文档内容
专题 03 菱形的性质和判定（四大类型）
【题型1菱形的概念和性质】
【题型2菱形的面积】
【题型3 菱形的判定】
【题型4 菱形的性质与判定综合】
【题型1菱形的概念和性质】
1．（2023春•光泽县期中）菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．对角相等 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
【答案】D
【解答】解：∵菱形具有的性质有：四边相等，两组对边平行且相等，两组对角分别相
等，对角线互相平分，对角线互相垂直；
平行四边形的性质有：两组对边分别平行且相等，两组对角分别相等，对角线互相平分，
∴菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是四边相等，对角线互相垂直，
故选：D．
2．（2023春•中阳县月考）如图，BD为菱形ABCD的对角线，已知∠A＝50°，则∠BDC
的度数为（ ）
A．130° B．50° C．55° D．65°
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠A＝∠C＝50°，BC＝CD，
∴∠BDC＝∠CBD＝65°，故选：D．
3．（2023春•涵江区期中）如图所示的是菱形网格窗的一部分（网格窗中每个菱形边长相
同），若两个固定点间的距离AB＝BC＝24cm，∠1＝60°，则每个小菱形的边长为（
）
A．12cm B．24cm C．16cm D．20cm
【答案】B
【解答】解：如图：
∵四边形ADHE和四边形BEIF是全等的菱形，
∴AD＝AE＝BE，
又∵∠1＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE＝BE＝AB＝24cm，
故选：B．
4．（2023 春•抚顺期中）如图，菱形 ABCD 的一边中点 M 到对角线交点 O 的距离为
10cm，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．40cm B．60cm C．80cm D．100cm
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝CD＝BC，BO＝DO，
又∵点M是AB的中点，
∴AD＝2OM＝20cm，
∴菱形ABCD的周长＝4×20＝80（cm），
故选：C．
5．（2023•郸城县模拟）如图，在菱形ABCD中，E，F分别为AB，AC的中点，若菱形
ABCD的周长为16，则EF的长度为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝CB＝CD，
∵菱形ABCD的周长为16，
∴AB＝AD＝CB＝CD＝4BC＝16，
∴BC＝4，
∵E，F分别为AB，AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF＝ BC＝ ×4＝2，
故选：B．
6．（2023春•丰南区期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形 OACB的顶点C的坐标是
（6，0），点A的纵坐标是1，则点B的坐标是（ ）
A．（3，1） B．（3，﹣1） C．（1，﹣3） D．（1，3）
【答案】B
【解答】解：∵菱形OACB的顶点C的坐标是（6，0），
∴点A，点B的横坐标为3，∵点A的纵坐标是1，
∴点B的纵坐标为﹣1，
∴点B（3，﹣1），
故选：B．
7．（2023春•濮阳期末）如图，四边形ABCD为菱形，已知A（0，4），B（﹣3，0）．
则点C的坐标是（ ）
A．（﹣3，﹣4） B．（﹣2，﹣4） C．（﹣3，﹣5） D．（﹣4，﹣5）
【答案】C
【解答】解：∵A（0，4），B（﹣3，0）．
∴OA＝4，OB＝3，
∴AB＝ ，
∵四边形ABCD为菱形，
∴BC＝AB＝5，BC∥AD，
∵C点在第三象限，
∴C（﹣3，﹣5）．
故选：C．
8．（2023春•江油市期末）如图，四边形ABCD是菱形，∠ACD＝30°，BD＝8，则CD＝
（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴∠BCA＝∠ACD，DC＝BC，
∴∠BCD＝2∠ACD＝2×30°＝60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴CD＝BD＝8．
故选：D．
9．（2023春•应城市期中）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分
别是AB，BC边上的中点，连接EF，若EF＝ ，BD＝4，则菱形ABCD的周长为（
）
A． B． C．4 D．28
【答案】A
【解答】解：∵点E，F分别是AB，BC边上的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴AC＝2EF＝2 ，
∵四边形ABCD是菱形，BD＝4，
∴AB＝BC＝CD＝AD，OA＝ AC＝ ，OB＝ BD＝2，AC⊥BD，
∴∠AOB＝90°，
