文档内容
微专题：椭圆的焦点三角形
【考点梳理】
1、焦点三角形：椭圆上的点P(x ，y)与两焦点构成的△PFF 叫做焦点三角形. r ＝|PF|，r ＝|PF|，∠FPF
0 0 1 2 1 1 2 2 1 2
＝θ，△PFF 的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中：
1 2
①焦点三角形的周长为2(a＋c)；
②4c2＝r＋r－2rrcosθ；
1 2
③当r＝r 时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大；
1 2
④S＝rrsinθ＝b2tan＝c，当＝b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.
1 2
2、椭圆的焦点三角形是描述椭圆上的点到焦点的距离、焦距之间的相互制约关系的一个载体. 由于其位置、边
的特殊性决定了它易于同椭圆的定义、长轴长、离心率等几何量发生联系，内容丰富多彩.
【题型归纳】
题型一：椭圆中焦点三角形的周长问题
1．已知椭圆C： 的左右焦点分别为F、F，过左焦点F，作直线交椭圆C于A、B两点，则三角形ABF
1 2 1 2
的周长为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
2．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，过 的直线交椭圆于 ， 两点，若
的最大值为10，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
3．若F为椭圆C： 的右焦点，A，B为C上两动点，则△ABF周长的最大值为（ ）
A．4 B．8 C．10 D．20
题型二：椭圆中焦点三角形的面积问题
4．已知 ， 分别是椭圆 的下顶点和左焦点，过 且倾斜角为 的直线 分别交 轴和
椭圆 于 两点，且 点的纵坐标为 ，若 的周长为 ，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．已知双曲线 ： 的上、下焦点分别为 ， ， 为双曲线 上一点，且满足 ，
第 1 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．已知 、 为椭圆 的左、右焦点，M为 上的点，则 面积的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．4
题型三： 椭圆中焦点三角形的其他问题
7．椭圆C： 左右焦点分别为 ， ，P为C上除左右端点外一点，若 ，
，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．设 为椭圆 的焦点，若在椭圆 上存在点 ，满足 ，则实数 的取值范
围为（ ）
A． B．
C． D．
9．在平面直角坐标系 中，已知 ABC顶点 和 ，顶点B在椭圆 上，则 的
△
值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．不确定
【双基达标】
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司10．设 是椭圆 的两个焦点， 是椭圆上一点，且 .则 的面积为（ ）
A．6 B． C．8 D．
11．已知 ， 是椭圆 的左右焦点， 是椭圆上任意一点，过 引 的外角平分线的垂线，垂足
为 ，则 与短轴端点的最近距离为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
12．已知点 、 为椭圆 的左、右焦点，若点 为椭圆上一动点，则使得 的点 的个数为
（ ）
A． B． C． D．不能确定
13．已知椭圆 的左､右焦点分别为 为椭圆 上一点，若 的周长为54，且椭
圆 的短轴长为18，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
14．椭圆 的焦点F，F，点P为其上的动点，当∠FPF 为钝角时，点P横坐标的取值范围是（ ）
1 2 1 2
A．（﹣ ， ） B．（﹣ ， ）C．（﹣ ， ） D．（﹣ ， ）
15．椭圆 的左、右焦点分别为 ，过焦点 的倾斜角为 直线交椭圆于 两点，弦
长 ，若三角形 的内切圆的面积为 ，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
16．椭圆两焦点分别为 ， ，动点 在椭圆上，若 的面积的最大值为12，则此椭圆上使得
为直角的点 有（ ）
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
17．已知椭圆 ， ， 分别为椭圆的左、右焦点， 为椭圆上一点， ， 平分角
， 是角 的外角平分线，则 与 的面积之和为( )
A．1 B． C．2 D．3
18．已知 是椭圆 的左，右焦点，点A是椭圆上的一个动点，则 的内切圆的半径的最大值是
（ ）
A．1 B． C． D．
19．已知椭圆 的左､右焦点分别是 ， ，直线 与椭圆 交于 ， 两点，
，且 ，则椭圆 的离心率是（ ）
A． B． C． D．
20．圆心在 轴上的圆C与椭圆 在 轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并
分别过椭圆不同的焦点，则圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
21．已知有相同焦点 ， 的椭圆 和双曲线 ， 是它们的一个交点，则
