文档内容
微专题：象限角与终边相同的角
【考点梳理】
1. 任意角
(1)正角、负角、零角：我们规定，一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋
转形成的角叫做负角. 如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角. 任意角包括正角、负角和零角.
(2)角的相等：设角α由射线OA绕端点O旋转而成，角β由射线O′A′绕端点O′旋转而成. 如果它们的旋转方向
相同且旋转量相等，那么就称α＝β.
(3)象限角：我们通常在直角坐标系内讨论角. 为了方便，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴
重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角. 如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属
于任何一个象限(常称为轴线角).
(4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝ { β | β ＝ α ＋ k ·360° ， k ∈ Z } ，
即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.
【题型归纳】
题型一：终边相同的角
1．与 终边相同的角是（ ）
A． B． C． D．
2．把 表示成 ， 的形式，则 的值可以是（ ）
A． B． C． D．
3．下列与角 的终边一定相同的角是（ ）
A． B．
C． D．
题型二：确定已知角所在象限
4．若角 的终边在 轴的负半轴上，则角 的终边在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C． 轴的正半轴上 D． 轴的负半轴上
5．若 是第四象限角，则 是第（ ）象限角
A．一 B．二 C．三 D．四
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司6．已知角 ，则角 的终边落在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
题型三：确定n倍角所在象限
7．已知 ，且 是第二象限角，那么 的终边在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
8．已知 是锐角，那么 是（ ）．
A．第一象限角 B．第二象限角
C．小于180°的正角 D．第一或第二象限角
9． 的终边在第三象限，则 的终边可能在（ ）
A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第一、二象限或 轴非负半轴 D．第三、四象限或 轴非正半轴
题型四：确定n分角所在象限
10．已知角θ在第二象限，且 ，则角 在（ ）
A．第一象限或第三象限
B．第二象限或第四象限
C．第三象限
D．第四象限
11．已知 是第二象限角，则（ ）
A． 是第一象限角 B．
C． D． 是第三或第四象限角
12．若角 是第一象限角，则 是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角
【双基达标】
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司13．已知 ，下列各组角中，终边相同的是（ ）
A． 与 B． 与
C． 与 D． 与
14．终边与直线 重合的角可表示为（ ）
A． B．
C． D．
15．若α是第一象限的角，则 是（ ）
A．第一象限角 B．第四象限角
C．第二或第三象限角 D．第二或第四象限角
16．与1°角终边相同的角的集合是（ ）
A． B．
C． D．
17．下列各角中，与2019°终边相同的角为（ ）
A．41° B．129° C．219° D．﹣231°
18．已知角 的终边上一点P的坐标为 ，则角 的最小正值为（ ）
A． B． C． D．
19．若角 与角 的终边关于y轴对称，则必有（ ）
A． B．
C． D．
20． 角的终边落在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
21．下列与 的终边相同的角的集合中正确的是（ ）
A． B．
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司C． D．
22．下列说法：①终边相同的角必相等；②锐角必是第一象限角；③小于 的角是锐角；④第二象限的角必大于
第一象限的角；⑤若角 的终边经过点 ，则角 是第三或第四象限角，其中错误的是（ ）
A．③④⑤ B．①③④ C．①③④⑤ D．②③④⑤
23．在平面直角坐标系 中，角 和角 的顶点均与原点O重合，始边均与x轴的非负半轴重合，它们的终边
关于直线 对称，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
24． 是以下哪个象限的角（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
25．若 ，则 的终边在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第一象限或第二象限 D．以上答案都不正确
26．“角 小于 ”是“角 是第一象限角”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
27．已知角 的终边与300°角的终边重合，则 的终边不可能在（ ）．
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
28．若α＝－2，则α的终边在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
29．若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
30．所有与角 的终边相同的角可以表示为 ，其中角 （ ）
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．一定是小于90°的角 B．一定是第一象限的角
C．一定是正角 D．可以是任意角
【高分突破】
一、单选题
31．θ是第二象限角，则下列选项中一定为负值的是（ ）
A．sin B．cos C．sin 2θ D．cos 2θ
32．与800°角终边相同的角可以表示为（ ）， ．
A． B．
C． D．
33．角 和 满足关系： ，则角 与 的终边（ ）
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．以上答案都不对
34．3弧度的角终边在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
35．设 是第一象限角，且 ，则 是第（ ）象限角
A．一 B．二 C．三 D．四
36．设 是第三象限角，且 ，则 是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
37．若角 与角 的终边关于 轴对称，则（ ）.
