文档内容
微专题：求圆的方程
【考点梳理】
1. 圆的方程
(1)圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径.
(2)圆的标准方程：我们把方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2称为圆心为 ( a ， b ) ，半径为r 的圆的标准方程.
当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以原点O为圆心，r为半径的圆.
(3)圆的一般方程：对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，配方得到：＋＝.
①当D2＋E2－4F>0时，该方程表示以 ( －，－ ) 为圆心， 为半径的圆，该方程叫做圆的一般方程 .
②当D2＋E2－4F＝0时，该方程表示点；
③当D2＋E2－4F<0时，该方程不表示任何图形.
2. 点与圆的位置关系
已知圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，点P(x，y)，设d＝|PC|＝.
0 0
位置 d与r的
图示 点P的坐标特点
关系 大小关系
点在
d＞r ( x － a ) 2 ＋ ( y － b ) 2 ＞ r 2
0 0
圆外
点在
d ＝ r (x－a)2＋(y－b)2＝r2
0 0
圆上
点在
d ＜ r (x－a)2＋(y－b)2＜r2
0 0
圆内
3. 常见圆的方程的设法
标准方程的设法 一般方程的设法
圆心在原点 x2＋y2＝r2 x2＋y2－r2＝0
过原点 (x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2 x2＋y2＋Dx＋Ey＝0
圆心在x轴上 (x－a)2＋y2＝r2 x2＋y2＋Dx＋F＝0
圆心在y轴上 x2＋(y－b)2＝r2 x2＋y2＋Ey＋F＝0
与x轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝b2 x2＋y2＋Dx＋Ey＋D2＝0
与y轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝a2 x2＋y2＋Dx＋Ey＋E2＝0
4. 二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，则
5. 以A(x，y)，B(x，y)为直径端点的圆的方程为(x－x)(x－x)＋(y－y)(y－y)＝0.
1 1 2 2 1 2 1 2
6. 圆心为(a，b)，半径为r的圆的参数方程为其中θ为参数.
【题型归纳】
题型一： 圆的标准方程
1．经过三个点 的圆的方程为（ ）
第 1 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B．
C． D．
2．圆 关于直线 对称的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知圆 关于直线 （ ， ）对称，则 的最小值为（ ）
A． B．9 C．4 D．8
题型二： 圆的一般方程
4．已知圆 与圆 交于A、B两点，且 平分圆 的周长，则 的
值为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
5．设甲：实数 ；乙：方程 是圆，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．若圆 的弦MN的中点为 ，则直线MN的方程是（ ）
A． B． C． D．
题型三： 点与圆的位置关系
7．已知直线 ，圆 ，则直线l与圆C的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定
8．已知抛物线 的焦点为 ，圆 的圆心 在抛物线上，则点 （ ）
A．在圆 外 B．在圆 上
C．在圆 内但不与点 重合 D．与点 重合
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司9．已知点 在圆 上，则直线 与圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断
【双基达标】
10．圆 的圆心坐标和半径分别是（ ）
A．(-1，0)，3 B．(1，0)，3
C． D．
11．已知圆 的圆心在直线 上，则该圆的面积为
（ ）
A． B． C． D．
12．已知半径为1的圆经过点 ，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）．
A．4 B．5 C．6 D．7
13．方程 表示圆，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
14．若点 在圆 的外部，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
15．已知两定点 ， ，若动点 满足 ，则 的轨迹为（ ）．
A．直线 B．线段 C．圆 D．半圆
16．若 ，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
17．已知圆 ，则当圆 的面积最小时，圆上的点到坐标原点的距离的最大
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司值为（ ）
A． B．6
C． D．
18．“ ”是“ 为圆方程”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
19．已知方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圆，则k的取值范围是（ ）
A．(－∞，－1)
B．(3，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
D．
20．当方程 所表示的圆的面积最大时，直线 的倾斜角为（ ）．
