文档内容
微专题：两条直线的相交、距离问题
【考点梳理】
1. 两条直线的交点坐标
一般地，将两条直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若
方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行.
2. 距离公式
(1)两点间的距离公式：点P(x ，y)，P(x ，y)两点间的距离为|PP|＝ . 特别地，原点 O(0，0)与任一点P(x，
1 1 1 2 2 2 1 2
y)间的距离为|OP|＝.
(2)点到直线的距离公式：点P(x，y)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
0 0 0
(3)两条平行直线间的距离：两条平行直线l：Ax＋By＋C ＝0与l：Ax＋By＋C ＝0(C ≠C )间的距离d＝.
1 1 2 2 1 2
【题型归纳】
题型一： 相交直线的交点坐标
1．直线 与直线 互相垂直，且两直线交点位于第三象限，则实数a的值为
（ ）
A．1 B．3 C．－1 D．－3
2．过两条直线 与 的交点，倾斜角为 的直线方程为( )
A． B．
C． D．
3．经过两直线 与 的交点，且平行于直线 的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
题型二： 两点间的距离公式
4．已知点 在直线 上的运动，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
试卷第1页，共3页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司5．以 ， ， 为顶点的三角形的面积等于（ ）
A．1 B． C． D．2
6．F为抛物线 的焦点，点 在C上，直线MF交C的准线于点N，则 （ ）
A． B． C．5 D．12
题型三： 点到直线的距离公式
7．已知圆C经过点 ，且与直线 相切，则其圆心到直线 距离的最小值为（ ）
A．3 B．2 C． D．
8．已知点 ，向量 ，过点P作以向量 为方向向量的直线为l，则点 到直线l的距离为
（ ）
A． B． C． D．
9．曲线 上的点到直线 的最短距离是（ ）
A．2 B． C． D．
题型四： 两平行线间的距离公式
10．已知直线 和 互相平行，则它们之间的距离是（ ）
A．4 B． C． D．
11．直线 ： 与 ： 之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
12．两条平行直线 与 之间的距离为（ ）
试卷第2页，共3页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
【双基达标】
13．已知点 ， ，动点P在直线 上，则 的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
14．点 到直线 的距离为（ ）
A． B． C． D．
15．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣
的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎
样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为 ，若将军从山脚下的点 处出发，
河岸线所在直线l的方程为 ，则“将军饮马”的最短总路程是（ ）
A． B． C． D．
16．直线2y－x＋1＝0关于y－x＝0对称的直线方程是（ ）
A．y－2x－1＝0 B．y＋2x－1＝0 C．.y＋2x＋1＝0 D．2y＋x＋1＝0
17．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数
学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走
才能使总路程最短?在平面直角坐标系中，设军营所在位置为 ，若将军从点 处出发，河岸线所在
直线方程为 .则“将军饮马“的最短总路程为（ ）
A． B． C． D．
18．点(2，1)到直线l：x－2y＋2＝0的距离为（ ）
A． B．
C． D．0
试卷第3页，共3页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司19．已知直线l： ，则下列结论正确的是（ ）
A．直线l的倾斜角是
B．若直线m： ，则
C．点 到直线l的距离是1
D．过 与直线l平行的直线方程是
20．设集合 ， ，若 ，则实数a的值为
（ ）
A．4 B． C．4或 D． 或2
21．l，l 是分别经过A(1，1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l，l 间的距离最大时，直线l 的方程为（
1 2 1 2 1
）
A．x＋2y－3＝0 B．x－2y－3＝0
C．2x－y－1＝0 D．2x－y－3＝0
22．已知三角形的三个顶点 ， ， ，则 边上中线的长为（ ）
A． B． C． D．
23．直线 ， 为直线 上动点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
24．到 ， 的距离相等的动点P满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