A． ( ) B． ( )
C． ( ) D． ( )
二、多选题
38．下列说法正确的有（ ）
A．若 ，则 为第二象限角
B．经过60分钟，钟表的分针转过 弧度
C．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司D．终边在 轴上的角 的集合是
39．(多选)下列与 的终边相同的角的表达式中，正确的是（ ）
A． ) B． ( )
C． ( ) D． ( )
40．若 且 与 角的终边垂直，则 是（ ）
A． B． C． D．
41．关于角度，下列说法正确的是（ ）
A．时钟经过两个小时，时针转过的角度是
B．钝角大于锐角
C．三角形的内角必是第一或第二象限角
D．若 是第二象限角，则 是第一或第三象限角
三、填空题
42．下列说法中正确的序号有________．
①－65°是第四象限角；②225°是第三象限角；
③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．
43．设 ，若 是与 终边相同的最小正角，则 _______．
44．若角 与 的终边关于 轴对称，则角 的集合是______．
45．用弧度制表示所有与 终边相同的角的集合是______________.
46．若 是第四象限，则 是第__．
47．已知锐角 的终边与角 的终边关于 轴对称，且 ，则 _______．
四、解答题
48．写出与 终边相同的角 的集合，并求出该集合中适合不等式 的角．
49．在与角 终边相同的角中，求满足下列条件的角.
（1）最大的负角；
（2）最小的正角；
（3） 的角.
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司50．已知 ，求 ，并指出 角终边的位置．
51．在与495°角终边相同的角中，用弧度制表示满足下列条件的角.
(1)最大的负角；
(2)最小的正角；
(3)在区间 内的角.
52．写出在 到 之间与 的角终边相同的角.
第 7 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．D
【解析】
【分析】
与 终边相同的角可表示为 .
【详解】
∵ ，
∴与 终边相同的角是 .
故选：D
2．B
【解析】
【分析】
由 结合弧度制求解即可.
【详解】
∵ ，∴
故选：B
3．C
【解析】
【分析】
根据 表示终边相同角，即可判断．
【详解】
对于选项C：与角 的终边相同的角为 ，C满足.
对于选项B ：当 时， 成立；
当 时， 不成立.
对于选项D： 不成立.
故选: C
4．A
【解析】
【分析】
由题意可得 ，继而表示出 ，即可判断角 的终边所在象限，可得答
案.
【详解】
由角 的终边在 轴的负半轴上可知， ,
第 8 页故 ，
而 在第一象限内，故角 的终边在第一象限，
故选：A
5．B
【解析】
【分析】
由题可得 ， ，即得答案.
【详解】
是第四象限角，则 ， ，
则 ， ，在第二象限.
故选：B.
6．C
【解析】
【分析】
利用象限角的定义判断可得出结论.
【详解】
因为 ，而 是第三象限角，故角 的终边落在第三象限.
故选：C.
7．C
【解析】
【分析】
根据象限角和任意角三角函数的概念，以及倍角公式，进行判断即可.
【详解】
由 是第二象限角，
所以 ，
所以 ，
由 ，所以 ，
所以 为第三象限角.
故选：C
8．C
【解析】
【分析】
第 9 页由题知 ，故 ，进而得答案.
【详解】
因为 是锐角,所以 ,所以 ,满足小于180°的正角.
其中D选项不包括 ，故错误.
故选：C
9．C
【解析】
根据题意得出 ，求出 的范围，据此可判断出角 的终边的位置.
【详解】
由于 的终边在第三象限，则 ，
所以， ，
因此， 的终边可能在第一、二象限或 轴非负半轴.
故选：C.
【点睛】
本题考查角的终边位置的判断，一般利用不等式来判断，考查推理能力，属于基础题.
10．C
【解析】
【分析】
由题可得角 在第一或第三象限，再结合三角函数值的符号即得.
【详解】
∵角θ是第二象限角，
∴θ∈ ，
∴ ， ，
∴角 在第一或第三象限，
∵ ，∴ ，
∴角 在第三象限.
故选：C.
11．C
【解析】
【分析】
第 10 页由已知可求 ， ， ， ，逐项分析即可得解．
【详解】
∵ 是第二象限角，
∴ ， ，即 ， ，
∴ 是第一象限或第三象限角，故A错误；
由 是第一象限或第三象限角， 或 ，故B错误；
∵ 是第二象限角，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ 是第三象限，第四象限角或终边在 轴非正半轴， ，故C正确，D错误.
