文档内容
微专题：余弦定理的应用
【考点梳理】
1. 余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则
余弦定理
文字 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它
语言 们夹角的余弦的积的两倍.
a 2 ＝ b 2 ＋ c 2 － 2 bc cos A ，
公式 b 2 ＝ a 2 ＋ c 2 － 2 ca cos B ，
c 2 ＝ a 2 ＋ b 2 － 2 ab cosC .
cosA＝，
常见
cosB＝，
变形
cosC＝.
【题型归纳】
题型一：余弦定理解三角形
1．在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 ，且AB边上的中线 ，则
面积的最大值为（ ）
A． B． C．3 D．
2．在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ，则 （ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
3．在 中，若 是 边上的高， ，则 的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．
题型二：余弦定理边角互化的应用
4．设 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．已知 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法中错误的是（ ）
第 1 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．若 ，则 一定是等边三角形
B．若 ，则 一定是等腰三角形
C．若 ，则 一定是等腰三角形
D．若 ，则 一定是钝角三角形
6．记 的内角 的对边分别是 ，已知 ， ，则
的面积为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【双基达标】
7．已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足 ，则 的取
值范围为（ ）
A．（ ， ） B．
C． D．
8．已知点 分别为双曲线 的左右焦点，过 的直线与双曲线右支交于点 ，过 作
的角平分线的垂线，垂足为 ，若 ,则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．设锐角 的内角 所对的边分别为 ，若 ，则 的取值范围为（ ）
A．(1，9] B．(3，9]
C．(5，9] D．(7，9]
10．在△ABC中，若(a＋c)(a－c)＝b(b－c)，则A等于（ ）
A．90° B．60°
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司C．120° D．150°
11．在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若 ， ，则 是（ ）
A．钝角三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
12．已知在锐角三角形 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ，则 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
13．已知 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且 ，若 ，则 的面积的最大
值为（ ）
A． B．
C． D．
14． 的内角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，已知 ， ， ，则
A． B．5 C． D．
15．在 中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（ ）
A． B．
C． D．
16．已知双曲线 ： 的左、右焦点为 、 ， 为原点，若以 为直径的圆与 的渐近
线的一个交点为 ，且 ，则 的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
17．在 中， ， ， ， 是 的外接圆上的一点，若 ，则 的
最小值是（ ）
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
18．设双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，离心率为 ， 是双曲线 上一点，且
.若 的面积为 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．4 D．
19．已知 是抛物线 ： 的焦点，直线 与抛物线 相交于 ， 两点，满足 ，记线
段 的中点 到抛物线 的准线的距离为 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
20．在 中，已知 ， ， ，点 在线段 上，且满足 ，则 的长度为
（ ）
A． B． C． D．
21．如图， 中，角 的平分线 交边 于点 ， ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
22．设 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， .若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
23．在 中，角 的对边分别是 向量 向量 ，且满足
则角 （ ）
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
24．在锐角 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 为 的面积，且 ，则 的取
值范围为（ ）
A． B． C． D．
【高分突破】
一、单选题
25．如图所示，在直三棱柱 中， ， ， ，P是 上的一动点，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．3
26．在 中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且 ， ，则 的面积为
（ ）
A． B． C． D．
27．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即在 中，角 ， ， 所对的边分别
为 ， ， ，则 的面积 ．根据此公式，若 ，且
，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司28．在 中， ， ，且点 为 的中点， ，则 （ ）．
A．
B．
C．
D．
29．已知在三角形 中， ， ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
30．在 中， ，则 的形状是（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
31．G是 的重心，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若 ，则角 （ ）
A．90° B．60°
C．45° D．30°
二、多选题
32．在 中各角所对得边分别为a，b，c，下列结论正确的有（ ）
A． 则 为等边三角形；
B．已知 ，则 ；
C．已知 ， ， ，则最小内角的度数为 ；
D．在 ， ， ，解三角形有两解．
33．在 中，若 ，则角 的值可以为（ ）
A． B． C． D．
34．已知 面积为12， ，则下列说法正确的是（ ）
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．若 ，则 B． 的最大值为
C． 的值可以为 D． 的值可以为
35．在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． 是钝角三角形
C． 为直角三角形 D．若 ，则 外接圆半径为
三、填空题
36．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．角B为钝角．设△ABC的面积为S，若
，则sinA+sinC的最大值是____________．
37．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足b2＝ac，且c＝2a，则cos B＝________.