25．在平面直角坐标系中，以 ， ， 为顶点构造平行四边形，下列各项中不能作为平行四边形第
四个顶点坐标的是（ ）
A． B． C． D．
试卷第4页，共3页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司26．直线y＝4x﹣5关于点P（2，1）对称的直线方程是（ ）
A．y＝4x+5 B．y＝4x﹣5 C．y＝4x﹣9 D．y＝4x+9
27．已知线段AB两端点的坐标分别为 和 ，若直线 与线段AB有交点，则实数m
的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
28．已知点O（0，0），A（–2，0），B（2，0）．设点P满足|PA|–|PB|=2，且P为函数y= 图像上的点，
则|OP|=（ ）
A． B． C． D．
29．若直线 与直线 的交点位于第二象限，则直线 的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
30．已知直线 与直线 和 的距离相等，则 的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【高分突破】
一、单选题
31．设直线 ， 为直线 上动点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
试卷第5页，共3页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司32．已知点 ， ，点 在 轴上，则 的最小值为（ ）
A．6 B． C． D．
33．已知圆 和圆 的公共弦所在的直线恒过定点 ，且点 在直线
上，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
34．已知点 与 关于直线 对称，则 的值分别为（ ）
A．1，3 B． ， C．-2，0 D． ，
35．点 关于直线 的对称点是（ ）
A． B． C． D．
36．已知直线 ： ，点 ， ，若直线 与线段 相交，则 的取值范
围为（ ）
A． B． C． D．
37．在平面直角坐标系 中，若双曲线 ( ， )的右焦点 到一条渐近线的距离为 ，
则其离心率的值为
A． B． C． D．
二、多选题
38．若点A(a，1)到直线3x－4y＝1的距离为1，则a的值为（ ）
A．0 B．
C．5 D．－
39．已知直线 ， ， ，以下结论正确的是（ ）
A．不论 为何值时， 与 都互相垂直；
试卷第6页，共3页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司B．当 变化时， 与 分别经过定点 和
C．不论 为何值时， 与 都关于直线 对称
D．如果 与 交于点M，则 的最大值是
40．已知平面上一点 ，若直线上存在点 使 ，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切
割型直线”的是（ ）
A． B． C． D．
41．在平面直角坐标系xOy中，已知 ， ，点P满足 ，设点P的轨迹为C，下列结论正确的
是（ ）
A．C的方程为
B．在x轴上存在异于A，B的两个定点D，E，使得
C．当A，B，P三点不共线时，
D．若点 ，则在C上存在点M，使得
三、填空题
42．已知直线l被两条直线 和 截得的线段的中点为 ，则直线l的一般式方
程为______．
43．已知直线l 与l：x＋y－1＝0平行，且l 与l 的距离为 ，则l 的方程为________．
1 2 1 2 1
44．已知实数a，b，c，d满足 ，则 的最小值为____________
45．方程组 有无穷多组解，则实数 ___________
46．已知直线l：ax－2y＝2a－4，l：2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l，l 与两坐标轴围成一个四边形，
1 2 1 2
当四边形的面积最小时，实数a＝________.
47．已知直线 经过两条直线 和 的交点，且垂直于直线 ，则直线 方程
为___________.
试卷第7页，共3页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司四、解答题
48．已知 的两条高所在的直线方程为 ，若点A坐标为
（1）求垂心H的坐标；
（2）若 关于直线 的对称点为N，求点N到直线BC的距离．
49．已知点 到直线 的距离为1，求C的值．
50．已知直线 过点 ，且其倾斜角是直线 的倾斜角的
（1）求直线 的方程；
（2）若直线 与直线 平行，且点 到直线 的距离是 ，求直线 的方程．
51．已知直线l： ，（ ）.
（1）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
（2）若直线l交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，O为坐标原点，设 的面积为S，求S的最小
值及此时直线l的方程.
52．已知 的顶点A（3，1），边AB上的高CE所在直线的方程为x+3y-5=0，AC边上中线BD所在的直线方
程为x+y-4=0
（1）求直线AB的方程；
（2）求点C的坐标．
试卷第8页，共3页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．C
【解析】
【分析】
根据两直线垂直，列出关于a的方程，求得其值，结合两直线交点在第三象限，即可确定答案.
