文档内容
微专题：弧长与扇形面积公式
【考点梳理】
1．定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示．
2．公式
角α的弧度数公式 |α|＝(l表示弧长)
角度与弧度的换算 ①1°＝ rad；②1 rad＝°
弧长公式 l＝ | α | r
扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2
注：有关角度与弧度的两个注意点
(1)角度与弧度的换算的关键是π＝180°，在同一个式子中，采用的度量必须一致，不可混用；
(2)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
思维导图：
【题型归纳】
题型一：弧长的有关计算
1．已知扇形的周长为30cm，圆心角为3rad，则此扇形的弧长为（ ）
A．6cm B．12cm C．18cm D．24cm
2．在半径为1的圆上，与直径长度相等的弧所对的弦的长度为（ ）
A． B． C． D．
3．已知边长为 的等边 的外接圆圆心为O，则 所对的劣弧长为（ ）
A． B． C． D．
题型二：扇形面积的有关计算
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4．已知扇形的圆心角为 ，半径为 ，则此扇形的面积为（ ）
A． B．π C． D．
5．已知一圆锥的侧面展开图是一个中心角为直角的扇形，若该圆锥的侧面积为 ，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
6．《九章算术》中“方田”章给出了计算弧田面积时所用的经验公式，即弧田面积= ×（弦×矢+矢 ）．弧田
（如图1）由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现
有圆心角为 ，半径为2米的弧田（如图2），则这个弧田面积大约是（ ）平方米．（ ，结果保留
整数）
A．2 B．3 C．4 D．5
题型三：扇形中的最值问题
7．已知扇形的周长是 ，当扇形面积最大时，扇形的圆心角的大小为（ ）
A． B． C．1 D．2
8．已知某扇形的面积为3，则该扇形的周长最小值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
9．若扇形周长为20，当其面积最大时，其内切圆的半径r为（ ）
A． B． C． D．
题型四：扇形弧长公式与面积公式的应用
10．若一个圆锥的底面面积为 ，其侧面展开图是圆心角为 的扇形，则该圆锥的体积为（ ）
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A． B． C． D．
11．已知某扇形的周长是 ，面积是 ，则该扇形的圆心角的弧度数为（ ）
A．1 B．4 C．1或4 D．1或5
12．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田
面积 （弦×矢+矢2），弧田（如图）由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径
长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差，现有圆心角为 ，
弧长等于 的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（参考数据 ）（ ）
A． B． C． D．
题型五：与数学文化有关问题
13．《掷铁饼者》取材于希腊的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．
现在把掷铁饼者张开的双臂及肩膀近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的一只手臂长约为 米，整个肩宽约
为 米．“弓”所在圆的半径约为1米．则掷铁饼者双手之间的距离约为（ ）（参考数据： ，
）
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A．1.412米 B．1.414米 C．1.732米 D．1.734米
14．中国传统折扇有着极其深厚的文化底蕴.《乐府诗集》中《夏歌二十首》的第五首曰：“叠扇放床上，企想远
风来轻袖佛华妆，窈窕登高台.”如图所示，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成若一把折扇完全打开时
圆心角为 ，扇面所在大圆的半径为 ，所在小圆的半径为 ，那么这把折扇的扇面面积为（ ）
A． B． C． D．以上都不对
15．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.按如下方法剪裁，扇面形状较为美观.从半径为 的圆面中剪下扇形 ，
使剪下扇形 后所剩扇形的弧长与圆周长的比值为 ，再从扇形 中剪下扇环形 制作扇面，使扇
环形 的面积与扇形 的面积比值为 .则一个按上述方法制作的扇环形装饰品（如图）的面积与圆面
积的比值为（ ）
A． B． C． D．
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【双基达标】
16．《九章算术》成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著.书中记载这样一个问题
“今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？”（一步=1.5米）意思是现有扇形田，弧长为45米，直径为
24米，那么扇形田的面积为
A．135平方米 B．270平方米 C．540平方米 D．1080平方米
17．玉雕在我国历史悠久，拥有深厚的文化底蕴，数千年来始终以其独特的内涵与魅力深深吸引着世人.玉雕壁画
是采用传统的手工雕刻工艺，加工生产成的玉雕工艺画.某扇形玉雕壁画尺寸（单位： ）如图所示，则该壁画的
扇面面积约为（ ）
A． B． C． D．
18．已知扇形的半径为 ，面积为 ，则这个扇形的圆心角 的弧度数为（ ）
A． B． C． D．
19．若一个圆锥的底面面积为 ，其侧面展开图是圆心角为 的扇形，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
20．砀山被誉为“酥梨之乡”，每逢四月，万树梨花开，游客八方来．如图1，梨花广场的标志性建筑就是根据梨
花的形状进行设计的，建筑的五个“花瓣”中的每一个都可以近似看作由两个对称的弓形组成，图2为其中的一
个“花瓣”平面图，设弓形的圆弧所在圆的半径为 ，弦长为 ，则一个“花瓣”的面积为（ ）
A． B．
C． D．