的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．以上均有可能
22．已知 ， 是椭圆 的左、右焦点， 是椭圆上任意一点，过 引 的外角平分线的垂线，垂
足为 ，则 与短轴端点的最近距离为（ ）
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．1 B．2 C．4 D．5
23．古希腊数学家阿基米德用“逼近法”得到椭圆面积的4倍除以圆周率等于椭圆的长轴长与短轴长的积.已知椭
圆 的中心在原点，焦点 ， 在 轴上，其面积为 ，过点 的直线 与椭圆 交于点 ， 且 的周
长为16，则椭圆 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
24．已知 ，分别为椭圆 的左右焦点， 为椭圆上一动点， 关于直线 的对称点为 ，关于
直线 的对称点为 ，当 最大时，则点 到 轴的距离为（ ）
A． B． C． D．
25．椭圆 的左､右焦点分别为 ， ， 为椭圆 上一点，若 的周长为 ，则椭圆
的离心率为（ ）
A． B． C． D．
26．已知椭圆 的左右焦点分别为 ， ，椭圆上有两点 ， （点A在x轴上方），满足
，若 ，则直线 的斜率为（ ）
A． B． C．2 D．3
27．设F，F 是椭圆C： =1(a>b>0)的左、右焦点，O为坐标原点，点P在椭圆C上，延长PF 交椭圆C
1 2 2
于点Q，且|PF| =|PQ|，若 PFF 的面积为 ，则 =（ ）
1 1 2
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
28．已知椭圆 的左､右焦点分别为 ， ，点 是椭圆上一点，点 是线段 上一点，且
， ，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
29．已知 是椭圆 上的点， 、 分别是椭圆的左、右焦点，若 ，则 的面积为
（ ）
A． B． C． D．9
30．椭圆 的左、右焦点分别为 ， ， ， 的面积为 ，且 ，
则椭圆方程为（ ）
A． B．
C． D．
【高分突破】
一、单选题
31．已知椭圆 ＋ ＝1的左、右焦点分别为F，F，过F 且垂直于长轴的直线交椭圆于A，B两点，则△ABF
1 2 2 1
内切圆的半径为（ ）
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B．1 C． D．
32．已知椭圆 ： 与双曲线 ： （ ， ）具有共同的焦点 ， ，离
心率分别为 ， ，且 .点 是椭圆 和双曲线 的一个交点，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
33．椭圆与双曲线共焦点 ， ，它们的交点为 ，且 .若椭圆的离心率为 ，则双曲线的离心率为
（ ）
A． B． C． D．
34．已知 分别是椭圆 的焦点，过点 的直线交椭圆 于 两点，则 的周长是
A． B． C． D．
35．在平面直角坐标系 中，若 ABC的顶点 和 ，顶点B在椭圆 上，则 的
△
值是（ ）
A． B．2 C． D．4
36．点 ， 为椭圆 ： 的两个焦点，点 为椭圆 内部的动点，则 周长的取值范围为
（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
第 7 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司37．已知 是椭圆 上一点，椭圆的左､右焦点分别为 ，且 ，则（ ）
A． 的周长为 B．
C．点 到 轴的距离为 D．
38．已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ， 为坐标原点， 是椭圆上一点，延长 与
椭圆交于点 ，若 ， 的面积为 ，则 的值可以为（ ）
A． B． C． D．
39．已知椭圆 上有一点P， 分别为左､右焦点， 的面积为S，则下列选项正
确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 为钝角三角形，则 D．椭圆C内接矩形的周长范围是
40．设椭圆 的左右焦点为 ， ， 是 上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．离心率
C． 面积的最大值为
D．以线段 为直径的圆与直线 相切
41．已知椭圆 上有一点 ， ､ 分别为其左右焦点， ， 的面积为 ，则下列说
法正确的是（ ）
A．若 ，则 ； B．若 ，则满足题意的点 有 个；
第 8 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司C．若 是钝角三角形，则 ； D．椭圆 的内接矩形的周长的最小值为 .
42．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， 为 上一点，则（ ）
A． 的离心率为 B． 的周长为
C． D．
三、填空题
43．椭圆C： 的左、右焦点分别为 ， ，P为椭圆上异于左右顶点的任意一点， 、 的
中点分别为M、N，O为坐标原点，四边形OMPN的周长为4，则 的周长是_____．
44．已知 ， 分别为椭圆 的左､右焦点，过 的直线与椭圆 交于 ， 两点，且
， ，则椭圆 的离心率为___________.
45．椭圆 的两个焦点为 ､ ，点P在椭圆C上，且 ， ， ，
则椭圆C的方程为___________.
46．已知 、 分别是椭圆C： 的下顶点和左焦点，过 且倾斜角为 的直线 分别交 轴
和椭圆C于M，N两点，且N点的纵坐标为 ，若 的周长为6，则 的面积为_____.