【详解】
由直线 与直线 互相垂直，
可得 ，解得 或3，
当 时，联立 ，解得交点坐标为 ，不合题意；
当 时，联立 ，解得交点坐标为 ，合乎题意，
故实数a的值为 ，
故选:C
2．A
【解析】
【分析】
联立两条直线的方程求出交点坐标，再根据直线方程的点斜式即可求解．
【详解】
由 解得 ，故两直线交点为(－1，2)，
故直线方程是： ，即 ．
故选：A．
3．D
【解析】
【分析】
首先求两直线的交点坐标，再设直线方程为 ，将交点坐标代入方程，即可求出参数 的值，即可得
解；
【详解】
解：由 ，解得 ，所以直线 与 的交点为 ，设与直线
平行的直线为 ，所以 解得 ，所以直线方程为
；
故选：D
4．A
【解析】
【分析】
表示点 与 距离的平方，求出 到直线 的距离，即可得到答案.
第 9 页【详解】
表示点 与 距离的平方，
因为点 到直线 的距离 ，
所以 的最小值为 ．
故选：A
5．A
【解析】
【分析】
先求出 及直线 的方程，再利用距离公式求出 到直线 的距离，按照三角形的面积公式即可求解.
【详解】
由题意知： ，直线 的方程为 ，即 ，则 到直线 的
距离为 ，
故三角形的面积为 .
故选：A.
6．B
【解析】
【分析】
依据两点间距离公式去求
【详解】
点 在抛物线 上，则 ，解之得 ，则
又抛物线 的焦点F ，准线
则直线MF的方程为 ，则N
则
故选：B
7．D
【解析】
【分析】
利用已知可推出圆心C的轨迹为抛物线，利用抛物线的几何性质求解即可.
【详解】
解：依题意，设圆C的圆心 ，动点C到点P的距离等于到直线 的距离，
第 10 页根据抛物线的定义可得圆心C的轨迹方程为 ，
设圆心C到直线 距离为d， ，
当 时， ，
故选：D．
8．B
【解析】
【分析】
先求得直线l的方程，再利用点到直线距离公式去求点 到直线l的距离即可.
【详解】
以向量 为方向向量的直线l的斜率
则过点P的直线l的方程为 ，即
则点 到直线l的距离
故选：B
9．D
【解析】
【分析】
求出 令 ，得 ，利用点到直线的距离公式可得答案.
【详解】
，令 ，得 ，
则点 到直线 的距离就是所求的最短距离，
即 .
故选：D.
10．D
【解析】
【分析】
先由平行求出 ，再由平行线间距离公式求解即可.
【详解】
由直线平行可得 ，解得 ，则直线方程为 ，即 ，则距离是 .
故选：D.
第 11 页11．B
【解析】
【分析】
先判断 与 平行，再由平行线间的距离公式求解即可.
【详解】
由 可得 ，即 与 平行，故 与 之间的距离为 .
故选：B.
12．C
【解析】
【分析】
根据两直线平行求出 ，再利用两平行直线之间的距离公式可求出结果.
【详解】
因为直线 与直线 平行,
所以 ,解得 ,
将 化为 ,
所以两平行直线 与 之间的距离为 .
故选：C
13．C
【解析】
【分析】
求得 关于直线 的对称点 ，利用两点间的距离公式求得 的最小值.
【详解】
关于直线 的对称点 的坐标为 ，
则 ，
则 的最小值是 .
故选：C
第 12 页14．B
【解析】
【分析】
直接代入点到直线距离公式，即可得解.
【详解】
根据距离公式可得：
点 到直线 的距离 ，
故选：B.
15．D
【解析】
【分析】
先求点 关于直线 对称的点 ，再根据两点之间线段最短，即可得解.
【详解】
如图，设 关于直线 对称的点为 ，
第 13 页则有 ，可得 ，可得 ，
依题意可得“将军饮马”的最短总路程为 ，
此时 ，
故选：D.
16．A
【解析】
在直线2y－x＋1＝0上任取一点 ，设关于y－x＝0的对称点为 ，再利用垂直平分求解.
【详解】
在直线2y－x＋1＝0上任取一点 ，设关于y－x＝0的对称点为 ，
则 ，解得 ，代入直线2y－x＋1＝0，
得y－2x－1＝0，
故选：A
17．C
【解析】
作出图形，求出点 关于直线 的对称点 的坐标，在直线 上取点 ，利用 、 、 三点共线时
取得最小值即可得解.
