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微专题： 直线与双曲线的位置关系
【考点梳理】
直线与双曲线交于一点时，不一定相切，如当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但
不相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点.
【题型归纳】
题型一：求直线与双曲线的交点坐标
1．已知点 是双曲线 的左焦点，直线 与该双曲线交于两点 ， ，则 的重心 到
轴的距离为（ ）
A．1 B．4 C．3 D．2
2．过双曲线 上一点P作y轴的垂线 ，l与C的两条渐近线分别交于A，B两点，若A是PB
的中点，则t=（ ）
A． B．
C． D．
3．已知O为坐标原点，A，B分别是双曲线 的左、右顶点，M是双曲线C上不同于A，B的动点，直
线AM，BM分别与y轴交于点P，Q，则 （ ）
A．16 B．9
C．4 D．3
题型二：讨论双曲线与直线的位置关系
4．直线 与双曲线 的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司5．直线 与双曲线 的交点情况是（ ）
A．恒有一个交点 B．存在m有两个交点
C．至多有一个交点 D．存在m有三个交点
6．在直线与双曲线位置关系中，“公共点只有一个”是“直线与双曲线相切”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
题型三：根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围
7．已知双曲线 与椭圆 共焦点，且双曲线与直线 相切，则 （ ）
A． B． C． D．1
8．若过点 的直线 与双曲线 : 的右支相交于不同两点，则直线 斜率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．已知双曲线 的左、右顶点为 ， ，焦点在y轴上的椭圆以 ， 为顶点，且离心率为 ，过 作
斜率为 的直线 交双曲线于另一点 ，交椭圆于另一点 ，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【双基达标】
10．已知双曲线 ： ）的左、右焦点分别为 ， ，过点 且与双曲线 的一条渐近线垂直
的直线 与 的两条渐近线分别交于 ， 两点，且 位于 轴的同侧，若 ，则双曲线 的离心
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司率为（ ）
A．3 B．2 C． D．
11．已知 为双曲线 的右焦点， 为 的右顶点， 为 上的点，且 垂直于 轴.若
的斜率为3，则 的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
12．已知双曲线 ，直线 与C交于A、B两点（A在B的上方）， ，点E在y
轴上，且 轴．若 的内心到y轴的距离为 ，则C的离心率为（ ）.
A． B． C． D．
13．双曲线 的左右焦点分别是 ， ，直线 与双曲线 在第一象限的交点为 ，
在 轴上的投影恰好是 ，则双曲线 的离心率是（ ）
A． B． C． D．
14．双曲线有一个几何性质：从一个焦点射出的光线射到双曲线上一点M，经双曲线在点M处的切线反射后，反
射光线的反向延长线经过另一个焦点．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，
从 射出的光线投射到双曲线上一点M，经双曲线在点M处的切线l：y＝x＋1反射后，反射光线的反向延长线经
过点 ，则a＝（ ）
A．3 B． C．5 D．
15．已知双曲线 ，若对任意实数 ，直线 与 至多有一个交点，则 的离心率
为（ ）
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
16．直线 与双曲线 有公共点，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
17．已知点 ， ，若曲线 上存在点P满足 ，则下列正确的是
（ ）
A． B． C． D．
18．过原点的直线 与双曲线 ( )交于 两点， 是双曲线的左焦点，过 作 轴的垂线，交
双曲线于 两点，若在线段 上存在点 ，使得 ，则双曲线离心率的最小值是( )
A． B． C． D．
19．已知双曲线方程为 ，过点 的直线 与双曲线只有一个公共点，则符合题意的直线 的条数共有
（ ）
A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
20．过点 与双曲线 仅有一个公共点的直线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
21．已知直线l被圆C： 所截的弦长不小于2，则下列曲线中与直线l一定有公共点的是（ ）
A． B．
C． D．
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司22．已知双曲线 ： ，直线 经过点 ，若直线 与双曲线 的右支只有一个交点，则直线 的斜
率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
23．设 分别为双曲线 的左､右焦点，圆 与双曲线的渐近线相切，过 与圆 相切的
直线与双曲线的一条渐近线垂直，则双曲线的两条渐近线所成的锐角 的正切值为（ ）
A． B． C． D．1
24．已知F是双曲线 的右焦点，若直线 与双曲线相交于A，B两点，且 ，则k
的范围是（ ）
A． B．
C． D．
25．已知 为双曲线 的左､右焦点，点 在双曲线的右支上，点 是平面内一定点.若
对任意实数 ，直线 与双曲线 的渐近线平行，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【高分突破】
一、单选题
26．已知双曲线 （ ， ），直线 与T交于A，B两点，直线 与T交于C，D两点，
四边形ABCD的两条对角线交于点E， ，则双曲线T的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．4
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司27．已知双曲线 = 1 的右焦点 ，过点F作一条渐近线的垂线 垂足为M，若 与另一
条渐近线交于点 ，且满足5 ，则该双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