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司47．若 中， ， （ ，且m､n为定值），则 面积的最大值为___________.
48．已知椭圆 的焦点为 ， ，若椭圆C上存在一点P，使得 ，且△ 的
面积等于4.则实数b的值为___________.
四、解答题
49．已知椭圆 的左，右焦点分别为 ，直线 与椭圆 相交于 两点；当
直线 经过椭圆 的下顶点 和右焦点 时， 的周长为 ，且 与椭圆 的另一个交点的横坐标为
（1）求椭圆 的方程；
（2）点 为 内一点， 为坐标原点，满足 ，若点 恰好在圆 上，求实
数 的取值范围.
50．已知经过椭圆 的右焦点 作垂直于 轴的直线 ,交椭圆于 两点, 是椭圆的左焦点.
（1）求 的周长;
（2）如果 不垂直于 轴, 的周长有变化吗?为什么?
51．椭圆 ： 的焦点 ， 是等轴双曲线 ： 的顶点，若椭圆 与双曲线 的
一个交点是P， 的周长为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)过点 任作一动直线 交椭圆 与 两点，记 ，若在直线 上取一点 ，使得
，试判断当直线 运动时，点 是否在某一定直线上运动？若是，求出该直线的方程；若不是，请说
明理由.
52．已知椭圆 的左焦点为F，直线 与椭圆相交于A，B两点，当 的周长最大时，求 的
第 10 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司面积．
53．椭圆 ： 的左右焦点分别为 ， ，P为椭圆C上一点.
(1)当P为椭圆C的上顶点时，求 ；
(2)若 ，求满足条件的点P的个数；（直接写答案）
(3)直线 与椭圆C交于A，B，若 ，求k.
54．椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ，过点 的直线与椭圆 相交于 ， 两点（如图
所示）， ， 的面积是 的面积的2倍．若 ，求椭圆 的方程．
第 11 页
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1．C
【分析】根据椭圆的定义求解即可
【详解】由题意椭圆的长轴为 ，由椭圆定义知
∴
故选：C
2．C
【分析】利用椭圆定义得到 ，再由过椭圆焦点的弦中通径的长最短，进而可得 ，
即得．
【详解】∵ ， 为椭圆 的两个焦点，
∴ ， ，
的周长为 ，
即 ，
若 最小，则 最大．
又当 轴时， 最小，此时 ，
故 ，
解得 ．
故选：C.
3．D
【分析】设 为椭圆 的左焦点，则由椭圆的定义可得： ，当
共线时，△ABF周长取得最大值，从而可得出答案.
【详解】解：设 为椭圆 的左焦点，
则由椭圆的定义可得：
，
当 共线时， ，
当 不共线时， ，
所以△ABF周长的最大值为20.
故选：D.
第 12 页4．A
【分析】设 ，与椭圆方程联立可得 ，由 可求得 ，可知 为椭圆右焦点，由焦
点三角形周长可构造方程求得 的值，进而得到 ，由此可得到所求三角形面积.
【详解】
设 ， ；
由 得： ， ，
，解得： ， ， ，
即 为椭圆的右焦点， 的周长为 ，即 ，
，解得： ， ， ，
.
故选：A.
5．A
【分析】记 ， ，根据双曲线定义结合余弦定理可得 ，再利用三角形面积
第 13 页公式可推得 ，即可求得答案.
【详解】记 ， ， ，
∵ ，∴ ，
在 中，由余弦定理得 ，
配方得 ，即 ，
∴ ，
由任意三角形的面积公式得 ，
∴ ，而 ， ， ，
故选：A.
6．A
【分析】由于 为定值，所以当点 到 的距离最大时， 面积取得最大值，即当 与短轴的一个
端点重合时， 面积的最大
【详解】由 ，得 ，
所以 ，
由椭圆的性质可知当 与短轴的一个端点重合时， 面积的最大，
所以 面积的最大值为
，
故选：A
7．D
【分析】根据图形在 中，利用余弦定理解出 ，再由椭圆的定义式 ，整理出
关于 的式子，最后代入已知三角函数值中，得到关于 得二次式，从而可求椭圆离心率.
【详解】解：如图在 中，
第 14 页，即 ①
，即 ②
且 ，
故①+②得： ，即 .
所以 ，代入到 中，整理
得：
，故两边除以 得：
解得： 或 ，又 ，所以 .
即椭圆C的离心率为 .
故选：D.
8．A
【分析】根据椭圆性质要使题设条件成立只需 在椭圆左右顶点时 ，此时应用余弦定理可得
，进而求n的范围.