A． B． C． D．
21．若方程 表示圆，则 实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
22．已知 是实常数，若方程 表示的曲线是圆，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
23．点 ， 在圆 上 ，且点 ， 关于直线 对称，则该圆的半径为（ ）
A． B． C．1 D．
24．已知圆 ，则当圆 的面积最小时，圆上的点到坐标原点的距离的最大
值为（ ）
A． B． C． D．
25．如果复数z满足 ，那么 的最大值是（ ）
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B．
C． D．
26．若方程 表示圆，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
27．圆心为 ，半径为3的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
28．“ ”是“点 在圆 外”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
29．方程x2+y2﹣kx+2y+k2﹣2＝0表示圆的一个充分不必要条件是（ ）
A．k∈(﹣∞，﹣2)∪(2，+∞) B．k∈(2，+∞)
C．k∈(﹣2，2) D．k∈(0，1]
30．已知M，N分别是曲线 上的两个动点，P为直线 上的
一个动点，则 的最小值为
A． B． C．2 D．3
【高分突破】
一、单选题
31．若方程 表示圆，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
32．已知圆 的圆心到直线 的距离为 ，若 ，且 ，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司33．若实数 满足 ，则 的最大值是（ ）
A． B．
C． D．
34．以直线 经过的定点为圆心，2为半径的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
35．(多选)由方程x2＋y2＋x＋(m－1)y＋ m2＝0所确定的圆的面积不能为（ ）
A． π B． π
C．π D．2π
36．若过点 有两条直线与圆 相切，则实数m的可能取值是（ ）
A．－3 B．3 C．0 D．
37．已知二次函数 交 轴于 ， 两点（ ， 不重合），交 轴于 点.圆 过 ， ，
三点.下列说法正确的是（ ）
①圆心 在直线 上；
② 的取值范围是 ；
③圆 半径的最小值为1；
④存在定点 ，使得圆 恒过点 .
A．① B．② C．③ D．④
38．(多选)已知圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0与直线x－y＝1，则（ ）
A．圆心坐标为(1，－2)
B．圆心到直线的距离为
C．直线与圆相交
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司D．圆的半径为
三、填空题
39．圆 与圆 内切，则 的值为______.
40．圆 关于点 中心对称的圆的方程为___________.
41．在平面直角坐标系 中，已知直线 与x轴交于A点，直线 与y轴及直线l分别交
于B点，C点，且A，B，C，O四点共圆，则此圆的标准方程是__________.
42． 顶点坐标分别为 ， ， ．则 外接圆的标准方程为______．
43．已知半径为3的圆的圆心到y轴的距离等于半径，圆心在直线x-3y＝0上，则此圆的方程为______．
44．写出一个关于直线 对称的圆的方程___________.
四、解答题
45．如图，已知 的边 所在直线的方程为 ， 满足 ，点 在 边所在直
线上且满足 .
（1）求 边所在直线的方程；
（2）求 外接圆的方程；
46．圆C的圆心在x轴上，并且过 和 两点，求圆C的方程．
47．已知 的三个顶点分别是点 ， ， ，求 的外接圆的标准方程．
48．已知圆 过点 ， ，且圆心在直线 上．
（1）求圆 的标准方程；
（2）将圆 向上平移1个单位长度后得到圆 ，求圆 的标准方程．
49．已知抛物线C：x2=−2py经过点（2，−1）．
第 7 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；
（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线
OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．
第 8 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案：
1．C
【解析】
【分析】
根据三点在坐标系的位置，确定出 是直角三角形，其中 是斜边，则有过三点的圆的半径为 的一半，
圆心坐标为 的中点，进而根据圆的标准方程求解.
【详解】
由已知得， 分别在原点、 轴、 轴上，
，
经过三点圆的半径为 ，
圆心坐标为 的中点 ，即 ，
圆的标准方程为 .
故选：C.
2．D
【解析】
【分析】
先求得圆 关于直线 对称的圆的圆心坐标，进而即可得到该圆的方程.
【详解】
圆 的圆心坐标为 ，半径为3
设点 关于直线 的对称点为 ，
则 ，解之得
则圆 关于直线 对称的圆的圆心坐标为
则该圆的方程为 ，
故选：D．
3．B
【解析】
【分析】
由题可得 ，然后利用基本不等式即得.
【详解】
圆 的圆心为 ，依题意，点 在直线 上，
因此 ，即 ，
第 9 页∴ ，
当且仅当 ，即 时取“=”，
所以 的最小值为9.
故选：B.
4．C
【解析】
【分析】
由题知，弦 所在直线方程为 ，且 在弦 所在直线上，进而得 .
【详解】
解：因为圆 与圆 交于A、B两点，
所以弦 所在直线方程为 ，
因为圆 的圆心为 ， 平分圆 的周长，
所以， 在弦 所在直线上，即 ，
所以 .