28．已知直线l与曲线C： 在y轴左、右两侧的交点分别是Q，P，且以线段PQ为直径的圆恰过坐标原
点O，则 的值不可能为（ ）
A．6 B．8 C． D．
29．过点（1，2）且与双曲线 没有交点的直线l斜率的取值范围是（ ）
A．（2，+∞） B．[2，+∞） C．[﹣2，2] D．[﹣2，+∞）
30．若直线 与双曲线 没有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
31．已知双曲线 的右焦点为 ，直线 与 交于 ， 两点，以 为直径的圆过点
，若 上存在点 满足 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
32．已知两点 ， ，若直线上存在点P，使 ，同时存在点Q，使 ，则称该
直线为“一箭双雕线”，给出下列直线，其中为“一箭双雕线”的是（ ）．
A． B． C． D．
33．已知 是双曲线 的上、下焦点，点M是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段 为
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司直径的圆经过点M，则下列说法不正确的是（ ）
A．双曲线C的渐近线方程为 B．点M的横坐标为
C． 的面积为 D．以 为直径的圆的方程为
34．直线 与双曲线 的交点个数是（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．0
35．若圆 上存在一点P，过点P可作两条直线PA、PB与双曲线 相切，且
，则r的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
36．已知双曲线 的方程为 ，点 ， 分别在双曲线的左支和右支上，则直线 的斜率的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
37．已知曲线 ，且 ，则下列结论正确的是（ ）
A．若曲线 为椭圆或双曲线，则其焦点坐标为（ ，0）
B．若曲线 是椭圆，则
C．若 且 ，则曲线 是双曲线
D．直线 与曲线 恒有两个交点
38．已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为 ，实轴长为4，则（ ）
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．该双曲线的虚轴长为 B．该双曲线的焦距为
C．该双曲线的离心率为 D．直线 与该双曲线有两个公共点
39．中国结是一种手工编织工艺品，因为其外观对称精致，可以代表汉族悠久的历史，符合中国传统装饰的习俗
和审美观念，故命名为中国结.中国结的意义在于它所显示的情致与智慧正是汉族古老文明中的一个侧面，也是数
学奥秘的游戏呈现.它有着复杂曼妙的曲线，却可以还原成最单纯的二维线条.其中的八字结对应着数学曲线中的双
纽线.曲线 ： 是双纽线，则下列结论正确的是（ ）
A．曲线 的图象关于原点对称
B．曲线 经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点）
C．曲线 上任意一点到坐标原点 的距离都不超过3
D．若直线 与曲线 只有一个交点，则实数 的取值范围为
40．已知 是双曲线 的左、右焦点，过 作倾斜角为 的直线分别交y轴、双曲线右
支于点M、点P，且 ，下列判断正确的是（ ）
A．
B．E的离心率等于
C． 的内切圆半径
D．若 为E上的两点且关于原点对称，则 的斜率存在时其乘积为2
41．在平面直角坐标系 中，动点 与两个定点 和 连线的斜率之积等于 ，记点 的轨迹为
曲线 ，直线 ： 与 交于 ， 两点，则（ ）
A． 的方程为 B． 的离心率为
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司C． 的渐近线与圆 相切 D．满足 的直线 有2条
42．双曲线具有如下光学性质：如图 ， 是双曲线的左、右焦点，从右焦点 发出的光线m交双曲线右支于点
P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点 ．若双曲线C的方程为 ，下列结论正确的是
（ ）
A．若 ，则
B．当n过 时，光由 所经过的路程为13
C．射线n所在直线的斜率为k，则
D．若 ，直线PT与C相切，则
三、填空题
43．已知双曲线 ，过点 的直线 与双曲线 在第一象限切于点 ， 为双曲线
的右焦点，若直线 的斜率为 ，则双曲线 的离心率 ______.
44．设直线 与双曲线 （ ， ）相交于 ， 两点， 为 上不同于 ， 的一点，直
线 ， 的斜率分别为 ， ，若 的离心率为2，则 ______.
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司45．函数 的最小值为m，则直线 与曲线 的交点为
___________个.
46．已知直线 与双曲线 有且只有一个公共点，则C的离心率等于________．
47．过点M（4，0）的直线l与双曲线 两渐近线分别交于不同两点A，B，O为原点，若该双
曲线的离心率为2，则 的取值范围为___________.
48．若直线l：y＝kx＋1与曲线C： 有两个公共点，则实数k的取值范围是______．
四、解答题
49．已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，且双曲线C过点 .
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)过点M 的直线与双曲线C的左右支分别交于A、B两点，是否存在直线AB，使得 成立，若
存在，求出直线AB的方程；若不存在，请说明理由.
50．双曲线 的左顶点为A，右焦点为F，点B是双曲线C上一点．
（1）当 时，求双曲线两条渐近线的夹角；
（2）若直线BF的倾斜角为 ，与双曲线C的另一交点为D，且 ，求b的值；
（3）若 ，且 ，点E是双曲线C上位于第一象限的动点，求证： ．
51．已知双曲线 的右焦点为 ，一条渐近线方程为 ．
（1）求双曲线 的方程；
第 10 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（2）记 的左、右顶点分别为 ，过 的直线 交 的右支于 两点，连结 交直线 于点 ，求证：
三点共线．
52．已知双曲线 与 有相同的渐近线，且经过点 .
(1)求双曲线 的方程；
(2)已知直线 与双曲线 交于不同的两点 ，且线段 的中点在圆 上，求实数 的值.
