文档内容
微专题：直线与圆的位置关系
【考点梳理】
1. 直线与圆的位置关系
设圆的半径为r(r>0)，圆心到直线的距离为d，则直线与圆的位置关系如下表所示.
位置 公共点 几何 直线、圆的方程组成的方程
图示
关系 个数 特征 组的解
相离 0 d > r 无实数解
两组相同
相切 1 d＝r
实数解
两组不同
相交 2 d < r
实数解
【题型归纳】
题型一： 判断直线与圆的位置关系
1．不论k为何值，直线 都与圆相交，则该圆的方程可以是（ ）
A． B．
C． D．
2．圆 与直线 的位置关系为（ ）
A．相切 B．相离 C．相交 D．无法确定
3．直线 与圆 的位置关系为（ ）
A．相切 B．相交
C．相离 D．由 的取值确定
题型二： 由直线与圆的位置关系求参数
4．若 “直线 与圆 相交”， “ ”，则 是 的（ ）
A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
第 1 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司5．已知圆 与抛物线 的准线相切，则 （ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
6．已知对任意的实数k，直线l： 与圆C： 有公共点，则实数t的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
题型三： 直线与圆的位置关系求距离的最值
7．已知直线 与圆 交于 两个不同点，则当弦 最短时，圆 与圆
的位置关系是（ ）
A．内切 B．相离 C．外切 D．相交
8．已知圆 ： ，点 是直线 上的动点，过 作圆的两条切线，切点分别为 ， ，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9．当圆 的圆心到直线 的距离最大时， （ ）
A． B． C． D．
【双基达标】
10．已知 为圆 上一动点，则点 到直线 的距离的最大值是（ ）
A． B． C． D．
11．设a，b为正数，若圆 关于直线 对称，则 的最小值为（ ）
A．9 B．8 C．6 D．10
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司12．以点 为圆心，且与直线 相切的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
13．从直线 上的动点 作圆 的两条切线，切点分别为 、 ，则 最大时，四边形
（ 为坐标原点）面积是（ ）
A． B． C． D．
14．直线 与圆 的位置关系是（ ）
A．相切 B．相离 C．相交 D．不确定
15．阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前 年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，他
证明过这样一个命题：平面内与两个定点距离的比为常数 的点的轨还是圆，后人把这个国称为阿波
罗尼斯圆，已知定点 、 ，动点 满足 ，则动点 的轨迹为一个阿波罗尼斯圆，记此圆
为圆 ，已知点 在圆 上（点 在第一象限）， 交圆 于点 ，连接 并延长交圆 于点 ，连接 ，
当 时，直线 的斜率为（ ）
A． B． C． D．
16．若圆x2+y2-2x+4y+m=0截直线 所得弦长为6，则实数m的值为（ ）
A．-1 B．-2 C．-4 D．-31
17．已知直线 ，若圆 上存在两点 ， 关于直线 对称，则 的值为
（ ）
A． B．
C． D．
18．已知⊙M： ，直线 ： ， 为 上的动点，过点 作⊙M的切线 ，切
点为 ，当 最小时，直线 的方程为（ ）
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
19．已知圆 与直线 至少有一个公共点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
20．与直线 相切于点 且半径为1的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D． 或
21．已知曲线 与曲线 恰有三个不同的公共点，则实数 的取
值范围为（ ）
A． B． C． D．
22．过圆 内的点 作一条直线l，使它被该圆截得的线段最短，则直线l的方程是
（ ）
A． B． C． D．
23．若直线 ： 被圆 所截得的弦长为2，则点 与直线 上任意一点 的距离的
最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
24．若直线 被圆 截得的弦长为4，则 的最小值是（ ）
A．9 B．4 C． D．
25．已知直线 与圆 相交于A，B两点，P为圆C上的动点，则 面积的
最大值为（ ）
A． B． C． D．
26．与圆 相切，且在x、y轴上截距相等的直线共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司27．已知圆C：x2+（y﹣2）2＝r2与直线x﹣y＝0交于A，B两点，若以弦AB为直径的圆刚好经过已知圆的圆心
