文档内容
专题 03 勾股定理及逆定理的七种考法
目录
解题知识必备.....................................................................................................................................................1
压轴题型讲练.....................................................................................................................................................2
类型一、已知直角三角形的两边，求第三边长.................................................................................................2
类型二、已知两点坐标求两点距离...................................................................................................................6
类型三、利用勾股定理求两条线段的平方和（差）.........................................................................................8
类型四、勾股树（数）的判断.........................................................................................................................10
类型五、判断三边能否构成直角三角形..........................................................................................................11
类型六、在网格中判断直角三角形..................................................................................................................14
类型七、利用勾股定理逆定理求解..................................................................................................................17
压轴能力测评（16题）....................................................................................................................................20
解题知识必备
1.勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
a，b c
如图：直角三角形 ABC 的两直角边长分别为 ，斜边长为 ，那么
a2 b2 c2
.
注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.
（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样
就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.
（3）理解勾股定理的一些变式：
a2 c2 b2
，
b2 c2 a2
，
c2 ab2 2ab
.
运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；
2.用于解决带有平方关系的证明问题；
3.利用勾股定理，作出长为 的线段
2.勾股定理逆定理
a，b，c a2 b2 c2
1.定义：如果三角形的三条边长 ，满足 ，那么这个三角形是直角三角形.
注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.
（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.
2.如何判定一个三角形是否是直角三角形c
（1）首先确定最大边（如 ）.
c2 a2 b2 c2 a2 b2
（2）验证 与 是否具有相等关系.若 ，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若
c2 a2 b2
，则△ABC不是直角三角形.
a2 b2 c2 a2 b2 c2 c
注意：当 时，此三角形为钝角三角形；当 时，此三角形为锐角三角形，其中 为
三角形的最大边.
3.勾股数
像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.
勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数
压轴题型讲练
类型一、已知直角三角形的两边，求第三边长
例题：（24-25七年级上·山东威海·期末）如图， 于点 于点 ，点 是 中点，若
，则 的长是 ．
【变式训练】
1．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，在 中， ， ，将 沿直线
平移，顶点A、C、B平移后分别记为 、 、 ，若 与 重合部分的面积2，则 ＝
．
2．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）如图，在 中， ， ， ， ，
则 ．
3．（24-25九年级上·全国·假期作业） 是直角三角形， ， ，则 的长为．
类型二、已知两点坐标求两点距离
例题：（24-25八年级上·浙江宁波·期中）点 ， 是平面直角坐标系中的两点，则线段
．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）已知平面直角坐标系中的两点分别为 ，则 ， 两
点之间的距离为 ．
2．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）在平面直角坐标系 中，若点 的坐标为 ，点 的坐标
为 ，存在 轴一点 ，使 最小，则 最小值是 ．
3．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）设 ， 是平面直角坐标系中的两点，P是线段
垂直平分线上的点，如果点P与点 的距离等于 ，则点P的坐标为 ．
类型三、利用勾股定理求两条线段的平方和（差）
例题：（23-24八年级下·河南郑州·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的
“垂美”四边形 ，对角线 交于点 ，若 ， ，则 ．
【变式训练】
1．（22-23八年级下·山西大同·期末）如图， 和 都是等腰直角三角形， ，
， 的顶点A在 的斜边 上，则 的值为 ．
2．（23-24八年级下·山西吕梁·阶段练习）如图，在 中， 的垂直平分线 交 于点E，交
于点F，D是线段 上一点，且满足条件： ， ．若 ， ，
，则 ．类型四、勾股树（数）的判断
例题：（24-25八年级上·陕西西安·期末）下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．13，14，15 B．
C．0.3， ， D．3，4，5
【变式训练】