53．设双曲线C： （a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F，F，渐近线分别为l，l，过F 作渐近线的
1 2 1 2 2
垂线，垂足为P，且△OPF 的面积为 ．
1
(1)求双曲线C的离心率；
(2)动直线l分别交直线l，l 于A，B两点（A，B分别在第一、四象限），且△OAB的面积恒为8，是否存在总与
1 2
直线l有且只有一个公共点的双曲线C，若存在，求出双曲线C的方程；若不存在，说明理由．
54．已知双曲线C的方程为 （ ），离心率为 .
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)过 的直线 交曲线 于 两点，求 的取值范围.
第 11 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．C
【分析】联立直线和双曲线方程，结合韦达定理和三角形的重心公式，转化为解 的重心 到 轴的距离即
可.
【详解】解：由题意得：
不妨设 ，
联立双曲线方程与直线方程
消去 得: ，故
因为 ，所以点 到 轴的距离为 ．
故选：C
2．D
【分析】先求出双曲线的渐进线方程，与 联立解出 ，由A是PB的中点，求出
点的坐标， 在双曲线上，代入双曲线的方程即可求出 的值.
【详解】双曲线 的渐近线方程为： ，因为l与C的两条渐近线分别交于A，B两点，所以
，解得： ，因为A是PB的中点，所以 ，又因为 在双曲线上，所
以 ，则 ，因为 ，所以 .
故选：D.
3．B
【分析】设动点 ， ，由双曲线方程可得 ， 的坐标，求出 ， 所在直线方程，可得 与 的坐标，
求得 ，再由动点 在双曲线 上，得 ，则 的值可求.
【详解】解：设动点 ， ，由双曲线方程 得 ， ，
则 ， ，
所以直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
由此得 ， ，
第 12 页所以 .
因为动点 在双曲线 上，所以 ，
所以 ，
则 .
故选：B.
4．B
【详解】联立直线方程和双曲线方程消去y然后可解出x ，从而得出直线和双曲线位置关系，得出答案.
【解答过程】由 得 整理得， ；
所以 ，故直线和双曲线只有一个交点；
又双曲线 的渐近线方程为：
与双曲线的一条渐近线平行且与双曲线只有一个交点.
所以直线和双曲线的位置关系为相交．
故选：B
5．C
【分析】联立方程组得 ，当 时， 无解；当 时，有一解．
【详解】将 代入 得
当 时， 无解；
当 时， ，所以至多有一个交点．
故选：C
6．C
【解析】根据直线和双曲线的位置关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】解：当“直线与双曲线有且只有一个公共点”成立时有可能是直线与双曲线的渐近线平行，
此时，“直线与双曲线相切”不成立
反之，“直线与双曲线相切”成立，一定能推出“直线与双曲线有且只有一个公共点”
所以“直线与双曲线有且只有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的必要不充分条件
故选： ．
7．D
【分析】根据椭圆与双曲线焦点的性质可 ，再联立直线与双曲线的方程，根据判别式为0得出等式，代
第 13 页入 求解即可.
【详解】因为双曲线与椭圆共焦点，所以 ，即 ．
又双曲线与直线 相切，由 ，化简得 ，
所以 ，即 ，
将 代入方程化简得 ，即 ， ，故 ，
解得 或 （舍去）．
故选：D．
8．D
【分析】由题意设直线 的方程，与双曲线方程联立消 得关于 的方程，根据条件得方程有两个不同的正根，结
合韦达定理列不等式组，从而可求出 的取值范围
【详解】由题意可得直线 斜率存在，设直线 的方程为 ，
设交点 ，
联立 可得 ，
由题意可得
解得： ，
故选：D．
9．B
【分析】求出椭圆的方程，设点 ，可得出 ，由点 在椭圆上，点 在双曲线上，可得
出关于 、 的方程组，求出 、 的值，利用斜率公式可求得 的值.
【详解】设所求椭圆的标准方程为 ，半焦距为 ，
双曲线 的左顶点为 ，右顶点为 ，
由于椭圆 以 ， 为顶点，则 ，该椭圆的离心率为 ，
所以， ，解得 ，所以，椭圆的方程为 ，
第 14 页设点 ，由于 ，则点 ，
由于点 在椭圆上，点 在双曲线上，
所以， ，联立得： ，解得 或 ，
当 ，所以 ，此时点 与点 重合，不满足题意舍去；
当 ，所以 ，所以 .
故选：B.
10．C
【分析】由 位于 轴的同侧，根据 ，利用 ，可得 ，再利用勾股定理求
得 的关系式，从而可得出答案.
【详解】解：由题意可知：双曲线的渐近线方程为 ，
由 位于 轴的同侧，如图，设 在 上， ，
则 ， ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
即 ，
因为 ，
所以 ，
在 中， ，所以 ，
所以 .
故选：C.
第 15 页11．A
【分析】由题意可知 ， ， 代入双曲线方程可得点 坐标，再由斜率公式列方程结合
可得 的关系，再求出 的值即可得渐近线 .
【详解】由题意可知： ， ，因为 垂直于 轴，可设 ，
在双曲线 中，令 可得 ，所以 ，
所以 ，若 的斜率为 ，则点 位于第一象限， ，
所以 ，即 ，所以 ，
所以 ，即 ，可得 或 （舍），
所以 ，即 ，
所以双曲线 的渐近线方程为 ，
故选：A.
12．B
【分析】根据题目信息画出准确图像，本题重难点在于合理利用三角形内心性质，以及角平分线定理，得到 关
系后即可求出离心率.