∴AB＝ ＝ ＝ ，
∴菱形ABCD的周长＝4AB＝4 ，
故选：A．
10．（2023春•南召县期末）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，则以AC为一边
的正方形ACEF的周长为（ ）A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC，
∵∠B＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AC＝AB＝2，
∴以AC为一边的正方形ACEF的周长为：4AB＝4×2＝8．
故选：B．
【题型2菱形的面积】
11．（2023 春•漳州期末）如图，菱形 ABCD 中，AC＝8，BD＝6，则菱形的面积为
（ ）
A．48 B．40 C．24 D．20
【答案】C
【解答】解：菱形的面积为6×8÷2＝24，
故选：C．
12．（2023春•樊城区期末）如图，菱形 ABCD面积为24，对角线AC＝8，DE⊥AB于点
E，则DE＝（ ）A．3 B．4 C． D．
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8，
∴OA＝OC＝ AC＝4，OB＝OD＝ BD，AC⊥BD，
∴S菱形ABCD ＝ AC•BD＝ ×8•BD＝24，
∴BD＝6，
∴OB＝3，
∴AB＝ ＝ ＝5，
又∵S菱形ABCD ＝AB•DE＝24，
∴5DE＝24，
解得：DE＝ ，
故选：D．
13．（2023春•陕西期末）如图，菱形 ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作
DH⊥AB于点H．连接OH，若OA＝4，OH＝2，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．8 B．16 C．24 D．3
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
∵DH⊥AB，
∴∠BHD＝90°，
∴BD＝2OH，
∵OH＝2，
∴BD＝4，∵OA＝4，
∴AC＝8，
∴菱形ABCD的面积＝ ．
故选：B．
14．（2023春•重庆期末）如图，点O为菱形ABCD的对角线AC，BD的交点，点M，N
分别为边AB，BC的中点，连接MN，若MN＝2， ，则菱形的面积为（ ）
A． B．12 C． D．16
【答案】C
【解答】解：∵M、N是AB和BC的中点，即MN是△ABC的中位线，
∴AC＝2MN＝4，
∴菱形的面积＝ AC•BD＝ 4×4 ＝8 ，
故选：C．
15．（2023春•廊坊期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E为边AD
的中点，OE＝5，OB＝8，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．48 B．96 C．120 D．128
【答案】B【解答】解：∵菱形的对角线、BD交于点O，OB＝8，
∴OA＝OC，OD＝OB，AC⊥BD，
∴BD＝2OB＝16，
∵E为边AD的中点，OE＝5，
∴AD＝2OE＝10，
∴AO＝ ＝ ＝6，
∴AC＝2OA＝12，
∴菱形ABCD的面积＝ ×AC×BD＝ ＝96，
故选：B．
16．（2023•西安三模）如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝45°，DE⊥BC于点E，交对角线
AC于点P，过点P作PF⊥CD于点F．若△PDF的周长为8．则菱形ABCD的面积为（
）
A．16 B．16 C．32 D．32
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD，∠BCD＝∠BAD，∠ACB＝∠ACD，AD∥BC，
∴∠BAD+∠B＝180°，
∵∠DAB＝45°，
∴∠BCD＝∠BAD＝45°，
∵DE⊥BC，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴∠CDE＝45°，CD＝ DE，
∵PF⊥CD，
∴△DPF是等腰直角三角形，∴PF＝DF，PD＝ PF，
设PF＝DF＝x，则PD＝ x，
∵△PDF的周长为8，
∴x+x+ x＝8，
解得：x＝8﹣4 ，
∵∠ACB＝∠ACD，DE⊥BC，PF⊥CD，
∴PE＝PF＝x，
∴DE＝x+ x＝（1+ ）×（8﹣4 ）＝4 ，
∴BC＝CD＝ DE＝8，
∴菱形ABCD的面积＝BC×DE＝8×4 ＝32 ，
故选：D．
17．（2023•河西区一模）如图，四边形 ABCD 为菱形，A，B 两点的坐标分别是
，（0，1），点C，D在坐标轴上，则菱形ABCD的面积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：∵A，B两点的坐标分别是（ ，0），（0，1），
∴OA＝ ，OB＝1，
∵四边形ABCD为菱形，∴AC＝2AO＝2 ，BD＝2BO＝2，
∴菱形ABCD的面积＝ •AC•BD＝ ×2 ×2＝2 ，
故选：C．