【详解】由椭圆的性质知：当 在椭圆左右顶点时 最大，
∴椭圆 上存在一点 使 ，只需 在椭圆左右顶点时 ，
此时， ，即 ，
又 ，
∴ ，解得 ，又 ，
∴ .
故选：A.
9．C
【分析】由正弦定理的边角关系及椭圆的定义、性质，即可求目标式的值.
【详解】由题设知： 是椭圆的两个焦点，又B在椭圆上，
第 15 页所以 ，
而 ， ，故 .
故选：C
10．B
【分析】利用椭圆的几何性质，得到 ， ，进而利用 得出
，进而可求出
【详解】解：由椭圆 的方程可得 ，
所以 ，得
且 ， ，
在 中，由余弦定理可得
，
而 ，所以， ，
又因为， ，所以 ，
所以，
故选：B
11．D
【分析】根据角平分线的性质和椭圆的定义可得 是 的中位线， ，可得Q点的轨迹是以O
为圆心，以5为半径的圆，由此可得选项.
【详解】 是焦点为 、 的椭圆 上一点，
的外角平分线， ，
设 的延长线交 的延长线于点 ，
，
， ，
由题意知 是 的中位线，
，
点的轨迹是以 为圆心，以5为半径的圆，
第 16 页当点 与 轴重合时，
与短轴端点取最近距离 ，
故选：D．
12．B
【分析】利用余弦定理结合椭圆的定义可求得 、 ，即可得出结论.
【详解】在椭圆 中， ， ， ，则 ，
，可得 ，
所以， ，解得 ，此时点 位于椭圆短轴的顶点.
因此，满足条件的点 的个数为 .
故选：B.
13．B
【分析】根据椭圆中焦点三角形的周长 ， ，以及 的关系 即可解出 ，从而
解出离心率．
【详解】设椭圆 的焦距为 ，因为 的周长为54，所以 ，即 .
因为椭圆 的短轴长为18，所以 ，因为 ，所以 ，所以 .故
椭圆 的离心率为
故选：B．
14．C
【解析】设P（x，y），根据椭圆方程求得两焦点坐标，根据∠FPF 是钝角推断出PF2+PF2＜FF2代入P坐标求
1 2 1 2 1 2
得x和y的不等式关系，求得x的范围．
【详解】解：设P（x，y），由椭圆方程得椭圆焦点坐标为为F（﹣ ，0），F（ ，0），
1 2
且∠F
1
PF
2
是钝角⇔ ⇔（x+ ）2+y2+（x﹣ ）2+y2＜20
⇔x2+5+y2＜10⇔x2+4（1﹣ ）＜5⇔x2＜ ．所以 ．
第 17 页故选：C．
【点睛】结论点睛：本题考查椭圆的标准方程的应用， 中， 为锐角 ，
为直角 ， 为钝角 ．
15．C
【分析】由题可得直线AB的方程，从而可表示出三角形面积，又利用焦点三角形及三角形内切圆的性质，也可表
示出三角形面积，则椭圆的离心率即求.
【详解】由题知直线AB的方程为 ，即 ，
∴ 到直线AB的距离 ，
又三角形 的内切圆的面积为 ，
则半径为1，
由等面积可得 ，
.
故选：C.
16．A
【分析】由 的面积的最大值时，点P在短轴的顶点处，求得 ，有 ，继而有 ，则有
，由此可得选项.
【详解】解：因为 的面积的最大值时，点P在短轴的顶点处，所以 ，即 ，
又 ，所以 ，所以 ，则 ，所以 ，所以此椭圆上使得 为直角的点 有
个，
故选：A.
17．C
【分析】利用题设条件给出的几何图形特征知，点M到直线PF、PF 的距离都等于点M到x轴的距离，由此计算
1 2
三角形面积得解.
【详解】解：因为 平分角 ， 是角 的外角平分线，
所以 到 的距离等于 到 轴的距离1， 到 的距离等于 到 轴的距离1，
如图，椭圆 ， ， 分别为椭圆的左、右焦点，
为椭圆上一点，作一圆与线段FP，FF 的延长线都相切，
1 1 2
第 18 页并且与线段PF 也相切，切点分别为D，A，B，
2
，
，
所以 (c为椭圆半焦距)，从而点A为椭圆长轴端点，
即圆心M的轨迹是直线x=a(除点A外)，
因点M(2,1)在 的平分线上，且椭圆右端点A(2,0)，
所以点M是上述圆心轨迹上的点，
即点M到直线FP，PF，FF 的距离都相等，且均为1，
1 2 1 2
与 的面积之和为 .
