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微专题：分堆与分配问题
【考点梳理】
平均分配给不同人的分法等于平均分堆的分法乘以堆数的全排列. 分堆到位相当于分堆后各堆再全排列，平均
分堆不到指定位置，其分法数为：. 对于分堆与分配问题应注意：①处理分配问题要注意先分堆再分配；②被分配
的元素是不同的(如“名额”等则是相同元素，不适用)，位置也应是不同的(如不同的“盒子”)；③分堆时要注意
是否均匀，如6分成(2，2，2)为均匀分组，分成(1，2，3)为非均匀分组，分成(4，1，1)为部分均匀分组.
【题型归纳】
题型一： 整体均分
1．在某互联网大会上，为了提升安保级别，将甲、乙等5名特警分配到3个不同的路口执勤，每个人只能分配到
1个路口，每个路口最少1人，且甲和乙不能安排在同一个路口，则不同的安排方法有（ ）
A．180种 B．150种 C．96种 D．114种
2．某教育行政部门为本地两所农村小学招聘了6名教师，其中体育教师2名，数学教师4名.按每所学校1名体育
教师，2名数学教师进行分配，则不同的分配方案有（ ）
A．24种 B．14种 C．12种 D．8种
3．宋元时期是我国古代数学非常辉煌的时期，涌现了一大批卓有成就的数学家，其中秦九韶、李冶、杨辉和朱世
杰成就最为突出，被誉为“宋元数学四大家”．周老师将秦九韶的《数书九章》、李治的《测圆海镜》《益古演
段》、杨辉的《详解九章算法》、朱世杰的《算学启蒙》《四元玉鉴》这六部著作平均分给班级的3个数学兴趣
小组，则分配方式一共有（ ）
A．15种 B．60种 C．80种 D．90种
题型二： 部分均分
4．为进一步强化学校美育育人功能，构建德智体美劳全面培养的教育体系，某校开设了音乐､美术､书法三门选修
课程.该校某班级有5名同学分别选修其中一门课程学习，每门课程至少有一位同学选修，则恰好有2位同学选修
音乐的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．为更好开展常态化疫情防控核酸检测服务工作，某单位安排4名党员志愿者到3个免费采样点协助工作，每名
志愿者只去1个采样点，每个采样点至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A．18种 B．24种 C．36种 D．96种
6．某地区安排A， ， ， ， 五名志愿者到三个基层社区开展防诈骗宣传活动，每个社区至少安排一人，且
A， 两人安排在同一个社区，则不同的分配方法的种数为（ ）
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．36 B．48 C．72 D．84
题型三： 综合应用
7．某师范类高校要安排6名大学生到3个高级中学进行教育教学实习，每个中学至少安排1人，其中甲中学至少
要安排3人实习，则不同的安排方法种数为（ ）
A．30 B．60 C．120 D．150
8．疫情之下，口罩成为家家户户囤货清单中必不可少的一项，某新闻记者为调查不同口罩的防护能力，分别在淘
宝、京东、拼多多等购物平台购买了7种口罩，安排4人进行相关数据统计，且每人至少统计1种口罩的相关数据
（不重复统计），则不同的安排方法有（ ）
A．6000种 B．7200种 C．7800种 D．8400种
9．甲乙丙丁四个同学星期天选择到东湖公园，西湖茶经楼，历史博物馆和北湖公园其中一处去参观游玩，其中茶
经楼必有人去，则不同的参观方式共有（ ）种.
A．24 B．96 C．174 D．175
【双基达标】
10．志愿服务是办好2022年北京冬奥会的重要基础和保障，冬奥会城市志愿者已于2021年12月5日在主要服务
站点开始上岗，预计2022年1月25日开始全面上岗服务．现有4名志愿者要安排到3个服务站点参加服务，每名
志愿者只能安排到一个站点，每个站点至少安排一名志愿者，则不同的安排方案共有（ ）
A．48种 B．36种 C．24种 D．12种
11．《数术记遗》是东汉时期徐岳编撰的一本数学专著，该书介绍了我国古代14种算法，其中积算（即筹算）､
太乙算､两仪算､三才算､五行算､八卦算､九宫算､运筹算､了知算､成数算､把头算､龟算､珠算13种均需要计算器械.
某研究性学习小组3人分工搜集整理这13种计算器械的相关资料，其中一人搜集5种，另两人每人搜集4种，则
不同的分配方法种数为（ ）
A． B． C． D．
12．六名志愿者到北京、延庆、张家口三个赛区参加活动，若每个赛区两名志愿者，则安排方式共有（ ）
A．15种 B．90种 C．540种 D．720种
13．某校有5名大学生打算前往观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至少有1名学生且至多2名学生前往，
则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有（ ）
A．48 B．54 C．60 D．72
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司14．某省示范高中将6名教师分配至3所农村学校支教，每所学校至少分配一名教师，其中甲必去A校，乙、丙两
名教师不能分配在同一所学校的不同分配方法数为（ ）
A．36 B．96 C．114 D．130
15． 12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有种.