【详解】因为A在B的上方，且这两点都在C上，所以 ，
则 ．因为 ，所以A是线段 的中点，又 轴，所以 ， ，
所以 的内心G在线段 上．因为G到y轴的距离为 ，
所以 ，所以 ，因此 ，
第 16 页即 ．故 ．
故选：B
13．D
【分析】根据题意的到 ， ， 代入到双曲线方程，解得 ，即 ，则
，即 ，即 ，求解方程即可得到结果.
【详解】设原点为 ，∵直线 与双曲线 在第一象限的交点 在 轴上的投影恰好是 ，
∴ ，且 ，∴ ，
将 代入到双曲线方程，可得 ，解得 ，即 ，
则 ，即 ，即 ，解得 （舍负），
故 .
故选:D.
14．D
【分析】由直线与双曲线方程联立方程组，消元后利用判别式为0得 关系，然后再由 代入后可解得
．
【详解】由 得 ，
所以 ，
即 ，又 ，
所以 ， ， 或 （舍去），
故选：D．
15．B
【分析】根据直线 与双曲线的渐近线 的关系求得 ，从而求得 ，以及双曲线的离心率.
第 17 页【详解】依题意可知直线 与双曲线 的渐近线 平行或重合，则 ，
即 ， ，从而 ，所以 的离心率 .
故选: B
16．A
【分析】联立直线与曲线的方程，消去 可得关于 的方程，根据方程有实数解的条件求出 的取值范围即可.
【详解】由 可得： ，
因为直线 与双曲线 有公共点，
当 即 时，方程 或 有一解，此时直线与曲线有一个公共点，所以 符合题意，
由 ，可得 且 ，
因为 即 时成立，所以 ，可得 ，
所以 的取值范围为 ，
故选：A.
17．D
【分析】由已知可判断点P在双曲线 上，将已知转化为曲线 与双曲线 相
交，利用直线 与渐近线的位置关系可得解.
【详解】点 ， ，且 ，故点P在双曲线的下支上.
所以双曲线的方程为 ，其渐近线方程为
又点P在曲线 上，即点P在曲线 上，
即曲线 与双曲线 相交， ，即
故选：D
18．B
【分析】作出图像，利用 进行转化，根据图像求出 最大值，结合题设列出关
于a、b的不等式，求出 最小值，从而根据 求出离心率最小值.
第 18 页【详解】
如图所示，
，
由图可知 ， ，
∴ ，
若在线段 上存在点 ，使得 ，
则
，
.
故选：B.
19．A
【分析】利用双曲线渐近线的性质，结合一元二次方程根的判别式进行求解即可.
【详解】解：双曲线 的渐近线方程为 ，右顶点为 .
①直线 与双曲线只有一个公共点；
②过点 平行于渐近线 时，直线 与双曲线只有一个公共点；
③设过 的切线方程为 与双曲线 联立，
可得 ，
由 ，即 ，解得 ，直线 的条数为1.
综上可得，直线 的条数为4.
故选：A,.
20．D
【分析】可判断出点 不在曲线上,依据其几何性质可判断切线与平行于渐近线的直线均满足只有一个公共点的
第 19 页条件
【详解】由题可知点 不在双曲线上,则过该点可作双曲线的切线有2条,平行于渐近线的直线有2条,这4条直线
与双曲线均只有一个公共点
故选D
【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系,当过双曲线外一点作直线与双曲线只有一个公共点,由两种情况：
（1）直线与双曲线相切；（2）直线平行于双曲线的渐近线
21．C
【分析】由题意知可以得到原点到直线的距离小于等于1，即直线上有一点到原点的距离小于等于1，故直线 一
定经过圆面 内的点，再画出图象，结合图象分析即可．
【详解】解： 直线 被圆 所截的弦长不小于2， 圆心 到直线 的距离小于或等于1，
故直线 一定经过圆面 内的点，在平面直角坐标系中分别画出 ， 、
、 的图象如下所示：
对于A：
对于B：
对于C
第 20 页对于D：
结合图象可知，在四个选项中只有这个点一定在椭圆 内或椭圆 上，
与椭圆一定有公共点
故选：C．
22．D
【分析】以双曲线的两条渐近线作为边界条件，即可保证直线 与双曲线 的右支只有一个交点.
【详解】双曲线 ： 的两条渐近线为 和
两渐近线的倾斜角分别为 和
由经过点 的直线 与双曲线 的右支只有一个交点，
可知直线 的倾斜角取值范围为 ，
故直线 的斜率的取值范围是
故选：D
23．C
【分析】采用数形结合，根据 ，可得 ，然后根据到角公式简单计算可得结果.
第 21 页【详解】根据题意作出图形，
如图
一条渐近线 的方程为 ，即
点 到 的距离为
所以
由题知：
又 与圆 相切，且 ，所以可知 为 的中点
故 ，则
又 ，所以
所以 ，
故选：C.
24．C
【分析】利用双曲线的定义和性质得到 ，由渐近线方程得到渐近线的斜率，当
时，利用余弦定理和面积公式，通过面积相等的两种不同求法，建立关系，最终求出k的范围.
【详解】
焦点在x上
焦点坐标为
由双曲线的对称性可得
又
第 22 页又
又
而
当 时，整理得
又
又 的渐近线方程为
又
k的取值范围为
故选：C
25．A
【分析】根据双曲线的性质可得直线 与双曲线的渐近线方程为 ，重合或平行，即可求出 ，
再利用双曲线的定义转化可求最小值.