C，则圆C的半径r的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．4
28．直线 与圆 的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定
29．经过点 的圆 的切线方程是（ ）
A． B．
C． D．
30．已知直线 与曲线 有两个公共点，则实数b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【高分突破】
一、单选题
31．设 为实数，若直线 与圆 相交于M，N两点，且 ，则 （ ）
A．3 B．-1 C．3或-1 D．-3或1
32．直线 与圆 的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．与 的值有关
33．若圆 上总存在两点关于直线 对称，则过圆 外一点 向圆 所作
的切线长的最小值是（ ）
A． B．2 C．3 D．4
34．若圆 与直线 始终有交点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
35．已知圆 ， 为圆心）直线 ，点 在直线 上运动，直线PA，PB分别于圆
切于点 ， ．则下列说法正确的是（ ）
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．四边形 的面积最小值为
B． 最短时，弦 长为
C． 最短时，弦 直线方程为
D．直线 过定点为 ，
36．已知点 ，直线 ： ，圆 ： ，过点 分别作圆 的两条切线
， （ ， 为切点）， 在 的外接圆上．则（ ）
A．直线 的方程是 B． 被圆 截得的最短弦的长为
C．四边形 的面积为 D． 的取值范围为
37．关于下列命题，正确的是（ ）
A．若点 在圆 外，则 或
B．已知圆 ： 与直线 ，对于任意的 ，总存在 使直线与圆恒相切
C．已知圆 ： 与直线 ，对于任意的 ，总存在 使直线与圆恒相切
D．已知点 是直线 上一动点， ､ 是圆 ： 的两条切线， ､ 是切点，则
四边形 的面积的最小值为
38．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点 ， 的距离之比为定值 （ ）的点的轨迹是圆，
此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系 中，已知 ， ，点 满足 ，设点 的轨
迹为圆 ，下列结论正确的是（ ）
A．圆 的方程是
B．过点 向圆 引切线，两条切线的夹角为
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司C．过点 作直线 ，若圆 上恰有三个点到直线 距离为2，该直线斜率为
D．在直线 上存在异于 ， 的两点 ， ，使得
三、填空题
39．已知圆 ，点 ，从坐标原点 向圆 作两条切线 ， ，切点分别为 ，
，若切线 ， 的斜率分别为 ， ， ，则 的取值范围为________．
40．直线 与圆 的位置关系是___________.（选填“相交”、“相切”、“相离”）
41．已知函数 有两个不同的零点，则常数 的取值范围是___________.
42．已知直线 与圆 ： 相交于 ， 两点，则 面积为___________.
43．若M，N分别为圆C ： ，与圆C ： 上的动点，P为直线 上的
1 2
动点，则 的最小值为_________．
44．已知圆的方程为 ，则过圆上一点 的切线方程为___________.
四、解答题
45．已知直线 与圆 交于 两点．
（1）求出直线 恒过定点的坐标
（2）求直线 的斜率的取值范围
（3）若 为坐标原点，直线 的斜率分别为 ，试问 是否为定值？若是，求出该定值：若不是，
请说明理由．
46．已知圆 的圆心在直线 上，且与 轴相切于点 .
（Ⅰ）求圆 的方程；
（Ⅱ）若圆 与直线 ： 交于 ， 两点，_____________，求 的值.从下列两个条件中任选一个补充
在上面问题中并作答：条件①： ；条件②： .注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司答计分.
47．已知圆C经过坐标原点O，圆心在x轴正半轴上，且与直线 相切．
（1）求圆C的标准方程；
（2）直线 与圆C交于A，B两点．
①求k的取值范围；
②证明：直线OA与直线OB的斜率之和为定值．
48．已知圆心 在第一象限，半径为 的圆与 轴相切，且与 轴正半轴交于 ， 两点（ 在 左侧），
（ 为坐标原点）．
（1）求圆 的标准方程；
（2）过点 任作一条直线与圆 相交于 ， 两点．
①证明： 为定值；②求 的最小值．
49．已知圆 ．求满足下列条件的切线方程．
(1)过点 ；
(2)过点 ．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．B
【解析】
【分析】
判断所给的圆是否与直线 始终相交的依据是
直线 所过的定点（-4，1）是否在该圆内或圆上.
