文档内容
微专题：圆与圆的位置关系
【考点梳理】
1. 圆与圆的位置关系
位置 公共点 两个圆的方程组成的方
图示(R>r) 几何特征(OO＝d)
1 2
关系 个数 程组的解
外离 0 d > R ＋ r 无实数解
两组相同
外切 1 d ＝ R ＋ r
实数解
两组不同
相交 2 R － r < d < R ＋ r
实数解
两组相同
内切 1 d ＝ R － r
实数解
内含 0 d < R － r 无实数解
【题型归纳】
题型一：判断圆与圆的位置关系
1．已知直线 与圆 交于 两个不同点，则当弦 最短时，圆 与圆
的位置关系是（ ）
A．内切 B．相离 C．外切 D．相交
2．直线 ： 与圆 ： 的位置关系为（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定
3．已知圆 截直线 所得的弦长为 ．则圆M与圆 的位置关系是
（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
题型二：求两圆的交点坐标
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司4．圆心在直线x﹣y﹣4＝0上，且经过两圆x2+y2﹣4x﹣3＝0，x2+y2﹣4y﹣3＝0的交点的圆的方程为（ ）
A．x2+y2﹣6x+2y﹣3＝0 B．x2+y2+6x+2y﹣3＝0
C．x2+y2﹣6x﹣2y﹣3＝0 D．x2+y2+6x﹣2y﹣3＝0
5．若圆 的圆心在直线 上，且经过两圆 和 的交点，则圆 的圆心
到直线 的距离为（ ）
A．0 B． C．2 D．
6．设点 ， ，动点 满足 ，设点 的轨迹为 ，圆 ： ， 与 交
于点 ， 为直线 上一点（ 为坐标原点），则 （ ）
A． B．
C． D．
题型三：由圆的位置关系确定参数或范围
7．已知点P，Q分别为圆 与 上一点，则 的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．7 D．10
8．已知圆 ，圆 ，若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点分别
为A，B，使得 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．已知圆M的半径为 ，且圆M与圆C： 和y轴都相切，则这样的圆M有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
题型四：由圆与圆的位置关系确定圆的方程
10．与直线 和圆 都相切的半径最小的圆的方程是（ ）
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B．
C． D．
11．圆 关于直线 对称的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
12．已知 是半径为1的动圆 上一点， 为圆 上一动点，过点 作圆 的切线，切点分别为
， ，则当 取最大值时，△ 的外接圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
题型五：圆的公共弦
13．已知圆C过圆 与圆 的公共点．若圆 ， 的公共弦恰好是
圆C的直径，则圆C的面积为（ ）
A． B． C． D．
14．若圆 与圆 的公共弦 的长为1，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C． 中点的轨迹方程为
D． 中点的轨迹方程为
15．已知圆 与圆 交于A、B两点，且 平分圆 的周长，则
的值为（ ）
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．0 B．2 C．4 D．6
【双基达标】
16．若圆C与圆 关于原点对称，则圆C的方程是（ ）
A． B．
C． D．
17．已知圆 的方程为 ，若y轴上存在一点 ，使得以 为圆心、半径为3的圆与圆 有公共点，
则 的纵坐标可以是
A．1 B．–3 C．5 D．-7
18．已知 ： 与 ： ，则两圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相离 C．外切 D．内切
19．已知圆 ，圆 ，若圆 平分圆 的圆周，则正数
的值为（ ）
A． B． C． D．
20．已知 ， ，圆 ： （ ），若圆 上存在点 ，使 ，则圆 的
半径 的范围是（ ）
A． B． C． D．
21．垂直平分两圆 ， 的公共弦的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
22．已知圆 ，圆 ，则这两个圆的位置关系为（ ）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内含
23．圆 和圆 的公共弦 的垂直平分线的方程是（ ）
A． B．
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司C． D．
24．已知圆 与圆 ，若圆 与圆 有且仅有一个公共点，则
实数 等于
A．14 B．34 C．14或45 D．34或14
25．两圆 与 的公切线有（ ）
A． 条 B． 条 C． 条 D． 条
26．圆 和圆 的公切线的条数为( )
A． B． C． D．
27．圆 与圆 的公切线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
28．已知圆 和圆 的公共弦所在的直线恒过定点 ，且点 在直线
上，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
29．已知点P在直线 上，过点P作圆 的两条切线，切点分别为A，B，则点 到直线
AB距离的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．
30．若圆 与圆 外切，则 （ ）
A．36 B．38 C．48 D．50
【高分突破】
一、单选题