38．在 中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若 ， ，则 ______．
39．已知 中，点D在边BC上， ．当 取得最小值时， ________．
40．在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， ，且 的面积为 ，则b
=___________.
41．记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为 ， ， ，则 ________．
四、解答题
42．在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在
下面的横线上，然后解答补充完整的题目．
已知 的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若__________．
（1）求角B；
（2）若 ，且 的面积为 ，求b的值．
43．请你在① ，②外接圆半径为 ，③ ，这三个条件中任选一个，补充在下面问
题中.若问题中的三角形存在，求 的值；若问题中的三角形不存在，请说明理由.
问题：是否存在 ，它的内角 的对边分别为 ，且 ， ，
第 7 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司________？
注：若选择多个条件分别解答，则只按第一个解答计分.
44．如图，在直角 中， ， ， ，点 在线段 上.
（1）若 ，求 的长；
（2）点 是线段 上一点， ，且 ，求 的值.
45．在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 .
（1）求 ；
（2）若 ，求 的最小值.
46．在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求
的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.
问题：是否存在 ，它的内角 所对的边分别为 ，面积为 ，且 ，
_____________?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分
第 8 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．A
【解析】
【分析】
根据余弦定理，结合三角形面积公式和基本不等式进行求解即可.
【详解】
由 ，得 ，
如图，作出平行四边形ACBE，则 与 的面积相等.在 中， ， ，则
，∴ .
又 ，∴ ，
∴ ，
故 面积的最大值为 .
故选：A
2．B
【解析】
【分析】
利用余弦定理及完全平方公式计算可得.
【详解】
解：由余弦定理可得 ，
又因为 ，
所以 .
因为 ，
所以 .
故选：B
3．B
【解析】
【分析】
利用余弦定理求得角 ，再利用基本不等式可求得 的最大值，再根据 ，即可得出答
案.
【详解】
第 9 页解：因为 ，
所以 ，
又 ，所以 ，
则 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，
又 是 边上的高，
则 ，
所以 ，
所以 的最大值为 .
故选：B.
4．D
【解析】
【分析】
利用正弦定理可得 ，利用余弦定理可得 ，代入 的值，即可求解.
【详解】
解：由 ，结合正弦定理可得 ，又 ，则 .
由 ，得 ，根据正余弦定理， ，则 ， .
故选：D.
5．B
【解析】
【分析】
根据正余弦定理中，边角互化即可求解.
【详解】
对于A:由正弦定理以及 得 ，因为 ,所
以 ,故 是等边三角形，故A对，
对B:由 以及正弦定理得： ,
第 10 页由于 ，因此 ,或者 ,即 ,或者 ，故 为
等腰三角形或者直角三角形，故B错误，
对C:由正弦定理得 ,
由于在 中， ,因此可得 ,
由于 ,故 ,故C正确，
对于D:由 得 ，故 为钝角，因此D正确
故选：B
6．D
【解析】
【分析】
由正弦定理及余弦定理得 ，然后利用余弦定理结合三角形的面积公式，即可求解.
【详解】
∵ ，
∴ ， ，可得 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
所以三角形的面积为 .
故选：D.
7．B
【解析】
【分析】
利用余弦定理求出B的值，再根据题意利用三角恒等变换和三角函数的图象与性质，即可求得对应的取值范围．
【详解】
由 ，可得 ，
由余弦定理得 ，
因为 ，可得 ，
又由
，
第 11 页因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
即 的取值范围为 .
故选：B.
8．D
【解析】
【分析】
如图根据题意可得 ，在 中利用余弦定理可得 ，再根据 的范围，从而求
得 的范围.