【详解】
， ，∴直线恒过点P（—4，1） ，
对于A，圆心为（2，-1），半径为5，P到圆心的距离为： ，
即P点不在该圆内；
对于B，圆心为（-1，-2），半径为5，P到圆心的距离为 ，
故点P在该圆内；
对于C，圆心为（3，-4），半径为5，P点到圆心的距离为 ，
故点P不在该圆内；
对于D，圆心为（-1，-3），半径为5，点P到圆心的距离为 ，
点P该在圆上，可能相切也可能相交；
故选：B.
2．B
【解析】
【分析】
由圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系可得.
【详解】
将圆的方程化为标准方程： ，
得圆心坐标为 ，半径
则圆心到直线的距离
因为 ，所以圆与直线相离.
故选：B
3．A
【解析】
【分析】
利用圆心到直线的距离 与半径的大小关系进行判断.
【详解】
因为圆心 到直线的距离 ，即为圆的半径，所以可知直线与圆相切.
第 9 页故选：A．
4．B
【解析】
【分析】
利用点到直线的距离小于半径可得 的范围，再根据充分不必要条件定义判断可得答案.
【详解】
直线 与圆 相交，可得 1，解得 ，
且 ，
∴“直线 与圆 相交”是“ ”的充分而不必要条件.
故选：B.
5．C
【解析】
【分析】
写出抛物线的准线方程，由圆的方程得圆心和半径，由已知得圆心到准线的距离为半径，从而求出 .
【详解】
因为 ，所以抛物线准线为
又 ，所以圆心坐标为 ，半径为2
由已知得：圆心到准线的距离为半径，则 ，所以
故选：C.
6．B
【解析】
【分析】
由题意可知直线过定点 ，且定点在圆C上或圆C内，即可求解
【详解】
由直线 可化为 ，则直线l过定点 ，
因为直线l： 与圆C： 有公共点，
所以定点 在圆C上或圆C内，可得 ，解得 ，
故选：B
7．D
【解析】
【分析】
由直线 过定点 且定点在圆 内，当弦 最短时直线 垂直 ，根据斜率乘积为 求出
，进而求出圆 的方程，再根据圆心距与两圆半径的关系确定答案.
【详解】
第 10 页易知直线 过定点 ，弦 最短时直线 垂直 ，
又 ，所以 ，解得 ，
此时圆 的方程是 .
两圆圆心之间的距离 ，
又 ，所以这两圆相交.
故选：D.
8．B
【解析】
【分析】
利用面积相等求出 .设 ，得到 .利用几何法分析出 ，即可求出 的
最小值.
【详解】
圆 ： 化为标准方程： ，其圆心 ,半径 .
过点P引圆C的两条切线,切点分别为点A、B,如图：
在△PAC中,有 ，即 ，变形可得： .
设 ，则 .
所以当 的值即x最小时， 的值最大，此时 最小.
而 的最小值为点C到直线 的距离，即 ，
所以 .
故选：B
9．C
【解析】
【分析】
求出圆心坐标和直线过定点，当圆心和定点的连线与直线 垂直时满足题意，再利用两直线垂直，斜率乘积为-1求
解即可.
第 11 页【详解】
解：因为圆 的圆心为 ,半径 ，
又因为直线 过定点A(-1,1),
故当 与直线 垂直时，圆心到直线的距离最大，
此时有 ，即 ，解得 .
故选：C.
10．C
【解析】
【分析】
求出圆心与半径，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离 ，由 即可求解.
【详解】
∵圆 ，∴圆心 ，半径 ，
∴圆心到直线的距离 ，
∴圆 上的点到直线 的距离最大值为 ，
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：本题考查圆上的点到直线距离的最值问题，利用圆的几何性质是解题的关键.