31．若圆 与圆 的公共弦长为 ，则圆 的半径为
A． B． C． D．
32．若圆 与圆 外切，则 （ ）
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
33．已知圆 与圆 的公共弦所在直线恒过点 ，且点 在直线
上，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
34．古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成
果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（ 且 ）的点的轨迹是圆，后人将这个圆
称为阿波罗尼期圆．已知 ， ，圆 上有且仅有一个点 P满足 ，则
r的取值可以为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
35．已知圆 关于直线 对称，圆 的标准方程是 ，
则圆 与圆 的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．内含
36．已知圆 的标准方程是 ，圆 ： 关于直线 对称，
则圆 与圆 的位置关系为（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．内含
37．过圆 内一点 作一弦交圆于 、 两点，过点 、 分别作圆的切线 、 ，两切
线交于点 ，则点 的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
38．已知圆 与圆 内切，则 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司39．已知 是圆 的一条弦，且 ， 是 的中点，当弦 在圆 上运动时，
直线 上存在两点 ，使得 恒成立，则线段 长度的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
40．以下四个命题表述正确的是（ ）
A．直线 恒过定点
B．圆 上有且仅有3个点到直线 的距离都等于1
C．曲线 与曲线 恰有三条公切线，则
D．已知圆 ，点 为直线 上一动点，过点 向圆 引两条切线 ， ， ， 为切点，则直
线 经过定点
41．已知圆C： ，点A是直线 上任意一点，若以点A为圆心，半径为1的圆A与圆C没有
公共点，则整数k的值可能为（ ）
A． B． C．0 D．1
42．设 ，过定点A的动直线 ，和过定点B的动直线 交于点P，圆
，则下列说法正确的有（ ）
A．直线 过定点(1，3) B．直线 与圆C相交最短弦长为2
C．动点P的曲线与圆C相交 D．|PA|+|PB|最大值为5
43．已知圆 与圆 无公共切线，则实数m的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
44．已知点 为直线 上的动点，过点 引圆 的两条切线，切点分别为 ，则点 到
直线 的距离的最大值为_________
第 7 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司45．已知点 是直线 ： ( )上的动点，过点 作圆 ： 的切线 ， 为切点.
若 最小为 时，圆 ： 与圆 外切，且与直线 相切，则 的值为______
46．平面直角坐标系 中，已知圆 ，点 为直线 上的动点，以 为直径的圆交圆
于 、 两点，点 在 上且满足 ，则点 的轨迹方程是________．
47．在平面直角坐标系 中，圆 的方程为 ，若直线 上至少存在一点，使得以该点为
圆心， 为半径的圆与圆 有公共点，则 的取值范围是_______.
48．圆 与圆 的公共弦长为________．
49．早在两千多年前，我国的墨子给出了圆的定义“一中同长也”已知 为坐标原点， ，若 ，
的“长”分别为1， ，且两圆相外切，则 _________.
四、解答题
50．求圆心在直线 上，并且经过圆 与圆 的交点的圆的方程．
51．已知点 在圆 上.
（1）求圆 的标准方程；
（2）若圆 过点 ，且与圆 相切于点 ，求圆 的标准方程．
52．规定：在桌面上，用母球击打目标球，使目标球运动，球的位置是指球心的位置，球 是指该球的球心点 ．
两球碰撞后，目标球在两球的球心所确定的直线上运动，目标球的运动方向是指目标球被母球击打时，母球球心
所指向目标球球心的方向．所有的球都简化为平面上半径为1的圆，且母球与目标球有公共点时，目标球就开始
运动，在桌面上建立平面直角坐标系，解决下列问题：
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（1）如图1，设母球 的位置为 ，目标球 的位置为 ，要使目标球 向 处运动，求母球 的球
心运动的直线方程；
（2）如图2，若母球 的位置为 ，目标球 的位置为 ，让母球 击打目标球 后，能否使目标球 向
处运动？
53．已知圆 与圆 关于直线 对称，
（1）求 、 的值；
（2）若这时两圆的交点为 、 （O为坐标原点），求 的度数．
54．已知点 和以点Q为圆心的圆 ．
（1）画出以 为直径，点 为圆心的圆，再求出圆 的方程；
（2）设圆Q与圆 相交于A，B两点，直线PA，PB是圆Q的切线吗？为什么？
（3）求直线AB的方程．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．D
【解析】
【分析】
由直线 过定点 且定点在圆 内，当弦 最短时直线 垂直 ，根据斜率乘积为 求出
，进而求出圆 的方程，再根据圆心距与两圆半径的关系确定答案.
【详解】
易知直线 过定点 ，弦 最短时直线 垂直 ，
又 ，所以 ，解得 ，
此时圆 的方程是 .
两圆圆心之间的距离 ，
又 ，所以这两圆相交.
故选：D.
2．A
【解析】
【分析】
求出圆心到直线的距离，即可判断；
【详解】
解：圆 ： 的圆心为 ，半径 ，
圆心到直线 ： 的距离 ，
所以直线与圆相切；
故选：A
3．B
【解析】
【分析】
根据垂径定理可得参数 的值，再利用几何法判断两圆的位置关系.