故选：C
18．D
【分析】利用椭圆的定义即可求解.
【详解】设 的内切圆的半径为 ，
由 ，则 ， ，
所以 ， ，
由 ，
即 ，
即 ，若 的内切圆的半径最大，
即 最大，又 ，
所以 .
故选：D
19．B
第 19 页【分析】根据椭圆的对称性可知， ，设 ，由 以及椭圆定义可得 ，
，在 中再根据余弦定理即可得到 ，从而可求出椭圆 的离心率．
【详解】
由椭圆的对称性，得 .设 ，则 .由椭圆的定义，知 ，即 ，
解得 ，故 ， .
在 中，由余弦定理，得 ，即 ，
则 ，故 .
故选：B.
20．D
【分析】根据题意画出图形，可判断四边形 是正方形，由椭圆和圆的对称性 为椭圆的下顶点，则圆的半
径就是过焦点的弦 的长度，设 ，在直角三角形 中利用勾股定理求得 可得.
【详解】如图，设圆心为 ，切点分别为 ，圆在 处的切线分别为 ，其中 为两条切线的交点，则
根据题意可得 ，则四边形 是正方形，
由椭圆和圆的对称性可得直线 的斜率分别为 ，因此 为椭圆的下顶点，于是圆的半径就是过焦点的弦
的长度，连接 ，
设 ，则 ，
在直角三角形 中，有 ，
即 ，解得 ，
因此所求半径的长为 .
故选：D.
第 20 页【点睛】关键点睛：解决本题得关键是判断出 为椭圆下顶点，将求半径转化为求弦 长度.
21．B
【分析】分别利用椭圆和双曲线的定义，可求得 ， 的表达式，根据有相同的焦点，可得c相等，可得
m，n的关系，整理可得 ，即可得答案.
【详解】根据椭圆与双曲线的焦点都在 轴上，不妨设 在第一象限， 是左焦点， 是右焦点，
则由椭圆与双曲线的定义有： ，
可得 ， ，即 ，
因为两者有公共焦点，设半焦距为 ，则 ， ，
所以 ，所以 ，
所以 ，即 ，
是直角三角形．
故选：B.
22．A
【解析】根据角平分线的性质和椭圆的定义可得 是 的中位线， ，可得Q点的轨迹是以O
为圆心，以5为半径的圆，由此可得选项.
【详解】因为P是焦点为 ， 的椭圆 上的一点， 为 的外角平分线， ，设 的延
长线交 的延长线于点M，所以 ，
，
所以由题意得 是 的中位线，所以 ，
所以Q点的轨迹是以O为圆心，以5为半径的圆，所以当点Q与y轴重合时，
Q与短轴端点取最近距离
第 21 页故选：A.
23．A
【分析】由题中所给结论得 ，由 的周长为16结合椭圆定义得 ，进而可得结果.
【详解】依题意得 ，则 ，
由 的周长为16结合椭圆定义可得 ，所以 ， ，
又椭圆焦点在 轴上，故椭圆方程为 .
故选：A.
24．C
【解析】利用椭圆的定义可得当 三点共线时， 最大且此时 ，计算出焦点三角形的面积后
可求点 到 轴的距离.
【详解】
连接 ，则 ，
所以 ，
当且仅当 三点共线时等号成立.
如下图，当 三点共线时，有 ，
故当 三点共线时，有 .
第 22 页因为 且 ，
故 ，所以 ，
解得 ，
故选：C.
【点睛】关键点点睛：利用对称性和椭圆的定义得到线段长最大时焦点三角形满足的性质，再结合解三角形的方
法得到所求的距离.
25．B
【分析】根据椭圆方程可得 ，再结合三角形周长，得 ，进而可得离心率.
【详解】因为 ，所以 .
因为 的周长为 ，所以 ，所以 ，
所以椭圆 的离心率为 ，
故选：B.
26．C
【分析】因为 ，所以设 ，根据比例关系和椭圆的定义分别求出 ， 的长，由勾股定
理可知 ，在 中，求 的值即为直线 的斜率，计算正切值即可求出结果.
【详解】解：因为 ，所以设 ，则有 ，根据椭圆定义： ，
可知： ， ，因为 ，所以 ，即
，解得：
所以 ， ，在 中， 即为直线 的斜率，又 ，所以直线
的斜率为2.
故选：C.