A． B．3 C． D．
16．2019年4月，北京世界园艺博览会开幕，为了保障园艺博览会安全顺利地进行，某部门将5个安保小组全部
安排到指定的三个不同区域内值勤，则每个区域至少有一个安保小组的排法有（ ）
A．150种 B．240种 C．300种 D．360种
17．志愿服务是办好2022年北京冬奥会的重要基础与保障.2022年1月25日志愿者全面上岗服务，现有5名志愿
者要安排到4个服务站点参加服务，每名志愿者只能安排到一个站点，每个站点至少安排一名志愿者，则不同的
安排方案共有（ ）
A．90种 B．120种 C．180种 D．240种
18．“双减”政策实施以来各地纷纷推行课后服务“ ”模式，即学校每周周一至周五这 天要面向所有学生
提供课后服务，每天 个小时.某校计划按照“ ”模式开展“学业辅导”，“体育锻炼”，“实践能力培养”
三类课后服务，并且每天只开设一类服务，每周每类服务的时长不低于 小时，不高于 小时，那么不同的安排方
案的种数为（ ）
A． B．
C． D．
19．将甲、乙、丙、丁4名医生随机派往①，②，③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派1名医生，A表示事
件“医生甲派往①村庄”，B表示事件“医生乙派往①村庄”，则 （ ）
A． B． C． D．
20．2020年12月1日，大连市开始实行生活垃圾分类管理.某单位有四个垃圾桶，分别是一个可回收物垃圾桶､一
个有害垃圾桶､一个厨余垃圾桶､一个其它垃圾桶.因为场地限制，要将这四个垃圾桶摆放在三个固定角落，每个角
落至少摆放一个，则不同的摆放方法共有(如果某两个垃圾桶摆放在同一角落，它们的前后左右位置关系不作考虑)
（ ）
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
21．国庆长假过后学生返校，某学校为了做好防疫工作组织了6个志愿服务小组，分配到4个大门进行行李搬运志
愿服务，若每个大门至少分配1个志愿服务小组，每个志愿服务小组只能在1个大门进行服务，则不同的分配方法
种数为（ ）
A．65 B．125 C．780 D．1560
22．某大学计算机学院的丁教授在2021年人工智能方向招收了6名研究生．丁教授拟从人工智能领域的语音识别、
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司人脸识别、数据分析、机器学习、服务器开发共5个方向展开研究，每个方向均有研究生学习，每位研究生只参
与一个方向的学习．其中小明同学因录取分数最高主动选择学习人脸识别，其余5名研究生均表示服从丁教授统
一安排．则这6名研究生不同的分配方向共有（ ）
A．480种 B．360种 C．240种 D．120种
23．某运动会乒乓球团体比赛要求每队派三名队员参赛，第一盘为双打，第二、三、四、五盘为单打，每名队员
参加两盘比赛．已知某队的三名队员均可参加单打和双打比赛，在打满五盘的情况下，该队不同的参赛组合共有
（ ）
A．24种 B．36种 C．48种 D．72种
24．为有效防范新冠病毒蔓延，国内将有新型冠状肺炎确诊病例地区及其周边划分为封控区､管控区､防范区.为支
持某地新冠肺炎病毒查控，某院派出医护人员共5人，分别派往三个区，每区至少一人，甲､乙主动申请前往封控
区或管控区，且甲､乙恰好分在同一个区，则不同的安排方法有（ ）
A．12种 B．18种 C．24种 D．30种
25．重阳节，农历九月初九，二九相重，谐音是“久久”，有长久之意，人们常在此日感恩敬老，是我国民间的
传统节日，某校在重阳节当日安排6位学生到两所敬老院开展志愿服务活动，要求每所敬老院至少安排2人，则不
同的分配方案数是（ ）
A．35 B．40 C．50 D．70
【高分突破】
一、单选题
26．某校在高一开展了选课走班的活动，已知该校提供了3门选修课供学生选择，现有5名同学参加选课走班的活
动，要求这5名同学每人选修一门课程且每门课程都有人选，则5名同学选课的种数为（ ）
A．150 B．180 C．240 D．540
27．2021年7月，我国河南郑州遭受千年一遇的暴雨，为指导防汛救灾工作，某部门安排甲､乙､丙､丁､戊五名专
家赴三地工作.因工作需要，每地至少需要安排一名专家，其中甲､乙两名专家必须安排在同一地工作，丙､丁两名
专家不能安排在同一地工作，则不同的安排方案的总数为（ ）
A．36 B．30 C．24 D．18
28．某地区安排A，B，C，D，E，F六名党员志愿者同志到三个基层社区开展防诈骗宣传活动，每个地区至少安
排一人，至多安排三人，且A，B两人安排在同一个社区，C，D两人不安排在同一个社区，则不同的分配方法总
数为（ ）
A．72 B．84 C．90 D．96
29．某医院分配3名医生6名护士紧急前往三个小区协助社区做核酸检测.要求每个小区至少一名医生和至少一名
护士.问共有多少种分配方案？（ ）
A．3180 B．3240 C．3600 D．3660
30．2022年北京冬奥会和冬残奥会给世界人民留下了深刻的印象，其吉祥物“冰墩墩”和“雪容融的设计好评不
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合．为了弘扬奥林匹克精神，某学校安排甲、乙等5名志愿者将
吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”安装在学校的体育广场，每人参与且只参与一个吉祥物的安装，每个吉祥物都至
少由两名志愿者安装．若甲、乙必须安装不同的吉祥物，则不同的分配方案种数为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
31．由于新冠肺炎疫情，现有五名社区工作人员被分配到三个小区做社区监管工作，要求每人只能去一个小区，
每个小区至少有一个人，则不同的分配方法有（ ）
A．150种 B．90种 C．60种 D．80种
32．某医院从7名男医生（含一名主任医师），6名女医生（含一名主任医师）中选派4名男医生和3名女医生支
援抗疫工作，若要求选派的医生中有主任医师，则不同的选派方案数为（ ）
A．350 B．500 C．550 D．700
33．安排 ， ， ， ， ， ，共6名义工照顾甲，乙，丙三位老人，每两位义工照顾一位老人，考虑到义
工与老人住址距离问题，义工 不安排照顾老人甲，义工 不安排照顾老人乙，则安排方法共有
A．30种 B．40种 C．42种 D．48种
34．将6名新教师安排到A，B，C三所学校去任教，每所学校至少一人，其中教师甲不能去A学校，则不同的安
排方案的种数是（ ）
A．540 B．360 C．240 D．180
35．中国代表团在2022年北京冬奥会获得九枚金牌，其中雪上项目金牌为5枚，冰上项目金牌为4枚.现有6名同
学要报名参加冰雪兴趣小组，要求雪上项目和冰上项目都至少有2人参加，则不同的报名方案有（ ）
A．35 B．50 C．70 D．100
36．现有甲､乙､丙､丁､戊五位同学，分别带着A､B､C､D､E五个不同的礼物参加“抽盲盒”学游戏，先将五个礼物
分别放入五个相同的盒子里，每位同学再分别随机抽取一个盒子，恰有一位同学拿到自己礼物的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
37．现有4个小球和4个小盒子，下面的结论正确的是（ ）
A．若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，则共有24种放法
B．若4个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有两个空盒的放法共有18种