【详解】
由 ，即 ，
故圆心 ，半径 ，
所以点 到直线 的距离 ，
故 ，即 ，
解得： ；
所以 ， ；
第 10 页又 ，圆心 ， ，
所以 ，
且 ，
即圆 与圆 相交，
故选：B.
4．A
【解析】
【分析】
求出两个圆的交点，再求出中垂线方程，然后求出圆心坐标，求出半径，即可得到圆的方程．
【详解】
由 解得两圆交点为 与
因为 ，所以线段 的垂直平分线斜率 ；MN中点P坐标为（1，1）
所以垂直平分线为y＝﹣x+2
由
解得x＝3，y＝﹣1，所以圆心O点坐标为（3，﹣1）
所以r
所以所求圆的方程为（x﹣3）2+（y+1）2＝13即：x2+y2﹣6x+2y﹣3＝0
故选：A
5．C
【解析】
求出过 两点的垂直平分线方程，再联立直线 ，求得圆心，结合点到直线距离公式即可求解
【详解】
设两圆交点为 ，联立 得 或 ， ，
则 中点为 ，过 两点的垂直平分线方程为 ，
联立 得 ，故圆心为 ，
由点到直线距离公式得
故选：C
【点睛】
本题考查线段垂直平分线方程的求解，点到直线距离公式的应用，属于中档题
6．C
【解析】
第 11 页【分析】
由题意先求动点P的轨迹 的方程,联立 和 求出 的坐标,如图由平面几何知识和向量数量积的运算规则可
求得 .
【详解】
设点P( ),由 可得 ,
化简得动点P的轨迹 的方程为: ,联立
解得: ,如图所示,有平面几何知识可得: ,
向量数量积的运算规则可得:
.
故选:C.
【点睛】
本题考查了由已知条件求动点轨迹的问题,考查了求两圆交点坐标的运算,借助于平几何知识求向量的数量积的问题,
考查了综合运算能力,属于中档题.
7．A
【解析】
【分析】
根据两圆位置关系求解.
【详解】
圆 的圆心坐标为 ，半径 为1；
圆 的圆心坐标为 ，半径 为2；
所以两圆的圆心距 ，两圆外离，
所以 ，
故选：A.
第 12 页8．D
【解析】
【分析】
由题意求出 的距离，得到 P 的轨迹，再由圆与圆的位置关系求得答案．
【详解】
由题可知圆O 的半径为 ，圆M上存在点P，过点P作圆 O 的两条切线，
切点分别为A，B，使得 ，则 ，
在 中， ，
所以点 在圆 上，
由于点 P 也在圆 M 上，故两圆有公共点.
又圆 M 的半径等于1，圆心坐标 ，
，
∴ ，
∴ .
故选：D.
9．C
【解析】
【分析】
根据圆与圆的位置关系判断，分外切和内切两种情况即可得到答案.
【详解】
解：圆C： 和y轴相切于原点，
内切时圆 只能在圆 内部，因此
相外切的圆M位于y轴右侧在 轴上方、下方各1个，位于y轴左侧切于原点的1个；相内切的圆必过原点，有1
个，共4个.
故选：C．
10．C
【解析】
【分析】
求出过圆心与直线垂直的直线方程，所求圆的圆心在此直线上，又圆心到直线的距离可得所求圆的半径，设所求
圆的圆心为 ，且圆心在直线 的左上方，利用 、 可得答案.
【详解】
圆 的圆心坐标为 ，半径为 ，
过圆心 与直线 垂直的直线方程为 ，所求圆的圆心在此直线上，又圆心 到直线
第 13 页的距离为 ，则所求圆的半径为 ，
设所求圆的圆心为 ，且圆心在直线 的上，
所以 ，且 ，解得 （ 不符合题意，舍去 ），故所求圆的方程为
.
故选：C．
11．B
【解析】
【分析】
利用点关于直线的对称点求出圆C关于直线对称的圆的圆心，进而求出圆的方程.
【详解】
解：圆C的圆心为 ，设C关于直线 对称的点为 ，
则 ，解得
故圆C关于直线 对称的圆的方程为 ，
即 ．
故选：B.
12．A
【解析】
【分析】
由题设，确定 的轨迹方程，结合已知可得 ，再根据切线的性质、勾股定理及面积法得到 关于
的关系式且△ 的外接圆以线段 为直径，结合两圆的位置关系及其动点距离最值情况，写出外接圆的
方程.
【详解】
由 ，则动圆心 的轨迹方程为 .
为圆 上的动点，又 ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴当 最小时， 最小，当 最大时， 最大.
当 时， 取最大值，△ 的外接圆以线段 为直径，而 中点，即 中点为 ，
第 14 页∴外接圆方程为 ，即 .