【详解】
如图所示，由已知可知 是 的角平分线，
且 ，延长 交 于 ，
易知 ，
由 ，
所以 ，
又 ， ，
所以 ，
在 中 ，
由 的斜率可无限靠近渐近线的斜率，所以 ，
所以 ，
解得 .
故选：D
9．D
【解析】
第 12 页【分析】
由正弦定理求出 ，再由余弦定理可得 ，化为
，结合角的范围，利用正弦函数的性质可得结论.
【详解】
因为 ，
由正弦定理可得 ，
则有 ，
由 的内角 为锐角，
可得 ，
，
由余弦定理可得
因此有
故选：D.
【点睛】
方法点睛：正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的
对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程
中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.
10．B
【解析】
【分析】
根据余弦定理，结合特殊角的余弦函数值进行求解即可.
【详解】
因为(a＋c)(a－c)＝b(b－c)，所以b2＋c2－a2＝bc，所以 .
第 13 页因为A三角形的内角，所以A＝60°.
故选：B
11．B
【解析】
【分析】
利用正余弦定理可确定边角关系，进而可判定三角形形状.
【详解】
在 中，由正弦定理得 ，而 ，
∴ ，即 ，
又∵ 、 为 的内角，∴ ，
又∵ ，∴ ，
∴由余弦定理得： ，∴ ，
∴ 为等边三角形.
故选：B.
12．C
【解析】
【分析】
由 利用余弦定理，可得 ，正弦定理边化角，在消去 ，可得 ，利用三
角形 是锐角三角形，结合三角函数的有界限，可得 的取值范围．
【详解】
由
及余弦定理，可得
正弦定理边化角，得
是锐角三角形，
，即 ．
， ，
那么：
则 ，
故选：
【点睛】
第 14 页方法点睛：解三角形的基本策略
一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化变；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，
主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函
数，利用函数思想求最值.
13．D
【解析】
利用余弦定理求得角 的值，结合基本不等式可求得 的最大值，进而可求得 的面积的最大值.
【详解】
由余弦定理得 ，所以 ，所以 .
由余弦定理的推论得 ，又 ，所以 .
若 ，由余弦定理的得 ，
当且仅当 时取等号，所以 ，解得 .
故 .
因此， 面积的最大值为 .
故选：D.
【点睛】
本题考查利用余弦定理解三角形，同时也考查了三角形面积最值的计算，涉及基本不等式的应用，考查运算求解
能力，属于中等题.
14．A
【解析】
【分析】
求出 ，利用余弦定理，解方程即可求出结果.
【详解】
因为 ，
所以 ，
又因为 ， ，
所以 ，
即 ，
即 ，
解得 .
故选：A.
【点睛】
本题主要考查三角函数的诱导公式，余弦定理，属于较易题.
第 15 页15．D
【解析】
【分析】
对于A，由 和 的度数，利用三角形内角和定理求出 的度数，再由 的值，利用正弦定理求出 与 ，得到此
时三角形只有一解，不合题意；对于B，由 ， 及 的值，利用余弦定理列出关系式，得到 ，解得三角形
只有一个解，不合题意；对于C，三角形三边都确定，故得到三角形是唯一确定的，只有一解；对于D，由 ，
及 的值，利用正弦定理求出 的值，由 小于 得到 小于 ，可得出此时 有两解，符合题意．
【详解】
对于A选项， ， ，
，又 ，
由正弦定理 得： ， ，
三角形三边确定，此时三角形只有一解，不合题意；
对于B选项， ， ， ，
由余弦定理得： ，
三角形三边唯一确定， 此时三角形有一解，不合题意；
对于C选项， ，三边均为定值，三角形唯一确定，
故选项C不合题意；
对于D选项， ， ， ，
由正弦定理 得： ，
， ， ，
有两解，符合题意，
故选：D.
16．A
【解析】
【分析】
根据题意，画出双曲线及几何关系.由几何关系可得 的三条边，结合余弦定理求得 ，即可得
.进而求得 ，即可得双曲线 的渐近线方程.