故选：C．
12．C
【解析】
【分析】
根据题意得 ，分 为偶数和奇数求解即可.
【详解】
因为 是第三象限角，所以 ，
所以 ，
当 为偶数时， 是第一象限角，
当 为奇数时， 是第三象限角.
故选：C．
13．B
【解析】
【分析】
利用终边相同的角的概念，对选项进行分析即可解得.
【详解】
A不是终边相同的角， 终边在x轴的正半轴上， 终边在x轴轴上；
B是终边相同的角；
C不是终边相同的角 终边落在直线 上， 终边落在 两条射
线上；
第 11 页D不是终边相同的角， 终边落在坐标轴上， 终边落在y轴上.
故选：B
【点睛】
本题考查了终边相同的角的概念，属于简单题目，解题时可以应用排除法，对k取值进行比较验证.
14．A
【解析】
【分析】
根据终边相同的角的概念，简单计算即可.
【详解】
终边与直线 重合的角可表示为 ．
故选：A.
15．D
【解析】
【分析】
根据题意求出 的范围即可判断.
【详解】
由题意知， ， ，
则 ，所以 ， ．
当k为偶数时， 为第四象限角；当k为奇数时， 为第二象限角．
所以 是第二或第四象限角.
故选：D.
16．C
【解析】
【分析】
角的表示方法不一致，排除A， D；选项B表示错误；根据终边相同的角的公式得选C．
【详解】
解：角的表示方法要保持一致，排除A， D；
选项B表示错误；
而180°角与 角对应，于是1°角与 角对应，根据终边相同的角的公式得选C．
故选：C
17．C
【解析】
【分析】
根据 可得答案.
第 12 页【详解】
因为 ，
所以 与2019°终边相同.
故选：C.
【点睛】
本题考查了求终边相同的角，属于基础题.
18．D
【解析】
【分析】
先根据角 终边上点的坐标判断出角 的终边所在象限，然后根据三角函数的定义即可求出角 的最小正值．
【详解】
因为 ， ，
所以角 的终边在第四象限，
根据三角函数的定义，可知
，
故角 的最小正值为 ．
故选：D．
19．D
【解析】
根据角 与角 的终边关于y轴对称，有 ，即可得解.
【详解】
角 与角 的终边关于y轴对称，
所以 ，
，
即 ，
故选：D
【点睛】
此题考查根据两个角的终边的对称关系求解角的关系，关键在于准确将对称关系转化成代数关系求解.
20．D
【解析】
【分析】
根据周期性知 与 终边相同，即知终边所在的象限.
【详解】
由 ，即 与 终边相同，
∴ 在第四象限.
第 13 页故选：D
21．C
【解析】
【分析】
由任意角的定义判断
【详解】
，故与其终边相同的角的集合为 或
角度制和弧度制不能混用，只有C符合题意
故选：C
22．C
【解析】
【分析】
①取特殊角： 与 进行判断；
②根据锐角的范围直接判断；
③取负角进行否定；
④取特殊角进行否定；
⑤取特殊角进行否定．
【详解】
①终边相同的角必相等错误，如 与 终边相同，但不相等；
②锐角的范围为 ，必是第一象限角，正确；
③小于 的角是锐角错误，如负角；
④第二象限的角必大于第一象限的角错误，如 是第二象限角， 是第一象限角；
⑤若角 的终边经过点 ，则角 是终边在 轴负半轴上的角，故⑤错误．
其中错误的是①③④⑤．
故选C．
【点睛】
（1）要证明一个命题为真命题，需要严格的证明；要判断一个命题为假命题，举一个反例就可以了.
（2）角的概念的辨析题中，通常可以取特殊角来否定结论.
23．C
【解析】
【分析】
由角的终边得出两角的关系，然后由诱导公式求值．
【详解】
角 和角 的终边关于直线 对称，则 ， ．
．
故选：C．
第 14 页24．D
【解析】
首先写出终边相同的角的集合，再判断
【详解】
， 角的终边在第四象限，所以 角的终边也是第四象限.
故选：D
25．D
【解析】
【分析】
由已知判断 的终边所在的位置即可.
【详解】
由 ，分类讨论如下：
当 时， 的终边在第一象限；
当 时， 的终边在y轴上；
当 时， 的终边在第二象限；
故选：D
26．D
【解析】
【分析】
利用特殊值法结合充分、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】
若角 小于 ，取 ，此时，角 不是第一象限角，
即“角 小于 ” “角 是第一象限角”；
若角 是第一象限角，取 ，此时， ，
即“角 小于 ” “角 是第一象限角”.