C．若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒的放法共有144种
D．若编号为1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号全不相
同的放法共有9种
38．现安排甲、乙、丙、丁、戊 名同学参加 年冬奥会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工
作可以安排，以下说法正确的是（ ）
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．每人都安排一项工作的不同方法数为
B．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为
C．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这 名同学全部被安排的不同方法数为
D．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜
任四项工作，则不同安排方案的种数是
39．现安排甲､乙､丙､丁､戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译､导游､礼仪､司机四项工作可
以安排，则以下说法错误的是（ ）
A．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为
B．若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为
C．每项工作至少有1人参加，甲､乙不会开车但能从事其他三项工作，丙､丁､戊都能胜任四项工作，则不同安排
方案的种数是
D．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为
40．我国古代著名的数学著作中，《周碑算经》､《九章算术》､《孙子算经》､《五曹算经》､《夏侯阳算经》､
《孙丘建算经》､《海岛算经》､《五经算术》､《缀术》和《缉古算经》，称为“算经十书”，某老师将其中的
《周碑算经》､《九章算术》､《孙子算经》､《五经算术》､《缀术》和《缉古算经》6本书分给4名数学爱好者，
其中每人至少一本，则不同的分配方法的种数为（ ）
A． B．
C． D．
41．将 男、 女共 位同学随机地分成人数相等的①、②两组，则下列说法正确的是（ ）
A． 位女同学分到同一组的概率为
B．男生甲和女生乙分到①组的概率为
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司C．有且只有 位女同学分到同一组的概率为
D． 位男同学不同时分到①组的概率为
42．将甲，乙，丙，丁4个志愿者分别安排到学校的图书馆､食堂､实验室帮忙，要求每个地方至少安排一个志愿
者帮忙，则下列选项正确的是（ ）
A．总共有12种分配方法
B．总共有36种分配方法
C．若甲､乙安排在同一个地方帮忙，则有6种分配方法
D．若甲､乙均安排在图书馆帮忙，则有2种分配方法
三、填空题
43．若将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有________种不同的分法．
44．为了抗击新冠肺炎疫情，医护人员积极响应国家号召，现拟从 医院呼吸科中的 名年轻医生中选派 名支援
某市，已知这 名年轻医生中有男医生 名，女医生 名，则选出的 名医生中至少有 名男医生的概率是______.
45．2022年4月16日，搭载着翟志刚、王亚平、叶光富三名航天员的神舟十三号载人飞船返回舱，结束了长达半
年的“太空出差”，在东风着陆场预定区域成功着陆．为了宣传航天员的精神品质，某班班会安排4名同学讲述
这三位航天员的事迹，要求每位学生只讲述一位航天员，每位航天员至少有1名学生讲述，且同学甲讲述王亚平
事迹，则共有______种不同的安排方案．
46．随着乡村的发展，很多乡村融合本地的特点发展旅游业，某县运用本地特点和风俗习惯打造了多个特色乡村，
有4名游客打算去该县的A，B，C三个特色乡村旅游，每人只选择一个乡村旅游，则这4人恰好选择了两个乡村
旅游的概率为___．
47．2022年北京冬奥会的某滑雪项目中有三个不同的运动员服务点，现需将10名志愿者分配到这三个运动员服务
点处，每处需要至少2名至多4名志愿者，则不同的安排方法一共有______种．
48．2020年是全面建成小康社会目标实现之年，是脱贫攻坚收官之年根据中央对“精准扶贫”的要求，某市决定
派5名党员和3名医护人员到三个不同的扶贫村进行调研，要求每个扶贫村至少派党员和医护人员各1名，则所有
不同的分派方案种数为________________.（用数字作答）．
四、解答题
49．将4本不同的书分给甲、乙、丙三位同学，每位同学都分到书的分法多少种？
50．某学习小组有4名男生和3名女生共7人．
(1)将这7人排成一排，4名男生相邻有多少种不同的排法？
(2)从中选出2名男生和2名女生分别承担4种不同的任务，有多少种不同的选派方法？
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(1) 个不同的小球放入编号为 的 个盒子中，一共有多少种不同的放法？
(2) 个不同的小球放入编号为 的 个盒子中，恰有 个空盒的放法共有多少种？
52．将 位教师分到 个班级任教，每位教师教 个班，共有多少种不同的分法？
53．某大学师范学院的两名教授带领四名实习学生外出实习，实习前在学院门口合影留念，实习结束后四名实习
生就被安排在三所中学任教，请回答以下问题.(用数字作答)
（1）若站成两排合影，两名教授站在前排，四名实习学生站在后排，则共有多少种不同的排法？
（2）若站成一排合影，两名教授必须相邻，则共有多少种不同的排法？
（3）实习结束后，四名实习生被安排在三所中学任教，若每个中学至少一人去，则共有多少种不同的安排方法？
54．某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.
(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？
(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？
(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？
(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？
(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？
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1．D
【分析】先考虑甲乙不在同一个路口的情况，再考虑甲乙再同一路口的情况，进而根据分配法求得答案.
【详解】先不考虑条件“甲和乙不能安排在同一个路口”，则有两种情况：①三个路口人数分别为3，1，1时，
安排方法共有 （种）；②三个路口人数分别为2，2，1时，安排方法共有 （种）．若将甲、
乙安排在同一路口，可以把甲、乙看作一个整体，则相当于将4名特警分配到3个不同的路口，安排方法共有
（种）．故甲和乙不安排在同一个路口的安排方法共有 （种）．
故选：D．
2．C
【分析】先将4名数学教师平均分为2组，再把2名体育教师分别放入两组中，最后分配到两所学校即可.