故选：A
13．B
【解析】
【分析】
根据题意求解圆 ， 的公共弦方程，再计算圆 中的公共弦长即可得圆C的直径，进而求得面积即可
【详解】
由题，圆 ， 的公共弦为 和 的两式相减，化简可得 ，
又 到 的距离 ，故公共弦长为 ，故圆C的半径
为 ，故圆C的面积为
故选：B
14．C
【解析】
【分析】
两圆方程相减求出直线AB的方程，进而根据弦长求得 ，即可判断A、B选项；由圆的性质可知直线
垂直平分线段 ，进而可得 到直线 的距离，从而可求出AB中点的轨迹方程，
因此可判断C、D选项；
【详解】
两圆方程相减可得直线AB的方程为 ，
即 ，
因为圆 的圆心为 ，半径为1，
且公共弦AB的长为1，则 到直线
第 15 页的距离为 ，
所以 ，解得 ，
故A、B错误；
由圆的性质可知直线 垂直平分线段 ，
所以 到直线 的距离
即为AB中点与点 的距离，设AB中点坐标为 ，
因此 ，
即 ，故C正确，D错误；
故选：C
15．C
【解析】
【分析】
由题知，弦 所在直线方程为 ，且 在弦 所在直线上，进而得 .
【详解】
解：因为圆 与圆 交于A、B两点，
所以弦 所在直线方程为 ，
因为圆 的圆心为 ， 平分圆 的周长，
所以， 在弦 所在直线上，即 ，
所以 .
故选：C
16．A
【解析】
【分析】
根据对称求出圆C的圆心和半径可得答案.
【详解】
由于圆 的圆心 ，半径为1，
圆 与圆 关于原点对称，故 、半径为1，
故圆 的方程为： ，
故选：A．
17．A
【解析】
【分析】
第 16 页设 ，以 为圆心、半径为3的圆与圆 有公共点，可得圆心距大于半径差的绝对值，同时小于半径之和，
从而得到 .
【详解】
设 ，两圆的圆心距 ，
因为以 为圆心、半径为3的圆与圆 有公共点，
所以 ，解得 ，选项B、C、D不合题意，故选A.
【点睛】
本题考查两圆相交的位置关系，利用代数法列出两圆相交的不等式，解不等式求得圆心纵坐标的范围，从而得到
圆心纵坐标的可能值，考查用代数方法解决几何问题.
18．A
【解析】
利用圆心距与半径之和、半径之差的绝对值的关系可得正确的选项.
【详解】
，
故 ，两圆半径之和为3，半径之差的绝对值为1，
而 ，故两圆的位置关系是相交，
故选：A.
19．A
【解析】
【分析】
直接利用两圆的位置关系的应用求出相交弦的方程，由题意可知圆心 在相交弦上，进一步求出 的值
【详解】
圆 ，化为 ，则圆心 ，
两圆方程相减可得 ，即为两圆的相交弦方程，
因为圆 平分圆 的圆周，所以圆心 在相交弦上，
所以 ，解得 或 （舍去），
故选：A
20．A
【解析】
【分析】
设 ，由 得 ，即可知 的轨迹为 ，要使圆 上存在点 ，即圆 与
有交点，进而可得半径 的范围.
【详解】
设 ，则 ， ，
第 17 页∵ ，即 ，
∴ ，即 在以原点为圆心，半径为1的圆上，
而圆 的圆心为 ，半径为R，
∴圆 上存在点 ，即圆 与 有交点，
∴ .
故选：A
【点睛】
关键点点睛：由 及向量垂直的数量积公式即可确定 的轨迹，要使圆 上存在点 ，只需保证圆
与 的轨迹有交点即可.
21．B
【解析】
【分析】
分别求解两个圆的圆心，圆心连线即为所求.
【详解】
根据题意，圆 ，其圆心为 ，则 ，
圆 ，其圆心为 ，则 ，
垂直平分两圆的公共弦的直线为两圆的连心线，则直线 的方程为 ，变形可得 ；
故选:B.
22．C
【解析】
【分析】
求得两个圆的圆心和半径，求得圆心距，由此确定正确选项.
【详解】
圆 的圆心为 ，半径为 ，
可化为 ，
圆 的圆心为 ，半径为 ，
圆心距 ,
，
所以两个圆的位置关系是相交.
故选：C
23．C
【解析】
【分析】
由两个圆的方程可得圆心的坐标，再由圆的性质垂直弦，平分弦可得弦的中垂线即为两个圆心所在的直线，进而
求出结果．
第 18 页【详解】
解：圆 的圆心 ，
圆 的圆心 ，
所以 的中点坐标为 ， ，即 ，
所以两圆的公共弦 的垂直平分线即是圆心 所在的直线： ，即 ，
故选： ．
24．D
【解析】
【分析】
先将两个圆的方程化为圆的标准方程，写出两个圆的圆心坐标和半径，然后计算两个圆的圆心之间的距离，圆心
距等于两个圆的半径差的绝对值、和，得到关于a的方程，即可解得a的值.