【详解】
如下图所示，设点 关于直线 的对称点为 ，
第 14 页由题意可得 ，解得 ，即点 ，
在直线 上取点 ，由对称性可得 ，
所以， ，
当且仅当 、 、 三点共线时，等号成立，
因此，“将军饮马“的最短总路程为 .
故选：C.
【点睛】
思路点睛：本题考查“将军饮马”最短路径问题，求解此类问题的基本思路就是求得动点关于所在直线的对称点
后，利用三角形两边之和大于第三边的特点，利用三点共线时求得最值来求解.
18．B
【解析】
【分析】
直接运用点到直线距离公式进行求解即可.
【详解】
点(2，1)到直线l：x－2y＋2＝0的距离为 ，
故选：B
19．D
【解析】
根据直线的倾斜角、斜率、点到直线的距离公式、两直线平行的条件逐一判断各个选项即可．
【详解】
∵ ： ，即 ，
∴直线的斜率 ，
∴ ，则A错；
第 15 页又 ，则B错；
点 到直线 的距离是 ，则C错；
过 与直线 平行的直线方程是 ，即 ，则D对；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查直线的方程，属于基础题．
20．C
【解析】
【分析】
本题先化简集合A、集合B，再结合 ，确定直线 与 平行或直线 过
点 ，最后求实数a的值.
【详解】
解：集合A表示直线 ，即 上的点，但除去点 ，
集合B表示直线 上的点，
当 时，
直线 与 平行或直线 过点 ，
所以 或 ，
解得 或 ．
故选：C.
【点睛】
本题考查集合的运算、利用两条直线平行求参数、利用两条直线的交点求参数，是基础题.
21．A
【解析】
【分析】
根据题意，当两条平行直线与AB垂直时，两条平行直线的距离最大，求得直线l 的斜率，结合点斜式，即可求解.
1
【详解】
当两条平行直线与AB垂直时，两条平行直线的距离最大，
因为 ，所以
所以l 的方程为 ，即 .
1
故选：A.
22．B
【解析】
【分析】
第 16 页根据中点坐标公式求解出 中点 的坐标，结合两点间距离公式求解出 边上中线的长.
【详解】
设边 的中点为 .
因为 ， ，所以 ， ，
即 ，所以 ，
故选：B.
23．C
【解析】
【分析】
根据题意，所求最值即为 到直线 距离的平方，即可求解.
【详解】
解：由题意得： 表示 到 的距离的平方,而 为直线 上动点,所以 的最小
值，即为 到直线 距离的平方，即 ，
故选：C
24．B
【解析】
【分析】
设点 ，利用 ，整理化简后可的点P满足的方程.
【详解】
设 ，
因为点P到 ， 的距离相等，
则
即 ，
化简整理得： ．
故选：B
【点睛】
本题主要考查了求点的轨迹方程，涉及两点间距离公式，属于基础题.
25．A
【解析】
【分析】
依次代入四个选项的坐标，求出每种情况下四边的长度，结合对边是否平行即可选出正确答案.
【详解】
设第四个顶点为 ．当点 的坐标为 时， ， ， ，
第 17 页．∵ ， ，∴四边形 不是平行四边形．A不正确；
当 点坐标为 时，因为 ，即 且 ，
故 是平行四边形，B正确；
当 点坐标为 时，因为 ，即 且 ，
故 是平行四边形，C正确；
当 点坐标为 时，因为 ，即 且 ，
故 是平行四边形，D正确；
故选：A．
【点睛】
本题考查了两点间的距离公式，考查了判断两直线是否平行，属于基础题.
26．C
【解析】
【分析】
设直线 上的点 关于点 的对称点的坐标为 ，求出 ， ，再代入直线 中即
可得到对称直线的方程.
【详解】
设直线 上的点 关于点 的对称点的坐标为 ，
所以 ， ，所以 ， ，
将其代入直线 中，得到 ，化简得 ，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查的知识要点：直线的方程和中点坐标公式，属于基础题.
