文档内容
微专题：双曲线的焦点三角形问题
【考点梳理】
1、双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦
定理、余弦定理、面积定理、||PF|-|PF||＝2a，得到a，c的关系．
1 2
2、P为双曲线上一点，则|OP|≥a，|PF|≥c－a，△PFF 的面积为S＝b2·＝(θ＝∠FPF).
1 1 2 1 2
【典例剖析】
典例1．已知 ， 分别为双曲线 （ ）的左、右焦点， ， 是 右支上的两点，且直线
经过点 ．若 ，以 为直径的圆经过点 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
典例2．已知 为双曲线 的左焦点， 为双曲线 同一支上的两点．若 ，点 在
线段 上，则 的周长为（ ）
A． B． C． D．
典例3．已知双曲线 的左、右焦点分别为 为坐标原点， 为双曲线在第一象限上的
点，直线 分别交双曲线 的左、右支于 ， ，若 ，且 ，则双曲线的离心率
为（ ）
A． B． C． D．
典例4．双曲线的光学性质如下：如图1，从双曲线右焦点 发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长
线经过左焦点 ．我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质．某“双曲线灯”
的轴截面是双曲线一部分，如图2，其方程为 ， 分别为其左、右焦点，若从右焦点 发出的光线
第 1 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司经双曲线上的点A和点B反射后（ ，A，B在同一直线上），满足 ，则该双曲线的离心率
的平方为（ ）
A． B． C． D．
典例5．设 ， 是双曲线 的左、右焦点，一条渐近线方程为 ， 为双曲线上一点，且
，则 的面积等于（ ）
A． B． C． D．
【双基达标】
6．已知双曲线 ： 的左右焦点分别为 ， ，以 为直径的圆交双曲线的右支于点 ，
若 ，则双曲线 的离心率为( )
A． B． C． D．
7．设 ， 是双曲线 的左、右焦点，P为双曲线上一点，且 ，则 的面积等于
（ ）
A．6 B．12 C． D．
8．从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点；从双曲线的一个焦点发出
的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.如图①，一个光学装置由有公共焦
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司点 的椭圆 与双曲线 构成，现一光线从左焦点 发出，依次经 与 反射，又回到了点 ，历时 秒；若
将装置中的 去掉，如图②，此光线从点 发出，经 两次反射后又回到了点 ，历时 秒；若 ，则 的长
轴长与 的实轴长之比为（ ）
A． B． C． D．
9．设 、 是双曲线C： 的两个焦点，P是C上一点，若 ，∠ 是△
的最小内角，且 ，则双曲线C的渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
10．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，P是双曲线上一点，且 （
为坐标原点），若 内切圆的半径为 ，则C的离心率是（ ）
A． B． C． D．
11．已知 、 分别为双曲线 的左、右焦点，且 ，点 为双曲线右支一点， 为
的内心，若 成立，给出下列结论：
①当 轴时，
②离心率
③
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司④点 的横坐标为定值
上述结论正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③④ D．②③④
12．双曲线 ： 的左、右焦点分别为 、 ，过 的直线 与y轴交于点A、与双曲线右支
交于点B，若 为等边三角形，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
13．已知双曲线 ： 的上、下焦点分别为 ， ， 为双曲线 上一点，且满足 ，
则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
14．已知双曲线 （ ）的左､右焦点分别为 ， ，过点 作一条渐近线的垂线，垂足为P若
的面积为 ，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．3 D．
15．设双曲线 ： 的左、右焦点分别为 、 ，P为C上一点，且 ，
，则双曲线 的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
16．已知双曲线 ： 与直线 交于 ， 两点，点 为 上一动点，记直线 ， 的斜
率分别为 ， ， 的左､右焦点分别为 ， .若 ，且 的焦点到渐近线的距离为1，则（ ）
A．
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司B． 的离心率为
C．若 ，则 的面积为2
D．若 的面积为 ，则 为钝角三角形
17．设 、 是双曲线 的左、右焦点， 是双曲线 右支上一点，若 ，点
到直线 的距离为 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
18．已知双曲线 ，直线l过其上焦点 ，交双曲线上支于A，B两点，且 ， 为双曲线下焦点，
的周长为18，则m值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．
19．双曲线 的两个焦点分别是 ，点 是双曲线上一点且满足 ，则 的面积为
（ ）
A． B． C． D．
20．已知点 为双曲线 右支上一点，点 ， 分别为双曲线的左右焦点，点 是 的
内心（三角形内切圆的圆心），若恒有 成立，则双曲线的离心率取值范围是
A． B． C． D．
21．设 为双曲线 与椭圆 的公共的左右焦点，它们在第一象限内交于点 是以线段
为底边的等腰三角形，若椭圆 的离心率范围为 ，则双曲线 的离心率取值范围是（ ）
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
22．已知 ， 分别是双曲线 的左､右焦点，点P是双曲线上一点，若
，且 的最小内角为 ，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
23．已知双曲线 的左右焦点分别为 ， ，过 的直线与双曲线 的左支交于 ， 两点，若
，则 的周长为（ ）
A． B． C． D．
24．在 中， ， ，点C在双曲线 上，则 （ ）
A． B． C． D．
25．已知 ， 分别是双曲线 的左，右焦点，若 是双曲线左支上的点，且 ．则
的面积为（ ）
A．8 B．16 C．24 D．
【高分突破】
一、单选题
26．已知第一象限内的点M既在双曲线 上，又在抛物线 上，设 的
左、右焦点分别为 、 ，若 的焦点为 ，且 是以 为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为
（ ）
A． B． C． D．
27．已知椭圆 与双曲线 有相同的左焦点 、右焦点 ，点 是两曲线的一个交点，且 .过
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司作倾斜角为45°的直线交 于 ， 两点（点 在 轴的上方），且 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
28．已知双曲线 的左､右焦点分别为 ， ，点 在双曲线 的左支上，若 ，且线
段 的中点在 轴上，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
29．已知双曲线 ，过原点作一条倾斜角为 的直线分别交双曲线左、右两支于 、 两点，
以线段 为直径的圆过右焦点 ，则双曲线的离心率为（ ）.