因此，“角 小于 ”是“角 是第一象限角”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
27．A
【解析】
【分析】
先求得 的表达式，进而可得 的表达式，对k赋值，分析即可得答案
【详解】
因为角 的终边与300°角的终边重合，
第 15 页所以 ，所以 ，
令 ， ，终边位于第二象限；
令 ， ，终边位于第三象限，
令 ， ，终边位于第四象限，
令 ， ，终边位于第二象限
所以 的终边不可能在第一象限，
故选：A
28．C
【解析】
【分析】
根据角的弧度制与角度制之间的转化关系可得选项.
【详解】
因为1 rad≈57.30°，所以－2 rad≈－114.60°，故α的终边在第三象限．
故选：C.
29．A
【解析】
【分析】
确定出 的范围，从而可求得答案
【详解】
因为 ，
所以 为第一象限的角，
所以 ，
故选：A
30．D
【解析】
【分析】
由终边相同的角的表示的结论的适用范围可得正确选项.
【详解】
因为结论与角 的终边相同的角可以表示为 适用于任意角，所以D正确，
故选：D.
31．C
【解析】
第 16 页表示出第二象限角的范围，求出 和 所在象限，确定函数值的符号．
【详解】
因为θ是第二象限角，
所以 ，
则 ，
所以2θ为第三或第四象限角或终边在 轴负半轴上，，所以sin 2θ<0.
而 ， 是第一象限或第三象限角，正弦余弦值不一定是负数．
故选：C．
32．C
【解析】
【分析】
根据终边相同的角的定义可求出.
【详解】
与800°角终边相同的角可以表示为 （ ），即 （ ）．
故选：C.
33．B
【解析】
【分析】
根据终边相同角的定义判断可得；
【详解】
解：因为角 和 满足关系： ，
因为 与 的终边关于 轴对称，
而 与 的终边相同，
所以角 与 的终边关于y轴对称
故选：B
34．B
【解析】
可得 ，即可得出.
【详解】
因为 ，所以3弧度的角终边在第二象限.
故选：B.
35．B
【解析】
计算得到 ， ，再根据 得到答案.
第 17 页【详解】
∵ 是第一象限角，∴ ， ，
∴ ， ，
∴ 为第一象限角或第二象限角或终边在 轴正半轴上的轴线角，
∵ ，∴ ，∴ 是第二象限角.
故选： .
【点睛】
本题考查了角度所在象限，意在考查学生的计算能力和转化能力.
36．B
【解析】
【分析】
求出 的终边所在的象限，由已知可得 ，即可得出结论.
【详解】
因为 ，
所以， ，
若 为奇数，可设 ，则 ，
此时 为第四象限角；
若 为偶数，可设 ，则 ，
此时 为第二象限角.
因为 ，则 ，故 为第二象限角.
故选：B.
37．B
【解析】
【分析】
根据任意角的定义，结合终边相同角的书写，即可容易求得结果.
【详解】
∵ 是与 关于 轴对称的一个角，∴ 与 的终边相同，
即 ，
∴ ， .
故选：B.
【点睛】
第 18 页本题考查终边相同角的集合，属简单题.
38．ABD
【解析】
【分析】
根据三角函数的定义可判断A的正误，根据角的概念可判断BD的正误，根据两角和的正弦可判断C的正误.
【详解】
因为 ，则 为第二象限角，故A正确.
经过60分钟，钟表的分针顺时针转一周，故对应的角为 弧度，故B正确.
，故C错误.
终边在 轴上的角 的集合是 ，故D正确.
故选：ABD.
39．CD
【解析】
根据角度制与弧度制不可混用，可判定AB错误，利用终边相同角的关系可以判定CD正确.
【详解】
A，B中弧度与角度混用，不正确；
，所以 与 终边相同.
，所以 也与 终边相同，即与 终边相同.
故选： .
【点睛】
本题考查终边相同的角，难度较易，注意角度制与弧度制不可混用.
40．AD
【解析】
【分析】
首先求出与 角共终边的角 ，再根据已知条件即可求解.
【详解】
由题意，易知 ， ，
∵ 与 角的终边垂直，
∴ ，即 ， 或 ， ，
对于选项A： ， ，故A正确；
对于选项B： ，可知， ；
第 19 页，可知， ，故B错；
对于选项C： ，可知， ；
，可知， ，故C错；
对于选项D： ，可知， ，故D正确.