【详解】
设圆 ､圆 的半径分别为 ､ .圆 的方程可化为 ，
圆 的方程可化为 .
由两圆相切得， 或 ，
∵ ，
∴ 或 或 或 (舍去).
因此， 解得a=34
或 解得
故选:D.
【点睛】
本题考查了利用两个圆相切求解参数值的问题，属于中档题目，解题时需要准确将圆的一般方程化为圆的标准方
程，利用圆心距与半径的关系建立关于参数的方程.
25．C
【解析】
【分析】
根据两圆方程判断两圆位置关系，并判断公切线条数.
【详解】
由 ， ，
可得 ， ； ， ，
，
故两圆相外切，共有 条公切线，
故选：C.
第 19 页26．B
【解析】
【分析】
本题考查了两圆的位置关系的判定及确定公切线的条数，是基础题.根据圆心距与半径的和差的大小关系判定两圆
的位置关系，进而得出公切线的条数.
【详解】
∵两个圆 与 ，
∴圆 圆心为 ，半径为 ，圆 圆心为 ，半径为 ，
∴两圆圆心距为 ，
∵ ，
∴两圆相交，有 条公切线.
故选：B.
27．B
【解析】
【分析】
求出两圆的位置关系即可得出结果.
【详解】
圆 的圆心为 ，半径 ，
圆 的圆心为 ，半径 ，
由于圆心距 ，满足： ，
故两圆相交，故而可得两圆公切线的条数为2条，
故选：B.
【点睛】
本题主要通过两圆的位置关系求公切线的条数，属于基础题.
28．C
【解析】
先根据两圆方程得公共弦方程 ，再求得点 ，再根据 的几何意义即可求解.
【详解】
由圆 和圆 ，
可得圆 和 的公共弦所在的直线方程为 ，
联立 ，解得 ，即点
又因为点 在直线 上，即 ，
又由原点到直线 的距离为 ，
第 20 页即 的最小值为 .
故选：C.
【点睛】
本题考查圆的公共弦问题，直线过定点问题，点到直线的距离问题，考查数学运算能力与化归转化思想，是中档
题.
29．D
【解析】
【分析】
假设点 ，然后得到以OP为直径的圆的方程，与已知圆的方程作差可得直线AB的方程，然后可知直线AB
过定点 ，最后简单判断和计算可得结果.
【详解】
设 ，则 ，
以OP为直径的圆的方程是 ，
与圆O的方程 相减，得直线AB的方程为 ，即 ，
因为 ，所以 ，代入直线AB的方程，得 ，
即 ，当 且 ，即 ， 时该方程恒成立，
所以直线AB过定点N(1，1)，
点M到直线AB距离的最大值即为点M，N之间的距离， ，
所以点M(3，2)到直线AB距离的最大值为 .
故选:D
【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键在于得到直线AB的方程以及观察得到该直线过定点.
30．C
【解析】
先把C 、C 化为标准方程，再利用圆与圆相外切，圆心距等于半径的和即可。
1 2
【详解】
依题意，圆 ，圆 ，故 ，解得
，故选C．
【点睛】
圆C 和圆C 的半径分别为R和r，圆心距为d，圆与圆的位置关系由5种：
1 2
（1）相离 ；（2）相外切 ；（3）相交 ；（4）相内切 ；
（5）相内含 ；
31．D
【解析】
第 21 页先由题，求出两圆的公共弦，再求得圆 的直径等于公共弦长为 ，可得公共弦过圆C的圆心，可得答案.
【详解】
联立 ，得 ，因为圆 的直径为 ，且圆 与曲线 的公共弦长为 ，所
以直线 经过圆 的圆心 ，则 ，所以圆 的半径为
故选D
【点睛】
本题考查了圆与圆的位置关系，两圆的公共弦的求法是解题的关键，属于中档题.
32．C
【解析】
【分析】
求得两圆的圆心坐标和半径，结合两圆相外切，列出方程，即可求解.
【详解】
由题意，圆 与圆
可得 ， ，
因为两圆相外切，可得 ，解得 ．
故选：C.
33．A
【解析】
【分析】
将两圆的方程相减可得公共弦方程，从而求得定点 ，利用点在直线上可得 ，再代入 消元，转
化成一元二次函数的取值范围；
【详解】
解：由圆 ，圆 ，
得圆 与圆 的公共弦所在直线方程为 ，求得定点 ，
又 在直线 上， ，即 .
∴ ，∴ 的取值范围是 .
故选：A.
【点睛】
本题考查圆的公共弦方程求解、一元二次函数的最值，考查转化与化归思想的运用.