【详解】先把4名数学教师平均分为2组，有 种方法，再把2名体育教师分别放入这两组，有 种方法，
最后把这两组教师分配到两所农村小学，共有 种方法.
故选：C.
3．D
【分析】先从6部中选2部，再从剩下的4部中选2部，此时把6部书分成3份，然后分给3个数学兴趣小组即可
【详解】解：由题意得，六部著作平均分给班级的3个数学兴趣小组的方法数有
.
故选:D.
4．B
【分析】利用部分均匀分组再结合古典概型公式求解即可.
【详解】5名同学分别选修其中一门课程学习，每门课程至少有一位同学选修，
共有 种情况.
恰好有2位同学选修音乐共有 .
所以恰好有2位同学选修音乐的概率 .
故选：B
5．C
【分析】先分组，再分配，按照分步乘法计数原理计算可得.
【详解】解：首先从 名党员志愿者中选择 名作为一组，有 种，
再将三组分配到三个地方有 种，
按照分步计数原理可知一共有 种方案；
故选：C
6．A
第 9 页【分析】有两种分配方式，第一种分配方式：一个社区3人，另外两个小区各1人；第二种分配方式，一个小区1
人，另外两个小区各2人，分别计算即可求出.
【详解】第一种分配方式：一个社区3人，另外两个小区各1人，
因为A， 两人安排在同一个社区，所以先从C，D，E中选1人和A，B一起，再将三组人分配到三个小区，所以
一共有 种；
第二种分配方式，一个小区1人，另外两个小区各2人，
因为A， 两人安排在同一个社区，所以从C，D，E中选2人组成一组，再将三组人分配到三个小区，所以一共
有 种；
所以不同的分配方法有 种.
故选：A.
7．D
【分析】根据题意，分甲中学安排3人实习和安排4人实习两种情况讨论求解即可.
【详解】解：当甲中学安排3人实习时，有 种可能的情况；
当甲中学安排4人实习时，有 种可能的情况，
所以，满足条件的安排方法有 种.
故选：D
8．D
【分析】由题意可知安排方法分三类，第一类，3个人统计1种，1个人统计4种，第二类，2个人统计1种，1个
人统计2种，1个人统计3种，第三类，1个人统计1种，3个人统计2种，然后利用先分组后排列计算即得.
【详解】由题意可知安排方法分三类：
第一类，3个人统计1种，1个人统计4种，有 （种）；
第二类，2个人统计1种，1个人统计2种，1个人统计3种，有 （种）；
第三类，1个人统计1种，3个人统计2种，有 （种）；
故总的安排方法有 （种）．
故选：D．
9．D
【分析】根据去茶经楼的人数进行分类讨论，结合排列组合知识进行求解.
【详解】若4人均去茶经楼，则有1种参观方式，
若有3人去茶经楼，则从4人中选择3人，另1人从另外3处景点选择一处，
有 种参观方式；
若有2人去茶经楼，则从4人中选择2人，另外2人从另外3处景点任意选择一处，
有 种参观方式；
若有1人去茶经楼，则从4人中选择1人，另外3人从另外的3处景点任意选择一处，
有 种参观方式，
综上：共有 种参观方式.
第 10 页故选：D
10．B
【分析】先将4名志愿者分成3组，再将3组人分给3个服务站可得答案.
【详解】先将4名志愿者分成3组，其中3组1人，1组2人，由 种分法，
再将3组人分给3个服务站有 种安排方案.
故选：B.
11．A
【分析】按先分组后分配的方法计算出不同的分配方法种数.
【详解】依题意，先将13种计算器械分为3组，方法种数为 ，再分配给3个人，方法种数为 .
故选：A.
12．B
【分析】利用乘法分步原理结合组合知识求解即可.
【详解】解：先从六名志愿者中选择两名志愿者到北京参加活动，有 种方法，再从剩下的4名志愿者中选
择2名志愿者到延庆参加活动，有 种方法，最后从剩下的2名志愿者中选择2名志愿者到延庆参加活动，有
种方法.由乘法分步原理得共有 种方法.
故选：B
13．C
【分析】先分组，再考虑甲的特殊情况.
【详解】将5名大学生分为1-2-2三组，即第一组1个人，第二组2个人，第三组2个人，
共有 种方法；
由于甲不去看冰球比赛，故甲所在的组只有2种选择，剩下的2组任意选，
所以由 种方法；
按照分步乘法原理，共有 种方法；
故选：C.
14．D
【分析】只需研究剩下的5人的安排方案，可分5人都不去A校，去A校且5人分成1，1，3三组，去A校且5
人分成1，2，2三组，三种情况讨论求解即可.
【详解】甲去A校，再分配其他5个人，
①如果都不去A校，则分配方法有 种；
②如果5人分成1，1，3三组，则分配方法有 种；
③如果5人分成1，2，2三组，则分配方法有 种；
由加法原理可得不同分配方法有16+42+72＝130种．
故选：D．
第 11 页【点睛】本题考查排列组合问题，解题的关键在于分配其他5个人，分5人都不去A校、去A校且5人分成1，
1，3三组、去A校且5人分成1，2，2三组这三类讨论求解.
15．A
【分析】首先把12个人平均分成3组，这是一个平均分组.从12个中选4个，从8个中选4个，最后余下4个，这
些数相乘再除以3的全排列.再把这3个小组作为3个元素分到3个路口，这样就有一个全排列，根据分步计数原
理得到结果.
【详解】属于平均分组且排序型，共有 种.
故选：A.
【点睛】本题考查了平均分组分配问题，属于基础题.
