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微专题：利用椭圆的定义求方程
【考点梳理】
椭圆即点集P＝{M||MF |＋|MF |＝2a}，在运用椭圆的定义时，要注意“|FF|＜2a”这个条件.
1 2 1 2
【典例剖析】
典例1．已知点 满足 ，点A，B关于点 对称且 ，则
的最大值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．2
典例2．已知 的周长等于10， ，通过建立适当的平面直角坐标系，顶点 的轨迹方程可以是（ ）
A． B．
C． D．
典例3．已知 ， 是椭圆 的两个焦点，点P在椭圆上， ，则 的面积是（ ）
A．3 B．6 C． D．
典例4．已知 ， 是圆 上一动点，线段 的垂直平分线交 于点 ，则动点
的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
典例5．已知圆 ， ，动点 为圆 上任意一点，则 的垂直平分线与 的交点 的轨
迹方程是（ ）
A． B． C． D．
【双基达标】
第 1 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司6．已知 分别是椭圆 的左、右焦点，点 ，点 在椭圆 上， ，
分别是 的中点，且 的周长为 ，则椭圆 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知曲线 上任意一点 满足 ，则曲线 上到直线
的距离最近的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
8．已知定点 ，动点Q在圆O： 上，PQ的垂直平分线交直线 OQ于M点，若动点M的轨迹是双
曲线，则m的值可以是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．在平面直角坐标系xoy中，椭圆C的中心为原点，焦点 、 在x轴上，离心率为 ，过 的直线l交C于
A、B两点，且 的周长为16，那么C的方程为
A． B．
C． D．
10．已知椭圆 上任意一点 都满足关系式 ，则椭圆 的标准方程为
（ ）
A． B．
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司C． D．
11．若椭圆 上一点到C的两个焦点的距离之和为 ，则 （ ）
A．1 B．3 C．6 D．1或3
12．已知椭圆C的焦点为 ， ，过 的直线交于C与A，B，若 ， ，则C的
方程为（ ）
A． B． C． D．
13．已知椭圆对称中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，该椭圆的一焦点坐标为 且过点 ，求该椭圆的长
轴长为（ ）
A． B．
C． D．
14．已知 的两个顶点分别为 的周长为18，则点 的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
15．设椭圆C： 的两个焦点分别为 ， ，P是C上一点，若 ，且
，则椭圆C的方程为（ ）
A． B． C． D．
16．已知椭圆 的一个焦点为 ，点 是椭圆 上的一个动点， 的最小值为 ，且
存在点 ，使得 （点 为坐标原点）为正三角形，则椭圆 的焦距为（ ）
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
17．已知两定点 ， ，直线 ： ，在 上满足 的点 的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．0或1或2
18．已知椭圆 的两个焦点分别为 ，P是椭圆上一点， ，且C的短半轴
长等于焦距，则椭圆C的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
19．已知定圆 ， ，定点 ，动圆 满足与 外切且与 内切，则
的最大值为
A． B． C． D．
20．已知椭圆 与双曲线 ： 有相同的焦点 ， ，点 是两曲线的一个交点，且 ，过椭
圆 的右焦点 做倾斜角为 的直线交椭圆 于 ， 两点，且 ，则 可以取（ ）
A．4 B．5 C．7 D．8
【高分突破】
一、单选题
21．已知两定点 ， ，直线 ： ，在 上满足 的点 的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．0或1或2
22．以 ， 为焦点，且经过点 的椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司23．已知椭圆 的左、右焦点为 ， ，离心率为 ，过 的直线 交 于 ， 两点，若
周长为12，则 的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
24．在平面直角坐标系 中，已知点 ，动点 满足 ，则 的最大值为
（ ）
A． B．
C． D．
25．已知椭圆的两个焦点为 ， ，M是椭圆上一点，若 ， ，则该椭圆
的方程是（ ）
A． B． C． D．
26．方程 ，化简的结果是（ ）
A． B．
C． D．