A． B． C． D．
30．已知 是双曲线 的左、右焦点，点P在C上， ，则 等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
二、多选题
31．如图， ， 是双曲线 ： 与椭圆 的公共焦点，点 是 ， 在第一象限内的公共点，设
方程为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．
B． 的内切圆与 轴相切于点
第 7 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司C．若 ，则 的离心率为
D．若 ，则 的方程为
32．（多选）已知点P在双曲线C： 上， ， 分别是双曲线C的左、右焦点，若 的面积为
20，则（ ）
A．点P到x轴的距离为 B．
C． 为钝角三角形 D．
33．已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，过 的直线与双曲线的右支交于A、 两点，若
，则( )
A．
B．双曲线的离心率
C．直线的 斜率为
D．原点 在以 为圆心， 为半径的圆上
34．已知对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线C过点 ，则（ ）
A．双曲线C的焦点到渐近线的距离为2
B．双曲线C的虚轴长为2
C．双曲线C的两条渐近线互相垂直
D． 为双曲线C的两个焦点，过 的直线与双曲线C的一支相交于P，Q两点，则 的周长为8
35．双曲线具有如下光学性质：如图 ， 是双曲线的左、右焦点，从右焦点 发出的光线m交双曲线右支于点
P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点 ．若双曲线C的方程为 ，下列结论正确的是
（ ）
第 8 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．若 ，则
B．当n过 时，光由 所经过的路程为13
C．射线n所在直线的斜率为k，则
D．若 ，直线PT与C相切，则
36．双曲线上 的焦点分别为 ， ，点P在双曲线上，下列结论正确的是( )
A．该双曲线的离心率为 B．该双曲线的渐进线方程为
C．若 ，则 的面积为16 D．点P到两渐近线的距离乘积
37．已知 是双曲线 的左右焦点，过 作倾斜角为 的直线交双曲线右支于点 ，且
轴，下列判断正确的是（ ）
A． B． 的离心率等于
C． 的内切圆半径 D．若A， 为 上的两点且关于原点对称，则 的斜率存在时
其乘积为2
38．已知 为双曲线 的左右焦点， 关于一条渐近线的对称点 刚好落在双曲线上，则下
列说法正确的是（ ）
A．
第 9 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司B．双曲线的离心率
C．
D．渐近线方程为
三、填空题
39．如图所示，已知分别为双曲线 的左、右焦点，过 的直线与双曲线的右支交于 、 两点，记
的内切圆 的面积为 ， 的内切圆 的面积为 ，则 的取值范围是_______
40．已知 是双曲线 的两个焦点，P为双曲线C上的一点.若 为直角三角形，则 的
面积等于______________.
41．已知椭圆 和双曲线 有公共的焦点 ､ ，曲线 和 在第一象限相交于点P.且 ，若椭圆 的
离心率的取值范围是 ，则双曲线 的离心率的取值范围是___________.
42．已知 ， 为双曲线 ： （ ， ）的左、右焦点，双曲线的离心率为2，点 在双曲线
的右支上，且 的中点 在圆 ： 上，其中 为双曲线的半焦距，则 ______.
43．如图， ， 分别是双曲线C： 的左､右焦点，以 为直径的圆与C交于点B，弦
第 10 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司与C交于A点，连接 ，若 ，则C的离心率为___________.
44．已知双曲线 的左，右焦点分别为 ， ，过右焦点 且倾斜角为 直线l与该双曲线交于M，N
两点（点M位于第一象限）， 的内切圆半径为 ， 的内切圆半径为 ，则 为___________.
四、解答题
45．已知双曲线两个焦点分别是 ，点 在双曲线上.
(1)求双曲线的标准方程及其渐近线方程；
(2)过双曲线的右焦点 且倾斜角为 的直线与双曲线交于A，B两点，求 的周长.
46．已知双曲线 ， ， 是其两个焦点，点 在双曲线上.
(1)若 ，求 的面积；
(2)若 ，求 的面积.