1．（24-25八年级上·江西九江·期末）下列几组数中，是勾股数的是（ ）
A．1，2，3 B．3，4，5 C．13，15，20 D．6，8，11
2．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）下列各组数中，不是勾股数的是（ ）
A． ， ， B． ， ， C． ， ， D． ， ，
类型五、判断三边能否构成直角三角形
例题：（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）下列各选项中，不能构成直角三角形三边长的一组是（ ）
A．2，3，4 B．3，4，5 C．5，12，13 D．8，6，10
【变式训练】
1．（24-25七年级上·山东威海·期末）已知 是 的三边，下列条件中，能够判断 为直角三
角形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25八年级上·上海·期末）用下列几组边长构成的三角形中哪一组不是直角三角形（ ）
A．8，15，17 B． ， ， C． ，2， D．1，2，
3．（浙江省嘉兴市2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题）在下列条件中，不能判断 是直
角三角形的是（）
A． ， B． ， ，
C． ， D． ，类型六、在网格中判断直角三角形
例题：（24-25八年级上·山西晋中·期中）如图，正方形网格的每个小方格边长均为1， 的顶点在格
点上．
(1)填空： ______， ______， ______．
(2) 是直角吗？请说明理由．
(3)请建立适当的平面直角坐标系，并写出 ， ， 三点的坐标．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·广东河源·期中）如图， 网格中每个小正方形的边长都为 ， 的顶点均在网
格的格点上．
(1) ， ， ；
(2) 是直角三角形吗？请作出判断并说明理由．
2．（23-24八年级下·黑龙江·阶段练习）如图，在边长为1的正方形组成的网格图中， 的三个顶点均
在格点上
(1)求 的周长；
(2)试判断 的形状．
类型七、利用勾股定理逆定理求解
例题：（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，点 、 是直线 上两点，且 ，在线段上取一点 ，经测量， ．
(1) 长是否为点 到直线 的最短距离？请说明理由；
(2)求点 和点 的距离．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·山西临汾·期末）（1）如图1， ， ， ， ， ，
求图中阴影部分的面积．
（2）如图2，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子 的长为10米，此人以
0.5米每秒的速度收绳，6秒后船移动到点 的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果
保留根号）
2．（24-25七年级上·江西萍乡·期末）如图，在四边形 中， ， ， ，且
．求：
(1) 的度数；
(2)四边形 的面积．压轴能力测评（16题）
一、单选题
1．（24-25八年级上·江西南昌·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的
数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A．0.3，0.4，0.5 B．1， ， C．6，8，10 D．5，12，11
2．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）在 中， ， ， 的对边分别为a，b，c，下列条件
中，不能确定三角形是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25七年级上·山东淄博·期末）如图，等腰直角 中， 为 中点，
为 上一个动点，则 的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
4．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）在 中， ，直线 交 于点 ，交 于点 ，点
关于直线 的对称点 在边 上，若 ， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图；四边形 中， ， ，
，边 的垂直平分线分别交 、 于点 、 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题6．（23-24七年级上·山东淄博·期中）如图， 中， 于点 ，则
CD的长为 ．
7．（24-25八年级上·全国·单元测试）如果在直角坐标平面内有 、 ，那么
．
8．（24-25八年级上·四川成都·期中）已知 中， ， ， ，且满足
．则AB边上的高为 ．
9．（23-24八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，四边形ABCD的对角线 交于点O．若 ，
， ，则 ．
10．（24-25八年级上·江西南昌·期末）已知在平面直角坐标系中 、 、 ．点 在 轴
上运动，当点 与点 ， ， 三点中任意两点构成直角三角形时，点 的坐标为 ．
三、解答题
11．（24-25八年级上·河南周口·期末）如图，在 中， 于点D， ．
(1)分别求出 、 、 的长．
(2)猜想 是什么三角形，并证明你的猜想．
12．（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，已知正方形网格中的 ，若每个小方格的边长为 ，
请你根据所学的知识解答下列问题．(1)求 的面积；
(2)判断 是什么形状？并说明理由．
13．（24-25七年级上·山东威海·期末）如图，在一条东西走向的河的一侧，有一村庄 ，河边原有两个取
水点 、 ，其中 由于某种原因，由 到 的路已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新
建一个取水占 在同一条直线上），并修建一条路 ，测得 千米， 千米，
千米，
(1)问 是不是村庄 到河边最近的一条路？请通过计算加以说明；
(2)求原来的路线 的长．
14．（河南省郑州市航空港区2024—2025学年上学期期末八年级数学调研卷）图1是某超市的购物车，图
2为其侧面简化示意图，测得支架 ， ，两轮中心的距离 ，滚轮半径 ．
(1)判断 的形状，并说明理由．
(2)若购物车上篮子的左边缘 与点 的距离 ，且 和 都与地面平行，
求购物车上篮子的左边缘 到地面的距离．
15．（24-25八年级上·四川成都·期中）阅读材料，在平面直角坐标系中，已知x轴上两点 、
的距离记作 ，如果A(x ,y )、B(x ,y )是平面上任意两点，我们可以通过构造直角
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三角形来求 间的距离．如下左图，过A、B分别向x轴、y轴作垂线 、 和 、 ，垂足分别是 、 、 、 ，直线 交 于点Q，在 中， ， ，
∴ ．由此可以得到平面直角坐标系内任意两点
A(x ,y )、B(x ,y )间的距离公式．
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利用上面公式解决下列问题：
(1)直接应用平面内两点间距离公式计算点 ，B(−2,1)之间的距离；
(2)在平面直角坐标系中的两点A(0,3)， ，P为x轴上任一点，求 的最小值和此时点P的坐
标；
(3)应用平面内两点间的距离公式，求代数式 的最小值（直接写出答案）．