故选：C
5．B
【解析】
【分析】
由方程表示圆可构造不等式求得 的范围，根据推出关系可得结论.
【详解】
若方程 表示圆，则 ，解得： ；
∵ ， ，， 甲是乙的必要不充分条件.
故选：B.
6．B
【解析】
【分析】
由题可知 ，则可求得 斜率，进而求得直线方程.
【详解】
由圆方程可知圆心 ，则 ，由题可知 ，所以 ，又MN过点 ，根据点斜式公
式可知直线MN的方程是 .
故选：B.
7．D
【解析】
第 10 页【分析】
求出直线l过的定点，再判断此定点与圆C的位置关系即可作答.
【详解】
直线 ，即 ，
由 解得 ，因此，直线 恒过定点 ，
又圆 ，即 ，显然点A在圆C外，
所以直线 与圆C可能相离，可能相切，也可能相交，A，B，C都不正确，D正确.
故选：D
8．B
【解析】
【分析】
利用抛物线的定义计算得出 的值，结合点到圆的位置关系判断可得出结论.
【详解】
抛物线 的焦点为 ，准线方程为 ，圆 的半径为 ，圆心 ，
由抛物线的定义可得 ，故点 在圆 上.
故选：B.
9．B
【解析】
【分析】
根据圆心到直线距离与半径大小比较判断直线与圆位置关系
【详解】
由题意得 ，又 ，即直线与圆相切
故选：B
10．D
【解析】
【分析】
根据圆的标准方程，直接进行判断即可.
【详解】
根据圆的标准方程可得，
的圆心坐标为 ，半径为 ，
故选：D.
11．A
【解析】
【分析】
配方得出圆心坐标，代入直线方程求得参数 值，然后可得圆半径、面积．
第 11 页【详解】
圆的方程可化为 ，其圆心为 .依题意得， ，解得
， 圆的半径为 ，面积为 ，
故选：A.
12．A
【解析】
【分析】
求出圆心 的轨迹方程后，根据圆心 到原点 的距离减去半径1可得答案.
【详解】
设圆心 ，则 ，
化简得 ，
所以圆心 的轨迹是以 为圆心，1为半径的圆，
所以 ，所以 ，
当且仅当 在线段 上时取得等号，
故选：A.
【点睛】
本题考查了圆的标准方程，属于基础题.
13．B
【解析】
【分析】
根据圆的一般方程所需满足的条件得到不等式，解之即可求出结果.
【详解】
由 ，得 ，即 ，解得 .
故选：B.
14．C
【解析】
【分析】
第 12 页由于点 在圆 的外部，所以 ，从而可求出 的取值范围
【详解】
解：由题意得 ，解得 ，
故选：C．
15．C
【解析】
【分析】
先设点 的坐标，再根据两点间距离公式化简条件，解得结果.
【详解】
设点 的坐标为 ，
∵ ， ，动点 满足 ，
∴ ，两边平方得 ，
即 ．
∴ 的轨迹为圆．
故选:C
【点睛】
本题考查动点轨迹方程，考查基本求解能力，属基础题.
16．D
【解析】
【分析】
将 化为 ，作出图形，根据 的几何意义，结合图形和斜率公式可求出结果.
【详解】
因为 ，所以
所以
如图，此方程表示的是圆心在原点，半径为1的半圆,
第 13 页的几何意义是点 与点 连线的斜率
如图， ，
，
所以 的取值范围为
故选：D
17．D
【解析】
【分析】
配方，由半径的最小值得参数 值，然后求出圆心到原点距离，再加半径可得.
【详解】
根据题意，圆 ，
变形可得 ．
其圆心为 ，半径为 ，则 ，
当圆 的面积最小时，必有 ，此时 ．
圆 的方程为 ，
圆心 到原点为距离 ，
则圆上的点到坐标原点的距离的最大值为 ．
故选：D．
18．A
【解析】
【分析】
根据圆的一般方程表示圆的条件和充分必要条件的判断可得选项.
【详解】
方程 表示圆需满足 或 ，
所以“ ”是“ 为圆方程”的充分不必要条件，
故选：A.
【点睛】
本题考查圆的一般方程和充分条件与必要条件的判断，属于基础题.
19．A
【解析】
【分析】
把圆的方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0化为标准型，利用 ，解出k的取值范围.