47．已知 、 分别是双曲线 的左右焦点，过右焦点 作倾斜角为 的直线交双曲线于A、B两点．
（Ⅰ）求线段 的长；
（Ⅱ）求 的周长．
48．中心都在坐标原点的椭圆与双曲线，它们有共同的在x轴上的焦点 、 ，且 ，其中椭圆与双曲
线的离心率之比为1:4，椭圆的长半轴长与双曲线的实半轴长之差为6．
(1)求椭圆和双曲线的标准方程；
第 11 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(2)若点N是椭圆和双曲线的一个交点，求 ．
49．在双曲线C： 中， ､ 分别为双曲线C的左右两个焦点，P为双曲线上且在第一象限内的点，
的重心为G，内心为I.
（1）求内心I的横坐标；
（2）已知A为双曲线C的左顶点，直线l过右焦点 与双曲线C交于M、N两点，若 、 的斜率 、 满
足 ，求直线l的方程；
（3）若 ，求点P的坐标.
50．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线 的左右焦点分别为F(－c，0)，F(c，0)，离心
1 2
率为e，且点(e，3)，( ，b)都在双曲线C上.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若A，B是双曲线C上位于x轴上方的两点，且AF//BF.证明： 为定值.
1 2
第 12 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．A
【分析】由以 为直径的圆经过点 得 ，结合双曲线的定义及勾股定理可得解.
【详解】由题意得 ，设 ，则 ， ， ， ，
在 中，由勾股定理得 ，解得 ，
则 ， ，
在 中，由勾股定理得 ，化简得 ，
所以 的离心率 ，
故选：A.
2．C
【分析】根据已知条件得出焦点坐标，并作出图形，利用双曲线的定义及三角形的周长公式即可求解.
【详解】由题意可知， ，所以 ，解得 ，
所以双曲线 的左焦点 ，所以点 是双曲线 的右焦点．作出双曲线 ，如图所示．
由双曲线的定义，知 ①， ②，
由①②，得 ，
又 ，
所以 的周长为 ．
故选：C.
3．B
【分析】由双曲线的定义可得 ， ，由平面几何知识可得四边形 为平行四边形，
第 13 页，在 中，由余弦定理可得关于 ， 的方程，再由离心率公式即可求解．
【详解】由双曲线的定义可得 ，
由 ，可得 ， ，
结合双曲线性质对称性可得 ， ，
可得四边形 为平行四边形，所以 ，
所以 ，
在 中，由余弦定理可得： ，
将 ， ， ， 代入可得：
，即 ，
所以双曲线的离心率为 ，
故选：B．
4．D
【分析】设 ，根据题意可得 ，由双曲线定义得 、 ，进而求出 （用 表示），
然后在 中，应用勾股定理得出 的关系，求得离心率．
【详解】易知 共线， 共线，如图，设 ，
则 .因为 ，所以 ，
则 ，则 ，
又因为 ，所以 ，则 ,
在 中， ，即 ，
所以 .
第 14 页故选：D
5．A
【分析】根据渐近线方程可求得 ，由双曲线定义可求得 ，由勾股定理知 ，由此可求得所求面
积.
【详解】由双曲线方程知其渐近线方程为： ，又一条渐近线方程为 ， ，
由双曲线定义知： ，
解得： ， ，又 ，
， ，
.
故选：A.
6．D
【分析】利用圆的性质可得△ 为直角三角形，利用直角三角形的性质与双曲线的定义可表示出每一边，再利
用双曲线的离心率公式进行计算.
【详解】由题意， ，又 ， ，则 ， ，由双曲线定义，
，则离心率 .
故选：D.
7．A
【分析】利用双曲线定义结合已知求出 及 ，再求出焦距 即可计算作答.
【详解】双曲线 的实半轴长 ，半焦距 ，因此， ，
因 ，由双曲线定义得 ，解得 ， ，
显然有 ，即 是直角三角形，
所以 的面积 .
故选：A
8．D
第 15 页【分析】在图①和图②中，利用椭圆和双曲线的定义，分别求得 和 的周长，再根据光速相同，且
求解.
【详解】在图①中，由椭圆的定义得： ，由双曲线的定义得 ，
两式相减得 ，
所以 的周长为 ，
在图②中， 的周长为 ，
因为光速相同，且 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
即 的长轴长与 的实轴长之比为 ，
故选：D
9．B
【分析】由已知及双曲线的性质可得 ，在焦点三角形中应用余弦定理得到参数a、c的齐次方程，
进而可得a、b、c的数量关系，写出渐近线方程.
【详解】由∠ 是△ 的最小内角，
根据双曲线性质知： ，则 ，
又 ，可得 ，而 ， ，
所以 ，则 ，
所以 ，故 ，则渐近线为 .
故选：B
10．C
【分析】由 分析可得 ，根据内切圆性质结合双曲线定义分析可得切点D为双曲线的
右顶点，在 中，由勾股定理列式求解.
【详解】 ，即为 ，即为 ，可得 ．所以 ．
根据双曲线的对称性，不妨设点P在第一象限，如图所示，由题意设 的内切圆切三边分别于G，D，E三
点，则 ， ， ．
又 ，所以 ．
设 ，则 ，所以 ，
所以切点D为双曲线的右顶点，所以 ，
．
第 16 页在 中，由勾股定理得 ，
整理得 ，即 ，解得 ，
又因为 ，所以C的离心率为 ，
故选：C．
11．D
【解析】当 轴时，求出 ，判定①不正确；通过求解离心率，可判定②正确；设 的内
切圆半径为 ，利用面积公式求得 ，可判定③正确；设内切圆与 , 的切点分别为 ，结合双曲
线的定义，求得 的横坐标，可判定④正确.