【详解】
根据双曲线 ： 的左、右焦点为 ， ， 为原点，以 为直径的圆与 的渐近线的一
个交点为 ，如下图所示:
第 16 页则 ， ，
所以在 中，由余弦定理可得 .
所以 ，则 ，所以 ，则渐近线方程为 .
故选：A.
【点睛】
本题考查了双曲线的几何性质，余弦定理在解三角形中的应用，双曲线中渐近线方程的求法，属于中档题.
17．B
【解析】
【分析】
先解三角形得到 为直角三角形，建立直角坐标系，通过 表示出 ，借助三角函数求出
最小值.
【详解】
由余弦定理得 ，所以 ，所以
，所以 ．以AC的中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，易得A（－1，0），C
（1，0），B（－ ， ），设P的坐标为 ，所以 ， ， ，
又 ，所以 ，所以 ，
，所以
，当且仅当 时，等号成立．
第 17 页故选：B．
18．D
【解析】
【分析】
根据双曲线的定义，余弦定理以及三角形的面积公式列出方程组，即可解出．
【详解】
设 ， .由 ， 的面积为 ，
可得 ，∴ ①
由离心率为 ，可得 ，代入①式，可得 .
故选：D.
19．C
【解析】
【分析】
设 ，过点 ， 分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为 ，进而得 ，
再结合余弦定理得 ，进而根据基本不等式求解得 .
【详解】
解：设 ，
过点 ， 分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为 ，
则 ，
因为点 为线段 的中点，
所以根据梯形中位线定理得点 到抛物线 的准线的距离为 ，
因为 ，
第 18 页所以在 中，由余弦定理得 ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，当且仅当 时等号成立，
所以 ，故 .
所以 的最大值为 .
故选：C
【点睛】
本题考查抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，余弦定理，基本不等式，考查运算求解能力，是中档题.本题
解题的关键在于根据题意，设 ，进而结合抛物线的定于与余弦定理得 ，
，再求最值.
20．B
【解析】
【分析】
在 中，利用余弦定理先求得 ，再在 中利用余弦定理求得 ，再在 中利用余弦定理求得
的长．
【详解】
在 中，由余弦定理有 ，
所以 ，
在 中，由余弦定理有 ，
又 ，所以 ，
在 中，由余弦定理有
，
所以 ．
故选：B
21．D
【解析】
【分析】
中由正弦定理求得 后可得 ，从而得 ， 角，得 ，用余弦定理可得 ．
第 19 页【详解】
在 中，根据正弦定理得 ，
由 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，则 ，
所以 ，
在 中，由余弦定理得 ，
所以 ．
故选：D．
【点睛】
关键点点睛：本题主要考查正弦定理，余弦定理，特殊角的三角函数值等基础知识，解题时对照已知条件选用恰
当的公式进行计算．如先在 中选用正弦定理求得两边中另一边的对角，可得三角形的第三角，这样图形听
所有角都已知，然后再求选用公式求边．本题也可以不用余弦定理求边 ．
22．C
【解析】
【分析】
由 及正弦定理可得 ，由 ，得 ，则 ，再由余弦定理可得结果.
【详解】
由 及正弦定理可得 ，
由 ，得 ，则 ，所以 .
故选:C.
【点睛】
本题主要考查正弦定理与余弦定理的应用，属于基础题.
23．C
【解析】
【分析】
根据向量的数量积运算结合条件可得 ，再由正弦定理可得 ，然后
由余弦定理可得答案.
【详解】
第 20 页由已知 得
再根据正弦定理有， ，即 .
由余弦定理得， ,所以
因为 所以
故选：C
24．D
【解析】
【分析】
根据已知条件，利用余弦定理和面积公式，结合倍角公式求得 ,进而求得A的各个三角函数值，再利用正弦
定理边化角求得 关于C的函数表达式，根据锐角三角形的条件得到 ，利用三角函数的性质求得
取值范围即可．
【详解】
解：△ABC中 ， ，
由 ，得 ，∴ ；
即 ，∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∵△ABC为锐角三角形，∴ ,∴ ，
∴ ，
∴ ,
∴ ，
故选：D．
25．B
【解析】
【分析】
连接 ，以 所在直线为轴，将 所在平面旋转到平面 ，设点 的新位置为 ，连接 ，判断
第 21 页出当 三点共线时，则 即为 的最小值.分别求出 , ,利用余弦定理
即可求解.