【详解】
方程可化为(x－1)2＋y2＝－2k－2，只有－2k－2＞0，即k＜－1时才能表示圆．
第 14 页故选：A.
20．B
【解析】
【分析】
先配方得圆的标准方程，再根据圆半径最大值时取法得 的值，最后求直线倾斜角.
【详解】
方程 可化为 ，
设圆的半径为 ，则 ，
∴当 时， 取得最大值，从而圆的面积最大．
此时，直线方程为 ，斜率 ，倾斜角为 ，
故选：B
【点睛】
本题考查圆的标准方程、直线倾斜角、圆面积最值，考查基本分析求解能力，属基础题.
21．A
【解析】
【分析】
根据二元二次方程表示圆的条件列不等式，由此求得 的取值范围.
【详解】
由圆的一般式方程可得 ，即 ，求得 ，
故选：A
22．B
【解析】
由方程表示的曲线为圆，可得出关于实数 的不等式，解出即可.
【详解】
由于方程 表示的曲线为圆，则 ，解得 .
因此，实数 的取值范围是 .
故选：B.
【点睛】
本题考查利用圆的一般方程求参数，考查计算能力，属于基础题.
23．B
【解析】
根据点 , 在圆上且关于直线 对称,可知直线经过圆心.即可求得参数 的值,配成圆的标准方程即可求得半
径.
【详解】
点 , 在圆 上 ,且点 , 关于直线 对称
第 15 页可知直线 经过圆心
圆心坐标为
代入直线方程可得
解得
所以圆的方程为
化成标准方程为
所以圆的半径为
故选:B
【点睛】
本题考查了直线与圆的位置关系,圆的一般方程与标准方程的转化,属于基础题.
24．D
【解析】
【分析】
根据圆的一般方程，得到圆心和半径，求出面积最小时对应的半径，再求得圆心到坐标原点的距离，进而可求出
结果.
【详解】
解：由题意得：
由 得
圆心为 ，半径为 ，
当且仅当 时，半径最小，则面积也最小；
圆心为 ，半径为 ，
圆心到坐标原点的距离为 ，
即原点在圆 外，根据圆的性质，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为 .
故选：D.
25．A
【解析】
【分析】
复数 满足 ，表示以 为圆心，2为半径的圆． 表示圆上的点与点 的距离，求出
即可得出．
【详解】
复数 满足 ，表示以 为圆心，2为半径的圆．
表示圆上的点与点 的距离．
．
的最大值是 ．
第 16 页故选：A．
【点睛】
本题考查复数的几何意义、圆的方程，求解时注意方程 表示的圆的半径为2，而不是 ．
26．A
【解析】
【分析】
根据二元二次方程表示圆的条件求解．
【详解】
由 ，得 ．
故选：A．
27．D
【解析】
【分析】
根据圆心和半径可直接得到圆的方程.
【详解】
因为圆心为 ，半径为3，故圆的方程为： .
故选：D.
【点睛】
本题考查圆的标准方程，一般根据圆心坐标和半径可直接写出圆的标准方程，本题属于基础题.
28．B
【解析】
【分析】
根据点在圆外得 求解集，应用等价法，由集合的包含关系即可判断条件间的充分、必要关系.
【详解】
将 化为标准方程，得
当点 在圆 外时，有 ，解得
∴“ ”是“点 ”在圆 外”的必要不充分条件.
故选：B.
29．D
【解析】
【分析】
化x2+y2﹣kx+2y+k2﹣2＝0为 ，
由 0求得k的范围，然后逐一核对四个选项得答案.
【详解】
第 17 页由x2+y2﹣kx+2y+k2﹣2＝0，得 ，
若方程x2+y2﹣kx+2y+k2﹣2＝0表示圆，则 0，即﹣2＜k＜2.
∴A，B为方程x2+y2﹣kx+2y+k2﹣2＝0表示圆的既不充分也不必要条件，C为充要条件，
而（0，1]⊂（﹣2，2），则D为充分不必要条件.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了圆的一般方程，充分条件，必要条件，属于中档题.