18．（2022秋•峰峰矿区校级期末）如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，
过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8
时，则阴影部分的面积为（ ）
A．48 B．24 C．12 D．6
【答案】C
【解答】解：∵菱形的两条对角线的长分别为6和8，
∴菱形的面积＝ ×6×8＝24，
∵O是菱形两条对角线的交点，
∴阴影部分的面积＝ ×24＝12．
故选：C．
19．（2023•三亚模拟）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF为等边三
角形，点E，F分别在菱形的边BC，CD上滑动，且E，F不与B，C，D重合，则四边
形AECF的面积是（ ）
A．4 B．4 C．8 D．8
【答案】B
【解答】解：连接AC，如图所示，
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，∴∠BAC＝∠DAC＝60°，BC＝AB＝4，
∴∠1+∠EAC＝60°，∠3+∠EAC＝60°，
∴∠1＝∠3，
∵∠BAD＝120°，BC∥AD，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，
∴△ABC、△ACD为等边三角形，
∴∠4＝60°，AC＝AB，
在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（ASA）．
∴S△ABE ＝S△ACF ，
故S四边形AECF ＝S△AEC +S△ACF ＝S△AEC +S△ABE ＝S△ABC ，是定值，
过A作AH⊥BC于H，则BH＝ BC＝2，
∴AH＝ ＝ ＝2 ，
S四边形AECF ＝S△ABC ＝ BC•AH＝ ×4×2 ＝4 ，
故选：B．
【题型3 菱形的判定】
20．（2023秋•垣曲县期中）下列选项中能使平行四边形ABCD成为菱形的是（ ）
A．AB＝CD B．AB＝BC C．∠BAD＝90° D．AC＝BD
【答案】B
【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，故选项A不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，∴ ABCD为菱形，故选项B符合题意；
C、▱∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAD＝90°，
∴ ABCD为矩形，故选项C不符合题意；
D、▱∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴ ABCD为矩形，故选项D不符合题意；
故▱选：B．
21．（2023春•荔城区校级期末）如图，平行四边形 ABCD的对角线AC，BD相交于点
O，添加下列条件仍不能判断四边形ABCD是菱形的是（ ）
A．AB＝AD B．AO2+BO2＝AB2
C．AC＝BD D．∠BAC＝∠ACB
【答案】C
【解答】解：∵AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故A正确；
∵AO2+BO2＝AB2，
∴△AOB是直角三角形，
∴AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故B正确；
∵AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故C错误；
∵∠BAC＝∠ACB，
∴AB＝BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，故D正确；
故选：C．
22．（2023春•铁东区期中）如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，要使
四边形ABCD是菱形，还需添加一个条件，这个条件可以是（ ）A．AO＝CO B．AB⊥BC C．AO＝BO D．AO⊥BO
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
添加AO⊥OB，
∴ ABCD是菱形；
故▱选：D．
23．（2023•宛城区二模）一次实践探究课上，老师让同学们用四张全等的含 30°角的直角
三角形纸片拼成一个四边形，下列拼成的四边形中，不是菱形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：∵用四张全等的含30°角的直角三角形纸片拼成一个四边形，
∴可设直角三角形的三边为a， a，2a，
A．四边形的四条边长都为2a，故四边形为菱形，不符合题意；
B．四边形的四条边为2a，故四边形为菱形，不符合题意；
C．四边形的四边长为2a，故四边形是菱形，不符合题意；
D．四边形的四条边长为 a，2a， a，2a，故四边形不是菱形，符合题意．
故选：D．
24．（2023春•曹县期中）如图，点E，F分别在 ABCD的边AB，BC上，AE＝CF，增加
下列其中一个条件： ▱
①∠1＝∠2；
②∠3＝∠4；
③DE＝DF；