11．A
【解析】
【分析】
求出圆的圆心坐标，得到 的关系，然后利用基本不等式求解不等式的最值即可．
【详解】
解：圆 ，即 ，所以圆心为 ，
所以 ，即 ，因为 、 ，
则 ，
当且仅当 时，取等号．
故选： ．
12．D
【解析】
【分析】
由圆心到切线距离等于半径求得圆半径后可得圆方程．
【详解】
因直线与圆相切，所以圆的半径等于点 到直线 的距离，
第 12 页即 ，则所求圆的方程为 .
故选：D．
13．B
【解析】
【分析】
分析可知当 时， 最大，计算出 、 ，进而可计算得出四边形 （ 为坐标原点）面积.
【详解】
圆 的圆心为坐标原点 ，连接 、 、 ，则 ，
设 ，则 ， ，则 ，
当 取最小值时， ，此时 ，
， ， ，故 ，
此时， .
故选：B.
14．B
【解析】
【分析】
根据圆心到直线距离与圆半径之间的关系进行判定.
【详解】
因为 ，所以圆心到直线的距离 ，所以直线与圆相离.
故选：B.
15．A
【解析】
第 13 页【分析】
设点 ，根据 求出点 的轨迹方程，过圆心 作 于点 ，求出 、 ，可求出
的值，利用同角三角函数的基本关系可求得直线 的斜率.
【详解】
如图所示，设动点 ，则 ，
化简可得 ，化为标准方程可得圆 ．
因为 ， ，则 为等边三角形，
过圆心 作 于点 ，则 ， ，
所以 ，所以 ，
故选：A．
16．C
【解析】
【分析】
求得圆心坐标，判断圆心在直线 上，从而根据弦长求得 的值.
【详解】
圆的方程可化为 ，
所以圆心 ，圆心在直线 上，
所以 .
第 14 页故选：C
17．D
【解析】
【分析】
根据圆 上存在两点 ， 关于直线 对称，可得直线 过圆心，将圆心坐标代入直线方程
即可得出答案.
【详解】
解：因为圆 ，
所以圆C的圆心坐标为 ，
又因为圆 上存在两点 ， 关于直线 对称，
所以直线 过圆心，
则 ，解得 .
故选：D.
18．D
【解析】
【分析】
由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点 共圆，且 ，根据
可知，当直线 时， 最小，求出以 为直径的圆的方程，根据圆系的
知识即可求出直线 的方程．
【详解】
圆的方程可化为 ，点 到直线 的距离为 ，所以直线 与圆相离．
依圆的知识可知，四点 四点共圆，且 ，所以 ，而
，
当直线 时， ， ，此时 最小．
∴ 即 ，由 解得， ．
所以以 为直径的圆的方程为 ，即 ，
两圆的方程相减可得： ，即为直线 的方程．
故选：D.
【点睛】
本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学
运算能力，属于中档题．
19．C
【解析】
第 15 页【分析】
利用点到直线距离公式求出圆心到直线 的距离范围，从而求出 的取值范围.
【详解】
圆心 到直线 的距离 ，当且仅当 时等号成立，故只需 即可.
故选：C
20．D
【解析】
【分析】
根据题意画出图形，结合图形求出圆的圆心，即可写出圆的方程．
【详解】
如图所示，
由图形知，与直线 相切于点 且半径为1的圆的圆心为 或 ，
所以圆的方程为 或 ．
故选： ．
21．D
【解析】
【分析】
将圆的一般方程转化为标准方程，求得圆的圆心坐标及半径，将有三个公共点转化为两条直线与圆的交点问题，
即可求出结果.
【详解】
，
， 或 ，
圆心（2,3）到 的距离 ，所以 与 相切于点（2,4），
与 交于不同的三点，即要求 与 有2个交点，且不交于（2,4），
记 为圆心（2,3）到 的距离
第 16 页又因为不经过（2,4）
故选：D
【点睛】
关键点点睛：解答本题的关键是转化，将其转化为直线与圆的位置关系，即可得到结果，需要注意特殊点的考虑.