34．A
【解析】
【分析】
设动点P的坐标，利用已知条件列出方程，化简可得点P的轨迹方程，由点P是圆C： 上
有且仅有的一点，可得两圆相切，进而可求得r的值．
第 22 页【详解】
设动点 ，由 ，得 ，整理得 ，
又点 是圆 ： 上有且仅有的一点，所以两圆相切.
圆 的圆心坐标为 ，半径为2，
圆C： 的圆心坐标为 ，半径为r，两圆的圆心距为3，
当两圆外切时， ，得 ，
当两圆内切时， ， ，得 ．
故选：A.
【点睛】
结论点睛：本题考查阿波罗尼斯圆，考查两圆相切的应用，判断圆与圆的位置关系几何法：圆心距d与r，r 的关
1 2
系：（1）外离 ；（2）外切 ；（3）相交 ；（4）内切 ；
（5）内含 ，考查学生的数形结合思想和逻辑推理能力，属于中档题．
35．B
【解析】
【分析】
本题首先可将 转化为 ，圆心为 ，然后根据圆 关于直线
对称求出 ，最后通过圆心间距离等于两圆半径之和即可得出结果.
【详解】
即 ，圆心 ，
因为圆 关于直线 对称，所以圆心 在直线 上，
即 ，解得 ， ，圆心 ，半径为 ，
，圆心 ，半径为 ，
圆心间距离为 ，
因为圆心间距离等于两圆半径之和，所以圆 与圆 的位置关系是相切，
故选：B.
【点睛】
关键点点睛：本题考查两圆的位置关系，可通过圆心间距离与两圆半径之和的关系来判断，考查圆的对称性的应
用，考查计算能力，是中档题.
36．C
【解析】
利用圆 关于直线对称可求 的值，然后利用圆心距与两个圆的半径间的关系可求结果.
第 23 页【详解】
由题意可得，圆 的圆心为 ，半径为5
因为圆 关于直线 对称，
所以 ，得 ，
所以圆 的圆心为 ，半径为2，
则两圆圆心距 ，因为 ，所以圆 与圆 的位置关系是
相交，
故选：C.
37．C
【解析】
【分析】
设 点坐标为 ，写出以 为直径的圆的方程，作差求得公共弦所在直线的方程，将点 代入方程，
由此得出结论．
【详解】
解：设 点坐标为 ，
根据圆的直径式方程知，以 为直径的圆的方程为 ，
两圆方程作差可得公共弦 的方程为 ，
而 在直线 上， ，
故点 的轨迹方程为 ，
故选：C．
38．B
【解析】
【分析】
将圆化为标准形式确定圆心和半径，即知 内切于 则 ，结合基本不等式求 的最小值.
【详解】
由题设， ， ，
又 与 内切，而 ， 且 ，
所以 内切于 ，则 ，故 ，当 时等号成立.
所以 的最小值为 .
故选：B
39．B
【解析】
【分析】
第 24 页根据已知条件先确定出点 的轨迹方程，然后将问题转化为“以 为直径的圆要包括圆 ”，
由此利用圆心 到直线 的距离结合点 的轨迹所表示圆的半径可求解出 的最小值.
【详解】
由题可知： ，圆心 ，半径 ，
又 ， 是 的中点，所以 ，
所以点 的轨迹方程 ，圆心为点 ，半径为 ，
若直线 上存在两点 ，使得 恒成立，
则以 为直径的圆要包括圆 ，
点 到直线 的距离为 ，
所以 长度的最小值为 ，
故选：B．
【点睛】
关键点点睛：解答本题的关键在于点 轨迹方程的求解以及转化思想的运用，根据弦中点以及线段长度可求点 轨
迹方程，其次“ 恒成立”转化为“以 为直径的圆包括 的轨迹”，结合圆心到直线的距离加上半径
可分析 的最小值.
40．BCD
【解析】
【分析】
由过定点的直线系方程判断A，根据直线与圆的位置关系与点到直线的距离判断B，由圆与圆的位置关系判断C，
引入参数，求直线AB的方程，求直线所过定点.
【详解】
由 ，得 ，
联立 ，解得 ，
直线 恒过定点 ，故A错误；
圆心 到直线 的距离等于1， 直线与圆相交，而圆的半径为2，
故到直线距离为1的两条直线，一条与圆相切，一条与圆相交，
因此圆上有三个点到直线 的距离等于1，故B正确；
两圆有三条公切线，则两圆外切，曲线 化为标准式 ，
曲线 化为标准式 ，
圆心距为 ，解得 ，故C正确；
第 25 页设点 的坐标为 ， ，以 为直径的圆的方程为 ，
两圆的方程作差得直线 的方程为： ，消去 得， ，
令 ， ，解得 ， ，故直线 经过定点 ， ，故D正确．
故选：BCD．
41．ABC
【解析】
由题意可得圆心 到直线 （ ）的距离大于2，利用点到直线的距离公式求得k的范围，可得结论.