30．D
【解析】
【分析】
求出圆心 关于 的对称点为 ，则 的最小值是 ．
【详解】
解：圆 的圆心 ，半径为 ，圆 ，圆心 ，半径为
，
圆心 关于 的对称点为 ，
解得 故
．
故选 ．
【点睛】
本题考查圆的方程，考查点线对称，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
31．A
【解析】
利用一般方程表示圆得 的不等式求解
【详解】
由题 ，则 解得
故选：A
【点睛】
本题考查圆的一般方程，是基础题
32．D
【解析】
【分析】
本题目考察圆的一般方程的圆心坐标，以及点到直线的距离公式，通过点到直线的距离公式可以求出参数 的值，
最后是基本不等式中“1”的代入的应用，已知分式为定值，可以求得整式的最小值
【详解】
第 18 页由题意，知圆心坐标为(1，4)，
圆心到直线 的距离为 ，则 ，解得 或
因为 ，所以
所以 ，且 ，则 ，当且仅当
时取“="，即 的最小值为 ．
故选：D
33．A
【解析】
【分析】
先化简曲线方程，判断曲线的形状，明确 的几何意义，结合图像解答.
【详解】
， 表示以 为圆心，3为半径的圆.
表示以圆 上的任意一点 到 两点间距离， 的最
大值即为
故选：A
34．A
【解析】
【分析】
先由直线的方程求得直线恒过的定点，再由圆的圆心和半径得出圆的方程得选项.
【详解】
解：因为直线方程为 ，即 ，所以直线过定点 ，
所以圆方程为 ，即 ，
故选：A.
35．ACD
【解析】
【分析】
先表示出圆的半径r，可求出r的最大值，即可判断.
【详解】
所给圆的半径为
r＝ ＝ ．
所以当m＝－1时，半径r取最大值 ，此时最大面积是 ．
故选：ACD
第 19 页36．CD
【解析】
由题意得点 在圆外，列出不等式解出 ，再由二元二次方程表示圆时的特征列出不等式，综合得结果.
【详解】
由题意过点 有两条直线与圆 相切，
则点 在圆外，即 ，解得 ，
由方程 表示圆，则 ，解得 ，
综上，实数 的取值范围是 .
即实数 取值范围是0， .
故选：CD.
【点睛】
关键点点睛：
（1）将题意等价转化为点和圆的位置关系；
（2）理解二元二次方程在什么情况下表示圆.
37．AD
【解析】
①根据二次函数 的对称轴是 和圆的对称性判断；
②根据二次函数 交 轴于 ， 两点，由 判断；
③分别令 ， ，得到A，B，C的坐标代入 ，得到 判
断；
④由③得到圆M的方程为 判断；
【详解】
①因为二次函数 的对称轴是 ，且 ， 两点关于 对称，所以圆心 在直线 上，
故正确；
②因为二次函数 交 轴于 ， 两点，所以 解得 且 ，故错误；
③令 ，解得 ，所以 ，令 ，得 ，
则 ，设圆M的方程为： ，将A，B，C的坐标代入得： ，消去 得
，所以 ，即 ，所以 ，因为 且
，所以 ，故错误；
④圆M的方程为 ，即 ，则圆 恒过定点 ，故
第 20 页正确；
故选：AD
【点睛】
本题主要考查二次函数函数的性质以及圆的方程的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
38．AD
【解析】
【分析】
根据圆的方程，先求圆心和半径，再依次判断选项.
【详解】
把圆的方程化为标准形式得(x－1)2＋(y＋2)2＝2，所以圆心坐标为(1，－2)，半径为 ，所以圆心到直线x－y＝1
的距离为d＝ ＝ ，直线与圆相切．
故选：AD
39． 或
【解析】
【分析】
首先根据题中圆的标准方程求出圆的圆心与半径，再根据两圆相切求出 的值为.
【详解】
圆 的圆心为 ，半径为 ，
圆 的圆心为 ，半径为 ，
所以两圆的圆心距 ，
又因为两圆内切，有 ，
解得 或 .
故答案为： 或 .
【点睛】
本题主要考查了圆的位置关系，根据圆的标准方程求半径与圆心，属于基础题.
40．
【解析】
【分析】
求出圆心的坐标，进而可得出所求圆的标准方程.
【详解】
圆心 关于点 中心对称点的坐标为 ，
故所求圆的方程为 .
故答案为： .
41．
第 21 页【解析】
【分析】
由题意得 为直径，且直线l与m垂直故 ，得 所以圆心与半径可求，则圆方程易得.