27．B
第 23 页【分析】利用焦点三角形的面积公式及椭圆的定义可得 ，进一步得 FPQ为等边三角形，且 轴，
1
从而可得解.
【详解】由椭圆的定义， ，
由余弦定理有：
，
化简整理得： ，
又 ，
由以上两式可得：
由 ，得 ，∴ ，
又 ，所以 FPQ为等边三角形，由椭圆对称性可知 轴，
1
所以 .
故选：B.
28．B
【分析】由椭圆定义得 ，由余弦定理可得 ，再由三角形面积公式得 和
的关系，从而求得 ，然后可得离心率．
【详解】解：设 ， ，则 ，
由余弦定理得 ，
即 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
整理得 ，即 ，整理得 ，
所以 ， ， ，
故选：B.
29．A
第 24 页【分析】由已知可得 ，然后利用余弦定理和椭圆定义列方程组可解.
【详解】因为 ，
所以 ，
又
记 ，则 ，
②2-①整理得： ，所以
故选：A
30．D
【分析】由已知三角形面积得 ，结合等边 及 求得 得椭圆方程．
【详解】由题意可得 ，且 ， ，
解得 ， ， ，所以椭圆的方程为 ，
故选：D．
31．D
【分析】根据过F 且垂直于长轴的直线交椭圆于A，B两点，求得通径|AB|＝3，再求得 ,然后再
2
由 求解.
【详解】不妨设A点在B点上方，由题意知：F(1，0)，
2
将F 的横坐标代入椭圆 ＋ ＝1中，可得A点纵坐标为 ，
2
所以|AB|＝3，
所以
第 25 页又 (其中S为△ABF 的面积，C为△ABF 的周长).
1 1
所以 ，
故选：D
【点睛】本题主要考查题意的通径，焦点三角形的周长和面积以及三角形的内切圆问题，属于基础题.
32．C
【分析】设 ， .根据圆锥曲线定义与勾股定理可得 ，从而可得 ，结合 ，
可得结果.
【详解】设 ， .
在椭圆 中， ，
所以 .
在双曲线 中， ，
所以 ，
所以 ，即 ，
得 ，即 .
因为 ，所以 ，解得 .
故选：C
33．B
【解析】根据椭圆和双曲线的定义以及焦点三角形中用余弦定理、离心率公式即可求解.
【详解】不妨设P为第一象限的点，
在椭圆中： ① ,
在双曲线中: ②,
联立①②解得, ,
在 中由余弦定理得：
第 26 页即
即
椭圆的离心率 ，
双曲线的离心率 ，
故选：B
【点睛】本题考查椭圆和双曲线的定义和性质，考查离心率的求法，考查三角形的三边关系，考查运算能力，属
于中档题．
34．D
【解析】根据椭圆方程 ，解得 ，然后由椭圆的定义求解.
【详解】因为椭圆方程为 ，
所以 ，
由椭圆的定义得： ，
所以 ，
所以 的周长是8
故选：D
35．A
【分析】由题设易知 为椭圆的两个焦点，结合椭圆定义及焦点三角形性质有 ， ，最
后应用正弦定理的边角关系即可求目标式的值.
【详解】由题设知： 为椭圆的两个焦点，而B在椭圆上，
所以 ， ，
由正弦定理边角关系知： .
故选：A
36．C
【分析】根据椭圆的定义及简单性质，转化求解即可得出答案．
【详解】解：由椭圆 ： ，得： ，
当点 在椭圆上时， 周长最大，为 ，
当点 在 轴上时，去最小值，为 ，
第 27 页又因点 为椭圆 内部的动点，
所以 周长的取值范围为 .
故选：C.
37．BCD
【分析】A．根据椭圆定义分析 的周长并判断；
B．根据椭圆定义以及已知条件先求解出 的值，结合三角形的面积公式求解出 并判断；
C．根据三角形等面积法求解出点 到 轴的距离并判断；
D．根据向量数量积运算以及 的值求解出结果并判断.
【详解】A．因为 ，
所以 ，故错误；
B．因为 ， ，
所以 ，
所以 ，所以 ，故正确；
C．设点 到 轴的距离为 ，
所以 ，所以 ，故正确；
D．因为 ，故正确；
故选：BCD.
38．BD
【分析】连接 ，分析得出 ，记 ， ，利用三角形的面积公式以及椭圆的定义可得出
关于 、 ，解出 的值，即为所求.
【详解】连接 ，因为 ，则 ， ，
第 28 页因为 ， ，
记 ， ，则 ，由椭圆的定义可得 ，
所以， ，解得 或 ，所以 或
故选：BD.