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21．已知圆锥的底面周长为 ，其侧面展开图的圆心角为 ，则该圆锥的高为（ ）
A．3 B． C．1 D．
22．我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，
以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”现有一类似问题，不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其
截面如图所示.用锯去锯这木材，若锯口深 ，锯道 ，则图中 与弦 围成的弓形的面积为
（ ）
A． B． C． D．
23．已知圆锥的表面积等于 ，其侧面展开图是一个半圆，则圆锥底面的半径为（ ）
A． B． C． D．
24．球面上两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度（大圆指的是经过球心的平
面截得的圆），我们把这个弧长叫做两点间的球面距离．在三棱锥 中， 平面 ， ，且
．已知三棱锥 的四个顶点在球O的球面上，则B，C两点的球面距离是（ ）
A． B． C． D．
25．C，S分别表示一个扇形的周长和面积，下列能作为有序数对 取值的是（ ）
A． B． C． D．
26．已知某扇形的弧长为 ，圆心角为 ，则该扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
27．如图所示的时钟显示的时刻为3：30，此时时针与分针的夹角为 .若一个扇形的圆心角为a，弧长
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为10，则该扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
28．已知圆锥的底面直径为 ，母线长为 ，则其侧面展开图扇形的圆心角为（ ）
A． B． C． D．
29．若圆锥侧面积为表面积的 ，则侧面展开图的圆心角为（ ）
A． B． C．2π D．
30．已知圆锥的侧面展开图为一个面积为 的半圆，则该圆锥的高为（ ）
A． B．1 C． D．
31．已知点 ， 是圆 ： 上两点，动点 从 出发，沿着圆周按逆时针方向走到 ，
其路径长度的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
32．毛主席的诗句“坐地日行八万里”描写的是赤道上的人即使坐在地上不动，也会因为地球自转而每天行八万
里路程．已知我国四个南极科考站之一的昆仑站距离地球南极点约 ，把南极附近的地球表面看作平面，则
地球每自转 ，昆仑站运动的路程约为（ ）
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A． B．
C． D．
【高分突破】
一、单选题
33．已知一个圆锥的母线长为2，侧面积为 .若圆锥内部有一个球，当球的半径最大时，球的体积为（ ）
A． B． C． D．
34．已知扇形的周长为30cm，圆心角为3rad，则此扇形的弧长为（ ）
A．6cm B．12cm C．18cm D．24cm
35．已知扇形的圆心角为3弧度，弧长为6cm，则扇形的面积为（ ） .
A．2 B．3 C．6 D．12
36．密位制是度量角的一种方法.将周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角.以密位作为角的度量单位，这种度
量角的单位制，叫做角的密位制.在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写.
密位的写法是在百位数字与十位数字之间画一条短线，如：478密位写成“4-78”，1周角等于6000密位，记作1
周角 .如果一个扇形的半径为2，面积为 ，则其圆心角可以用密位制表示为（ ）
A．25-00 B．35-00 C．42-00 D．70-00
37．已知某扇形的周长是 ，面积为 ，则该扇形的圆心角的弧度数是（ ）
A． B． C． D．
38．半径为 ，弧长为 的扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
39．已知扇形的周长为8，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的面积为（ ）
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A．2 B．4 C．6 D．8
40．已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
41．下列结论正确的是（ ）
A．已知 是第二象限的角，那么 是第一象限的角
B．若圆心角为 的扇形的弧长为π，则该扇形面积为
C．已知 ， ，则 与 的夹角为锐角的充要条件是
D．非零向量 、 满足 ，则 与 的夹角为
42．以下四个命题，其中是真命题的有（ ）．
A．命题“ ”的否定是“ ”
B．若 ，则
C．函数 且 的图象过定点
D．若某扇形的周长为6cm，面积为2 ，圆心角为 ，则
43．已知 为锐角，角 的终边上有一点 ，x轴的正半轴和以坐标原点O为圆心的单位圆的交点为
N，则（ ）
A．若 ，则
B．劣弧 的长度为
C．劣弧 所对的扇形 的面积为是
D．
44．下列结论正确的是（ ）
A． 是第三象限角
B．若圆心角为 的扇形的弧长为 ，则该扇形面积为
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C．若角 的终边过点 ，则
D．
45．已知圆锥底面半径为 ，母线长为2，则（ ）
A．圆锥侧面积为
B．圆锥的侧面展开图中，扇形的圆心角为
C．圆锥的体积为
D．过顶点的截面三角形的面积最大值为
46．古代中国的太极八卦图是以圆内的圆心为界，画出相同的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的头部有阳
眼，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对
立统一规律．图2（正八边形ABCDEFGH）是由图1（八卦模型图）抽象而得到，并建立如图2的平面直角坐标系，
设 ，则下列正确的结论是（ ）
A．
B．以射线OF为终边的角的集合可以表示为
C．点O为圆心、OA为半径的圆中，弦AB所对的劣弧弧长为
D．正八边形ABCDEFGH的面积为
三、填空题
47．已知三棱锥 的棱AP，AB，AC两两互相垂直， ，以顶点P为球心，4为半径作
一个球，球面与该三棱锥的表面相交得到四段弧，则最长弧的弧长等于___________.
