文档内容
微专题：求抛物线的标准方程
【考点梳理】
1. 抛物线的定义
我们把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. 点F叫做抛物线
的焦点，直线l叫做抛物线的准线.
2. 双曲线的标准方程和简单几何性质
标准 y2＝2px y2＝－2px x2＝2py x2＝－2py
方程 (p＞0) (p＞0) (p＞0) (p＞0)
图形
开口 向右 向左 向上 向下
焦点
准线 x＝－ x ＝ y＝－ y ＝
x≥0， x ≤0 ， y ≥0 ， y≤0，
范围
y∈R y ∈ R x ∈ R x∈R
对称
简单几何 x 轴 y轴
轴
性质
顶点 原点O(0，0)
离心
e＝1
率
3、求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确
定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.
【题型归纳】
题型一：根据焦点或准线写出抛物线的标准方程
1．焦点在直线 上的抛物线的标准方程为（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
2．已知抛物线 的准线与 轴交于点 ，点 到直线 的距离为 ，则 的值为（ ）
A． B． C．2 D．6
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司3．抛物线 的准线方程是 ，则实数a的值（ ）
A． B． C．8 D．-8
题型二：根据定义求抛物线的标准方程
4．已知点 是拋物线 的焦点， 是 上的一点， ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．已知O是坐标原点，F是抛物线C： 的焦点， 是C上一点，且 ，则 的面
积为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
6．若抛物线 ）上的点 到其焦点的距离是点A到y轴距离的3倍，则p等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
题型三：根据抛物线上的点求标准方程
7．过点 ，且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
8．已知抛物线: （其中 为常数）过点 （1，3），则抛物线的焦点到准线的距离等于（ ）
A． B． C． D．3
9．抛物线 经过点（1，2），则此抛物线焦点到准线的距离为（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
【巩固训练】
10．已知抛物线 ，过抛物线的焦点作 轴的垂线，与抛物线交于 、 两点，点 的坐标为
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司，且 为直角三角形，则以直线 为准线的抛物线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
11．已知双曲线 的两条渐近线与抛物线 的准线分别交于点 、 ， 为坐标原
点，若双曲线的离心率为2，三角形 的面积为 ，则 （ ）
A．1 B． C．2 D．3
12．若抛物线 过点 ，则该抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
13．在平面直角坐标系xOy中，动点 到直线 的距离比它到定点 的距离小1，则P的轨迹方程为
（ ）
A． B．
C． D．
14．抛物线 上一点 到其焦点的距离为3，则抛物线 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
15．已知抛物线 经过点 为抛物线的焦点，且 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
16．已知抛物线 ， 为坐标原点，以 为圆心的圆交抛物线于 、 两点，交准线于 、 两
点，若 ， ，则抛物线方程为（ ）
A． B．
C． D．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司17．已知点 在抛物线 上，过 作圆 的两条切线，分别交抛物线于点 ，
，若直线 的斜率为 ，则抛物线的方程为（ ）
A． B． C． D．
18．已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
19．在抛物线 上，若横坐标为 的点到焦点的距离为 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
20．抛物线型太阳灶是利用太阳能辐射加热的一种装置.当旋转抛物面的主光轴指向太阳的时候，平行的太阳光线
入射到旋转抛物面表面，经过反光材料的反射，这些反射光线都从它的焦点处通过，形成太阳光线的高密集区，
抛物面的焦点在它的主光轴上.如图所示的太阳灶中，焦点到灶底（抛物线的顶点）的距离为 ，若灶口直径
是灶深 的4倍，则 （ ）
A． B． C． D．
21．如图所示，汽车前灯反光镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反光镜的轴垂直，灯泡位
于抛物线的焦点处．已知灯口的直径是24cm，灯深10cm，那么灯泡与反光镜的顶点（即截得抛物线的顶点）距离
为（ ）
A．10cm B．7.2cm
C．3.6cm D．2.4cm
22．如图，过抛物线 的焦点 的直线依次交抛物线及准线于点 ，若 ，且
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司，则抛物线的方程为（ ）
A． B． C． D．
23．以抛物线 的顶点为圆心的圆交 于 ， 两点，交 的准线于 ， 两点，已知
， ，则 （ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
24．抛物线 上的一点 到其焦点 的距离 等于（ ）
A． B． C． D．
25．如图，过抛物线 的焦点 的直线依次交抛物线及准线于点 ，若 且 ，
则抛物线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司26．已知圆 与抛物线 相交于M，N两点，且 ，则 （ ）
A．1 B． C．2 D．3
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．B
【分析】分别求得直线 与x轴，y轴的交点得到抛物线的焦点即可.