【详解】
由题意A，B，C，O四点共圆且 ，所以 ，则直线l与m垂直故 ，又 ，
此圆的圆心为 ，半径为 ＝ ，
所以圆的标准方程为 .
故答案为：
42．
【解析】
【分析】
设圆的标准方程为 ，将 ， ， 代入计算即可得结果.
【详解】
设圆的标准方程为 ，因为过点 ， ，
所以 解得
则圆的标准方程为
故答案为：
43． 或
【解析】
【分析】
设圆的方程为 ，根据题意列出方程组，求得 的值，即可求解.
【详解】
由题意，圆的半径为3与 轴相切，且圆心在直线 上，
设此圆的方程为 ，
则 ，解得 或 ，
所以圆的方程为 或 .
故答案为： 或 .
44． 等，只要圆心在直线上均可.
第 22 页【解析】
【分析】
设出圆心坐标，利用圆心在直线上可得圆心满足的条件，设圆的半径为1，即可得到答案.
【详解】
设圆心坐标为 ，
因为圆 关于 对称，
所以 在直线 上，
则 ，
取 ，设圆的半径为1，
则圆的方程 ，
故答案为： (不唯一)
45．（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）由 ，得到 为 ，结合直线 的方程，求得直线 的斜率，进而求得 边所在直
线的方程；
（2）由（1） 边所在直线的方程为 ，联立方程组求得 ，根据 ，得到 为
外接圆的圆心，进而求得圆的标准方程.
【详解】
（1）由 ，可得 ，
又由 在 上，所以 ，所以 为 ，
因为 边所在直线的方程为 ，斜率为 ,
所以直线 的斜率为 ，
又因为点 在直线 上，所以 边所在直线的方程为 ，
即 .
（2）由（1） 边所在直线的方程为 ，
联立方程组 ，可得 ，
因为 ，所以 为 斜边上的中点，即为 外接圆的圆心，
又由 ，
所以 外接圆的方程为 .
46．
【解析】
【分析】
第 23 页由题意，设圆心坐标和半径表示圆的标准方程，结合待定系数法即可.
【详解】
设圆 的圆心坐标为 ，半径为r，
则圆 的标准方程为： ，
有 ，解得 ，
所以圆 的标准方程为：
47．
【解析】
【分析】
由题意可确定圆的直径为 ，根据中点坐标公式求出圆心坐标，结合两点距离公式求出半径即可.
【详解】
由题意知， 为圆的直径，设圆心为 ，
则 中点即为 ，
所以半径为 ，
故外接圆的标准方程为： .
48．（1） ；（2） ．
【解析】
【分析】
（1）先求线段 的垂直平分线，再联立直线 求解即可；
（2）分析 向上平移1个单位长度后的圆心和半径即可
【详解】
（1）因为直线 的斜率为 ，
所以线段 的垂直平分线 的斜率为1．
又易知线段 的中点坐标为 ，
所以直线 的方程为 ，即 ．
因为圆心在直线 上，所以圆心是直线 与直线 的交点．
由 ，解得 ．
所以圆心为 ，半径 ．
所以圆 的标准方程是 ．
第 24 页（2）由（1），知圆 的圆心坐标为 ，
将点 向上平移1个单位长度后得到点 ，
故圆 的圆心坐标为 ，半径为 ，
故圆 的标准方程为 ．
49．(Ⅰ) ， ；
(Ⅱ)见解析.
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题意结合点的坐标可得抛物线方程，进一步可得准线方程；
(Ⅱ)联立准线方程和抛物线方程，结合韦达定理可得圆心坐标和圆的半径，从而确定圆的方程，最后令x=0即可证
得题中的结论.
【详解】
(Ⅰ)将点 代入抛物线方程： 可得： ，
故抛物线方程为： ，其准线方程为： .
(Ⅱ)很明显直线 的斜率存在，焦点坐标为 ，
设直线方程为 ，与抛物线方程 联立可得： .
故： .
设 ，则 ，
直线 的方程为 ，与 联立可得： ，同理可得 ，
易知以AB为直径的圆的圆心坐标为： ，圆的半径为： ，
且： ， ，
则圆的方程为： ，
令 整理可得： ，解得： ，
即以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点 .
【点睛】
本题主要考查抛物线方程的求解与准线方程的确定，直线与抛物线的位置关系，圆的方程的求解及其应用等知识，
意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
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