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48．已知圆锥的母线长为3，其侧面展开图是一个圆心角为 的扇形，则该圆锥的底面半径为___________.
49．圆心角为 ，弧长为 的扇形面积是__________________.
50．已知 为正方体 表面上的一动点，且满足 ，则动点 运动轨迹的周长为
__________.
51．若扇形的弧长为 ，半径为2，则该扇形的面积是______.
52．木雕是我国古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，传统木雕精致细腻､气韵生动､极富书卷气．如图是一扇环
形木雕，可视为扇形OCD截去同心扇形OAB所得部分．已知 ， ， ，则该扇环
形木雕的面积为________ ．
四、解答题
53．已知某半径小于 的扇形 ，其周长是 ，面积是 .
(1)求该扇形的圆心角的弧度数；
(2)求该扇形中所含弓形面积（注：弓形是指在圆中由弦及其所对的弧组成的图形）.
54．如图所示，一只小蚂蚁正从圆锥底面上的点A沿圆锥体的表面匀速爬行一周，又绕回到点A，已知该圆锥体的
底面半径为 ，母线长为 ，试问小蚂蚁沿怎样的路径如何爬行，才能最快到达点A?并求出该路径的长.
55．如图，一个多面体 的一个面 内接于圆 ， 是圆 的直径，四边形 是矩形，棱 、
均垂直于圆 所在的平面， ， ， ．
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（1）求扇形 的面积；
（2）试求该多面体 的体积．
56．一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个圆（半径为 的圆）的圆周上爬动，且两只蚂蚁均从点 同时逆时针匀
速爬动，红蚂蚁每秒爬过 角，黑蚂蚁每秒爬过 角（其中 ）．如果两只蚂蚁都在第14秒时回到
A点，并且在第2秒时均位于第二象限．
（1）求 ， 的值．
（2）两只蚂蚁的爬行速度保持不变，若红蚂蚁从点A逆时针匀速爬行，黑蚂蚁同时从点A顺时针匀速爬行，求当
它们从点A出发后第一次相遇时，红蚂蚁爬过的距离．
57．某房地产开发公司为吸引更多消费者购房，决定在一块闲置的扇形空地中修建一个花园，如图所示．已知扇
形 的圆心角 ，半径为200米．现需要修建的花园为平行四边形 ，其中 、 分别在半径
、 上， 在 上．
(1)求扇形 的弧长和面积；
(2)设 ，平行四边形 的面积为S．求S关于角 的函数解析式，并指出函数的定义域．
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58．如图，已知圆O的半径r为10，弦AB的长为10．
(1)求弦AB所对的圆心角 的大小；
(2)求圆心角 所对应的弧长l及阴影部分的面积S．
59．在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫Trullon，于1996
年故入世界文化遗产名景（如图1）.现测量一个屋顶，得到圆锥SO的底面直径AB长为 m，母线SA长为 m
（如图2）.C是母线SA的一个三等分点（靠近点S）.
(1)现用鲜花铺设屋顶，如果每平方米大约需要鲜花60朵，那么装饰这个屋顶（不含底面）大约需要多少朵鲜花
（此处π取3.14，结果精确到个位）:
(2)从点A到点C绕屋顶侧面一周安装灯光带，求灯光带的最小长度.
60．已知扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为 弧度．求：
(1)这个圆心角所对的弧长；
(2)这个扇形的面积．
61．如图，圆心角为 的扇形 的半径为2，点C是弧AB上一点，作这个扇形的内接矩形 ．
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(1)求扇形 的周长；
(2)当点C在什么位置时，矩形 的面积最大？并求出面积的最大值．
62．某地政府部门欲做一个“践行核心价值观”的宣传牌，该宣传牌形状是如图所示的扇形环面(由扇形 挖去
扇形 后构成的)．已知 米， 米 ，线段 、线段 与弧 、弧 的长度之和为
米，圆心角为 弧度．
(1)求 关于 的函数解析式；
(2)记该宣传牌的面积为 ，试问 取何值时， 的值最大?并求出最大值
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【答案详解】
1．C
【解析】
【分析】
根据扇形的周长求出扇形的半径，然后可求得扇形的弧长.