22．A
【解析】
【分析】
当圆心与 的连线垂直于 时， 被圆截得的线段长最短，从而可求直线的方程.
【详解】
圆 的圆心坐标为 ，
当 时，l被圆截得的线段最短， ，∴ ，
故所求直线l的方程为 ，即 .
故选：A.
23．B
【解析】
【分析】
设圆心到直线 的距离为 ，进而根据弦长得与 关系解得 ，进而将问题转化为 与直线
的距离问题求解即可.
【详解】
根据题意，圆 的圆心为 ，半径为2，
设圆心到直线 的距离为 ，则 ，
若直线 被圆 所截得的弦长为2，则 ，
所以 ，又 ，解得 ，
所以 ，解得 ，
点 与直线 上任意一点 的最小值为点到直线的距离 ，
故选:B．
24．A
【解析】
【分析】
根据题意，结合直线被圆所截的弦长，求出 和 的关系，再根据均值不等式，即可求解.
【详解】
第 17 页由题意得圆的标准方程为 ，且圆心为 ，半径为 .
∵直线被圆截得的弦长为4，∴圆心在直线上，∴ ，即 .
又 ， ，∴ ，
当且仅当 ，即 ， 时等号成立，∴ 的最小值是9.
故选：A.
25．C
【解析】
【分析】
根据圆的弦长公式，结合点到直线距离公式、圆的几何性质进行求解即可.
【详解】
由 可知：圆心 ，半径为 ，
圆心C到直线 距离 ，
∴ ，
∴ .
故选：C
26．D
【解析】
【分析】
分别设出过原点与不过原点的直线方程，再由点到直线的距离公式求解得答案．
【详解】
解：圆 的标准方程为 ，则圆心为 ，半径为 ，
当直线经过原点时，设直线方程为 ，
由直线与圆相切得到圆心到直线的距离等于半径，即 ，解得 ，
则直线方程为 ；
当直线不经过原点时，设直线方程为 ，
由 ，解得 或 ，
则直线方程为 或 ．
与圆 相切，且在 ， 轴上的截距相等的直线共有4条．
故选：D．
27．C
【解析】
第 18 页【分析】
转化以弦AB为直径的圆刚好经过已知圆的圆心C为AC⊥BC，可得弦心距 ，再用圆心到直线距离表示 ，
即得解
【详解】
由题意，AC⊥BC，则C（0，2）到直线x﹣y＝0的距离 ，
则 ，即r＝2．
故选：C
28．B
【解析】
【分析】
求出直线恒过的定点，判断定点与圆的位置关系即可求解.
【详解】
解：直线 ，即 ，
由 得 ，所以直线恒过定点 ，
因为 ，所以定点 在圆内，所以直线与圆相交，
故选：B.
29．D
【解析】
【分析】
判断点在圆上，再由切线的几何性质求斜率，进而求切线方程.
【详解】
，
在圆上，且 ，
过 的切线斜率为 .
过 的切线方程为： ，即 .
故选:D.
30．D
【解析】
【分析】
曲线 表示一个半圆，由题意画出图形，利用数形结合法即可求解．
【详解】
第 19 页解：曲线 可化为 ， ，表示以 为圆心，半径为2的圆的下半圆，作出
直线 与该半圆的图形如下：
由图可知直线 从点 处与圆相切时运动到过 处时，直线与圆有两个公共点，
将 代入 得： ；
由直线 与圆相切，得 ，解得 （舍 或 ，
所以， 的范围是 ．
故选：D．
【点睛】
关键点点睛：本题的解题关键是曲线将 可化为 ， ，表示以 为圆心，
半径为2的圆的下半圆，然后数形结合求解.
31．C
【解析】
【分析】
化出圆的标准方程，求出圆心和半径，利用垂径定理列方程求解即可.
【详解】
圆 的标准方程为 ，圆心为 ，半径为 ，
直线 的一般方程为
则由已知得 ，
解得 或
故选：C.