【详解】∵双曲线C： ，∴双曲线的渐近线方程为 ，
第 23 页∵对任意实数m，直线 与双曲线C的渐近线平行，
∴直线 与双曲线的渐近线方程为 平行，
∴ ，∴ ，∴ 为 ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 .
故选：A.
26．A
【分析】根据题意分别得到点A，B，C，D的坐标，然后根据双曲线的对称性得到点E在y轴上，进而得到点E
的坐标，再结合 得到 是等边三角形，利用三角形的知识得到a与b之间的关系，最后可得双曲
线的离心率.
【详解】在 中，令 ，得 ，
不妨设 ， ，同理可得 ， ，
由对称性可知，四边形ABCD的两条对角线的交点E在y轴上.
易知直线AC的方程为 ，
令 ，得 ，即 .
因为 ，
所以 是等边三角形，
，
所以 ，即 ，
因为 ，
所以 ，
所以 .
故选：A
27．A
【分析】作图，利用图中的直角三角形和双曲线的几何关系求出a与b的关系即可.
第 24 页【详解】
设坐标原点为O，M点在第一象限，则 ，则 ，
渐近线 的方程为 ， ，
运用点到直线的距离公式 ， ，
因为 ，∴ ，∴ ，
， ，
因为x轴平分∠MON， 所以 ，
又因为 ，所以 ，即 ，
得 ，
设C的离心率为e，则 ，所以 ；
故选：A.
28．A
【分析】设OP的斜率为k，求出 ， ，利用基本不等式求出 ，对照四
个选项即可得到答案.
【详解】因为以线段PQ为直径的圆恰过坐标原点O，所以 .
因为Q，P分别在双曲线的左、右两支，所以OP,OQ的斜率均存在，可设OP的斜率为k，则OQ的斜率为 ，
直线的方程为 .
由 ，解得： ，所以 .
同理可求： .
所以 ， ，所以 .
所以
第 25 页（当且仅当 时等号成立）.
故 .
故选：A
【点睛】解析几何中最值的计算方法有两类：
（1）几何法：利用几何图形求最值；
（2）代数法：把最值表示出来，利用函数（基本不等式）求最值.
29．B
【分析】设直线l的方程为y﹣2＝k（x﹣1），与双曲线方程联立方程组，由方程组无解（相应方程无解）得结论．
【详解】解：由题意l的斜率存在，设直线l的方程为y﹣2＝k（x﹣1），
与双曲线方程联立 ，
消去y，并整理得（4﹣k2）x2+2（k2﹣2k）x﹣k2+4k﹣8＝0，
若4﹣k2＝0，即k＝±2，
当k＝2时，方程即为﹣4＝0，方程无解，直线l与双曲线无交点，符合题意；
当k＝﹣2是，方程即为16x﹣20＝0，方程有一个解，此时直线l与双曲线有一个交点，不符合题意；
若4﹣k2≠0，∵过点P（1，2）直线l与双曲线没有交点，
∴△＝[2（k2﹣2k）]2﹣4（4﹣k2）（﹣k2+4k﹣8）＝64（﹣k+2）＜0，
解得k＞2．
综上所述，直线l斜率的取值范围是[2，+∞）．
故选：B．
30．A
【分析】由直线 与双曲线 无公共点可得 ，然后即可求出 的范围
【详解】双曲线的一条渐近线为 ，因为直线 与双曲线无公共点，
故有 ，即 ， ，
所以 ，所以 .
所以 的范围为
故选：A
31．B
【解析】由题意设 ， ， ，则 ，求出 ， ， 的坐标，根据 得
到 ，由点 在圆上得到 ，把点 ， 坐标代入双曲线方程联立，可得答案.
第 26 页【详解】由题意设 ， ， ，则 ，
， ， ．
， ， ．
以 为直径的圆过点 ， ，
即 ①，
点 ， 均在双曲线上， ②， ③．
②-③整理得 ，将 代入，整理得 ，
于是 ，最后将 ， 代入双曲线方程，整理得 ，所以 ．
故选：B.
【点睛】本题考查了直线与双曲线的位置关系、圆的有关性质及与向量的结合，关键点是利用 和
得到点之间的关系，考查了学生分析问题、解决问题的能力.
32．C
【分析】由双曲线定义可知 分别位于双曲线 的左右半支上，由双曲线方程可得其渐近线方程，将
选项中的直线斜率与双曲线渐近线斜率比较即可确定直线与双曲线交点情况，由此可得结果.
【详解】解： ， ，
在以 为焦点的双曲线 的双曲线上，且 在双曲线右半支上， 在双曲线左半支上；
的渐近线方程为 ，
对于A， 为双曲线渐近线，则其与双曲线无交点，不合题意，所以选项A错误；
对于B，当 时， ，直线与双曲线没有交点，不符合题意，所以选项B错误；
对于C， 的斜率 且过点 ， 与 交于两点，且两点分别位于左右半支，符合
题意，所以选项C正确；
对于D， 的斜率 且过坐标原点， 与 无交点，不合题意，所以选项D错误.