【详解】
解：由题意得：
扇形的半径为 ，圆心角为3rad
扇形的周长为： ，解得
所以扇形的弧长为：
故选：C
2．B
【解析】
【分析】
依题意画出图形，结合图形利用锐角三角函数计算可得；
【详解】
解：在半径为1的圆上，不妨记与直径长度相等的弧为弧 ，圆心为O，
弦 的中点记为M，则弧 所对的圆心角为 ，则 ， ，
即 ，所以 ，即 ，
所以 ．
故选：B
3．D
【解析】
【分析】
根据等边三角形的性质可得 ，再根据弧长公式求解即可
【详解】
因为边长为 的等边 的外接圆圆心为O，则O为等边 的中心，故 ，且
，故 所对的劣弧长为
故选：D
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4．B
【解析】
【分析】
利用扇形的面积公式直接求解即可
【详解】
因为扇形的圆心角为 ，半径为 ，
所以扇形的面积为 ，
故选：B
5．A
【解析】
【分析】
先求得圆锥的底面半径 、母线长 ，再去求圆锥的体积．
【详解】
设底面圆半径为 ，圆锥母线长为 ，
因为圆锥侧面展开图是一个圆心角为 的扇形， 所以 ，解得 ，
因为该圆锥的侧面积为 ，所以 ，解得 ，则 ，
即底面圆的面积为 ，则圆锥的高 ，
故圆锥的体积为 ，
故选：A．
6．A
【解析】
【分析】
先由已知条件求出 ，然后利用公式求解即可
【详解】
因为 ，所以 ，
在 中， ，所以 ,
所以 ，
所以这个弧田面积为 ，
故选：A
7．D
【解析】
【分析】
首先根据扇形的弧长与半径的关系，建立等式，然后根据面积公式转化成关于 的二次函数，通过解二次函数最值
求结果．
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【详解】
解： 扇形的周长为 ，扇形半径为 ，弧长为 ，
，即 ，
当半径 时，扇形的面积最大为 ，
此时， ，
故选： ．
8．D
【解析】
【分析】
设扇形的弧长为 ，半径为 ，由题意可知 ，再利用基本不等式，即可求出扇形的周长最小值.
【详解】
设扇形的弧长为 ，半径为 ，
所以扇形的面积为 ，所以 ，
又扇形的周长为 ，所以 ，当且仅当 ，即 时，取等号.
故选：D.
9．C
【解析】
【分析】
先根据扇形周长求解出面积取最大值时扇形的圆心角和半径，然后根据图形中的内切关系得到关于内切圆半径 的
等式，由此求解出 的值.
【详解】
设扇形的半径为 ，圆心角为 ，面积为 ，因为 ，
所以 ，取等号时 ，即 ，
所以面积取最大值时 ，
如下图所示：
第 17 页 共 43 页第 17 页 共 43 页
设内切圆圆心为 ，扇形过点 的半径为 ， 为圆与半径的切点，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
故选：C.
10．B
【解析】
【分析】
根据圆锥底面积求得圆锥底面半径，根据侧面展开图是圆心角为 的扇形求得母线长，进而求得圆锥的高，根据
圆锥体积公式即可求得答案.
【详解】
设该圆锥的底面半径为r,则 ，
所以该圆锥的底面半径 ，
设圆锥的母线长为 ，则 ，即 ，
则圆锥的高为 ，
因此该圆锥的体积 ，
故选:B
11．C
【解析】
【分析】
设扇形的弧长为 ，半径为 ，解方程组求得弧长与半径，从而可得答案.
【详解】
解：设扇形的弧长为 ，半径为 ，所以 ，
解得 或 ，
所以圆心角的弧度数是 或 .
故选：C
12．B
【解析】
【分析】
根据已知求出矢 ，弦 ，再利用已知公式求解.
【详解】
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如图，由题意可得： ， ，
在 中，可得： ， ， ，
可得：矢 ，
由 ，
可得：弦 ，
所以：弧田面积 （弦 矢 矢 平方米．
故选：B
【点睛】
方法点睛：有关扇形的计算，一般是利用弧长公式 、扇形面积公式 及直角三角函数求解.
13．C
【解析】
【分析】
由题意分析得到这段弓形所在的弧长，结合弧长公式求出其所对的圆心角，双手之间的距离，求得其弦长，即可
求解.
【详解】
如图所示，弓形 所在的弧长为 ，
因为“弓”所在圆的半径约为1米，所以弓形所对的圆心角为 ，
所以两手之间的距离为 米.
故选：C.
14．B
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【解析】
【分析】
根据扇形的面积公式求出大扇形、小扇形的面积，进而相减即可得到扇面的面积.
【详解】
由题意得，
大扇形的面积为 ，
小扇形的面积为 ，
所以扇面的面积为 .
故选：B
15．D
【解析】
【分析】
记扇形 的圆心角为 ，扇形 的面积为 ，扇环形 的面积为 ，圆的面积为 ，根据扇形面积公式，
弧长公式，以及题中条件，即可计算出结果.
【详解】
记扇形 的圆心角为 ，扇形 的面积为 ，扇环形 的面积为 ，圆的面积为 ，
由题意可得， ， ， ，
所以 ，
因为剪下扇形 后所剩扇形的弧长与圆周长的比值为 ，
所以 ，则 ，
所以 .
故选：D.
16．B
【解析】
【分析】
直接利用扇形面积计算得到答案.
【详解】
根据扇形的面积公式，计算扇形田的面积为S lr 45 270（平方米）.
故选：B.
【点睛】
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本题考查了扇形面积，属于简单题.