【详解】解：直线 与x轴的交点为（4，0），与y轴的交点为（0，-3），
当以（4，0）为焦点时，抛物线的标准方程为 ，
当由（0，-3）为焦点时，抛物线的标准方程为 ，
故选：B
2．D
【分析】易得 坐标为 ，再根据点到线的距离求解 的值即可
【详解】由已知抛物线的准线与 轴的交点 坐标为 ，其到直线 的距离 ，
解得 （ 舍去）.
故选：D.
3．A
【分析】根据准线方程列出方程，求出实数a的值.
【详解】由题意得： ，解得： .
故选：A
4．C
【分析】根据抛物线的定义即可求解.
【详解】由抛物线的定义可知， ，所以 ．
故选：C.
5．C
【分析】根据条件求出 的值，然后可算出答案.
【详解】由题可知 ，解得 ，所以 的面积为 ，
故选：C
6．C
【分析】由抛物线的定义得出 ，将点 坐标代入方程可得 ．
【详解】由题意， ， ，则 ，解得 ，
故选：C
7．C
【分析】设抛物线方程为 ，代入点的坐标，即可求出 的值，即可得解；
第 7 页【详解】解：依题意设抛物线方程为 ，因为抛物线过点 ，
所以 ，解得 ，所以抛物线方程为 ；
故选：C
8．B
【分析】由点在抛物线上可得抛物线的方程为 ，结合抛物线的性质可得抛物线的准线方程与焦点坐标，即
可得解.
【详解】由抛物线y＝px2(其中p为常数)过点A(1,3)，可得p＝3，则抛物线的标准方程为x2＝ y，
则抛物线的焦点到准线的距离等于 .
故选：B
9．D
【分析】先求出 ，再根据抛物线标准方程的特征可求解.
【详解】因为抛物线 经过点（1，2），
所以 ，所以 ，
所以抛物线的焦点到准线的距离等于 .
故选：D
10．B
【分析】设点 位于第一象限，求得直线 的方程，可得出点 的坐标，由抛物线的对称性可得出 ，
进而可得出直线 的斜率为 ，利用斜率公式求得 的值，由此可得出以直线 为准线的抛物线的标准方程.
【详解】设点 位于第一象限，直线 的方程为 ，联立 ，可得 ，
所以，点 .
为等腰直角三角形，由抛物线的对称性可得出 ，则直线 的斜率为 ，即 ，
解得 .
因此，以直线 为准线的抛物线的标准方程为 .
故选：B.
【点睛】本题考查抛物线标准方程的求解，考查计算能力，属于中等题.
11．C
【分析】根据双曲线及抛物线的基本性质，求得 的坐标，表示出三角形 的面积，从而求得参数.
第 8 页【详解】由双曲线的离心率为2知， ，渐近线方程为 ，
又抛物线的准线方程为 ，
则设渐近线与准线的交点为 ， ，
三角形 的面积为 ，（ ）
解得 ，
故选：C
12．A
【分析】把点 代入抛物线方程可得 ，进而求出抛物线的标准方程，结合抛物线的性质，进而得到焦点坐
标．
【详解】 抛物线 经过点 ，
，
抛物线标准方程为 ，
抛物线焦点坐标为 ．
故选： ．
13．D
【分析】根据抛物线的定义判断轨迹，再由抛物线焦点、准线得到方程即可.
【详解】由题意知动点 到直线 的距离与定点 的距离相等，
由抛物线的定义知，P的轨迹是以 为焦点， 为准线的抛物线，
所以 ，轨迹方程为 ，
故选：D
14．B
【分析】根据给定条件确定p>0，写出抛物线准线方程，利用定义求出p即得.
【详解】因抛物线 上一点 到其焦点的距离为3，则p>0，抛物线准线方程为 ，
由抛物线定义得： ，解得 ，
所以抛物线 的方程为： .