32．A
【解析】
【分析】
确定直线过定点 ，点在圆内，得到答案.
【详解】
过定点 ，且 ，
第 20 页故 在圆内，
故直线和圆相交.
故选：A
33．D
【解析】
【分析】
依题意可知动点 在直线 ： 上移动，当 与直线 垂直时， 最小，从而切线长最小. 由点到
直线距离公式求得 的最小值，进而可得结果.
【详解】
圆 ： ，圆心为 ，半径 .
依题意知，直线 过圆心 ，所以 ，即动点 在直线 ： 上移动.
所以，当 与直线 垂直时， 最小，从而切线长最小， .
此时，切线长的最小值为 .
故选：D.
34．B
【解析】
【分析】
先求出直线过定点P（-3，6），再由P（-3，6）落在圆内或圆上，列不等式求出a的范围.
【详解】
方程 表示圆，需 ，解得：
直线 可化为 ，所以过定点P（-3，6）.
要使圆 与直线 始终有交点，
只需P（-3，6）落在圆内或圆上，需满足 ，解得： .
综上所述： .
第 21 页故选：B
35．ABD
【解析】
【分析】
A选项，四边形的面积可以看成两个直角三角形的面积之和，又因切线长定理可知，当 最短时，面积最小 ；
B选项， 等面积法，即由 A 选项的四边形面积求弦长；
C选项，两垂直直线的斜率相乘等于 ，两平行直线斜率相等；
D选项，由向量积公式求定点坐标.
【详解】
选项，四边形的面积可以看成两个直角三角形的面积之和，
即 ，
又因切线长定理可知，即 ，
当 最短时，四边形面积最小．
又 与 及半径 构成直角三角形，
最短时， 最短，
即 ，
，
，
故 正确．
由上述可知， 时， 最短，
由等面积法可知， ．
得 ，
故 正确．
， ， ，
，
可设 的直线方程为 ，
由半弦长、半径、弦心距构成直角三角形可知，弦心距 ，
圆心 到直线 的距离 ，
解得 ，
即直线 的方程为 ．
故 错误．
设圆上一点 为 ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ，
第 22 页易知 ，
同理 ，
．
，
原式 ，
将 ， 代入得 等号成立，
故直线 过定点为 ， ， 正确．
故选:ABD．
36．BD
【解析】
【分析】
求出以 为直径的圆的方程，与圆 的方程联立可得直线 的方程判断A；求出直线 所过定点，得到圆心到
直线 的最小距离，再由垂径定理求 被圆 截得的最短弦的长判断B；直接求出四边形 的面积判断C；求解
，再分别减去 的外接圆半径与加上 的外接圆半径求得 的取值范围判断D．
【详解】
对于A，圆 的圆心坐标为 ， ，则 的中点为 ，
，则以 为直径的圆的方程为 ，
又圆 ： ，
两式作差可得直线 的方程是 ，故A错误；
对于B，直线 ： 可化为 ，
联立 ，解得直线 过定点 ，
且定点 在圆内，当且仅当 时，弦长 最短，又 ，
所以 的最小值为 ，故B正确；
对于C，四边形 的对角线 、 互相垂直，
则四边形 的面积 ，
因为 ， ，
所以 ，故C错误；
第 23 页对于D，由题意知， 的外接圆恰好是经过 、 、 、 四点的圆，
因为 的中点 为外接圆的圆心，
所以圆上的点 到点 距离最小值是 ，
最大值是 ，
所以 的取值范围为 ，故D正确．
故选：BD．
37．CD
【解析】
【分析】
对于A，由圆的一般方程可判断；求出 到直线 的距离，可判断B与C；求出圆心C到直线 的
距离，即可求出 ，从而四边形 的面积的最小值可求.
【详解】
解：当 时，方程 为 ，
不表示圆，故A错误；
已知圆 ： 的圆心 ，半径 ，
圆心 到直线 的距离 ，
当 时 ，即此时不存在 使直线与圆相切，因此B错误；
对于任意的 ，令 ，则 ，即对于任意的 ，总存在 使直线与圆相切，
故C正确.