17．D
【解析】
【分析】
利用扇形的面积公式，利用大扇形面积减去小扇形面积即可.
【详解】
如图，设 ， ，由弧长公式可得 解得 ， ，设扇形 ，扇形 的
面积分别为 ，则该壁画的扇面面积约为
.
故选： .
18．A
【解析】
【分析】
由扇形的面积公式即可求解.
【详解】
解：设扇形圆心角的弧度数为 ，则扇形面积为 ，解得 ，
因为 ，所以扇形的圆心角 的弧度数为4.
故选：A．
19．B
【解析】
【分析】
根据圆锥底面积求得圆锥底面半径，根据侧面展开图是圆心角为 的扇形求得母线长，进而求得圆锥的高，根据
圆锥体积公式即可求得答案.
【详解】
设该圆锥的底面半径为r,则 ，
所以该圆锥的底面半径 ，
设圆锥的母线长为 ，则 ，即 ，
则圆锥的高为 ，
因此该圆锥的体积 ，
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故选:B
20．B
【解析】
【分析】
利用扇形面积公式和三角形面积公式求弓形面积，由此可得结果.
【详解】
因为弓形的圆弧所在圆的半径为 ，弦长为 ，
所以弓形的圆弧所对的圆心角的大小为 ，
所以弓形的面积 ，
所以一个“花瓣”的面积为 ，
故选：B.
21．B
【解析】
【分析】
利用圆的周长公式求底面半径，由扇形弧长公式求圆锥的母线长，再根据圆锥的母线、高和底面半径的关系求高.
【详解】
由题设，底面半径 ，母线长 ，
所以圆锥的高 .
故选：B
22．B
【解析】
【分析】
设圆的半径为 ，利用勾股定理求出 ，再根据扇形的面积及三角形面积公式计算可得；
【详解】
解：设圆的半径为 ，则 ， ，
由勾股定理可得 ，即 ，
解得 ，所以 ， ，
所以 ，因此 .
故选：B
23．C
【解析】
【分析】
设圆锥的底面圆的半径为 ，母线长为 ，利用侧面展开图是一个半圆，求得 与 之间的关系，代入表面积公式即
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可得解.
【详解】
设圆锥的底面圆的半径为 ，母线长为 ，
圆锥的侧面展开图是一个半圆， ，
圆锥的表面积为 ， ， ，
故圆锥的底面半径为 ，
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：本题考查圆锥的表面积公式及圆锥的侧面展开图，解题的关键是利用侧面展开图时一个半圆，求得
母线长与半径的关系，考查学生的计算能力，属于一般题.
24．B
【解析】
【分析】
如图所示，取 的中点 ，求出三棱锥外接球的半径 ，从而求得球面距离；
【详解】
如图所示，取 的中点 ，
平面 ， ，且 ．
则 为三棱锥外接球的球心，
，
故选：B
25．B
【解析】
【分析】
设扇形半径为 ，弧长为 ， 则 ， ，根据选项代入数据一一检验即可．
【详解】
设扇形半径为 ，弧长为 ，
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则 ，
当 ，有 ，则 无解，故A错；
当 ，有 得 ，故B正确；
当 ，有 ，则 无解，故C错；
当 ，有 ，则 无解，故D错；
故选：B
26．D
【解析】
由弧长公式求出 ，再由扇形的面积公式求出答案.
【详解】
扇形的圆心角 ，所以 ，则扇形的面积 .
故选：D.
27．D
【解析】
【分析】
先求出 ，再由弧长公式求出扇形半径，代入扇形面积公式计算即可.
【详解】
由图可知， ，
则该扇形的半径 ，
故面积 .
故选：D
28．C
【解析】
【分析】
首先求出圆锥底面周长，再根据扇形周长公式求其圆心角的大小.
【详解】
由题设，底面周长 ，而母线长为 ，
根据扇形周长公式知：圆心角 .
故选：C.
29．B
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【解析】
【分析】
利用扇面的面积公式、弧长公式，以及圆锥的表面积和题意，列出关系式，即可求出结果.
【详解】
设圆锥侧面展开图的圆心角为 ，圆锥的母线长为 ，底面半径为 ，
则 ，即 ，圆锥侧面积为 ，底面面积为 ；
因为圆锥侧面积为表面积的 ，所以圆锥侧面积为底面面积的 倍，
所以 ，
所以 ，解得 .
故选：B.
30．D
【解析】
【分析】
根据圆锥侧面展开图与本身圆锥的关系进行求解即可.
【详解】
设圆锥的母线长为l，圆锥的底面半径为 ，
由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，
则 ，解得 ，
则圆锥的高 .
故选：D.
31．C
【解析】
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【分析】
设点 在 的终边， 在 的终边上，设 ,根据两角差的余弦公式求得 ，得
出 优弧的圆心角为 ，利用弧长公式即可求得结果.
【详解】
设点 在 的终边， 在 的终边上，设 ,
，
优弧的圆心角为
弧长= ，
故选:C
32．C
【解析】
【分析】
利用弧长公式求解.