27．C
【解析】
【分析】
判断出直线 所过定点 ，结合图象求得 的取值范围
【详解】
直线 恒过的定点 ， .
当 时，直线 方程为 ，与线段 有交点，符合题意.
当 时，直线 的斜率为 ，则 ，
解得 或 ，综上， .
故选：C
第 18 页28．D
【解析】
【分析】
根据题意可知，点 既在双曲线的一支上，又在函数 的图象上，即可求出点 的坐标，得到 的值．
【详解】
因为 ，所以点 在以 为焦点，实轴长为 ，焦距为 的双曲线的右支上，由 可得，
，即双曲线的右支方程为 ，而点 还在函数 的图象上，所以，
由 ，解得 ，即 ．
故选：D.
【点睛】
本题主要考查双曲线的定义的应用，以及二次曲线的位置关系的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础
题．
29．D
【解析】
【分析】
联立方程组求得两直线的交点坐标，根据交点位于第二象限，列出不等式，求得 ，结合倾斜角和斜率的关
系，即可求解.
【详解】
联立方程组 ，解得 ，
第 19 页因为两直线的交点位于第二象限，可得 且 ，解得 ，
设直线 的倾斜角为 ，其中 ，即 ，解得 ，
即直线 的倾斜角的取值范围是 .
故选：D.
30．D
【解析】
【分析】
设所求直线方程为： ，根据该直线与 和 的距离相等，建立方程
求解可得选项.
【详解】
设所求直线l方程为： ，
因为直线l与 ； 距离相等，所以 ，解得 ，
所以所求直线方程为： ，
故选：D.
31．A
【解析】
【分析】
利用 的几何意义，通过数形结合即可得解.
【详解】
表示点 到点 距离的平方，
该距离的最小值为点 到直线 的距离，即 ，
则 的最小值为 .
故选：A.
【点睛】
关键点点睛：本题考查点到线的距离公式，利用两点之间距离的几何意义，通过数形结合是解题的关键，属于基
第 20 页础题.
32．B
【解析】
【分析】
利用对称性，结合两点间线段最短进行求解即可.
【详解】
点 ， ，点 在 轴上，
点 关系 轴的对称点为 ，
.
故选：B.
33．C
【解析】
先根据两圆方程得公共弦方程 ，再求得点 ，再根据 的几何意义即可求解.
【详解】
由圆 和圆 ，
可得圆 和 的公共弦所在的直线方程为 ，
联立 ，解得 ，即点
又因为点 在直线 上，即 ，
又由原点到直线 的距离为 ，
第 21 页即 的最小值为 .
故选：C.
【点睛】
本题考查圆的公共弦问题，直线过定点问题，点到直线的距离问题，考查数学运算能力与化归转化思想，是中档
题.
34．B
【解析】
点 关于直线 对称，则利用垂直关系，以及线段 的中点在直线 上，列式求解.
【详解】
，若点 与 关于直线 对称，
则直线 与直线 垂直，直线 的斜率是 ，
所以 ，得 .
线段 的中点 在直线 上，则 ，得
故选:B
35．B
【解析】
【分析】
设出对称点，根据对称 关系列出式子即可求解.
【详解】
解：设点 关于直线 的对称点是 ，
则有 ，解得 ， ，
故点 关于直线 的对称点是 .
故选：B.
【点睛】
方法点睛：关于轴对称问题：
（1）点 关于直线 的对称点 ，则有 ；
（2）直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.
36．C
【解析】
第 22 页根据题意得直线 恒过点 ，进而得直线 的斜率 的取值范围为： 或 ，再根据 ，解
不等式即可得答案.
【详解】
直线 方程变形得： .
由 得 ，∴直线 恒过点 ，
， ，
由图可知直线 的斜率 的取值范围为： 或 ，
又 ，
∴ 或 ，即 或 ，
又 时直线的方程为 ，仍与线段 相交，
∴ 的取值范围为 .
故选：C.
【点睛】
本题解题的关键在于根据直线系方程 得直线 恒过点 .考查数形结合思想，运
算求解能力，是中档题.
37．B
【解析】
利用双曲线的简单性质，以及点到直线的距离列出方程，转化求解即可.