故选：B
15．B
【分析】首先求出抛物线的准线方程，再根据抛物线的定义求出 ，即可求出抛物线方程，再代入计算可得；
【详解】解：抛物线 的准线为 ，点 且 ，所以 ，解得 ，
第 9 页所以抛物线方程为 ，所以 ，解得
故选：B
16．C
【分析】设圆 的半径为 ，根据已知条件可得出关于 的方程，求出正数 的值，即可得出抛物线的方程.
【详解】设圆 的半径为 ，抛物线的准线方程为 ，由勾股定理可得 ，
因为 ，将 代入抛物线方程得 ，可得 ，
不妨设点 ，则 ，所以， ，解得 ，
因此，抛物线的方程为 .
故选：C.
17．A
【分析】由已知得 ，设 ， ， ，求得 ， ，进而得到 ，从
而求得 ，利用 ，求点 坐标，代入抛物线方程即可求解.
【详解】由题意可知过 所作圆的两条切线关于直线 对称，所以 ，
设 ， ， ，则 ，
同理可得 ， ，
则 ，得 ，得 ，
所以 ，故 ，
将 代入抛物线方程，得 ，得 ，故抛物线方程为 ．
故选：A
【点睛】结论点睛：本题考查圆的切线的对称性，及抛物线的性质，有关抛物线的重要结论：过抛物线
上任意一点 （不与原点重合）作两条倾斜角互补的直线，分别交抛物线于点 ， ，连
接 ，则 ．
18．C
【分析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.
【详解】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知 ，即 ，解得 .
故选：C.
【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题.
第 10 页19．D
【分析】利用抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离.
【详解】由题知，抛物线 的准线方程为 ，
若横坐标为 的点到焦点的距离为 ，则由抛物线的定义知， ，
解得 .
故选：D.
20．A
【分析】根据题意可设抛物线为 ，由焦点到灶底（抛物线的顶点）的距离为 ，可得抛物线方程.
设 ，再根据灶口直径 是灶深 的4倍，可列出关于 的等式，即可求出 ，进而求出 .
【详解】设抛物线为 ，由焦点到灶底（抛物线的顶点）的距离为 知， ，即抛物线
方程为 .设 ，则点 .由于灶口直径 是灶深 的4倍，故
.故 .
故选：A.
21．C
【分析】先建立直角坐标系，设出抛物线的方程，根据题设条件得点 代入抛物线方程求得 ，进而求得 ，
即灯泡与反光镜的顶点的距离.
【详解】解：取反射镜的轴即抛物线的轴为x轴，以反射镜的顶点为坐标原点，建立直角坐标系xOy，如图所示：
因为灯口直径为 ，灯深 ，所以点 在抛物线上.
由题意设抛物线的方程为 ，
由于点 在抛物线上，得 .
∴
∴焦点坐标为
∴灯泡与反射镜顶点的距离为3.6cm
第 11 页故选：C
22．B
【分析】分别过点 作准线的垂线，分别交准线于点 ， ,设 ，推出 ；根据 ，进而推导出
，结合抛物线定义求出 ；最后由相似比推导出 ，即可求出抛物线的方程.
【详解】如图分别过点 作准线的垂线，分别交准线于点 ， ,设 与 交于 点.
设 ， , ，由抛物线定义得： ，故
在直角三角形 中， ， ， ， ， ， ，
∥ ， ， ， ，所以抛物线的方程为 .
故选：B
23．B
【分析】设圆的半径为 ，由 及抛物线的对称性知 、 坐标，由 可得 ，进而可
求 .
第 12 页【详解】由题意，若圆的半径为 ，则 、 坐标为 ，且 ，
∴ ，解得 .
故选：B
24．C
【分析】由点的坐标求得参数 ，再由焦半径公式得结论．
【详解】由题意 ，解得 ，
所以 ，
故选：C．
25．D
【分析】如图根据抛物线定义可知 ，进而推断出 的值，在直角三角形中求得 ，进而根据 ，
利用比例线段的性质可求得 ，则抛物线方程可得.
【详解】如图分别过点 ， 作准线的垂线，分别交准线于点 ，
设 ，则由已知得： ，由定义得： ，故
在直角三角形 中， ，
， ，从而得
， ，求得 ，所以抛物线的方程为 ．
故选：D
26．B
【分析】由 ，可求出 的纵坐标，代入圆的方程可求出 ，代入抛物线方程即可求出 .
【详解】由已知及对称性可得 ，代入抛物线方程解得 .
故选：B
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