【详解】
因为昆仑站距离地球南极点约 ，地球每自转 ，
所以由弧长公式得： ，
故选：C
33．D
【解析】
【分析】
由题可知球内切于圆锥，利用图形关系求得球的半径，即可得解.
【详解】
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由题可知，母线 ，若内部有一个球，半径最大时，
球内切于圆锥，如图所示，
O为球心，M为球O与母线PB的切点，E为底面圆心，
设球O的半径为R，底面圆E的半径为r
因为圆锥侧面积为 ，所以 ，解得 .
由勾股定理 ，所以 .
又因为 与 相似，
，解得 ，
所以球的体积 .
故选：D
34．C
【解析】
【分析】
根据扇形的周长求出扇形的半径，然后可求得扇形的弧长.
【详解】
解：由题意得：
扇形的半径为 ，圆心角为3rad
扇形的周长为： ，解得
所以扇形的弧长为：
故选：C
35．C
【解析】
【分析】
先由弧长公式求出扇形所在圆的半径，再根据扇形面积公式，即可得出结果.
【详解】
因为扇形的圆心角为3弧度，弧长为6cm，
所以其所在圆的半径为 ，
因此该扇形的面积是 .
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故选：C
36．B
【解析】
【分析】
利用扇形面积公式先求出圆心角，再根据密位制的定义换算即可.
【详解】
设扇形的圆心角为 ，则 ，则 ，
由题意可知，其密位大小为 密位，用密位制表示为35-00.
故选：B.
37．D
【解析】
【分析】
设出扇形的半径和弧长，先利用扇形面积公式和周长求出半径和弧长，再利用弧长公式进行求解.
【详解】
设扇形的半径为 ，所对弧长为 ，
则有 ，解得 ，
故 .
故选： .
38．A
【解析】
【分析】
利用公式可求扇形的面积.
【详解】
扇形的面积为 ，
故选：A.
39．B
【解析】
【分析】
由给定条件求出扇形半径和弧长，再由扇形面积公式求出面积得解.
【详解】
设扇形所在圆半径为r，则扇形弧长 ，而 ，
由此得 ，所以扇形的面积 .
故选：B
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40．B
【解析】
【分析】
由圆锥的底面周长与侧面展开图的半圆弧相等，结合弧长公式列方程即可求母线长.
【详解】
由题设，若母线长为 ，则 ，可得 .
故选：B
41．BCD
【解析】
【分析】
A. 是第一象限或者第三象限的角，所以该选项错误；B. 计算得到扇形的面积为 ，所以该选项正确；
C. 与 的夹角为锐角的充要条件是 ，所以 ，所以该选项正确；D.
与 的夹角为 .所以该选项正确.
【详解】
解：A. 已知 是第二象限的角，所以 ，所以 ，那么 是第
一象限或者第三象限的角，所以该选项错误；
B. 若圆心角为 的扇形的弧长为π，则该扇形的半径为 ，所以扇形的面积为 ，所以该选项正确；
C. 已知 ， ，所以 ，
则 与 的夹角为锐角的充要条件是 ，所以 ，所以该选项正确；
D. 非零向量 、 满足 ，所以 ，所以 ，所以 与
的夹角的余弦值 ，因为 所以 与 的夹角为 .所以该选项正
确.
故选：BCD
42．ACD
【解析】
【分析】
对于A，根据全称命题的否定可判断；对于B，由不等式的性质可判断；对于C，由对数函数的性质可判断；对于
D，由扇形的周长、面积公式计算可判断.
【详解】
对于A，由全称命题的否定，可知选项A正确；
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对于B，若 ，则 ，根据 的单调性，可知 ，故B不正确；
对于C，当 时， ，故其过定点 ，故C正确；
对于D，设扇形的半径为 ，弧长为 ，则有 ，
又 ，故D正确.
故选：ACD
43．ABD
【解析】
【分析】
根据题意，结合诱导公式化简整理，可判断A的正误；根据弧长公式，可判断B的正误；根据扇形面积公式，可
判断C的正误，根据同角三角函数的关系，可判断D的正误，即可得答案.
【详解】
A：
，故 ，故A正确；
B：劣弧 的长度为 ，故B正确；
C：只有当 时，扇形 的面积为 ，故C不正确；
D： ，
∵ 为锐角，故 ．故D正确.
故选：ABD
44．BCD
【解析】
【分析】
根据象限角、扇形面积、三角函数定义、诱导公式等知识对选项进行分析，由此确定正确答案.
【详解】
A选项， 是第二象限角，A错误.
B选项，扇形的半径为 ，面积为 ，B正确.
C选项， ，C正确.
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D选项， ，D正确.
故选：BCD
45．AB
【解析】
【分析】
由题意可知圆锥的侧面展开图是半径为 ，弧长为 ，利用扇形面积公式 即可判断A是否正确；根据
，即可求出圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角的大小，即可判断B是否正确；根据题意易知圆锥的
高，再根据圆锥的体积公式，即可判断C是否正确；根据题意可知圆锥的轴截面的顶角为 ，设过过顶点的截面
三角形 ，其中 ，根据三角形面积公式可得 ，根据三角函数的性质，可知当
时面积最大，由此即可D是否正确.