【详解】
连接 ，得 ，以 所在直线为轴，将 所在平面旋转到平面 ，
设点 的新位置为 ，连接 ，则有 .
当 三点共线时，则 即为 的最小值.
在三角形ABC中， ， ，由余弦定理得：
,所以 ，即
在三角形 中， ， ，由勾股定理可得： ,且 .
同理可求：
因为 ，所以 为等边三角形，所以 ，
所以在三角形 中， , ,
由余弦定理得： .
故选B.
【点睛】
（1）立体几何中的翻折（展开）问题截图的关键是：翻折（展开）过程中的不变量；
（2）立体几何中距离的最值一般处理方式：
①几何法：通过位置关系，找到取最值的位置（条件），直接求最值；
②代数法：建立适当的坐标系，利用代数法求最值.
26．C
【解析】
利用余弦定理可求 的值，从而可求三角形的面积.
【详解】
因为 ，故 ，
而 ，故 ，
第 22 页故 ，故三角形的面积为 ，
故选：C.
27．C
【解析】
【分析】
先根据正弦定理可求 ，再求出 后可求面积.
【详解】
因为 ，故由正弦定理可得：
即 ，
而 ，故 ，故 ，
由余弦定理可得 ，故 ，
故 ，
故选：C.
28．A
【解析】
【分析】
利用余弦定理可求 的长.
【详解】
∵点 为 的中点，且 ，∴ ，
在 中， ， ，∴ ，
在 中， ， ， ，
由余弦定理得： ，
∴ ，
故选：A．
29．A
第 23 页【解析】
【分析】
根据三角形三边关系得到 的取值范围，再利用余弦定理表示出 ，最后根据平面向量数量积的定义计
算可得；
【详解】
解：因为 ， ，所以 ，即 ，解得 ，由余弦定理
，所以
，因为 ，所以 ，所以 ，即 ；
故选：A
30．D
【解析】
【分析】
在 中， ，由余弦定理知， ，两式相加，利用基本不等式及正弦
函数的有界性即可判断出该 的形状．
【详解】
在 中， ，
又由余弦定理知， ，
两式相加得： ，
（当且仅当 时取“ ” ，又 ，
（当且仅当 时成立）， 为 的内角，
， ，又 ，
的形状为等边△．
故选： ．
31．D
【解析】
【分析】
根据重心的性质得a∶b∶ c＝1∶1∶1，由此应用余弦定理可求得 ．
【详解】
因为G是 的重心，所以有 .
又 ，所以a∶b∶ c＝1∶1∶1，
第 24 页设c＝ ，则有a＝b＝1，由余弦定理可得，cosA＝ ，所以A＝30°，
故选：D.
32．ABC
【解析】
【分析】
利用正弦定理、余弦定理一一计算可得；
【详解】
解：对于A：若 ，则 ，即 ，即 ，即 是
等边三角形，故A正确；
对于B：由 ，可得 ，余弦定理： ． ，
，故B正确．
对于C：因为 ， ， ，所以 ，所以 ，所以
， ， ，故C正确；
对于D：因为 ， ， ，所以 ，即 解得 ，因为 ，所以
，所以三角形只有1解；
故选：ABC
33．BC
【解析】
【分析】
利用余弦定理边化角可整理得到 ，结合 可得结果.
【详解】
， ，
又 ， 或 .
故选：BC.
34．AD
【解析】
【分析】
利用同角的三角函数的基本关系结合面积、余弦定理可得 ，计算出 可判断A的正误，而利用余弦定理、
基本不等式可得关于 的三角函数不等式，从而可判断B的正误，对于C，求出 的范围后可判断其正误，对
第 25 页于D，由 可得 的值，结合已知条件可判断三角形是否存在.
