B
A B H O H O
H O
Q
如图，AB是直径，点P是 中点，过点P作PH⊥AB交AB于点H，则△ADP∽△APC．
以下作图可证明：∠PAC=∠APH，即可得△PAD是等腰三角形．
例1．（2023·湖南长沙·长沙市统考一模）如图，已知 是 的直径， 与 相切于点 ， 与
相交于点 ， 是弧 的中点，现有如下几个结论： ， ， ，
，其中正确的个数为（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个例2．（2023·浙江金华·校联考二模）如图， 是 的直径，C是 上一点，点D是弧 的中点，
于点E，交 于点F，已知 ， 的半径为2，则 的长为 ．
例3．（2023·河南信阳·统考一模）如图， 是 的直径，点 是圆上一点，点 是 的中点，
，过点 作 的切线交 的延长线于点 ．
(1)求证： ；(2)若 ， 的半径是3，求 的长．
例4．（2023·四川成都·统考二模）如图， 是 的一条弦，点 是 中点，连接 ， ， 交
于点 ．过点 作 的切线交 的延长线于点 ，延长 交 于点 ，连接 交 于点 ，
连接 ．(1)求证： ；(2)已知 ，求 的值．模型4、与托勒密定理相关的中点模型
图1 图2
1）同侧型:
条件：如图5，A为弧BC中点，D为圆上等腰三角形底边下方一点，结论：BD+CD= 2AD×cosθ；
特别地：1）当三角形为等边三角形时（即θ=60°）； 结论：BD+CD= AD
2）当三角形为等腰直角三角形时（即θ=90°）； 结论：BD+CD= AD3）当三角形为120°的等腰直角三角形时（即θ=120°）； 结论：BD+CD= AD
2）异侧型:
条件：如图5，A为弧BC中点，D为圆上等腰三角形底边下方一点，结论：BD-CD= 2AD×cosθ；
特别地：1）当三角形为等边三角形时（即θ=60°）； 结论：BD-CD= AD
2）当三角形为等腰直角三角形时（即θ=90°）； 结论：BD-CD= AD
3）当三角形为120°的等腰直角三角形时（即θ=120°）； 结论：BD-CD= AD
例1．（2023·浙江·九年级期中）如图， 为圆内接四边形 的对角线，且点D为 的中点；
(1)如图1，若 、直接写出 与 的数量关系；
(2)如图2、若 、 平分 ， ，求 的长度．
例2．（2023·云南红河·统考二模）如图，在 中， 为 的直径，过点C作射线 ， ，
点B为弧 的中点，连接 ， ， ．点P为弧 上的一个动点（不与B，C重合），连接 ，
， ， ．(1)若 ，判断射线 与 的位置关系；(2)求证： ．
例3．（2023·山西阳泉·九年级统考期末）阅读下列材料，并完成相应的任务.任务：（1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别指什么？
依据1： 依据2：
（2）当圆内接四边形ABCD是矩形时，托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理： （请写出定理名
称）.
（3）如图（3），四边形ABCD内接于⊙O，AB=3，AD=5，∠BAD=60°，点C是弧BD的中点，求AC的
长.
课后专项训练
1．（2023·陕西宝鸡·统考三模）如图， ， 是 的两条直径，点 是劣弧 的中点，连接 ，
．若 ，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
2．（2023·重庆·三模）如图， 是半径为6的 的直径， 是弦， 是弧 的中点， 与 相交
于点 ，若 为 的中点，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·浙江温州·校考二模）如图，点A，B在以 为直径的半圆上，B是 的中点，连接
交于点E，若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·山东德州·统考一模）如图， 是 的直径，点E，C在 上，点A是 的中点，过点A
作 的切线，交 的延长线于点D，连接 ．若 ，则 的度数（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·安徽滁州·校考三模）如图，圆内接四边形 的边 过圆心O，过点C的切线与边 的延
长线交于点E，若点D是 的中点， ，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
6．（2023·重庆·校考二模）如图，在 中， 是圆的直径，过点B作 的切线 ，连接 交
于点D，点E为弧 中点，连接 ，若 ， ，则 的长为（ ）
A．2 B． C． D．
7．（2023·湖北十堰·统考模拟预测）如图，⊙O的内接四边形 中， ， ， ，
点C为弧 的中点，则 的长是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·江苏盐城·景山中学校考三模）如图，四边形 内接于 ， A为 中点，
，则 等于（ ）A． B． C． D．
9．（2023·河南三门峡·统考二模）如图，在扇形 中， ， ，点 是 中点，点
分别为线段 上的点，连接 ，当 的值最小时，图中阴影部分的面积为 ．
10．（2022·广东东莞·九年级校考期末）如图，A，B，C，D是圆 上的四个点，点 是弧 的中点，如
果 ，那么 ．
11．（2023·安徽安庆·校考二模）已知，如图，点 是优弧 的中点， ， ，则 的半
径是 ．
12．（2023·黑龙江哈尔滨·校考二模）如图， 是 的内接三角形，点D是弧 的中点，已知， ，则 度．
13．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）如图，在 中， 为直径， 为弦，点 为 的中点，以点
为切点的切线与 的延长线交于点 ．
（1）若 ，则 的长是 （结果保留 ）；（2）若 ，则 ．
14．（2023·辽宁鞍山·统考三模）如图， 是 的直径， 是 中点，若 ，则
．15．（2023·四川南充·统考中考真题）如图， 是 的直径，点D，M分别是弦 ，弧 的中点，
，则 的长是 ．
16．（2023春·浙江金华·九年级校联考期中）如图， 是 的切线， 为切点，直线 交 于
两点，连接 ， ．过圆心 作 的平行线，分别交 的延长线、 及 于点 ．
(1)求证： 是 的中点；(2)求证： ；(3)若 是 的中点， 的半径为6，求阴影部分的面
积．
17．（2023春·广东东莞·九年级校考开学考试）如图， 是 的直径， 是半圆 上的一点， 平分
，垂足为 ， 交 于 ，连接 ．(1)求出： 是 的切线；(2)若
，求 的长；(3)若 是弧 的中点， 的半径为 ，求图中阴影部分的面积．18．（2023·河南周口·校考三模）如图， 为 的直径，点C、D为 上两点，且点D为 的中点，
连接 ．过点D作 于点F，过点D作 的切线 ，交 的延长线于点E．(1)求
证： ；(2)若 ，求 的长．
19．（2022·广东广州·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中， 过原点 ，与 轴交于
，与 轴交于 ，点 为劣弧 的中点，连接 并延长到 ，使 ，连接 ．
(1)求 的半径．(2)证明： 为 的切线．
20．（2023·贵州贵阳·统考三模）如图， 为 的直径， 为 上的点， 是 的中点，
交 的延长线于点 ．
(1)填空： ________ （选填“>”“=”或“<”）；(2)判断 与 的位置关系，并说明理由；(3)已知 ， ，求点 到 的距离．