【详解】
由题意可知，该圆锥的侧面展开图是半径为 ，弧长为 ，所以圆锥侧面积为 ，
故A正确；
设圆锥的侧面展开图中，扇形的圆心角为 ，
又因为扇形的面积为 ，所以 ，故B正确；
如图所示，圆锥的高为 ，
圆锥的体积为 ，故C错误；
如图，在 中， ，所以 ，
所以轴截面三角形 中， ，
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设过过顶点的截面三角形 ，其中 ，如下图所示：
过顶点的截面三角形的面积为 ，当 时，过顶点的截面三角形的面积最大值为 ，故D
错误.
故选：AB.
46．ABC
【解析】
【分析】
正八边形的八个内角相等，则一个内角为 ， ，对A，
由 ，根据向量的数量积即可判断；对B，结合终边相同的角的定义即可判断；对C，由弧长公式判断即可；
对D，求得 的面积，进而得到正八边形的面积，即可判断.
【详解】
由题意可得，正八边形的八个内角相等，则一个内角为 ，
，
因为 ， ，
所以 ，所以A正确；
因为 ，所以以射线 为终边的角的集合可以表示为 ，所以B正确；
对于C，因为 ，半径为1，所以弦 所对的劣弧弧长为 ，所以C正确；
对于D，因为 ，所以正八边形 的面积为 ，
所以D错误，
故选：ABC
47． ##
【解析】
【分析】
将三棱锥 补全为棱长为 的正方体，根据已知条件判断棱锥各面与球面相交所成圆弧的圆心、半径及
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对应圆心角，进而求出弧长，即可知最长弧长.
【详解】
由题设，将三棱锥 补全为棱长为 的正方体，如下图示：
若 ，则 ，即 在P为球心，4为半径的球面上，且O为底面中心，
又 ， ，
所以，面 与球面所成弧是以 为圆心，2为半径的四分之一圆弧，故弧长为 ；
面 与与球面所成弧是以 为圆心，4为半径且圆心角为 的圆弧，故弧长为 ；
面 与球面所成弧是以 为圆心，4为半径且圆心角为 的圆弧，故弧长为 ；
所以最长弧的弧长为 .
故答案为： .
48．
【解析】
【分析】
根据圆锥侧面展开图的性质，结合弧长公式进行求解即可.
【详解】
因为圆锥的母线长为3，所以侧面展开图扇形的半径为3，设该圆锥的底面半径为 ，
所以有 ，
故答案为：
49． ##
【解析】
【分析】
利用扇形的面积公式及弧长公式即求.
【详解】
由题可得，扇形面积是 .
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故答案为： .
50．
【解析】
【分析】
首先根据条件确定P点所处的平面，再建立坐标系求出动点P的轨迹方程，据此求出轨迹的长.
【详解】
由 可知，正方体表面上到点A距离最远的点为 ，
所以P点只可能在面 ，面 ，面 上运动，
当P在面 上运动时，如图示，建立平面直角坐标系，
则 ,
设 ，由 得： ，
即 ，即P点在平面ABCD内的轨迹是以E（4,0）为圆心，以 为半径的一段圆弧，
因为 ,故 ,
所以P点在面ABCD内的轨迹的长即为
同理，P点在面 内情况亦为 ；
P点在面 上时，因为 ， ,
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所以 ，
所以此时P点轨迹为以B为圆心，2为半径的圆弧，
其长为 ，
综上述，P点运动轨迹的周长为 ，
故答案为： .
51．
【解析】
【分析】
根据扇形面积公式直接求解即可.
【详解】
根据题意得，该扇形的面积为 .
故答案为： .
52．
【解析】
【分析】
根据扇形的面积公式计算即可．
【详解】
环形面积 .
故答案为： ．
53．(1)
(2)
【解析】
(1)
由题意，扇形的圆心角为α，所在圆的半径为R，该扇形弧长为 ，则：
扇形的周长 +2R= ，
扇形的面积S= ，
解得
故圆心角弧度数为 ．
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(2)
所以扇形中除弓形外所含的三角形的高为 ，底为 ，
S =
三角形面积
可得：S =S -S = .
弓形面积 扇形 三角形面积
故S = .
弓形面积
54．沿线段 爬行； .
【解析】
【分析】
把圆锥沿过点 的母线展成扇形，由题意得到蚂蚁爬行的最短路径为线段 ；利用扇形的弦长与半径即可求出
，过 作 于点 ，通过在 中求出 的长 即可求线段 的长.
【详解】
把圆锥沿过点 的母线展成如图所示的扇形，则蚂蚁爬行的最短路径为线段 ，
由题意知，圆锥的底面周长为 ， ，
设 ，则 ，
过 作 于点 ，则 ，
在 中， ， ，
所以 .
所以小蚂蚁沿线段 爬行，才能最快到达点A，且该路径的长为 .