【详解】当 轴时，可得 ，此时 ，所以①不正确；
因为 ，所以 ，整理得 ，
可得 （其中 为双曲线的离心率， ），所以 ，所以②正确；
设 的内切圆半径为 ，
由双曲线的定义可得 ，
其中 ，
因为 ，所以 ，
解得 ，所以③正确；
设内切圆与 , 的切点分别为 ，
可得 ，
第 17 页因为 ，
可得 ，则点 的坐标为 ，
所以 点横坐标为 ，所以④正确.
故选：D.
【点睛】求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：
1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得 得值，根据离心率的定义求解离心率 ；
2、齐次式法：由已知条件得出关于 的二元齐次方程，然后转化为关于 的一元二次方程求解；
3、特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.
12．B
【分析】由双曲线的定义知， ，又 为等边三角形，所以
，由对称性有 ，所以 ，在直角三角形
中，求出 ，在三角形 中，由余弦定理求出 ，从而即可求解.
【详解】解：由双曲线的定义知， ，又 为等边三角形，
所以 ，由对称性有 ，
所以 ，
在直角三角形 中， ，
第 18 页在三角形 中，由余弦定理有 ，
所以 ，解得 ，所以双曲线C的离心率 ，
故选：B.
13．A
【分析】记 ， ，根据双曲线定义结合余弦定理可得 ，再利用三角形面积
公式可推得 ，即可求得答案.
【详解】记 ， ， ，
∵ ，∴ ，
在 中，由余弦定理得 ，
配方得 ，即 ，
∴ ，
由任意三角形的面积公式得 ，
∴ ，而 ， ， ，
故选：A.
14．B
【分析】易知渐近线的垂线方程为 ，求得垂足P的坐标，然后由 的面积为
求解.
【详解】解：设过右焦点 且与渐近线 垂直的直线为l，
则直线l的方程为 .
由 ，
得 ， ，
即 .
第 19 页则 的面积为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
故选：B
15．B
【分析】根据双曲线的定义结合 ，求得 ，在 中，利用余弦定理求得 之间的关
系，即可得出答案.
【详解】解：因为在双曲线中，因为 ，
所以 ，
所以 ，
在 中， ， ，
由余弦定理可得 ，
即 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以双曲线 的渐近线方程为 .
故选：B.
16．D
【分析】设点A(x，y)，B(-x，-y)，P(x，y)，利用点差法求解直线的斜率，得到a、b关系，
1 1 1 1 0 0
通过点到直线的距离求解c，求出a，b，即可推出离心率，判断A，B的正误；
第 20 页设P在双曲线的右支上，记 则 ，利用 ，转化求解三角形的面积，判断C；
设P(x，y)，通过三角形的面积求解P的坐标，结合双曲线的定义以及余弦定理，判断三 角形的形状，判断D.
0 0
【详解】设点A(x，y)，B(-x，-y)，P(x，y)
1 1 1 1 0 0
则 ，且 ，两式相减得 ，
所以 ，因为 ，所以 ，
故双曲线C的渐近线方程
因为焦点(c，0)到渐近线 的距离为1，
所以 ， ，所以 ， ，离心率为 ，故A，B错误．
对于C，不妨设P在右支上, 记 则
因为 , 所以
解得 或 (舍去）, 所以 的面积为
，故C不正确；
对于D，设P(x，y)，因为 ，所以 ，
0 0
将 带入C： ，得 ，即
由于对称性，不妨取P得坐标为( ，2)，则 ，
因为
所以∠PFF 为钝角，所以 PFF 为钝角三角形，故D正确
2 1 1 2
故选：D
17．C
【分析】取 的中点 ，连接 ，可求得 、 ，利用勾股定理可得出关于 、 的齐次方程，即可解
得双曲线 的离心率的值.
【详解】取 的中点 ，连接 ，如下图所示：
第 21 页由题意可得 ，所以， ，则 ，
由双曲线的定义可得 ，则 ，故 ，
由勾股定理可得 ，即 ，
整理可得 ，所以， ，因此，双曲线 的离心率为 .
故选：C.
18．D
【分析】根据三角形 周长和双曲线的定义，可得到周长与实半轴 和 的关系，进而求出 的值．
【详解】：由题意三角形 的周长为 ，
由双曲线的定义，可知 ，
所以 ，
由题意，可知 ， ， ，
所以 ，解得 ．
故选： ．
19．C
【分析】设 ， ，可得 ， 中再利用余弦定理可得 ，由面积公式即可
求得答案.
【详解】 ，所以 ， ， ，
在双曲线上，设 ， ，
①，
由 ，在 中由余弦定理可得：
，
故 ②，
由①②可得 ，
直角 的面积 .
第 22 页故选：C.