39．ACD
【分析】用椭圆的焦点三角形和内接矩形等知识分别对四个选项判断即可.
【详解】对于椭圆 ，设 ， ， ，则
，由此可得 …①，
所以 的面积 .
对于选项A：若 ，则 ，故A正确；
对于选项B：由①知 （当且仅当 即点 是短轴端点时取等号），所以
，因此 不可能是 ，故B错误；
对于选项C：由以上分析可知， 不可能是钝角，由对称性不妨设 是钝角.先考虑临界情况，当
时，易得 ，此时 ，结合图形可知，当 是钝角时
，故C正确；
对于选项D：令 ， ，
则椭圆内接矩形的周长为 ，其中锐角 满足 ， .
由 得 ，所以，周长的范围是 ，即 ，故D正确.
故选：ACD.
第 29 页【点睛】结论点睛：对于椭圆 ， ， 则△ 的面积 .
40．AD
【分析】根据椭圆方程求得 ，根据椭圆的性质及点到直线的距离公式，即可求解.
【详解】由题意，椭圆 ，可得 ，可得 ，
所以焦点为 ,
根据椭圆的定义 ，所以A正确；
椭圆的离心率为 ，所以B错误；
其中 面积的最大值为 ，所以C错误；
由原点 到直线 的距离 ，
所以以线段 为直径的圆与直线 相切，所以D正确.
故选：AD
41．ABC
【分析】对于A，利用焦点三角形的面积公式可求解，对于B，利用三角形的面积公式求出三角形的高与 比较即
可判断，对于C，三角形是钝角三角形，求出三角形是直角三角形的面积，进而可求出范围，对于D，利用椭圆的
参数方程以及三角函数的性质求出即可
【详解】由椭圆 可得 ，则 ，
对于A，设 ， ，则 ，由此可得 ，所以
的面积为
所以 ，所以A正确，
对于B，因为 ，则 ，所以由椭圆的对称性可知满足题意的点 有 个，
所以B正确，
第 30 页对于C，因为 是钝角三角形，所以 中有一个角大于 ，当 时，设 ，
则 ，因为 ，所以解得 ，所以 ，所以
是钝角三角形时，有 ，所以C正确，
对于D，令 ， ，则椭圆内接矩形的周长为
（其中 且满足
），由 得 ，所以椭圆内接矩形的周长的范围为 ，即 ，
所以D错误，
故选：ABC
42．CD
【分析】由椭圆方程可确定 ，根据离心率 ，焦点三角形周长为 可确定AB错误；
当 为椭圆短轴端点时 最大，由此可确定 ，知C正确；
根据 可知D正确.
【详解】对于A，由椭圆方程知： ， ， 离心率 ，A错误；
对于B，由椭圆定义知： ， ，
的周长为 ，B错误；
对于C，当 为椭圆短轴端点时， ，
， ，即 ，
，C正确；
对于D， ， ， ，D正确.
故选：CD.
43．
【分析】先证明则四边形OMPN是平行四边形，进而根据椭圆定义求出a，再求出c，最后求出答案.
【详解】因为M,O,N分别为 的中点，所以 ，则四边形OMPN是平行四边形，所以
，由四边形OMPN的周长为4可知， ，即 ，则
，于是
第 31 页的周长是 .
故答案为： .
44．
【分析】由题意画出图形，设 ，由余弦定理求得 ，再由椭圆定义求解 与 的关系，在
中，再由余弦定理列式求得椭圆的离心率.
【详解】如图,设 又
,
由椭圆定义知, ,可得： 即 ，
在 中,由余弦定理可得,
，即 .
即 ,解得: .
故答案为:
45．
【分析】利用椭圆的定义可得 ，进而可得 ，即得.
【详解】∵ ， ， ，
∴ ，又 ，
∴ ， ，
第 32 页∴ ，
∴ ，
∴椭圆C的方程为 .
故答案为： .
46．
【分析】画出图形，由条件可得出 ， ，然后可得出 为椭圆的右焦点，然后由椭圆的定义可得
，从而可算出 的值，然后利用 算出答案即可.
【详解】如图所示，
由题意得， ， ，直线 的方程为 ，
把 代入椭圆方程解得 ，∴ ，
∵ 在直线 上，∴ ，解得 .
又 ，∴ ，解得 ，
令 0，则 ，即 ，∴ 为椭圆的右焦点，∴ ，
由椭圆的定义可知， ，
∵ 的周长为6，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∴ .
故答案为： .