16．A
【分析】根据题意，需要将5个安保小组分成三组，分析可得有2种分组方法：按照1、1、3分组或按照1、2、2
分组，求出每一种情况的分组方法数目，由加法计数原理计算可得答案．
【详解】根据题意，三个区域至少有一个安保小组，
所以可以把5个安保小组分成三组，有两种分法：
按照1、1、3分组或按照1、2、2分组；
若按照1、1、3分组,共有 种分组方法；
若按照1、2、2分组,共有 种分组方法，
根据分类计数原理知共有60+90=150种分组方法.
故选：A.
【点睛】本题考查排列、组合及简单计数问题，本题属于分组再分配问题，根据题意分析可分组方法进行分组再
分配，按照分类计数原理相加即可，属于简单题.
17．D
【分析】按照题目的意思，先组合，再排列即可.
【详解】由题意可知，其中有两位志愿者要被安排到同一服务站点，先选出2名志愿者作为一个整体，
然后看作4个不同的元素安排到4个服务站点，即 ，
故选：D.
18．C
【分析】根据三类服务的服务时长分两类，分别根据分组分配计算，根据分类加法计数原理求和即可.
【详解】第一种情况是某类服务6个小时，其余两类服务各2个小时，先选一类服务时长6小时，安排到3天里，
其余2类安排到剩余2天里即可，共 种；
第二种情况是某类服务2个小时，其余两类服务各4个小时，先选出一类服务2个小时，剩余的2类分别安排2天，
共 种；
综上不同的安排方案共有 种.
故选：C
19．A
第 12 页【分析】由古典概型概率计算公式求出 ， ， ，再由条件概率的概率公式计算可得；
【详解】解：将甲、乙、丙、丁4名医生派往①②③三个村庄义诊的试验有 个基本事件，它们等可能，
事件 含有的基本事件数为 ，则 ，同理 ，
事件 含有的基本事件个数为 ，则 ，
所以 ；
故选：A
20．C
【解析】分析题意，得到有一个固定点放着两个垃圾桶，先选出两个垃圾桶，之后相当于三个元素分配到三个地
方，最后利用分步乘法计数原理，求得结果.
【详解】根据题意，有四个垃圾桶放到三个固定角落，其中有一个角落放两个垃圾桶，
先选出两个垃圾桶，有 种选法，
之后与另两个垃圾桶分别放在三个不同的地方有 种放法；
所以不同的摆放方法共有 种，
故选：C.
【点睛】思路点睛：该题考查的是有关排列组合综合题，解题方法如下：
（1）首先根据题意，分析出有两个垃圾桶分到同一个地方，有 种选法；
（2）之后就相当于三个元素的一个全排；
（3）利用分步乘法计数原理求得结果.
21．D
【分析】6个人先分成4组，再进行排列，最后用乘法原理得解.
【详解】6人分成4组有两种方案：“ ”、“ ”共有 种方法，
4组分配到4个大门有 种方法；
根据乘法原理不同的分配方法数为： .
故选:D.
22．B
【分析】分人脸识别不安排或安排研究生两种情况，应用组合、排列数求总分配方式即可.
【详解】1、人脸识别方向不安排其它研究生，则 种.
2、人脸识别方向安排1名其它研究生，则 种.
综上，共有360种分配.
故选：B
23．B
【分析】先从3人中选出2人参加第一盘双打，再这2人再后四盘中各选一场单打，剩余一人参加剩余的两盘单打
第 13 页求解．
【详解】先从3人中选出2人参加第一盘双打，有 种选法，
这2人再从后四盘中的参加一场单打，剩余一人参加剩余的两盘单打，有 种选法，
所以由分步计数原理知：共有 种不同的参赛组合．
故选：B
24．C
【分析】利用分类加法、分步乘法计数原理，结合排列组合知识进行求解.
【详解】若甲乙和另一人共3人分为一组，则有 种安排方法；若甲乙两人分为一组，另外三人分为两组，
一组1人，一组两人，则有 种安排方法，综上：共有12+12=24种安排方法.
故选：C
25．C
【解析】6名学生分配到两所敬老院，每所敬老院至少2人，则对6名学生进行分组分配即可
【详解】解：6名学生分成两组，每组不少于两人的分组，一组2人另一组4人，或每组3人，
所以不同的分配方案为 ,
故选：C
26．A
【分析】把问题转化为先把5名同学分为3组，再把这3组同学分配给3门选修课即可解决.
【详解】先把5名同学分为3组：（3人,1人,1人）或（2人,2人,1人），
再把这3组同学分配给3门选修课即可解决.
则5名同学选课的种数为 （种）
故选：A
27．B
【分析】由甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，可把甲、乙两名专家看成一个整体即相当于一个人，所以相
当于只有四名专家，先计算四名专家中有两名在同一地工作的排列数，再去掉丙、丁两名专家在同一地工作的排
列数，即可得到答案.
【详解】因为甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，此时甲、乙两名专家看成一个整体即相当于一个人，所以
相当于只有四名专家，先计算四名专家中有两名在同一地工作的排列数，即从四个中选二个和其余二个看成三个
元素的全排列共有： 种；
又因为丙、丁两名专家不能安排在同一地工作，所以再去掉丙、丁两名专家在同一地工作的排列数有 种，
所以不同的分配方法种数有： .
故选：B.
28．B
【分析】分为每个社区各两人和一个社区1人，一个社区2人，一个社区3人两种分配方式，第二种分配方式再分
AB两人一组去一个社区，AB加上另一人三人去一个社区，进行求解，最后相加即为结果.