，半径 ，圆心 到直线 的距离 ，即 的最小值 ，由
，所以 ，
第 24 页四边形 的面积最小值 ，
故D正确.
故选：CD.
【点睛】
考查点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系的应用，难题.
38．ABD
【解析】
根据 ， ，点 满足 ，设点 ，求出其轨迹方程，然后再逐项运算验证.
【详解】
因为 ， ，点 满足 ，
设点 ，则 ，
化简得： ，即 ，故A正确；
因为 ，所以 ，则 ，解得 ，故B正确；
易知直线的斜率存在，设直线 ，因为圆 上恰有三个点到直线 距离为2，则圆心到直线的距离
为： ，解得 ，故C错误；
假设存在异于 ， 的两点 ， ，则 ，
化简得： ，因为点P的轨迹方程为： ，所以
解得 或 （舍去），故存在 ，故D正确；
故选：ABD
【点睛】
关键点点睛：本题关键是根据 求出点 的轨迹方程，进而再根据直线与圆的位置关系求解.
39．
【解析】
【分析】
先根据题意得到直线 ， 的方程，再根据直线与圆的位置关系得到 ，结合 ，即可求得圆心 的
第 25 页轨迹方程，最后数形结合可得 的取值范围．
【详解】
由题意可知，直线 ， ，
因为直线 ， 与圆 相切，
所以 ， ，
两边同时平方整理可得 ，
，
所以 ， 是方程 的两个不相等的实数根，
所以 ．又 ，
所以 ，即 ．又 ，
所以 ，
即 ．
故答案为：
【点睛】
本题主要考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，还考查了数形结合思想和运算求解能力，属于中档题.
40．相交
【解析】
【分析】
由圆心到直线的距离与半径的关系判断即可.
【详解】
圆心 到直线 的距离为 ，则直线 与圆 的位置关系是相交.
故答案为：相交
41．
【解析】
【分析】
根据题意，函数 有两个不同的零点，等价于 与 的图象有两个不同
的交点，作出图象，数形结合即可求解.
【详解】
由函数 有两个不同的零点，
可知 与 的图象有两个不同的交点，
故作出如下图象，
第 26 页当 与 的图象相切时， ，即 ，
由图可知 ，故相切时 ，
因此结合图象可知，当 时， 与 的图象有两个不同的交点，
即当 时，函数 有两个不同的零点.
故答案为： .
42．
【解析】
【分析】
计算出 ，结合圆心到直线 的距离求得三角形 的面积.
【详解】
圆 的圆心为 ，半径 ，
圆心到直线 的距离为 ，
所以 ，
所以 .
故答案为：
43．9
【解析】
【分析】
连接 ，要求 的最小值，可以转化为求 点到两个圆心的距离再减去两个圆的半径的和的最小值，
从而可得答案．
【详解】
由题意点C (-6，5)半径为2，C (2，1)半径为1，
1 2
第 27 页设点C 关于直线 的对称点为C ( ， )，
1 3
如图：
则 ，解得 ，即C (-10，1)，连接C C ，
3 2 3
求 的最小值可以转化为P点到两个圆心的距离再减去两个圆的半径的和的最小值，
再由点C 、C 关于直线 的对称，
1 3
所以 ，
又 ，故答案为9．
44．
【解析】
【分析】
求出切线的斜率，利用点斜式可得出所求切线的方程.
【详解】
记点 ，圆 的圆心为与坐标原点 ， ，
所以，所求切线的斜率为 ，
故所求切线的方程为 ，即 .
故答案为： .
45．（1） ；（2） ；（3） 为定值 .
【解析】
【分析】
（1）将直线方程整理后可得方程组 ，解方程组可求得定点坐标；
（2）设直线 方程 ，利用圆心到直线距离小于半径可构造不等式求得结果；
第 28 页（3）可设直线 方程 ，与圆方程联立得到韦达定理的形式，由
整理可得定值.