27．设 ，若 ，则点 的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
28．方程 化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
29．记 的面积为 ，若 ， ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司30．已知椭圆 的两个焦点分别为 ， ， 是椭圆 上的动点， ， 的
最小值为1，则 的焦距为（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
二、多选题
31．下列说法正确的是（ ）
A．已知 ， 且三角形 的周长是6，则顶点 的轨迹方程是
B．点 关于直线 的对称点是
C．过 ， 两点的直线方程为
D．经过点 且在 轴和 轴上截距都相等的直线方程是
32．设椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，点 在椭圆上，且 ， ，
．过点 的直线交椭圆于 两点，且 关于点 对称，则下列结论正确的有（ ）
A．椭圆的方程为
B．椭圆的焦距为
C．椭圆上存在 个点 ，使得
D．直线 的方程为
33．在平面直角坐标系xOy中，已知 ， ， ，若动点P满足 ，则（ ）
A．存在点P，使得
B． 面积的最大值为
C．对任意的点P，都有
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司D．椭圆上存在2个点P，使得 的面积为
34．已知P是圆O:x2+y2=4上任意一点，定点A在x轴上，线段AP的垂直平分线与直线OP相交于点Q，当P在圆
O上运动时，Q的轨迹可以是（ ）
A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
35．在平面直角坐标系中，有两个圆 和 ，其中r，r 为正常数，满足
1 2
或 ，一个动圆P与两圆都相切，则动圆圆心的轨迹方程可以是（ ）
A．两个椭圆 B．两个双曲线
C．一个双曲线和一条直线 D．一个椭圆和一个双曲线
36．（多选）已知椭圆 的中心在坐标原点，离心率为 ，且椭圆上一点到椭圆的两个焦点的距离之和为 ，
则椭圆 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
37．设F，F 是椭圆C： ＋ ＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一个点，且PF⊥PF，若 的面
1 2 1 2
积为9，周长为18，则椭圆C的方程为________.
38．已知B( ，0)是圆A： 内一点，点C是圆A上任意一点，线段BC的垂直平分线与AC相
交于点D.则动点D的轨迹方程为_________________.
39．已知圆F：(x＋1)2＋y2＝16，定点F(1，0)，动圆M过点F，且与圆F 相内切，那么点M的轨迹C的方程为
1 2 2 1
____．
40．已知 ，则 的最值为_________.
41．点 在焦点为 、 的椭圆 上， 交 轴于点 ，且△ 为正三角形，若 ，则椭圆
的标准方程为________．
第 7 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司42．已知长方形 ， ， ，则以 ， 为焦点，且过 ， 的椭圆的离心率为________．
四、解答题
43．设点 是椭圆 上一动点， 分别是椭圆 的左，右焦点，射线
分别交椭圆 于 两点，已知 的周长为8，且点 在椭圆 上.
(1)求椭圆 的方程；
(2)证明： 为定值.
44．已知点 是圆 上任意一点， 是圆 内一点，线段 的垂直平分线与半径 相交
于点 ．
(1)当点 在圆上运动时，求点 的轨迹 的方程；
(2)设不经过坐标原点 ，且斜率为 的直线 与曲线 相交于 、 两点，记 、 的斜率分别是 、 ，以
、 为直径的圆的面积分别为 、 当 、 都存在且不为 时，试探究 是否为定值？若是，求出
此定值；若不是，请说明理由．
45．已知平面内B、C是两个定点， .
① 的周长为18；
②直线AB、AC的斜率分别为 、 ，且 .
请从上面条件中任选一个作答，以BC中点为坐标原点，以BC所在直线为x轴，求出三角形ABC顶点A的轨迹方
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司程.
46．已知两圆 ，动圆 在圆 内部且和圆 内切，和圆 外切.
(1)求动圆圆心 的轨迹 的方程；
(2)过点 的直线与曲线 交于 两点. 关于 轴的对称点为 ，求 面积的最大值.
47．平面直角坐标系 中， 为坐标原点，抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线 上，且
. 关于原点的对称点为 ，圆 的半径等于 ，以 为圆心的动圆过 且与圆 相切.
（1）求动点 的轨迹曲线 的标准方程；
（2）四边形 内接于曲线 ，点 分别在 轴正半轴和 轴正半轴上，设直线 的斜率分别是 ，
且 .
（i）记直线 的交点为 ，证明：点 在定直线上；
（ii）证明： .
48．已知圆 和点 是圆 上任意一点，线段 的垂直平分线和 相交于点
，记 的轨迹为曲线 .