【详解】
设 所对的边为 ，因为 面积为12，故 ，
故 .
对于A，若 ，结合 为三角形内角可得 ，故 .
因为 ，故 ，故 ，故 .
由正弦定理可得 ，故 ，故A正确.
对于B，由余弦定理可得 ，
所以 即 ，当且仅当 时等号成立.
而 ，故 ，故 ，整理得到 ，
而 ，
因为 ，故 ，故 的最大值为 ，
当且仅当 时等号成立，故B错误.
对于C， ，
故 ，而 ，
故 ，故C错误.
对于D，若 ，则可得 或 ，
若 ，则 ，消元后得到： ，
所以 ，整理得到 ，
但 ，故矛盾即 不成立.
第 26 页若 ，则 ，消元后得到： ，
所以 ，整理得到 ，
结合 可得 ，此时 ，
故D正确.
故选：AD.
【点睛】
方法点睛：三角形一般有7个几何量（三边和三角以及外接圆的半径），由已知的三个量一般可求出其余的四个
量，求解过程中注意选择合适的定理来解决，另外在边角关系的转化的过程，注意根据边的特征和角的特征合理
消元.
35．AD
【解析】
【分析】
利用正弦定理结合已知可判断选项A；利用余弦定理结合已知可计算判断选项B，C；先求出 ，再借助正弦定
理计算即可判断D并作答.
【详解】
在 中，由正弦定理得 ，A正确；
令 ，显然 是最大角，由余弦定理得：
，则 是锐角，B，C都不正确；
因 ，则 ，令 外接圆半径为R，由正弦定理得：
，解得 ，D正确.
故选：AD
36．
【解析】
【分析】
根据已知，利用三角形面积公式、余弦定理可得 ，B为钝角知 ，由三角形内角和
的性质得 ，即可求最大值.
【详解】
由题设， ，则 ，
第 27 页∴ ，又 B为钝角即 为锐角，
∴ ，即 ，又 ，
∴ 且 ，
而
，
∴当 时， 的最大值为 .
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：根据已知条件，利用三角形面积公式、余弦定理可得到 ，再应用三角形内角性质及三角恒
等变换写出 关于 的二次函数式，求最值.
37．
【解析】
【分析】
由余弦定理计算．
【详解】
因为b2＝ac，且c＝2a， ，所以cos B＝ ＝ ＝ .
故答案为： ．
38． ##
【解析】
【分析】
利用余弦定理，即可得到关于 的方程组，解之即可.
【详解】
∵ ，∴ ，
又 ，
由余弦定理可得： ，
即 ，
∴ ，又 ，
第 28 页∴ ，
故答案为：
39． ##
【解析】
【分析】
设 ，利用余弦定理表示出 后，结合基本不等式即可得解.
【详解】
设 ，
则在 中， ，
在 中， ，
所以
，
当且仅当 即 时，等号成立，
所以当 取最小值时， .
故答案为： .
40．
【解析】
【分析】
由正弦定理可求出 ，由面积公式可求出 ，再利用余弦定理即可求出.
【详解】
第 29 页由正弦定理可得 ，即 ，则 ，解得 ，
又 ，解得 ，
则由余弦定理可得 ，则 .
故答案为： .
41．
【解析】
【分析】
由三角形面积公式可得 ，再结合余弦定理即可得解.
【详解】
由题意， ，
所以 ，
所以 ，解得 （负值舍去）.
故答案为： .
42．选择见解析；（1） ；（2） ．
【解析】
【分析】
（1）分别选三个条件，都可用正弦定理解出；
（2）由面积公式求出 ，利用余弦定理可得 ，代入计算
即可.
【详解】
（1）选①，由正弦定理得， ，
解得 ，
平方得 ，解得 ，又 ,所以 .
选②，由正弦定理得， ，，
解得 ，又 ,所以
选③，由 ，有 ，
由正弦定理得， ， ，
第 30 页解得 ，又 ,所以
（2） ，解得
由余弦定理有， ，
∴ .