20．B
【解析】根据所给条件和三角形面积公式，求得 ， 的关系式，即可求得离心率的范围.
【详解】设 的内切圆半径为 ，
则 ， ， ，
因为 ，
所以 ，
由双曲线的定义可知 ， ，
所以 ，即 .
故选：B.
【点睛】本题考查了求双曲线离心率的范围，其主要方法为根据条件得出一个关于 的齐次式，再化简转化成
关于 的不等式即可得解，本题属于较难题.
21．A
【分析】设椭圆的标准方程为 ，根据椭圆和双曲线的定义可得到两图形离心率之间的关
系，再根据椭圆 的离心率范围可得双曲线 的离心率取值范围.
【详解】设椭圆的标准方程为 ， ，
则有已知 ，
两式相减得 ，即 ，
，
因为
，解得
故选：A.
22．B
【分析】设点 为双曲线右支上一点，结合双曲线的定义与条件可得 ， ，在 中，根据
大边对大角可知 为最小角，进而根据余弦定理求得 ，再得到 ，即可得到答案.
【详解】设点 为双曲线右支上一点，则 ，
第 23 页因为 ，且 ，
所以 ， ，
由题，因为 ，则 ，所以 为最小角，故 ，
所以在 中，由余弦定理可得， ，解得 ，
所以 ，
所以双曲线的标准方程为 .
故选：B
23．B
【分析】由双曲线的定义即可求出 的周长.
【详解】设 ， ，由题意可得 ，
由双曲线的定义可得 ， ，
则 的周长是 .
故选：B.
24．C
【分析】点分C在双曲线 的右支和左支上，利用双曲线的定义结合正弦定理求解.
【详解】当点C在双曲线 的右支上，
所以 上，
由正弦定理得 ，
当点C在双曲线 的左支上，
所以 上，
由正弦定理得 ，
故选：C
25．C
【分析】根据双曲线的定义可得 ，再根据余弦定理可得 ，然后由平方关系得到
，即可求出 的面积．
【详解】因为 是双曲线左支上的点，所以 ， ．
在 中，
第 24 页，即
，所以 ， ，故 的面积为 ．
故选：C．
26．A
【分析】根据 的左、右焦点分别为 、 ， 的焦点为 ，得到抛物线的准线方程，为： ，过M作MA
垂直准线 ，利用抛物线的定义得到 ，则四边形 是正方形，从而 是等腰直角
三角形，然后再利用双曲线的定义结合离心率公式求解.
【详解】因为 的左、右焦点分别为 、 ， 的焦点为 ，
所以抛物线的准线方程为： ，
又因为 是以 为底边的等腰三角形，
过M作MA垂直准线 ，如图所示：
则 ，
所以四边形 是正方形，
则 是等腰直角三角形，
所以 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
即 ，
解得 .
故选：A
第 25 页【点睛】本题主要考查双曲线、抛物线的几何性质以及平面几何的知识，还考查了数形结合的思想和运算求解的
能力，属于中档题.
27．A
【分析】根据向量数量积为零对应的垂直关系结合双曲线的定义求解出 的长度，再根据焦点坐标求解出
椭圆的方程，联立直线与椭圆方程可求解出 的纵坐标，通过 用 表示出 ，则 的值可求.
【详解】不妨设 为椭圆与双曲线在第一象限内的交点，椭圆方程为 ， ，
由双曲线定义可知： ，又因为 ，所以 ， ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，所以椭圆方程为 ，
又因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，所以 ，解得 ，
故选：A.
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是通过已知的条件求解出椭圆的方程，后续求解 的过程中，除了联立思
想的运用，还要注意利用点的纵坐标去分析求解问题.
28．B
【分析】根据双曲线的定义以及 ，可得 ，由 的中点在 轴上，可得 ，结
合勾股定理，可得解
【详解】由题意，得 ，
故 ，
又 的中点在 轴上，故 ，
所以 ，
所以 ，故 .
故选：B
29．A
【分析】设双曲线的左焦点为 ，连接 、 ，求得 、 ，利用双曲线的定义可得出关于 、 的等式，
即可求得双曲线的离心率.
【详解】设双曲线的左焦点为 ，连接 、 ，如下图所示：
第 26 页由题意可知，点 为 的中点，也为 的中点，且 ，
则四边形 为矩形，故 ，由已知可知 ，
由直角三角形的性质可得 ，故 为等边三角形，故 ，
所以， ，
由双曲线的定义可得 ，所以， .
故选：A.
30．D
【分析】根据双曲线定义写出 ，两边平方代入焦点三角形的余弦定理中即可求解
【详解】双曲线 ， ，所以 ，根据双曲线的对称性，可假设 在第一象限，设
，则 ，
所以 ， ，在 中，根据余弦定理： ，即
，解得： ，所以
故选：D
31．BCD
【分析】对于A，根据题意可得 ，从而可进行判断，对于B，根据双曲线的性质和内切圆的性质分析计算，
对于C，由已知结合双曲线的定义可求出 ，再利用椭圆的定义可求出 ，从而可求出离心率，对于D，利
用勾股定理和双曲线的性质列方程可求出 ，从而可求出 ，进而可求出椭圆方程.