能使四边形ABCD是菱形的条件个数为（ ）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【解答】解：①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（AAS），
∴AD＝CD，
∴ ABCD为菱形；
②▱∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴AD＝CD，
∴ ABCD为菱形；
③▱由AE＝CF，DE＝DF，∠A＝∠C，不能判定△ADE≌△CDF，
∴不能得出AD＝CD，
∴不能使 ABCD为菱形；
综上所述▱，能使四边形ABCD是菱形的条件个数为2个，
故选：C．
25．（2023•张家口二模）依据所标数据（度为所在角的度数，数字为所在边的长度），下
列平行四边形不一定是菱形的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：A．平行四边形的一个角为60°，不能确定边的长度，不一定是菱形，该选
项符合题意；
∵四边形是平行四边形，
B．因为32+42＝52，对角线相互垂直，因为对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以
该选项正确，不符合题意；
∴对边相等，故B不一定是菱形；
C．平行四边形对边平行，又邻边相等，所以平行四边形的四边相等，一定是菱形，所
以该选项正确，不符合题意；
D．由图可知平行边四形的邻边相等，所以平行四边形的四边相等，一定是菱形，所以
该选项正确，不符合题意；
故选：A．
26．（2023春•阜宁县期中）如图，已知点E、F分别是四边形ABCD的边AD、BC的中点，
G、H分别是对角线BD、AC的中点，要使四边形EGFH是菱形，则四边形ABCD需满
足的条件是（ ）
A．AB＝CD B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AD＝BC
【答案】A
【解答】解：∵点E、F分别是四边形ABCD的边AD、BC的中点，G、H分别是对角
线BD、AC的中点，∴EG＝FH＝ AB，EH＝FG＝ CD，
∵当EG＝FH＝GF＝EH时，四边形EGFH是菱形，
∴当AB＝CD时，四边形EGFH是菱形．
故选：A．
27．（2023秋•蓝田县期中）如图，在四边形 ABCD中，∠BAC＝90°，E是BC的中点，
AD∥BC，AE∥DC．请判断四边形AECD的形状，并说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：四边形AECD是菱形，
理由：
∵AD∥BC，AE∥DC，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，E是BC的中点，
∴AE＝ BC＝EC，
∴平行四边形AECD是菱形．
28．（2023 秋•西安期中）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，D 为 AB 的中点，
AE∥CD，CE∥AB，连接DE交AC于点O，求证：四边形ADCE为菱形．
【答案】证明见解析．
【解答】证明：∵AE∥CD，CE∥AB，
∴四边形ADCE是平行四边形，∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，
∴CD＝ AB＝AD，
∴平行四边形ADCE为菱形．
29．（2023秋•高新区期中）如图，在 Rt△ABD 中，∠ABD＝90°，E为AD的中点，
AD∥BC，ED＝BC．求证：四边形BCDE是菱形．
【答案】见解析．
【解答】证明：∵AD∥BC，ED＝BC，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∵∠ABD＝90°，E为AD的中点，
∴ ，
∴四边形BCDE是菱形．
30．（2023•湘西州）如图，四边形ABCD是平行四边形，BM∥DN，且分别交对角线AC
于点M，N，连接MD，BN．
（1）求证：∠DMN＝∠BNM；
（2）若∠BAC＝∠DAC．求证：四边形BMDN是菱形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解答】证明：（1）连接BD，交AC于点O，如图：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，
∵BM∥DN，
∴∠MBO＝∠NDO，
又∠BOM＝∠DON，
∴△BOM≌△DON（ASA），
∴BM＝DN，
∴四边形BMDN为平行四边形，
∴BN∥DM，
∴∠DMN＝∠BNM；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，
∴∠BCA＝∠DAC，
∵∠BAC＝∠DAC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∴AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴MN⊥BD，
∴平行四边形BMDN是菱形．