第 33 页【点睛】本题考查椭圆的定义与性质，熟练掌握椭圆中的基本关系式是解题的关键，考查学生的分析能力和运算
能力，属于中档题.
47．
【分析】由题可判断点 在以 ， 为焦点的椭圆上，则当点 在椭圆短轴端点时， 面积最大，进而求解即
可.
【详解】由题，因为 ，所以点 在以 ， 为焦点的椭圆上，
所以 ， ，则 ，
所以 面积的最大值为 ，
故答案为：
48．2
【分析】由三角形面积公式、向量数量积的坐标表示及P在椭圆上列方程可得 、 ，即可求参数b.
【详解】由题设， ，且 ，可得 ，
又 ，则 ，
综上， ，又 ，则 .
故答案为：2
49．（1） ；（2） 或
【解析】（1）由椭圆的定义可知，焦点三角形的周长为 ，从而求出 .写出直线 的方程，与椭
圆方程联立，根据交点横坐标为 ，求出 和 ，从而写出椭圆的方程；
（2）设出P、Q两点坐标，由 可知点 为 的重心，根据重心坐标公式可将点 用P、
Q两点坐标来表示.由点 在圆O上，知点M的坐标满足圆O的方程，得 式. 为直线l与椭圆 的两个交点，
用韦达定理表示 ，将其代入方程 ，再利用 求得 的范围，最终求出实数 的取值范围.
【详解】解：（1）由题意知 .
，
直线 的方程为
∵直线 与椭圆 的另一个交点的横坐标为
第 34 页解得 或 (舍去)
，
∴椭圆 的方程为
（2）设
.
∴点 为 的重心，
∵点 在圆 上，
由 得
，
代入方程 ，得
，
即
由 得
解得 .
或
【点睛】本题考查了椭圆的焦点三角形的周长，标准方程的求解，直线与椭圆的位置关系，其中重心坐标公式、
韦达定理的应用是关键.考查了学生的运算能力，属于较难的题.
50．（1）20；（2）不变，理由见解析
第 35 页【分析】根据椭圆的定义 的周长为 求解.
【详解】（1）由椭圆的定义得： ，
所以 的周长为 .
（2）不变，由椭圆的定义 的周长为 .只受a的影响，不受 与 轴的位置关
系影响.
【点睛】本题主要考查椭圆的定义，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
51．(1)
(2)是，
【分析】（1）由题知 ，进而根据焦点三角形的知识得 ，进而得 ，即可求得答案；
（2）根据题意，设直线 的方程为 ， ，进而与椭圆联立方程，结合韦达定理与向量坐标运算
得 ，再根据 得 ，进而得答案.
（1）解：由题可知： ，所以 ，因为 的周长为 ，所以
，即 ，所以 ，所以椭圆的方程为 ；
（2）解：依题可知：直线的斜率存在，设方程为 ， ，所以
，所以 ，
，由 ，设 ，由
，所以 ，所以
.所以点 是在直线 上运动.
52．3.
【分析】设出椭圆的右焦点E，利用椭圆的定义得到 的周长 ，
可知当直线 过右焦点E时， 的周长最大，这样可以求出的面积.
【详解】设椭圆的右焦点为E，连接 ，
由椭圆的定义，知 的周长 ，
，
第 36 页因为 ，
所以 ，即当直线 过右焦点E时， 的周长最大，
此时 的高为 ，
将 代入椭圆方程，得 ，
所以 ，
故 ．
【点睛】本题主要考查椭圆的定义的应用以及，两点间线段最短公理的应用，属于中档题.
53．(1)
(2)0
(3)
【分析】（1）由椭圆的方程可得 ， ，然后可得答案；
（2）结合（1）的答案可得点 的个数；
（3）联立直线与椭圆的方程消元，利用弦长公式求解即可.
(1)
因为椭圆 ： 的左右焦点分别为 ， ，P为椭圆C的上顶点
所以 ， ，
所以 ， ，所以
(2)
若 ，满足条件的点P的个数为0
(3)
设 ，联立 可得
所以
所以
解得
54．
【分析】利用面积关系得到 ，设 ，结合椭圆定义，在 中，由余弦定理得求
第 37 页得 ．在 中，同理可得 ，解得 ，可得 ，进而根据 的值，求得
，进而求得方程.
【详解】由题意可得 ，
∴ ，
由椭圆的定义得 ，
设 ，
在 中，由余弦定理得
，
∴ ．
在 中，同理可得 ，
∴ ，解得 ，可得 ， ， ．
由 ，得 ，则 ，
∴椭圆 的方程为 ．
第 38 页第 39 页