故选：C
33．D
【分析】根据双曲线的标准方程求出渐近线方程，以 为直径的圆的方程， 点坐标， 的面积然后判
断各选项．
第 27 页【详解】由双曲线方程 知 ，焦点在 轴，渐近线方程为 ，A正确；
，以 为直径的圆的方程是 ，D错；
由 得 或 ，由对称性知 点横坐标是 ，B正确；
，C正确．
故选：D．
34．A
【分析】求出双曲线的渐近线方程，然后判断直线与双曲线的交点个数即可．
【详解】解：双曲线 的渐近线方程为： ，因为直线 与双曲线 的一条渐近
线平行，
在 轴上的截距为3，所以直线 与双曲线 的交点个数是：1．
故选：A．
35．B
【分析】设过点P与双曲线相切的直线方程，并与双曲线方程联立，利用判别式等于0，可得关于切线斜率的方程，
由两条切线互相垂直可得点P在单位圆上，然后利用两个圆有公共点即可得到r的取值范围.
【详解】设点 ，且过点P与双曲线相切的直线方程为 ，
两条直线PA、P B的斜率为 ，
联立 得， ，
，
整理 可得 ，且方程的两个根为
因为 ，可得
即 ，整理得 ，
即点 在圆 上，圆心为（0,0），半径为1，
又在圆 上，圆心为（0,2），半径为 ，
由圆与圆有交点可得 ，解得 ，
故选：B
36．A
【分析】直线 的斜率和渐近线的斜率比较，得到直线 的斜率的取值范围.
第 28 页【详解】由双曲线的方程 可得其渐近线方程为 ，故当点 ， 分别在双曲线的左支和右支上时，
直线 的斜率的取值范围是 .
故选：A.
37．AB
【分析】若曲线 是椭圆，根据椭圆的方程列出关于 的不等式组，解不等式组求出 的取值范围，进而可判断
选项B；若曲线 是双曲线，根据双曲线的方程列出关于 的不等式组，解不等式组求出 的取值范围，进而可
判断选项C；若曲线 为椭圆或双曲线，分别确定对应的 的值，求出曲线的焦点坐标可判断选项A；根据直
线 确定直线过定点 ，举出反例，当 ，直线 与曲线 不一定恒
有两个交点，从而判断选项D.
【详解】若曲线表示椭圆，
∵ ，
∴ ， ，
则 ，
即椭圆焦点在 轴，
则 ，得 ，此时焦点坐标为
若曲线表示双曲线，由 ，得 ，
此时双曲线的标准方程为 ，
则 ， ，
即焦点在 轴，则 ，得 ，
此时焦点坐标为 ，故A正确；
若曲线表示椭圆，
∵ ，
∴ ， ，则 ，故B正确；
若曲线表示双曲线，由 ，得 ，故C错误；
由 得 ，
得 ，得 ， ，
即直线过定点 ，
当曲线为双曲线时， ，此时 ，
当 时， ，此时，双曲线右顶点为 ，在点 的右侧，
此时直线不一定有两个交点，故D错误.
故选：AB.
第 29 页38．BD
【分析】由已知条件求出双曲线方程，然后逐个分析判断即可
【详解】由题意设双曲线方程为 ，
因为双曲线的渐近线方程为 ，实轴长为4，
所以 ，解得 ，双曲线方程为 ，
所以 ，
对于A，该双曲线的虚轴长为2，所以A错误，
对于B，该双曲线的焦距为 ，所以B正确，
对于C，该双曲线的离心率为 ，所以C错误，
对于D，由 ，得 ，因为 ，所以方程 有两个
不相等的实根，所以直线 与该双曲线有两个公共点，所以D正确，
故选：BD
39．ACD
【分析】把 代入曲线 的方程可判断A；分别令 、 、 ，得 的范围可判断B；由曲线
的方程可得 ，根据 可判断 C；
直线 与曲线方程联立，根据方程的解可判断D.
【详解】把 代入 得 ，
所以曲线 的图象关于原点对称，故A正确；
令 解得 ，或 ，即曲线经过 ，
结合图象， ，
令 ，得 ，令 ，得 ，
因此结合图象曲线 只能经过3个整点， ，故B错误；
可得 ，
所以曲线 上任意一点到坐标原点 的距离 ，即都不超过3，
故 C正确；
直线 与曲线 一定有公共点 ，
第 30 页若直线 与曲线 只有一个交点，
所以 ，整理得 无解，
即 ，解得 ，故D正确.
故选：ACD.
40．ABD
【分析】根据题意画出对应的图像，A选项根据图像可得，B选项要结合图像以及双曲线的定义，性质进行化简计
算，C选项根据内切圆半径的公式计算即可，D选项设点表示斜率，结合双曲线方程进行化简
【详解】
如上图所示，因为 分别是 的中点，所以 中， ，所以 轴
A选项中，因为直线 的倾斜角为 ，所以 ，故A正确
B选项中， 中， ，
所以 ，得： ，故B正确
C选项中， 的周长为 ，设内切圆为 ，根据三角形的等面积法，有 ，得：
，是与 有关的式子，所以C错误
D选项中， 关于原点对称，可设 ， ，根据 得： ，所以当
斜率存在时，
， ， ，因为 在双曲线上，所以 ，即 ，
得： ，
所以 ，故D正确
故选：ABD
【点睛】题目比较综合，涉及到图像特点的应用；通过找到 之间的等量关系求解离心率；等面积法计算内切圆
半径；设点法证明斜率乘积为定值
41．CD
第 31 页【解析】由已知结合斜率的两点式有 ，即可得 的方程为 ，进而可求 的离
心率，利用圆心到 的渐近线距离判断圆与 的渐近线的位置关系，联立直线 与曲线 ，结合
求 值的个数，由此即可判断各选项的正误.