第 23 页【详解】
双曲线 ( ， )的右焦点 到一条渐近线 的距离为
可得： 可得 ，即
所以双曲线的离心率为： .
故选:B.
【点睛】
本题考查双曲线的简单性质，焦点坐标，渐近线方程，还运用双曲线中焦点到渐近线的距离为 以及点到直线的距
离公式： .
38．AB
【解析】
【分析】
利用点到直线距离公式求解即可.
【详解】
点A(a，1)到直线3x－4y＝1的距离为
故 ，解得 或
故选：AB
39．ABD
【解析】
【分析】
由两直线垂直的判定方法判断A；根据直线过定点的求解方法判断B；设 上一点 ，其关于 对称
的点是否在 上，判断C；联立两直线方程可求得 ，利用两点间距离公式表示出 ，根据函数最值的求法可
求得 的最大值，判断D.
【详解】
对于A， 恒成立， 恒成立，A正确；
对于B，对于直线 ，当 时， 恒成立，则 过定点 ；对于直线 ，当 时， 恒成立，则
恒过定点 ，B正确；
对于C，在 上任取点 ，关于直线 对称的点的坐标为 ，
代入 方程知： 不在 上，C错误；
第 24 页对于D，联立 ，解得： ，即 ，
，即 的最大值是 ，D正确.
故选：ABD.
40．BC
【解析】
【分析】
所给直线上的点到定点 距离能否取 ，可通过求各直线上的点到点 的最小距离，即点 到直线的距离来分
析，分别求出定点 到各选项的直线的距离，判断是否小于或等于4，即可得出答案.
【详解】
所给直线上的点到定点 距离能否取 ，可通过求各直线上的点到点 的最小距离，即点 到直线的距离来分
析．
A．因为 ，故直线上不存在点到 距离等于 ，不是“切割型直线”；B．因为 ，所以
在直线上可以找到两个不同的点，使之到点 距离等于 ，是“切割型直线”；
C．因为 ，直线上存在一点，使之到点 距离等于 ，是“切割型直线”；D．因为
，故直线上不存在点到 距离等于 ，不是“切割型直线”．
故选：BC.
41．BCD
【解析】
【分析】
结合两点的距离公式计算即可判断A；
利用对称的特点即可判断B；
利用坐标表示向量的线性运算即可判断C；
结合点到直线的距离即可判断D.
【详解】
选项A：设 ，由条件， ，即 ，所以C的方程为
，故A错误；
选项B：由对称性可知，存在D，E满足条件，故B正确；
选项C： ，
，所以 ，故 ，故C正确；
选项D：由 知，M的轨迹是线段B的垂直平分线，其方程为 ，圆C的圆心 到l的
第 25 页距离 ，所以直线1与圆C相交，故在C上存在点M，使得 ，故D正确.
故选：BCD
42．
【解析】
【分析】
通过解方程组求出直线l与两直线交点的坐标，再利用中点坐标公式进行求解即可.
【详解】
设直线l的斜率为 ，因为直线l过 ，
所以直线方程为 ，
由 ，
由 ，由题意可知： 是截得的线段的中点，
所以 ，即 ，
故答案为：
43．x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0
【解析】
【分析】
根据两直线平行时，直线方程的特点，结合平行线距离公式进行求解即可.
【详解】
设l 的方程为x＋y＋C＝0(C≠－1)，由题意得 ＝ ，得C＝1或C＝－3，故所求的直线方程为x＋y＋1＝0
1
或x＋y－3＝0.
故答案为：x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0
44．
【解析】
【分析】
由题知所求式子为 与 两点间距离的平方，根据已知等式可知直线 上的点到直线
上点的距离的平方，利用点到直线的距离公式即求.
【详解】
∵实数a，b，c，d满足 ，
∴ ， ，
∴点 在直线 上，点 在直线 上，
∴ 的几何意义就是直线 上的点到直线 上点的距离的平方，
第 26 页故所求最小值为 .
故答案为： .