【详解】第一种分配方式为每个社区各两人，则CE一组，DF一组，或CF一组，DE一组，由2种分组方式，再
第 14 页三组人，三个社区进行排列，则分配方式共有 种；
第二种分配方式为一个社区1人，一个社区2人，一个社区3人，
当AB两人一组去一个社区，则剩下的4人，1人为一组，3人为一组，则必有C或D为一组，有 种分配方法，
再三个社区，三组人，进行排列，有 种分配方法；
当AB加上另一人三人去一个社区，若选择的是C或D，则有 种选择，再将剩余3人分为两组，有 种分配
方法，将将三个社区，三组人，进行排列，有 种分配方法；
若选择的不是C或D，即从E或F中选择1人和AB一起，有 种分配方法，再将CD和剩余的1人共3人分为两
组，有2种分配方法，将三个社区，三组人，进行排列，有 种分配方法，
综上共有12+12+36+24=84种不同的分配方式
故选：B
29．B
【分析】分三种情况进行分类讨论，依据先分组再分配原则解决“至少”问题.
【详解】每个小区至少一名护士，则把护士分为3组，共有3种情况：1,1,4；1,2,3；2,2,2
把护士分为3组，3组人数分别为1,1,4，共有 种分法，再分配给3个小区，有
种分法.每个小区1名医生有 种分法，则分配方案数为 ；
把护士分为3组，3组人数分别为1,2,3，共有 种分法，再分配给3个小区，有
种分法.每个小区1名医生有 种分法，则分配方案数为 ；
把护士分为3组，3组人数分别为2,2,2，共有 种分法，再分配给3个小区，有
种分法.每个小区1名医生有 种分法，则分配方案数为
综上，分配方案总数为
故选：B
30．C
【分析】先安排甲乙两人，然后剩余3人分两组，一组1人，一组2人，先分组后安排即可．
【详解】甲和乙必须安装不同的吉祥物，则有 种情况，
剩余3人分两组，一组1人，一组2人，有 ，然后分配到参与两个吉祥物的安装，
有 ，
则共有 种，
故选： ．
31．A
【分析】本题考查排列组合的不均匀分配问题.先进行分组按照人数“3，1，1”模式或者“2，2，1”模式进行分组，
第 15 页再进行分配（乘以 ），即可求解.
【详解】若分配的三组人数分别为3，1，1，则分配方法共有 （种）；
若分配的三组人数分别为2，2，1，则分配方法共有 （种）；
故共有 种不同的分配方法.
故选：A.
32．C
【分析】根据分类和分步计数原理即可求得.
【详解】所选医生中只有一名男主任医师的选法有 ，
所选医生中只有一名女主任医师的选法有 ，
所选医生中有一名女主任医师和一名男主任医师的选法有 ，
故所选医师中有主任医师的选派方法共有 种，
故选：C
33．C
【解析】利用间接法求解，首先计算出所有的安排方法，减掉 照顾老人甲的情况和 照顾老人乙的情况，再加
回来多减一次的 照顾老人甲的同时 照顾老人乙的情况，从而得到结果.
【详解】 名义工照顾三位老人，每两位义工照顾一位老人共有： 种安排方法
其中 照顾老人甲的情况有： 种
照顾老人乙的情况有： 种
照顾老人甲，同时 照顾老人乙的情况有： 种
符合题意的安排方法有： 种
本题正确选项：
【点睛】本题考查利用排列组合解决实际问题，对于限制条件较多的问题，通常采用间接法来进行求解.
34．B
【分析】计算出6名新教师安排到A，B，C三所学校去任教每所学校至少一人的所有情况，
根据教师甲去每所学校的情况都是一样的可得答案.
【详解】将6名新教师安排到A，B，C三所学校去任教，每所学校至少一人，
有 或 或 三种分配方案，
所以共有 种情况，
其中教师甲去每所学校的情况都是一样的，
所以教师甲不能去A学校的不同的安排方案的种数是 种.
故选：B.
35．B
第 16 页【分析】根据要求雪上项目和冰上项目都至少有2人参加，可将6名同学分为 和 两类，通过分步乘法计数
原理，分别求出每一类组合有多少种，再由分类加法计数原理可得答案.
【详解】由题干可知，要求雪上项目和冰上项目都至少有2人参加，则组合为： 和 两类，
（1）若为“ ”组合，将6名同学分为两组，一组2人，另一组4人，有 种分组方式；将分好的2组在雪
上项目和冰上项目进行全排列有 种，由分步乘法计数原理，则该组合有 种；
（2）若为“ ”组合将6名同学分为两组，一组3人，另一组也为3人，有 种分组方式，将分好的2组
在雪上项目和冰上项目进行全排列有 种，由分步乘法计数原理，则该组合有 种；
由分类加法计数原理，则不同的报名方式有 种；
故选：B.
36．D
【分析】利用排列组合知识求出每位同学再分别随机抽取一个盒子，恰有一位同学拿到自己礼物的情况个数，以
及五人抽取五个礼物的总情况，两者相除即可.
【详解】先从五人中抽取一人，恰好拿到自己的礼物，有 种情况，接下来的四人分为两种情况，一种是两两一
对，两个人都拿到对方的礼物，有 种情况，另一种是四个人都拿到另外一个人的礼物，不是两两一对，都拿
到对方的情况，由 种情况，综上：共有 种情况，而五人抽五个礼物总数为 种情
况，故恰有一位同学拿到自己礼物的概率为 .
故选：D
37．BCD
【分析】由分步乘法计数原理即可判断A，由分类加法、分步乘法结合排列、组合的知识可判断B，由分步乘法、
排列、组合的知识可判断C，由枚举法可判断D，即可得解.
【详解】对于A，若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，共有 种放法，故A错误；
对于B，若4个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有两个空盒，则一个盒子放3个小球，另一个盒
子放1个小球或两个盒子均放2个小球，共有 种放法，故B正确；
对于C，若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒，则两个盒子中各放1个小球，另一
个盒子中放2个小球，共有 种放法，故C正确；
对于D，若编号为1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号全
不相同，若 代表编号为1，2，3，4的盒子放入的小球编号分别为2，1，4，3，列出所有符合要求的情况：
， ， ， ， ， ， ， ， ，共9种放法，
故D正确.