【详解】
（1）将直线 方程整理为： ，
令 ，解得： ， 直线 恒过定点 ；
（2）设直线 斜率为 ，由（1）可知：直线 方程可设为： ，即 ；
圆 方程可整理为 ，则其圆心 ，半径 ，
直线 与圆 交于 两点， 圆心 到直线 距离 ，
即 ，解得： ，即直线 斜率的取值范围为 ；
（3）设 ，
当 时， 与圆 仅有一个交点，不合题意， ，
则直线 ， 可设直线 方程为 ，
由 得： ，由（2）知： ；
， ，
，
为定值 .
【点睛】
思路点睛：本题考查直线与圆中的定值问题的求解，解题关键是能够将所求量表示成韦达定理的形式，通过韦达
定理代入整理，消去变量即可得到定值.
46．（Ⅰ） ；（Ⅱ）答案见解析.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）设圆心 ，易知 ，由圆 与 轴相切于点 ，可求 以及 ，写出圆 的方程即可.
（Ⅱ）所给的两个条件，均可得 到直线 的距离 ，结合点线距离公式即可求 的值.
【详解】
（Ⅰ）设圆心坐标为 ，半径为 .
由圆 的圆心在直线 上，知： .
第 29 页又∵圆 与 轴相切于点 ，
∴ ， ，则 .
∴圆 的圆心坐标为 ，则圆 的方程为 .
（Ⅱ）如果选择条件①： ，而 ，
∴圆心 到直线 的距离 ，则 ，解得 或 .
如果选择条件②： ，而 ，
∴圆心 到直线 的距离 ，则 ，解得 或 .
47．（1） ；（2）（ⅰ） ；（ⅱ）具体见解析.
【解析】
【分析】
（1）设出圆心，进而根据题意得到半径，然后根据圆与直线相切求出圆心，最后得到答案；
（2）（ⅰ）联立直线方程和圆的方程并化简，根据判别式大于零即可得到答案；
（ⅱ）设出两点坐标，进而通过根与系数的关系与坐标公式进行化简，即可得到答案.
【详解】
（1）由题意，设圆心为 ，因为圆C过原点，所以半径r=a，
又圆C与直线 相切，所以圆心C到直线的距离 （负值舍去），所以圆 C的标
准方程为： .
（2）（ⅰ）将直线l代入圆的方程可得： ，因为有两个交点，
所以 ，即k的取值范围是 .
（ⅱ）设 ，由根与系数的关系： ，
所以 .
即直线OA,OB斜率之和为定值.
48．（1） ；（2）① ，证明见解析，②
【解析】
【分析】
第 30 页（1）首先 ，得到 ， ， ，再根据 即可得
到答案.
（2）①首先根据（1）得到 ， ，设 ，再分别计算 即可；②根据 得
到 ，即可得到答案.
【详解】
（1）设 ，由题知：
， ， ，
所以 ，
解得 ，所以圆 .
（2）由（1）知： ， ，
.所以 ， ，
设 ，
，
同理 ，所以 .
②因为 ，
所以 .
所以 的最小值为 .
49．(1)
(2) 或
【解析】
【分析】
（1）由题知点 在圆 ，且切线斜率存在，进而根据切线与直线 垂直求得切线斜率，最后根
据点斜式求解即可；
第 31 页（2）根据题意，分斜率不存在和存在两种情况讨论求解即可.
(1)
解：因为圆 的圆心为 ，半径为 ，点 在圆 上，
所以过点 的切线斜率存在，且其与直线 垂直，
因为 ，所以，所求切线的斜率为 ，
所以，所求切线方程为 ，即： .
(2)
解：因为圆 的圆心为 ，半径为 ，
所以，当过点 的切线斜率不存在时，其方程为 ，满足题意；
当切线斜率存在时，设斜率为 ，则其方程为 ，即 ，
所以，圆心 到切线的距离为 ，解得 ，
所以，切线方程为 ，即： .
综上，所求切线方程为 或
第 32 页第 33 页