43．答案见解析
【解析】
若选条件①，结合题意并利用正弦定理边角互化，得出 ， ，再利用余弦定理求出 ，根据平面向
量的数量积运算即可求出 的值，可知存在这样的三角形；若选条件②，结合题意并利用正弦定理边角互化，得出
， ，再利用余弦定理求出 ，根据 求出 ，最后根据正弦定理变化角公式
，即可得出 的值，可知存在这样的三角形；若选条件③，结合题意并利用正弦定理边角互化，得出
， ，再利用余弦定理求出 ，再利用余弦定理求出 ，根据条件，结合正弦定理边角互化
公式和 ，也可求出 ，可知前后矛盾，所以不存在这样的三角形.
【详解】
方案一：选条件①： ，
由正弦定理和 ，得： ，则 ，
又由正弦定理和 ，
得： ， ，
由余弦定理得：
因为 ，则 ，
解得： ，即 ，
，又 ，
，
所以存在这样的三角形，且 ；
方案一：选条件②：外接圆半径为 ，
由正弦定理和 ，得： ，
又由正弦定理和 ，得： ，
第 31 页由余弦定理得： ，
由 ，得： ，
由正弦定理 ，得： ，
所以存在这样的三角形，且 ；
方案三：选条件③： ，
由正弦定理和 ，得： ，
又由正弦定理和 ，得： ， ，
由余弦定理得： ，
由 和余弦定理，得： ，
又由正弦定理和 ，得： ，
又 ，解得： ，
在 中， ， ，
则与 矛盾，故不存在这样的三角形.
【点睛】
思路点睛：本题考查正弦定理的边角互化公式的应用和利用余弦定理解三角形，在三角形中，运用正弦定理和余
弦定理一般有以下情况：①已知两角和任一边，求另一角和其他两边，用正弦定理；②已知两边和其中一边的对
角，求另一边和其他角，用正弦定理；③已知三边，求各角，用余弦定理；④已知两边和任意一角，求第三边和
其他两角，用余弦定理.正余弦定理一般应用于解三角形的基本元素、判断三角形的形状、解决与面积有关的问题
等.
44．（1）3；（2） .
【解析】
（1）在 中，利用正弦定理即可得到答案；
（2）由 可得 ，在 中，利用 及余弦定理得
，解方程组即可.
【详解】
第 32 页（1）在 中，已知 ， ， ，由正弦定理，
得 ，解得 .
（2）因为 ，所以 ，解得 .
在 中，由余弦定理得，
，
即 ，
，
故 .
【点睛】
本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，考查学生的计算能力，是一道中档题.
45．（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）根据题设条件和正弦定理，化简得到 ，再利用余弦定理，求得 的值，即可求解；
（2）由余弦定理和基本不等式，求得 ，在结合正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得
，即可解.
【详解】
（1）由 ，可得 ，
由正弦定理得 ，即 ，
由余弦定理，得 ，
因为 ，可得 .
（2）由（1）知 ，设三角形的外接圆的半径为 ，可得 ，
又由余弦定理得 ，
即 ，当且仅当 时取等号，
又由
第 33 页，
其中 是 外接圆的半径，
所以 的最小值为 .
46．答案见解析
【解析】
【分析】
先根据三角形面积公式以及余弦定理求解出 的值；若选①：先用正弦定理求解出 的值，然后分析 的大小
并求 的值，然后根据两角和的正弦公式可求 的值；若选②：先用正弦定理求解出 的值，然后计算
的值，最后根据两角和的正弦公式可求 的值，注意分类讨论；若选③：先根据正弦定理计算 的值，
得到 ，故判断三角形不存在.
【详解】
因为 ，由余弦定理 ，
可得 ，
由 ，得
所以 .
选①：由正弦定理 得 ，
代入 中得 ，
又 ，得 是一个锐角，故 ，
所以 .
选②：由 得 ，
代入 中得 ，
则当 时，
当 ，
当 时，
当 ，
选③：由 得 ，所以 不存在.
第 34 页第 35 页第 36 页