【详解】由双曲线的方程，可知 ，所以 ，故A不正确；
由双曲线的定义，可知 ，设切点为 ，由内切圆的性质，可得 ，又
，所以 ，故 的内切圆与 轴相切于点 ，（双曲线
第 27 页的焦点三角形的内切圆与 轴相切于点 ）．故B正确；
因为 ， ，所以 ，所以 ，即 ，所以 的离心率为 ，故
C正确．
因为 ，所以 ，又 ，所以 ，
即 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，又 ，所以 ，椭圆 的方程为 ．故D正确．
故选：BCD
32．BC
【分析】根据双曲线的方程、定义与性质，结合三角形的面积求出P的坐标，结合两点的距离公式、斜率公式以
及余弦定理，对选项逐一判断即可.
【详解】设点 ．因为双曲线 ，所以 ．
又 ，所以 ，故A错误．
将 代入 得 ，得 ．
由双曲线的对称性，不妨取点P的坐标为 ，得 ．
由双曲线的定义得 ，所以 ，故B正确．
在 中， ，且 ，
则 为钝角，所以 为钝角三角形，故C正确．
由余弦定理得 ，所以 ，故D错误．
故选：BC．
33．ABC
【分析】结合边长关系和双曲线定义可判断A选项；
在 和△ 中运用余弦定理可得离心率e；
在△ 中利用余弦定理求 ，再求 ，由 可得AB斜率；
若原点 在以 为圆心， 为半径的圆上，分析是否与已知边长关系是否符合，即可判断D选项﹒
【详解】如图：
第 28 页设 ，则 ，
由双曲线的定义知， ，即 ； ，
即 ，
∴ ，即有 ，故选项A正确；
由余弦定理知，在 中， ，
在△ 中， ，
化简整理得， ，
∴离心率 ，故选项B正确；
在△ 中， ，
，∴ ，
∴根据双曲线的对称性可知，直线 的斜率为 ，故选项C正确；
若原点 在以 为圆心， 为半径的圆上，则 ，与 不符，故选项D错误．
故选：ABC．
34．AC
【分析】由题意可设双曲线 的方程为 ，再将点 代入方程可求出 的值，从而可得双曲
线方程，然后逐个分析判断
【详解】由题意可设双曲线 的方程为 ，
把点 代入上式得双曲线 的方程为
第 29 页所以双曲线 的虚轴长为4；等轴双曲线的两条渐近线互相垂直；且渐近线方程为: ，焦点坐标分别为
， ，故焦点到渐近线距离为2；
由双曲线定义可知 的周长为 ，
所以BD错.
故选：AC
35．CD
【分析】对于A：判断出 ，由定义和勾股定理联立方程组即可求得；对于B：利用双曲线的定义直接
求得；对于C：先求出双曲线的渐近线方程，由P在双曲线右支上，即可得到n所在直线的斜率的范围；对于D：
设直线PT的方程为 .利用相切解得 ，进而求出 .即可求出 .
【详解】对于A：若 ，则 .
因为P在双曲线右支上，所以 .由勾股定理得：
二者联立解得： .故A错误；
对于B：光由 所经过的路程为
.
故B错误；
对于C：双曲线 的方程为 .设左、右顶点分别为A、B.如图示：
当 与 同向共线时， 的方向为 ，此时k=0，最小.
因为P在双曲线右支上，所以n所在直线的斜率为 .即 .
第 30 页故C正确.
对于D：设直线PT的方程为 .
，消去y可得： .
其中 ，即 ，解得
代入 ，有 ，解得：x=9.
由P在双曲线右支上，即 ，解得： （ 舍去），所以 .
所以 .
故D正确
故选：CD
36．BCD
【分析】A：离心率e＝ ；
B：焦点在y轴上的双曲线渐近线为 ；
C：设 ，则根据双曲线定义得 ，根据勾股定理得 ，由此求出mn，
；
D：设 ，则 ，根据点到直线距离公式求出点P到两渐近线的距离乘积即可.
【详解】由双曲线的标准方程可知：
， ， ，
A： ，故A错误；
B：渐近线为 ，故B正确；
C：设 ，
则 ，
，故C正确；
D：设 ，则 ，
双曲线渐近线为： ， ，
第 31 页∴点P到两渐近线的距离乘积为 ，故D正确.
故选：BCD.
37．ABD
【分析】对于A选项，根据条件及双曲线的定义得出 且 ，化简运算即可判断A；对于
B选项，在 中，由条件可求出 ， ，并结合双曲线的定义 ，
从而可求出离心率，即可判断B；对于C选项，先求出 的周长为 ，设 的内切圆为 ，再
根据三角形的等面积法得出 ，从而可判断C；对于D选项，根据条件可设 ，结合
离心率得出 ，再利用两点坐标求斜率的公式，化简计算求出 的值，从而可判断D.
【详解】解：对于A，如图所示，直线 的倾斜角为 ，且 轴，
则 且 ，所以 ，故A正确；
对于B，在 中， ，直线 的倾斜角为 ，
则 ， ，
所以 ，得 ，故B正确；
对于C， 的周长为： ，
设 的内切圆为 ，根据三角形的等面积法可知，
，解得： ，
所以 是与 有关的式子，故C错误；
对于D，由于A， 关于原点对称，可设 ，
根据 ，得 ，
第 32 页所以当斜率存在时， ，
因为A， 在双曲线上，所以 ，即 ，得： ，
所以 ，故D正确.