45．
【解析】
【分析】
由已知关于 的方程组 有无穷多组解，则直线 与直线 重合，根据两条直线重合对
应系数成比例，构造关于 的方程，解方程即可得到答案．
【详解】
解：若关于 的方程组 有无穷多组解，
则直线 与直线 重合，
即 ，
解得 ，
故答案为 ．
【点睛】
本题考查的知识点是直线的一般式方程与直线的平行关系，其中根据已知分析出两条直线重合是解答本题的关键，
是基础题．
46．
【解析】
先确定两直线恒过定点P(2，2)，再结合图像四边形的面积S＝ ，整理判断二次函数何时取最小值即可.
【详解】
由题意知，直线l，l 恒过定点P(2，2)，如图所示，
1 2
第 27 页直线l 与y轴的交点为 ，直线l 与x轴的交点为 ，所以四边形的面积S＝
1 2
×2×(2－a)＋ ×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝ ，当a＝ 时，面积最小.
故答案为： .
【点睛】
本题解题关键是找出定点，数形结合，将四边形分成两个三角形求面积的表达式，再求最值.
47．
【解析】
【分析】
联立已知直线的方程可得交点的坐标，根据两直线垂直求出直线 的斜率，根据点斜式即可得直线 的方程.
【详解】
由 ，解可得 ，
所以两直线的交点坐标为 ，
则直线 过点 ，
因为直线 与 垂直，所以直线 的斜率为 ，
所以直线 的方程为： ，即 ，
故答案为： .
48．（1） ；（2） ．
【解析】
【分析】
根据三角形垂心的意义，结合条件已知 的两条高所在直线的方程分别为 ， ，只须
求得这两条高线的交点即可．
求出 关于直线l ： 的对称点为 ，求出BC： ，根据点到线的距离公式
计算即可．
【详解】
设 ，
第 28 页由题意， ，可得 ，故垂心 ；
由（1）知： ， 由“三条高线交于一点”得： ，
，又 ，可设 ，代入 ，解得： ，
，
，可得 ，即 ，
∴ ，整理后得： ，
设 的对称点 ，则有 ，且MN的中点 在l上，
∴ ，整理得 ，解得 ，
∴N到直线BC的距离为 ．
49．15或5
【解析】
【分析】
直接利用点到直线距离公式列方程求解即可.
【详解】
点 到直线 的距离为 ，
即 ，
故 ，
即 或
第 29 页50．（1） ；（2） 或 ．
【解析】
【分析】
（1）先求得直线 的倾斜角，由此求得直线 的倾斜角和斜率，进而求得直线 的方程；
（2）设出直线 的方程，根据点 到直线 的距离列方程，由此求解出直线 的方程．
【详解】
解（1）直线 的倾斜角为 ，
∴直线 的倾斜角为 ，斜率为 ，
又直线 过点 ，
∴直线 的方程为 ，即 ；
（2）设直线 的方程为 ，则点 到直线 的距离
，
解得 或
∴直线 的方程为 或
51．(1) ；(2) S的最小值为16，直线l的方程为
【解析】
【分析】
(1)直线含参先求出定点，再利用数形结合求出k的取值范围；
(2)直线过定点求面积的最值，可将直线直接设为截距式，再利用基本不等式求出其面积最小值及直线方程.
【详解】
(1) 直线方程为： ，所以直线恒过 .由图可得，
当直线由 逆时针旋转到 时，直线不过第四象限，所以 .
(2)设直线l为 ，因为 在直线上，所以 .
又 ，所以 ，两边同时平方得： ， ，当且仅当 ，即
， 时取等号，所以 的面积为 ，此时直线方程为 ，化简得：
第 30 页.
52．（1） ；（2） ．
【解析】
【分析】
（1）求出直线AB的斜率为 ，再利用点斜式即可求解.
（2）设 ，由题意可知 为AC中点可得 ，代入直线CE所在直线，再由 ，联立方
程即可求解.
【详解】
（1）∵CE⊥AB，且直线CE的斜率为 ，
∴直线AB的斜率为 ，
∴直线AB的方程为 ，即 ；
（2）设 ，
由 为AC中点可得 ，
∴ ，
解得 ，代入 ，
∴ ．
第 31 页第 32 页