故选：BCD.
第 17 页【点睛】本题考查了计数原理的综合应用，考查了运算求解能力与分类讨论思想，合理分类、分步，完整枚举是
解题关键，属于中档题.
38．CD
【分析】利用分步计数原理可判断A选项；利用先分组再排序，结合分步计数原理可判断B选项；利用分类加法
与以及部分平均分组原理可判断C选项；利用分类计数原理和分步计数原理可判断D选项.
【详解】对于A选项，每人各有 种选择，每人都安排一项工作的不同方法数为 ，A错；
对于B选项，每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则必有 人参加一份工作，
其余 人都参加一份工作，
可先将 人分为 组，有一组为 人，然后将这四组分配给四种工作即可，共有 种安排方法，B错；
对于C选项，如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，有两种情况：
①有 人选同一种工作，其余 人只安排一种工作；
②有 种工作只有 人，其余 种工作都只有 人.
所以，不同的安排方法种数为 ，C对；
对于D选项，每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，
甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，分两种情况讨论：
①开车这份工作有 人参与，其余工作各分配 人，共有 种安排方法；
②开车这份工作只有 人参与，有 人参与同一份工作，其余 人各参与一份工作，共有 .
综上所述，共有不同安排方案的种数是 ，D对.
故选：CD.
39．ABD
【分析】根据分步乘法计数原理判断A、B，对开车的人员分类讨论利用分步乘法计数原理及分类加法计数原理判
断C，按照部分平均分组法判断D；
【详解】解：根据题意，依次分析选项：
对于 ，安排5人参加4项工作，若每人都安排一项工作，每人有4种安排方法，则有 种安排方法，故 错误；
对于 ，根据题意，分2步进行分析：先将5人分为4组，再将分好的4组全排列，安排4项工作，有 种安
排方法，故 错误；
对于 ，根据题意，分2种情况讨论：①从丙，丁，戊中选出2人开车，②从丙，丁，戊中选出1人开车，则有
种安排方法， 正确；
对于 ，分2步分析：需要先将5人分为3组，有 种分组方法，将分好的三组安排翻译、导游、礼
仪三项工作，有 种情况，则有 种安排方法， 错误；
故选： ．
40．BD
【分析】根据题意，分2类来安排: ①在6本书中选出3本视作一个整体连同剩余的3本,分配给4人，②6本选出
2本，剩余4本再选出2本，分别视作2个元素连同剩余的2本书，分配给4人，由分类加法计数原理计算可得答
第 18 页案；或先分组再分配，6本书分为4组，分1，1，1，3或1，1，2，2.
【详解】根据题意，第一类，从6本书中取出3本视作一本书，连同剩余的3本分配给4个人，共有 种分法，
第二类，从6本书中取出2本书，再从剩余4本书中取出2本书，平均分堆后连同剩余2本，视作4本书分配给4
个人，共有 ，
由分类加法计数原理可得，不同的分配方法的种数为 ；
或者先分组再分配，6本书分为4组，
若为1，1，1，3，则有 种，再分配给4个人有 种，
若为1，1，2，2，则有 种，再分配给4个人有 种，
则一共有 种分配方法.
故选：BD.
【点睛】关键点点睛：分组分配问题中注意平均分堆问题，这里需要分1，1，1，3或1，1，2，2两种情况.
41．AB
【分析】根据 位同学随机地分成人数相等的两组求出基本事件的个数，再结合各选项求出符合条件的事件的个数，
进而结合古典概型的概率公式求解即可判断结果是否正确.
【详解】 位同学随机地分成人数相等的①、②两组的不同分法为 ，
A选项， 位女同学分到同一组的不同分法只有 种，其概率为 ，对，
B选项，男生甲和女生乙分到①组的不同分法为 ，其概率为 ，对，
C选项，有且只有 位女同学分到同一组 种，
则有且只有 位女同学分到同一组的概率为 ，错，
D选项， 位男同学同时分到①组只有 种，其概率为 ，
则 位男同学不同时分到①组的概率为 ，错，
故选：AB.
42．BCD
【分析】四人安排到三个地方，可以选其中2人捆绑为一人，4人变成3人全排列，甲､乙安排在同一个地方帮忙，
就把甲乙捆绑为一人，如果没其他要求，就与其他2人全排列，如果有其他要求就先按其他要求处理，再排列．
由此计算得到各选项中的方法数，确定结论．
【详解】解：根据题意，依次分析选项：
先将4人分为3组，再将三组安排到三个场馆，有 种安排方法， 错误，B正确；
第 19 页若甲､乙安排在同一个地方帮忙，则甲乙捆绑作为一人，与其他两人一起全排列： ＝6种安排方法，C正确；
若甲､乙均安排在图书馆帮忙，将丙､丁安排在食堂､实验室帮忙即可，有 种安排方法，D正确；
故选：BCD.
43．360
【分析】先将6名教师分为三组，再将3组分配到3个学校，结合分步计数原理，即可求解.
【详解】将6名教师分组，分三步完成：
第1步，在6名教师中任取1名作为一组，有C 种分法；
第2步，在余下的5名教师中任取2名作为一组，有C 种分法；
第3步，余下的3名教师作为一组，有C 种分法．
根据分步乘法计数原理，共有C C C ＝60种分法，
再将这3组教师分配到3所中学，有A＝6种分法，
故共有60×6＝360种不同的分法．
故答案为：360
44． ##
【分析】利用古典概型概率的计算公式直接计算.
【详解】由题意，选出的 名医生中至少有 名男医生可分为恰有 名男医生和全部都是男医生两种情况，
则所求概率为 ，
故答案为： .
45．12
【分析】分两种情况，另外3人分别讲述三名航天员的事迹和另外3人讲述翟志刚和叶光富的事迹.