故选：ABD.
38．BC
【分析】渐近线与 的交点为 关于直线 的对称点为 ，连接 ，运用三角形的中位线定理和双曲线的定
义，求得 ，再计算可得．
【详解】如图所示，双曲线的左焦点为 ，右焦点为 ，由对称性，取一条渐近线 ， 关于渐近线的
对称点为 ，
直线 与线段 的交点为 ，连接 ，因为点 与 关于直线 对称，
则 ，且 为 的中点，所以 ，
根据双曲线的定义，有 ，故A不正确；
，即 ，
所以 ，故B正确；
易知 是以 为直角的直角三角形，所以 ，故C正确；
由于 ，所以渐近线方程为 ，故D不正确.
故选：BC
39．
【分析】设圆 切 、 、 分别于点 、 、 ，分析可知直线 的倾斜角取值范围为 ，推导
第 33 页出圆 、圆 的半径 、 满足 ，求得 ，利用双勾函数的单调性可求得 的取值范围.
【详解】双曲线 的 ， ， ，渐近线方程为 ，两渐近线倾斜角分别为 和 .
设圆 切 、 、 分别于点 、 、 ，
过 的直线与双曲线的右支交于 、 两点，可知直线 的倾斜角取值范围为 ，
由切线长定理可得 ， ， ，
所以，
，则 ，所以点 的横坐标为 .
故点 的横坐标也为 ，同理可知点 的横坐标为 ，故 轴，
故圆 和圆 均与 轴相切于 ，圆 和圆 两圆外切.
在 中， ， ，
， ，所以， ，
所以， ，则 ，
所以 ，
即 ，则 ，
由直线 的倾斜角取值范围为 ，可知 的取值范围为 ，
则 ，
故 ，
第 34 页则 ，其中 ，
令 ，其中 ，则 在 单调递减，在 单调递增.
因为 ， ，则当 时， ，
故 .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线焦点三角形内切圆面积和的取值范围的求解，在涉及焦点三角形的问题时，
应充分利用双曲线的定义以及圆的几何性质，解本题的关键在于确定两圆的半径所满足的关系式，结合函数的值
域来求解.
40． 或9##9或
【分析】由双曲线的对称性，不妨设点 在双曲线的右支上，然后分 和 两种情况求解即
可
【详解】由 ，得 ，则 ，
所以 ，
由双曲线的对称性，不妨设点 在双曲线的右支上，
若 时，当 时， ，得 ，所以 ，
所以 的面积为 ，
当 时，则 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 的面积为 ，
综上所述， 的面积为 或9，
故答案为： 或9，
41．
第 35 页【分析】设 ，由椭圆、双曲线的定义可得 ， ，由余弦定理可建立方程，转化为
离心率的关系式，根据椭圆离心率范围，计算即可得到双曲线离心率范围.
【详解】设椭圆 ，双曲线： ，椭圆与双曲线的半焦距为c，椭圆离心率 ，
双曲线离心率 ， ，如图，
由椭圆定义可得： ，由双曲线定义可得： ，
联立可得 ， ，
由余弦定理可得：
即 ，解得 ，
因为 ，所以 ， ，可得 ，
故 ，
故答案为：
42．
【分析】根据双曲线的定义可得 ， ，再由离心率可得 ，在 中， ，
，由 即可得出答案.
【详解】如图，由题意可得 ，
第 36 页因为 为 的中点，，所以 ,
所以 ， ，
双曲线 ： （ ， ）的离心率为2， ，
故在 中， ， ，
.
故答案为：
43．
【分析】根据以 为直径的圆与C交于点B，得到 ，再由 ，设 ， ，
，然后利用双曲线的定义和勾股定理求解.
【详解】因为以 为直径的圆与C交于点B，
所以 ， .
设 ，
则 ， .
因为A，B是C上的点，
所以 ，
则 ， .
在 中， ，即 ，
则 ，
所以C的离心率为 .
故答案为：
第 37 页44． ##
【分析】设 ， ， ，利用双曲线的定义可得 ，作出图形，结合
图形分析，可知 与直线 的倾斜角相等，利用直角三角形中的边角关系，即求.
【详解】设 的内切圆为圆 ，与三边的切点分别为 ，如图所示，
设 ， ， ，设 的内切圆为圆 ，
由双曲线的定义可得 ，得 ，
由此可知，在 中， 轴于点 ，同理可得 轴于点 ，
所以 轴，
过圆心 作 的垂线，垂足为 ，
因为 ，
所以 ，
∴ ，即
∴ ，即
故答案为： .
【点睛】关键点点睛，得到 是关键，说明 轴，同时直线 的倾斜角与 大小相等，计算即
得.
45．(1) ，
(2)12
【分析】（1）由双曲线上的点及其焦点求参数a、b，写出双曲线方程、渐近线方程.