【详解】
圆C的方程为 ，即 ，圆心 ，半径为1，
由题意可得，圆心 到直线 （ ）的距离大于2，
即 ，求得 ，∴ 或-1或0.
故选：ABC.
【点睛】
本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查圆与圆的位置关系，属于基础题.
42．ABC
【解析】
【分析】
根据直线过定点的求法求出定点坐标即可判断A；
由题意可知当 时所得弦长最短，由 求出 进而得到 的方程，结合 到直线的距离公式和勾股
定理求出弦长即可判断B；
当 时得到 ，P在圆C外；当 时，根据两直线方程消去m得到点P的轨迹方程，比较圆心距和两
圆半径之和的大小即可判断C；
由题可证 ，设 可得 ，进而得到
，结合三角函数的值域即可判断D.
【详解】
A：由 ，
有 ，所以直线过的定点为 ，故A正确；
B：由圆的标准方程可得圆心为 ，半径 ，直线 过的定点为 ，当
时所得弦长最短，则 ，又 ， ，所以 ，得
，则圆心到直线 的距离为 ，所以弦长为： ，
第 26 页故B正确；
C：当 时， ，则点 ，此时点P在圆C外；
当 时，由直线 得 ，代入直线 中得点P的方程为
圆 ，得 ，半径为 ，
所以圆心距 ，所以两圆相交.故C正确；
D：由 ，
当 时， ，有 ，
当 时， ， ，则 ，所以 ，
又点P是两直线的交点，所以 ，所以 ，
设 ，则 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，故D错误.
故选：AB
43．BC
【解析】
【分析】
两圆无公切线等价于两圆内含，即两圆的圆心距小于半径差的绝对值.
【详解】
圆 的圆心 ，半径 ，圆 的圆心 ，半径 ．
因为两圆无公切线，所以两圆内含，
又两圆圆心距 ，
所以 ，
解得 ．
故选:BC．
44．
【解析】
首先设点 ，求过点 的直线方程，并判断直线 过定点，再利用几何关系求最大值.
【详解】
设 ，
第 27 页过点 引圆 的两条切线，切点分别为 ，则切点在以 为直径的圆上，
圆心 ，半径 ，则圆的方程是 ，
整理为： ，又点 在圆 上，两圆相减得到 ，即直线 的方程是
，因为 ，则 ，代入 得 ，则直
线 恒过定点 ，所以点 到直线 的距离 ，所以则点 到直
线 的距离的最大值为 .
故答案为：
【点睛】
思路点睛：首先本题求以 为直径的圆，利用两圆相减，求得过两圆交点的直线方程，关键是发现直线 过
定点，这样通过几何关系就容易求定点与动直线距离的最大值.
45．
【解析】
根据题意当 与 垂直时， 的值最小，进而得 ，再根据圆 与圆 外切得 ，根据圆 与直线 相
切得 .
【详解】
圆 的圆心为 ，半径为 ，
当 与 垂直时， 的值最小，
此时点 到直线 的距离为 ，
由勾股定理得 ，
又 ，解得 ，
圆 的圆心为 ，半径为 ，
∵圆 与圆 外切，∴ ，∴ ，
∵圆 与直线 相切，∴ ，解得 .
故答案为： .
【点睛】
结论点睛：圆与圆的位置关系的判断方法：
设圆 的半径为 ，圆 的半径为 ，
第 28 页则圆 与圆 相离 ；
圆 与圆 外切 ；
圆 与圆 相交 ；
圆 与圆 内切 ；
圆 与圆 内含 ；
46．
【解析】
延长 交 于点 ，设 ，利用三角形全等证明出 ，可得出 为线段 的垂直平分线，
设点 ，求出以 为直径的圆的方程，可求得两圆的公共弦 所在直线的方程，求出直线 所过定点
的坐标，利用垂直平分线的性质可得出 ，由此可求得动点 的轨迹方程.
【详解】
延长 交 于点 ，则 ，设 ，
以 为直径的圆交圆 于点 、 ，所以， ，
则 ，可得 ，
在 和 中， ， ， ，
， ， ， ，
， ， ，则 为 的中点，且 ，
， ， ，则 为 的中点，
设点 ，则 ， ，
的中点坐标为 ，
以线段 为直径的圆的方程为 ，
即 ，
将圆 与圆 的方程相减得 ，
第 29 页即直线 的方程为 ，即 ，
由 ，解得 ，所以，直线 过定点 ，
由于 为线段 的垂直平分线，则 ，
所以，点 的轨迹方程为 .
故答案为： .