31．（2023•南海区校级模拟）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，过点 C 的直线
MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接
CD、BE．
（1）求证：CE＝AD；
（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由．【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠DFB，
∴AC∥DE，
∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴CE＝AD；
（2）解：四边形BECD是菱形，理由如下：
∵D为AB中点，
∴AD＝BD，
∵CE＝AD，
∴BD＝CE，
∵BD∥CE，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，D为AB中点，
∴CD＝BD，
∴四边形BECD是菱形．
【题型4 菱形的性质与判定综合】
32．（2023秋•长泰县校级期中）如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为
四边形ABCD，若测得A，C之间的距离为6，点B，D之间的距离为 8，则四边形
ABCD面积为（ ）A．20 B．24 C．28 D．48
【答案】B
【解答】解：如图，作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，连接AC，BD交于点O，
由题意知，AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵两张纸条等宽，
∴AR＝AS．
∵AR⋅BC＝AS⋅CD，
∴BC＝CD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∵A，C之间的距离为6，点B，D之间的距离为8，
∴四边形ABCD面积为
故选：B．
33．（2023•霍林郭勒市二模）如图，在∠MON的两边上分别截取 OA、OB，使OA＝
OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、
OC．若AB＝3cm，四边形AOBC的面积为12cm2，则OC的长为（ ）
A．5cm B．8cm C．10cm D．4cm
【答案】B
【解答】解：根据作图，AC＝BC＝OA，
∵OA＝OB，
∴OA＝OB＝BC＝AC，
∴四边形OACB是菱形，
∵AB＝3cm，四边形OACB的面积为12cm2，∴ AB•OC＝ ×3×OC＝12，
解得OC＝8cm．
故选：B．
34．（2023春•库尔勒市校级期末）如图，平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，点
E是AB边上的中点，连接OE，OE＝2.5，AC＝8，BD＝6．有下列结论：①△ABD是
等边三角形；② ABCD的周长是20；③ ABCD的BC边上的高是4.8；④ ABCD
是菱形；⑤ ABC▱D的面积是48，其中正确▱的是（ ） ▱
▱
A．②③④ B．②④⑤ C．①②③④ D．②③④⑤
【答案】A
【解答】解：∵平行四边形ABCD，
∴OA＝OC，
∵E是AB的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴BC＝AD＝2OE＝5，
∵AC＝8，BD＝6，平行四边形ABCD，
∴OA＝4，OD＝3，
∵OA2+OD2＝32+42＝52＝AD2，
∴△AOD是直角三角形，
∴AC⊥BD，
∴ ABCD是菱形，④正确，
∴▱AB＝AD≠BD，
∴①错误，
∴ ABCD的周长是4AD＝5×4＝20，②正确，
▱
∴ ABCD的面积＝ AC•BD＝ ×8×6＝24，⑤错误
∴▱ABCD的面积＝BC×BC边的高＝24，
▱∴BC边的高＝ ＝4.8，③正确；
故②③④正确，
故选：A．
35．（2023春•思明区校级期末）小明用四根长度相等的木条制作了能够活动的菱形学具，
他先活动学具成为图（1）所示的菱形，并测得∠B＝60°，接着活动学具成为图（2）所
示的正方形，并测得对角线AC＝20 ，则图（1）中菱形的对角线BD长为（ ）
A．20 B．30 C． D．
【答案】C
【解答】解：在正方形ABCD中，∠B＝90°，
∴AB2+CB2＝AC2，
∵AB＝CB，AC＝20 ，
∴2AB2＝（20 ）2，
∴AB＝20，
在菱形ABCD中，AB＝CB＝20，
∵∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝20，
如图（1），连接BD交AC于点O，
∴AC⊥BD，∠ABO＝30°，
∴OA＝ AB＝10，
∴OB＝ OA＝10 ，∴BD＝2OB＝20 ，
故选：C．
36．（2023•东城区校级模拟）如图，△ABC中，AC＝ ，BC＝4，AB＝3 ，点D是
AB的中点，EB∥CD，EC∥AB，则四边形CEBD的周长是 6 ．
【答案】6 ．
【解答】解：∵EB∥CD，EC∥AB，
∴四边形CEBD是平行四边形，
在△ABC中，
∵AC＝ ，BC＝4，AB＝3 ，