（2）首先判断直线AB与双曲线交点的位置，再根据定义可得 ，联立直线AB与双曲线方程，应
用相交弦的弦长公式求 ，即可求 的周长.
第 38 页(1)
∵ ，
∴ 轴，则 且
又 ，即 ，解得： ，
∴
∴双曲线的标准方程为： ，双曲线渐近线方程为 .
(2)
由（1）知，双曲线渐近线为 ，倾斜角为
直线AB过 且倾斜角为 ，
∴A，B均在双曲线的右支上，则 ，
∴
设直线AB方程为： ，代入双曲线方程得： ，
∴ ，
∴ 的周长为： .
46．(1)9
(2)
【分析】（1）由双曲线方程知a＝2，b＝3，c＝ ，设|MF |＝r，|MF |＝r．由双曲线定义得|r－r|=2a＝4，由
1 1 2 2 1 2
此可求得三角形的面积.
（2）若∠FMF ＝120°，在 中，运用余弦定理求得rr＝12，由此可求得三角形的面积.
1 2 1 2
(1)
由双曲线方程知a＝2，b＝3，c＝ ，|FF|= ，
1 2
设|MF |＝r，|MF |＝r．由双曲线定义得|r－r|=2a＝4，
1 1 2 2 1 2
两边平方得 ，即|FF|2－4 ＝16，即4 ＝52－16，
1 2
所以 ＝9．
(2)
由（1）知，若∠FMF ＝120°，在 中，由余弦定理得|FF|2＝ ，
1 2 1 2
|FF|2＝(r－r)2＋3rr，所以rr＝12，
1 2 1 2 1 2 1 2
则 ＝ rrsin120°＝ ．
1 2
47．（1） ；（2） .
【分析】（1）运用联立方程法结合弦长公式求解即可；
第 39 页（2）根据（1）中的结果，结合双曲线的定义，列等式可求解三角形的周长.
【详解】解：（1）由双曲线的方程得 ， ，设
直线 的方程为
将其代入双曲线方程消去y得， ，得 ，
；
（2）由题意不妨设点A在双曲线的左支上，则 的周长可表示为：
．
根据双曲线的定义，
由方程 解得点A的坐标为（-3， ），所以
48．(1) 和 ；
(2) .
【分析】（1）设椭圆长半轴长为a，利用给定条件列式计算出a，再结合半焦距即可求解作答.
（2）由椭圆、双曲线对称性确定点N位置，再由椭圆、双曲线定义结合余弦定理计算作答.
(1)
依题意，椭圆与双曲线的半焦距 ，设椭圆长半轴长为a，则双曲线实半轴长为 ，
则椭圆的离心率为 ，双曲线的离心率为 ，于是得 ，解得 ，
因此，椭圆长半轴长为8，短半轴长为 ，双曲线实半轴长为2，虚半轴长为 ，
所以椭圆和双曲线的方程分别为： 和 .
(2)
由椭圆、双曲线的对称性，不妨设点N在第一象限， 分别为左右焦点，
由椭圆的定义得： ，由双曲线的定义得： ，解得 ， ，
第 40 页而 ，在 中，利用余弦定理可得： ,
所以 .
49．（1）2；（2） ；（3） .
【分析】(1)根据三角形内心的意义作出三角形的内切圆，利用圆的切线性质即可得解；
(2)设直线l的斜率为k，写出其方程，联立直线l与双曲线C的方程，消元得一元二次方程，借助韦达定理及斜率
坐标公式列式计算即得；
(3)设出点 ，由此可得点G坐标，再由三角形面积及双曲线定义求 ，然后列式计算即可作答.
【详解】(1)依题意，双曲线C的焦点 ，作出 的内切圆，I为圆心，切点分别为S，K，T，
如图：
设点I的横坐标为t，显然 x轴， ，
由双曲线定义知 ，解得 ，
所以内心I的横坐标为2；
(2)点 ，显然直线l不垂直于x轴，否则由双曲线对称性得 ，
设直线l的斜率为k，则直线l： ，
由 消去y得： ，
显然 ，设 ， ，
则
，
解得 ，即直线l： ，
所以直线l的方程为 ；
(3)设点 ，则 的重心 ，
因 ，则 ，而 ，
第 41 页，
又 ，联立解得 ，
从而有 ，解得 ，即点 ，
所以点P的坐标为 .
【点睛】思路点睛：双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算
或证明常利用正弦定理、余弦定理、面积定理、||PF|-|PF||＝2a，得到a，c的关系．
1 2
50．(1)
(2)证明见解析.
【分析】（1）将点 ， 代入双曲线方程，解出 ，得到答案.
（2）设直线 的倾斜角为 ，由双曲线的定义可得出 ，在在 中由余弦定理可得处
，同理得出 的长，从而可得答案.
(1)
由点 在 上，有 ，解得
由点 在 上，有 ，即 ，即
所以
所以双曲线的方程为：
(2)
由AF//BF，设直线 的倾斜角为 ，如图，连接
1 2
由双曲线的定义可得 ，又
在 中由余弦定理可得：
即
所以
在 中， ，同理可得
所以
第 42 页所以 为定值.
第 43 页第 44 页