【点睛】
求与圆有关的轨迹方程时，常用以下方法：
（1）直接法：根据题设条件直接列出方程；
（2）定义法：根据圆的定义写出方程；
（3）几何法：利用圆的性质列方程；
（4）代入法：找出要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．
47．
【解析】
【分析】
求出圆 的圆心和半径，由题意可得圆心到直线的距离小于或等于两圆的半径之和即可求解.
【详解】
由 可得 ，
因此圆 的圆心为 ，半径为1，
若直线 上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆 有公共点，
只需点 到直线 的距离 ，
即 ，所以 ，解得 ，
所以 的取值范围是 ，
故答案为： .
48．
【解析】
【分析】
两圆方程相减得公共弦据直线方程，然后求出一个圆心到该直线距离，由勾股定理得弦长．
第 30 页【详解】
两圆方程相减得 ，即 ，
原点到此直线距离为 ，圆 半径为 ，
所以所求公共弦长为 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查两圆公共弦长，解题关键是求出公共弦所在直线方程．
49．1
【解析】
【分析】
根据圆的定义，求得 ， ，根据两圆的位置关系，即可求解.
【详解】
由题意， 为坐标原点， ，
根据圆的定义，可得 ， ，
因为两圆相外切，可得 ，即 ，
解得 .
故答案为： .
50．
【解析】
【分析】
设两圆交点系方程为 ，求得圆心坐标代入直线 求得圆的方程.
【详解】
设经过两圆交点的圆的方程为 ，即 ，
圆心坐标为 ，将其代入直线 解得 ．所以圆的方程为 ．
故所求圆方程为：
51．（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
(1)将点 代入圆 的方程即可求出 的值，再将一般方程化为标准方程即可；
(2)设圆 的标准方程为 ，圆心为 ，根据 三点共线，可先求出直线 的方程，
将 代入可得 ，再结合 ，即 ，即可求出 的值，再求半
第 31 页径 ，从而可得圆 的标准方程．
【详解】
解：（1）将点 代入圆 ，可得 ，
所以圆 ，
化为标准方程可得 ．
（2）设圆 的标准方程为 ，圆心为 ，
直线 的方程为 ，即 ，
把 代入得 ，
又 ，解得 ， ，
所以 ，
故圆 的标准方程为 ．
52．（1） ；（2）不能使目标球 向 处运动．
【解析】
【分析】
（1）利用 ， 两球碰撞时，球 的球心在 两点连线上，且球A与球B外切，列出方程组，即可求得两球碰
撞时，球 的坐标，即得解；
（2）由（1）知球 需运动到 处，且到达 处前不与目标球 接触，，过点 作 于点 ，
分析可得 ，即得解.
【详解】
（1）点 ， 所在的直线方程为 ，如图，
可知 ， 两球碰撞时，球 的球心在直线 上，
且在第一象限，设 ， 两球碰撞时，球 的球心坐标为 ，
此时 ，则 ，解得 ， ，
第 32 页即 ， 两球碰撞时，球 的球心坐标 ，
所以母球 的球心运动的直线方程为 ，即 ．
（2）假设能使目标球 向 处运动，
则由（1）知球 需运动到 处，且到达 处前不与目标球 接触．
如图，设 与 轴的交点为 ．
因为 的斜率为 ，所以 ．
因为 的斜率为 ，所以 ．
所以 为锐角．
过点 作 于点 ，因为 ，所以 ，
所以球 的球心还未到直线 上时，就会与目标球 接触，
所以不能使目标球 向 处运动．
53．（1）2,5;（2） .
【解析】
【分析】
（1）根据直线 为两圆心所构成线段的中垂线求解.
（2）由（1）知 即 ，先求得弦心距，再利用三角函数求解.
【详解】
（1）圆 即 ，
表示以 为圆心，以 为半径的圆．
圆 的圆心为 ，半径等于 ，
故 的中点为 ， 的斜率为 ，
故 的中垂线的斜率等于2，
故 的中垂线的方程为 ，即 ．
所以直线 即为 的中垂线，故 与 的值分别等于2和5，
（2）由上可知，直线 即 ，
第 33 页即 ，且此直线是公共弦所在的直线．
弦心距为 ，故 ，
故 ．
54．(1) ； (2)证明见解析；(3) .
【解析】
【分析】
(1)求出 中点的坐标即为圆心 的坐标，线段 长度的一半即为圆 的半径，从而求出圆 的方程；
(2)根据直径对的圆周角为 来证明垂直关系；
(3)两圆相减消去二次项即为公共弦所在的直线方程.
【详解】
(1)易知 ，所以PQ的中点 ，
又因为 ，圆 的半径为 ，
所以圆 的方程为 .
(2)因为PQ为直径， 在圆Q上，所以 ,
所以直线PA，PB是圆Q的切线.
(3) 圆 的方程 可化为 ，
圆Q的方程 可化为 ，
两圆方程相减，得 ，
所以直线AB的方程为 .
第 34 页第 35 页