故选：AD.
41．BD
【解析】
【分析】
利用角的知识逐一判断即可.
【详解】
对于A，时钟经过两个小时，时针转过的角是 ，故错误；
对于B，钝角一定大于锐角，显然正确；
对于C，若三角形的内角为 ，是终边在 轴正半轴上的角，故错误；
对于D， 角 的终边在第二象限，
， ，
，
当 为偶数时， ， ，得 是第一象限角；
当 为奇数时， ， ，得 是第三象限角，故正确．
故选：BD
42．①②③④
【解析】
【分析】
根据象限角的表示，分别表示 形式，即可得到结论.
【详解】
由题意，① 是第四象限角，是正确的；② 是第三象限角，是正确的；
③ ，其中 是第二象限角，所以 为第二象限角是正确的；
④ ，其中 是第一象限角是正确的，
所以正确的序号为①②③④
【点睛】
本题主要考查了象限角的表示及判定，其中解答中熟记象限角的表示，合理判定是解答的关键，着重考查了推理
与运算能力，属于基础题.
43．5
第 20 页【解析】
【分析】
把 表示为 （其中 ）的形式，然后令 得 值．
【详解】
∵ ， 是与 终边相同的最小正角，
∴ ，解得 ．
故答案为：5．
【点睛】
本题考查终边相同的角，掌握终边相同角的表示方法是解题关键．
44．
【解析】
【分析】
先求出与 的终边关于 轴对称的角为 ，再求出终边相同的角的集合即可.
【详解】
与 的终边关于 轴对称的角为 ，
所以角 的集合是 ，
故答案为： .
45．
【解析】
根据角度和弧度关系，以及终边相同角的关系，即可求解.
【详解】
与 终边相同的角的集合是 。
故答案为：
【点睛】
本题考查角单位互化、终边相同角的集合表示，属于基础题.
46．三象限角
【解析】
【分析】
根据对称性可知 是第一象限角，然后再根据任意角的定义,即可得到 所在象限.
【详解】
因为是第四象限的角，所以 是第一象限角，
则由任意角的定义知， 是第三象限角．
第 21 页故答案为：三象限角．
47．
【解析】
【分析】
根据 ，利用切化弦，结合二倍角公式可求得 ，根据锐角 的终边与角 的终边关于 轴
对称，确定 终边在第二象限，由此求得答案.
【详解】
由 可得： ，
即 ，即 ，
整理得： ，
由于锐角 的终边与角 的终边关于 轴对称，故 终边在第二象限，且 ，
故 ，
故答案为：
48． ； ， ， ， ．
【解析】
【分析】
根据终边相同的角的公式写出角 的集合，然后根据 的范围对 进行取值，从而确定出满足不等式的角 .
【详解】
因为角 的终边与 的终边相同，所以角 的集合为 ；
又因为 ，所以 ，所以 可取 ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
所以满足不等式的 可取 ， ， ， ．
49．（1） ;（2） ;（3）
【解析】
【分析】
化简 得 ，再令 可得;
令 可得与角 终边相同的最小正角;
第 22 页令 得 ,取 可得.
【详解】
因为 ，
所有与 终边相同的角可表示为：
则 ，则
则 ，则
令 得 ，
从而 ，代入得 .
【点睛】
本题考查终边相同的角.
所有与角 终边相同的角，连同角 在内，可构成一个集合：
或
50． ，终边在第一、三象限
【解析】
【分析】
直接运算求得 ，分k是奇数和偶数讨论终边位置.
【详解】
∵ ，∴ ，
当k是偶数时，角的终边在第一象限，当k是奇数时，角的终边在第三象限,
∴ 角终边在一、三象限.
51．(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）与495°角终边相同的角为 ，由 且 ，求出 ，即可得解；
（2）由 且 ，求出 ，即可得解；
（3）由 且 ，求出 ，即可得解.
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∵ ，∴与495°角终边相同的角为 ， .
由 且 ，可得 ，故所求的最大负角为 ；
(2)
由 且 ，可得 ，故所求的最小正角为 ；
(3)
由 且 ，可得 ，故所求的角为 .
52． ，
【解析】
【分析】
写出与 角终边相同的角，取 ，2求解．
【详解】
与 角终边相同的角可表示为 ， ．
当 ，2时， ， ，这两个角都是符合条件的角．
故答案为： ， ．
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