∴AC2+BC2＝（ ）2+42＝18，AB2＝（3 ）2＝18，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB＝90°，
∵点D是AB的中点，
∴DC＝AD＝DB＝ AB＝ ，
∴四边形CEBD是菱形，四边形CEBD的周长＝4DB＝4× ＝6 ．
37．（2023•吉林一模）如图，AB＝8cm，分别以A，B为圆心，5cm长为半径画弧，两弧
相交于M，N两点．连接AM，BM，AN，BN，则四边形AMBN的面积为 2 4 cm2．
【答案】24．
【解答】解：如图：连接MN，
∵分别以A和B为圆心，5cm的长为半径画弧，两弧相交于M、N，
∴AM＝AN＝BN＝BM＝5cm，
∴四边形AMBN是菱形，
∴AB⊥MN，AO＝OB＝4cm，MN＝2OM，
∴由勾股定理得： ，
∴MN＝6cm，
∴四边形AMBN的面积＝ cm2，
故答案为：24．
38．（2023春•单县期末）如图，等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接
AD、BD，则下列结论：①AD＝BC；②BD、AC互相平分；③四边形ACED是菱形；
④∠ACD＝∠DCE，其中正确的是 ①②③④ ．（填所有正确答案的序号）
【答案】①②③④．
【解答】解：∵△ABC、△DCE是等边三角形，
∴∠ACB＝∠DCE＝60°，AC＝CD，∴∠ACD＝180°﹣∠ACB﹣∠DCE＝60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴AD＝AC＝BC，故①正确；
由①可得AD＝BC，
∵AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴BD、AC互相平分，故②正确；
由①可得AD＝AC＝CE＝DE，
故四边形ACED是菱形，即③正确；
∵四边形ACED是菱形，
∴∠ACD＝∠DCE；故④正确．
故答案为：①②③④．
39．（2023秋•海州区校级期中）如图，平行四边形 ABCD的对角线AC，BD相交于点
O，AC平分∠BAD，DP∥AC，CP∥BD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AC＝4，BD＝8，求OP的长．
【答案】（1）见详解；
（2） ．
【解答】（1）证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝∠BAC．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∴BAC＝∠ACB，
∴AB＝BC，
∴平行四边形ABCD是菱形；（2）解：∵平行四边形ABCD是菱形，
∴ ，
∴ ．
∵DP∥AC，CP∥BD，
∴四边形OCPD是平行四边形．
∵∠COD＝90°，
∴四边形OCPD是矩形，
∴ ．
40．（2023•文山州一模）如图， ABCD对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC
且DE＝OC，连接CE，OE，O▱E＝CD．
（1）求证： ABCD是菱形；
（2）若AB＝▱4，∠ABC＝60°，求AE的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵DE∥AC，DE＝OC，
∴四边形OCED是平行四边形．
∵OE＝CD，
∴平行四边形OCED是矩形，
∴∠COD＝90°，
∴AC⊥BD，
∴ ABCD是菱形；
（▱2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，CD＝AB＝BC＝4，AC⊥BD，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝4，
∴OA＝OC＝2，在Rt△OCD中，由勾股定理得：OD＝ ＝ ＝2 ，
由（1）可知，四边形OCED是矩形，
∴CE＝OD＝2 ，∠OCE＝90°，
∴AE＝ ＝ ＝2 ，
即AE的长为2 ．
41．（2022秋•周村区期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC、
BD交于点O，AC平分∠BAD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，若AB＝13，BD＝10，求CE的长．
【答案】（1）见解析；（2） ．
【解答】（1）证明：∵AB∥DC，
∴∠DCA＝∠CAB，
∵AC平分∠BAD，
∴∠CAB＝∠DAC，
∴∠DAC＝∠DCA，
∴AD＝DC，
∵AB＝AD，
∴AB＝DC，
∵AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：在菱形ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，∴OB＝ BD＝5，∠AOB＝90°，
在Rt△AOB中，AO＝ ＝ ＝12，
∴AC＝2AO＝24；
∵S菱形ABCD＝ •AC•BD＝AB•CE，
∴ ×24×10＝13×CE，
∴CE＝ ，
答：CE的长为 ．