【详解】令 ，由题意得： ，即得 ，
∴A错误，又 ，即 ，故B错误，
由E的渐近线为 ，而 圆心为 ，半径为1，
∴ 到 距离为 ，故 的渐近线与圆 相切，故C正确，
联立曲线E与直线 的方程，整理得： ， ，
∴ ，而 ，
代入整理： ，即有 或 (由 与 无交点，舍去)，故 ，
∴D正确.
故选：CD
【点睛】易错点睛：
（1）两点式表示斜率时要保证分母不为0，从而确定曲线E的轨迹要去掉 .
（2）由 求得 值要考虑曲线E的轨迹不包含 的情况舍掉增根.
42．CD
【分析】对于A：判断出 ，由定义和勾股定理联立方程组即可求得；对于B：利用双曲线的定义直接
求得；对于C：先求出双曲线的渐近线方程，由P在双曲线右支上，即可得到n所在直线的斜率的范围；对于D：
设直线PT的方程为 .利用相切解得 ，进而求出 .即可求出 .
【详解】对于A：若 ，则 .
因为P在双曲线右支上，所以 .由勾股定理得：
二者联立解得： .故A错误；
对于B：光由 所经过的路程为
.
第 32 页故B错误；
对于C：双曲线 的方程为 .设左、右顶点分别为A、B.如图示：
当 与 同向共线时， 的方向为 ，此时k=0，最小.
因为P在双曲线右支上，所以n所在直线的斜率为 .即 .
故C正确.
对于D：设直线PT的方程为 .
，消去y可得： .
其中 ，即 ，解得
代入 ，有 ，解得：x=9.
由P在双曲线右支上，即 ，解得： （ 舍去），所以 .
所以 .
故D正确
故选：CD
43． 或
【分析】设直线 的方程为 ，联立直线与双曲线方程，消去 并化简，由题意有 ，将 用
第 33 页表示，从而可求得 点的坐标，再根据直线 的斜率为 ，可得 的齐次式，从而可得出答案.
【详解】解：设直线 的方程为 ，
联立 ，消去 并化简得 ，（*）
由题意得 ，即 ，
代入方程（*）并化简得 ，
所以 ，代入双曲线方程可得 ，
即 ， ，
，即 ，
即 ，化简得 ，解得 或 .
故答案为： 或 .
44．3
【分析】根据题意点 ， 关于原点对称，设 ， ， 三点的坐标，通过“点差法”求 与离心率的关系.
【详解】据题意，点 ， 关于原点对称，设点 ， ， ，则
， .两式相减，得 ，则 .
因为 ，所以 .
故答案为：3
45．2
【分析】利用均值不等式可得 的最小值，即 的值，再分情况讨论去掉绝对值，最后联立直线方程求解即可
得答案.
【详解】解：因为 ，所以 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，
所以函数 的最小值为 ，
所以 ，
所以曲线 ，即为 ，
①当 时，曲线 ，即 ，联立直线方程 ，解得交点为 和 ；
第 34 页②当 时，曲线 ，即 ，联立直线方程 可得无交点；
③当 时，曲线 ，即 不存在，所以无交点；
④当 时，曲线 ，即 ，联立直线方程 ，可得无交点；
综上，直线 与曲线 的交点为 和 ，
故答案为：2.
46．
【分析】由题意可得直线 与双曲线的一条渐近线平行，从而可求出 的值，进而可求出双曲线的离心率
【详解】双曲线 的渐近线方程为 ， ，
因为直线 与双曲线 有且只有一个公共点，
所以直线 与渐近线 平行，
所以 ，
所以 ，
所以双曲线的离心率为 ，
故答案为：
47．
【分析】先由双曲线的离心率为2，求出 .设直线l的方程为 ,与渐近线方程联立求得A,B的坐标，表
示出 ，利用函数值域，即可得到 的取值范围.
【详解】因为双曲线的离心率为2，所以 ，所以 ，即 ，所以
设直线l的方程为 ,其中 ,即 .
分别将 代 与 得A,B的坐标分别为 .
所以 .
因为 ，所以 的取值范围为
故答案为：
48．
第 35 页【分析】画出直线与曲线的图象，结合图象可得答案.
【详解】由曲线C： 得，当 时 ；当 时 ；
直线l： 恒过 点，
所以直线与曲线的图象为
当直线 与 相切时，此时 ，
直线l与曲线C只有一个公共点；
当直线 中 时，直线与曲线有两个交点；
当直线 与 相切时，联立方程 ，
，整理的 ，
= =0
解得 ，此时直线l与曲线C恰有两个公共点；
直线 与曲线 要恰有2个公共点，
可得 ，或 或 ，
故答案为：
49．(1) ；
(2)存在，直线AB的方程为： 或 .
【分析】(1)根据给定的渐近线方程及所过的点列式计算作答.
(2)假定存在符合条件的直线AB，设出其方程，借助弦长公式计算判断作答.