55．（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）求出 的大小，利用扇形的面积可得结果；
（2）证明出 平面 ，利用锥体的体积公式可求得结果.
【详解】
（1）因为 是圆 的直径，则 ，
又因为 ， ，则 ，且 为锐角，则 ，
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所以， ，
故扇形 的面积为 ；
（2） 平面 ， 、 平面 ， ， ，
， ， 平面 ，
，所以， 是等腰直角三角形，且 ，
易知 ，
所以，矩形 的面积为 ，
因此， .
【点睛】
方法点睛：求空间几何体体积的方法如下：
（1）求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系
和数量关系，利用相应体积公式求解；
（2）若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．
56．（1） ， ；（2） .
【解析】
（1）根据题中条件，先设 ， ，再由两只蚂蚁在第2秒时均位于第二象限，
，列出不等式求解，得出 和 的值，即可得出结果；
（2）先设它们从点A出发后第一次相遇时，所用的时间为 秒，根据题中条件求出 ，根据弧长的计算公式，即可
求出结果.
【详解】
（1）由题意可得， 与 都是 的整数倍，
不妨设 ， ，
则 ， ，
又两只蚂蚁在第2秒时均位于第二象限，
所以 ，即 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ， ，
即 ， ；
（2）两只蚂蚁的爬行速度保持不变，若红蚂蚁从点A逆时针匀速爬行，黑蚂蚁同时从点A顺时针匀速爬行，设它
们从点A出发后第一次相遇时，所用的时间为 秒，
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则 ，即 ，解得 ，
所以红蚂蚁爬过的角度为 ，
因为圆的半径为 ，
所以红蚂蚁爬过的距离为 .
【点睛】
关键点点睛：
求解本题第一问的关键在于根据任意角的概念以及题中条件，得到 与 都是 的整数倍，利用题中所给
限制条件：第2秒时均位于第二象限，即可求解.
57．(1) 米； 平方米；
(2) ， ．
【解析】
【分析】
(1)根据弧长公式和扇形面积计算公式即可计算；
(2)过 作 于 ，过 作 于 ，根据几何关系用θ表示出HN和NP，根据平行四边形面积公式即
可求出S关于θ的函数解析式．
(1)
扇形 的弧长为 (米)．
扇形 的面积为 (平方米)．
(2)
过 作 于 ，过 作 于 ．
∵ ，∴ ， ，
∴ ．
故
= ，
即 ，定义域为 ．
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58．(1)
(2) ；
【解析】
【分析】
（1）根据 为等边三角形，可得 ，即可求解.
（2）利用扇形的弧长公式以及扇形的面积公式即可求解.
(1)
由于圆O的半径r为10，弦AB的长为10，
所以 为等边三角形， ，所以 ．
(2)
因为 ，所以 ，
．
又 ，
所以 ．
59．(1)20347；
(2) m.
【解析】
【分析】
(1)根据给定条件求出圆锥的侧面积即可计算作答.
(2)将圆锥侧面沿母线SA剪开展在同一平面内，点A到点 ，连接 ，求出 的值即可得解.
(1)
因圆锥SO的底面直径AB长为 m，母线SA长为 m，则此圆锥的侧面积为 (
)
又每平方米大约需要鲜花60朵，于是得 (朵)，
所以装饰这个屋顶大约需要20347朵鲜花.
(2)
将圆锥SO沿母线SA剪开展在同一平面内得如图所示的扇形 ，点A到点 ，连接 ，则 为最小长度，
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扇形弧 长等于圆锥SO底面圆周长 ，于是得扇形圆心角 ，
在 中， ，由余弦定理得 ，
即 ，解得 ，
所以灯光带的最小长度为 m.
60．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）求得扇形的半径，由此求得圆心角所对的弧长.
（2）根据扇形的弧长和半径求得扇形的面积.
(1)
画出图象如下图所示，其中 是弦 的中点， ，
所以 ， ，所以 ，
也即扇形的半径为 ，
所以圆心角所对的弧长为 .
(2)
扇形的面积为 .
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61．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）先由公式求弧AB长，即可得到周长；
（2）设 ，即可由三角函数表示出 ，即可得矩形 面积与 的函数式，
最后进行变换得 ，即可讨论最值最值成立的条件.
(1)
由题，弧AB长为 ，故扇形 的周长为： ；
(2)
设 ，则 ， ，
所以 ，
所以矩形 的面积
，
，所以当 时， 取得最大值 ，
即当C在弧AB中点时，矩形 的面积最大，最大值为 .
62．(1) ；
(2)当 时，y的值最大，最大值为 ．
【解析】
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【分析】
(1)根据弧长公式和周长列方程得出 关于 的函数解析式；
(2)根据面积公式求出 关于 的函数表达式，根据二次函数性质可得 的最大值．
(1)
根据题意，弧 的长度为 米，弧 的长度 米，
，
．
(2)
依据题意，可知 ，
化简得： ， ，
当 ， ．
∴当 时，y的值最大，且最大值为 ．
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