【详解】第一种情况，另外3人分别讲述三名航天员的事迹，有 种方法，
第二种情况，另外3人讲述翟志刚和叶光富的事迹，有 种方法，
综上，共有 种不同的安排方案.
故答案为：12.
46．
【分析】首先求出基本事件总数，再按照分组分配方法求出满足条件的事件数，最后按照古典概型的概率公式计
算可得；
【详解】解：这4名游客去A，B，C三个乡村旅游，共有 种结果．
这4人恰好选择了两个乡村，有两种分组方法：1，3和2，2，有 种结果，
再将这两组分配给两个乡村，则有 种结果，
故所求概率 ．
第 20 页故答案为：
47．22050
【分析】由题意可得分配到三个运动员服务点处的志愿者数目为2，4，4或3，3，4，然后根据分类加法原理和分
步乘法原理可求得结果
【详解】根据题意得，这10名志愿者分配到三个运动员服务点处的志愿者数目为2，4，4或3，3，4，
所以不同的安排方法一共 ,
故答案为：22050
48．900
【解析】由题意分两步完成：第一步：将5名党员分派到三个不同的扶贫村，按照先分组后排列最后得到150种不
同分派方式，第二步，将3名医护人员分派到三个不同的扶贫村得到6种不同分派方式.最后按照分步乘法计数原
理得到答案.
【详解】解：由题意分两步完成：第一步：将5名党员分派到三个不同的扶贫村，第二步，将3名医护人员分派到
三个不同的扶贫村.
第一步：因为党员有5人，先分成3个组进行分派，分组情况有两种，第一种按人数是1，1，3分组有
种不同情况，第二种按人数是2，2，1分组有 种不同情况，再将分好的组分派到不
同的扶贫村共有 种不同分派方式；
第二步：将3名医护人员分派到3个不同的扶贫村，共有 种不同情况.
所以所有的不同分派方案有 种.
故答案为：900.
【点睛】本题考查排列组合的综合应用、分步乘法计数原理、部分平均分组问题，是中档题.
49．36种.
【分析】根据先分组，再分配在分配的原则，先把4本书分成三组，然后再把三组书分给三个人，根据排列组合
公式，即可求出结果.
【详解】先把4本书分成三组，有一个组2本，另外两组每组1本，有 种分法，然后再把三组书分给三个人，
有 种分法.根据分步乘法计数原理，总共有 种分法.
50．(1)
(2)
【分析】（1）利用捆绑法求解；
（2）先分别选出2名男生和女生，再全排列求解.
（1）解：因为4名男生相邻，所以看作一个元素，则将4个元素全排列，再将4个男生全排列，然后由分步计数
原理得： 种不同的站法．
（2）选出2名男生有 种选法，选出2名女生有 种选法，然后全排列有 种排法，再利用分步计数原理得：
种不同的选派方法．
第 21 页51．(1)
(2)
【分析】（1）、由分步计数原理计算即可；
（2）、根据题意，先将 个小球分为 组，在 个盒子中任选 个，放入 个小球，由分步计数原理计算可得答案.
（1）
根据题意， 个不同的小球放入编号为 的 个盒子中，每个小球均有 种放法，则 个小球有
种不同的放法；
（2）
个不同的小球放入编号为 的 个盒子中，恰有 个空盒,说明恰有一个盒子有 个小球，
①、从 个小球分为 组，有 种分组方法；
②、在 个盒子中任选 个，放入 组小球，有 种情况；
则有 种不同的放法.
52． .
【分析】对每位老师进行讨论，由分步计数原理即可得出结果.
【详解】解：根据题意，第一位教师，从 个班级中任选 个，安排其任教，有 种不同选法；
第二位教师，从剩下的 个班级中任选 个，安排其任教，有 种不同选法；
第三位教师，从剩下的 个班级中选 个，安排其任教，有 种选法，
故不同的分派方法有 种分法.
53．(1) 48 (2) 240 (3) 36
【分析】(1)先排教授，再排学生由分步乘法计数原理可得答案.
（2）将2名教授看作是一个整体，和4名实习学生一起排列，再将两名教授进行排列， 由分步乘法计数原理可得
答案.
（3）把4名实习学生按1 , 1 , 2分成3组, 再将三组分别分配到三所中学任教可得答案.
【详解】(1 )先排2名教授,有 (种)不同的排法,
再排4名实习学生,有 (种)不同的排法,
故由分步乘法计数原理可得，共有 (种)不同的排法
(2) 将2名教授看作是一个整体，和4名实习学生一起排列有 (种)不同的排法
又2名教授,有 (种)不同的排法,
所以共有 (种)不同的排法
(3 )把4名实习学生按1 , 1 , 2分成3组,有 种分组方法.
再将三组分别分配到三所中学任教故共有 (种)不同的排法.
【点睛】方法点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：
第 22 页（1）相邻问题采取“捆绑法”；
（2）不相邻问题采取“插空法”；
（3）有限制元素采取“优先法”；
（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.
54．（1）561；（2）5984；（3）2100；（4）2555；（5）6090.
【解析】（1）从余下的34种商品中，任选取2种，问题得以解决．
（2）从余下的34种可选商品中，任选取3种，问题得以解决．
（3）从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件，问题得以解决．
（4）分选取2种假货，选取3种假货两种情况，问题得以解决．
（5）选取3种的总数减去选取3种假货得情况，问题得以解决．
【详解】解：（1）从余下的34种商品中，选取2种有 (种)，
∴某一种假货必须在内的不同取法有561种.
（2）从余下的34种可选商品中，选取3种，有 (种).
∴某一种假货不能在内的不同取法有5 984种.
（3）从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有 (种).
∴恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种.
（4）选取2种假货有 种，选取3种假货 种，共有选取方式
(种).
∴至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种.
（5）选取3种的总数为 ，选取3种假货有 种，因此共有选取方式
(种).
∴至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种.
【点睛】本题主要考察了排列、组合及简单计数问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
第 23 页第 24 页