(1)
依题意， ，解得： ，
第 36 页所以双曲线C的标准方程是 .
(2)
假定存在直线AB，使得 成立，显然 不垂直于y轴，否则 ，
设直线 ： ，由 消去x并整理得： ，
因直线 与双曲线C的左右支分别交于A、B两点，设 ，
于是得 ，则有 ，即 或 ，
因此， ，解得 ，
所以存在直线AB，使得 成立，此时，直线AB的方程为： 或 .
50．（1） ；（2） 或 ；（3）证明见解析．
【分析】（1）当 时，求得双曲线 的渐近线方程，结合两直线的夹角公式，即可求解；
（2）设 ，得到直线 的方程为 ，代入双曲线的方程，结合弦长公式列出方程，即可求解；
（3）得到点 的纵坐标 ，求得双曲线的方程，设 ，求得 ， ，进
而得到所以 ，即可得证.
【详解】（1）当 时，双曲线 的渐近线方程为 ，
设两条渐近线的夹角为 ，则 ，
所以两条渐近线的夹角为 .
（2）设 ，其中 ，则直线 的方程为 ，
代入双曲线 ，整理得 ，
由题意，可得 ，
设 ， ，
则 ，
第 37 页又由 ，即 ，解得 或 .
（3）由题意 ，故点 的纵坐标满足 ，
由 ，所以 ，所以 ， ，所以双曲线的方程是 ，
设 ，则 ， ，
所以 ，
所以 ，
又因为 ，所以 .
【点睛】直线与圆锥曲线的综合问题的求解策略：
对于直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用问题，通常联立直线方程与圆锥曲线方程，应用一元二次方程根与系
数的关系，以及弦长公式等进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考
生的逻辑思维能力、运算求解能力．
51．（1） ；（2）证明见解析.
【分析】（1）根据题意得 ，再根据 即可求得答案；
（2）由题知 ， ，直线 的斜率不为0，故设其方程为 ， ， ，进而结
合直线 的方程得 ，再根据向量共线的坐标表示判断 ， 共线即可.
【详解】解:（1）依题意可得 ， ，
解得 ， 故 的方程为 .
（2）易得 ，
显然，直线 的斜率不为0，设其方程为 ， ，
联立方程 ，消去 整理得 ，
所以 ， ．
直线 ，令 得 ，故
第 38 页， ，
，（*）
又
，即 的值为0．
所以 故A、Q、N三点共线．﹒
52．(1)
(2)
【分析】（1）根据所求双曲线与 有共同的渐近线可设出所求双曲线 方程为 ，
在根据点 在双曲线 上，代入双曲线 方程中即可求解.
（2）联立直线与双曲线的方程，得关于 的一元二次方程，利用韦达定理得出 的关系，再根据
中点坐标公式求出线段 的中点的坐标，代入圆方程即可求解.
(1)
由题意，设双曲线的方程为 ，则
又因为双曲线过点 ， ，
所以双曲线 的方程为：
(2)
由 ，消去 整理，得 ，
设 ，则
因为直线与双曲线交于不同的两点，
所以 ，解得 .
，
所以
第 39 页则 中点坐标为 ，代入圆
得 ，解得 .
实数 的值为
53．(1)
(2)存在，
【分析】（1）由△OPF 的面积为 ，可得a，b的比值，再求离心率即可，
1
（2）先求得A，B的坐标，及△OAB的面积恒为8，得直线l的方程，再联立双曲线的方程，得△＝0，即可求得
双曲线的方程．
（1）
，双曲线的渐近线方程为 ，
由双曲线的对称性不妨取渐近线 ，则点 到其的距离为
，
则 ，
得 ，
解得 ，
所以双曲线C的离心率 ．
（2）
由 （1）得渐近线l
1
：y＝2x，l
2
：y＝−2x，设双曲线得方程为 ，
依题意得直线l的斜率不为零，
因此设直线l的方程为 ，
设直线l交x轴于点C（t，0），A（x，y），B（x，y），
1 1 2 2
联立 得 ，同理得 ．
由△OAB的面积 ，
得 ，
第 40 页即t2＝4|1−4m2|＝4（1−4m2）＞0，
联立
得（4m2−1）y2+8mty+4（t2−a2）＝0，，
因为 ，所以，直线l与双曲线只有一个公共点当且仅当Δ＝0，
即 ，
化简得 ，
将（1）式代入可得 ，
解得 ，
因此双曲线的方程为 ，
因此，存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线，双曲线C的方程为 ．
54．(1) ；
(2) .
【分析】（1）根据题意，结合离心率易，知双曲线为等轴双曲线，进而可求解；
（2）根据题意，分直线斜率否存在两种情形讨论，结合设而不求法以及向量数量积的坐标公式，即可求解.
(1)
根据题意，由离心率为 ，知双曲线是等轴双曲线，所以
，故双曲线 的标准方程为 .
(2)
当直线斜率存在时，设直线 的方程为 ，
则由 消去 ，得到 ，
∵直线与双曲线交于M､N两点， ，解得 .
设 ，则有 ， ，
因此 ，
第 41 页∵ ，∴ 且 ，故 或 ，
故 ；
②当直线 的斜率不存在时，此时 ，易知 ， ，故 .
综上所述，所求 的取值范围是 .
第 42 页第 43 页