（1）求曲线 的方程；
（2）点 是曲线 与 轴正半轴的交点，过点 的直线交 于 两点， 直线 的斜率分别是 ，
试探索 是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
第 9 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．C
【分析】利用向量的加法运算求出 ，根据向量数量积基底模式求出 ，
再用两点间的距离公式及点 在椭圆 上即可求解.
【详解】由椭圆定义可得点 在椭圆 上，因为点A，B关于点 对称，所以
，而
，因为 ，
所以当 时 取得最大值3，所以 的最大值为 .
故选:C．
2．A
【分析】根据椭圆的定义进行求解即可.
【详解】因为 的周长等于10， ，
所以 ，
因此点 的轨迹是以 为焦点的椭圆，且 不在直线 上，
因此有 ，
所以顶点 的轨迹方程可以是 ，
故选：A
3．A
【分析】由 ，利用勾股定理结合椭圆的定义求解.
【详解】因为 ，
所以 ，
则 ，
所以 ，
所以 ，
故选：A
4．A
【分析】根据垂直平分线的性质得 ，再由椭圆的定义可得出点 的
轨迹是以 ， 为焦点的椭圆，由椭圆的方程可求得动点 的轨迹方程.
【详解】由题意，可知圆 的标准方程为 ，圆心为 ，半径为6．
第 10 页∵线段 的垂直平分线交 于点 ，
∴ ，
∴ ，
∴点 的轨迹是以 ， 为焦点的椭圆，
∴ ， ， ，
∴其轨迹方程为 ．
故选：A
5．C
【解析】 的垂直平分线与 的交点 ，所以 ，则
，
进而可以利用椭圆的第一定义和焦距进行求解
【详解】 的垂直平分线与 的交点 ，所以 ，则
，
故 的轨迹是以 ， 为焦点，长轴长为8的椭圆，所以， ， ，
，点 的轨迹方程是
故选：C
【点睛】本题考查椭圆的第一定义的运用，属于基础题
6．B
【分析】因为 ，所以 三点共线，且 ，根据椭圆的定义求得 ，
设 ，根据 ，求得 ，代入椭圆的方程，求得 的值，即可求解.
【详解】因为 ，所以 三点共线，且 ，
因为 分别为 和 的中点，
所以 ，所以 ，
设 ， ， ，
由 ，可得 ，
求得 ， ，所以 ，
因为点 在椭圆 上，所以 ，求得 ， ，
所以椭圆 的方程为 .
故选：B.
第 11 页7．B
【分析】根据两点间距离公式和椭圆的定义可知曲线 为椭圆，从而得出椭圆方程；设与直线 平行且
与曲线 相切的直线方程，与椭圆方程联立，得到一元二次方程，利用判别式为零，求解交点坐标即可.
【详解】 设 , 则
,
点的轨迹是以 ， 为焦点的椭圆. 曲线 的方程是：
设与直线 平行且与曲线 相切的直线方程为 .由 得
，， ， ，
当 时， ， ；当 时， ， ；又 中靠近 的点
应该在椭圆的下方， 曲线 上到直线 的距离最近的点的坐标是 .
故选：
8．D
【分析】当 在圆内时，由几何性质可得 ，此时 的轨迹是以 为焦点的椭圆. 当
在圆上时，线段 的中垂线交线段 于圆心 .当 在圆外时， ,此时 的轨迹是以
为焦点的双曲线的一支，从而可得答案.
【详解】当 在圆内时，设 与圆的另一交点为 ，设点 为弦 的中点,
则 , 线段 的中点 在线段 内，则线段 的中垂线交线段 于点 ，如图1 .
第 12 页连接 , 则 , 所以
则
此时 的轨迹是以 为焦点的椭圆.
当 在圆上时，线段 的中垂线交线段 于圆心 .
当 在圆外时，设 与圆的另一交点为 ，设点 为弦 的中点,
则 , 线段 的中点 在线段 内，则线段 的中垂线交线段 的延长线于点 ，如图2 .
连接 , 则 , 所以
则
此时 的轨迹是以 为焦点的双曲线的一支.
同理当 在圆上运动时，还会得到
所以动点 的轨迹是双曲线，则 在圆外,所以
故选： D
9．D
【分析】根据题意， 的周长为16，即 ，结合椭圆的定义，有 ，即可得 的
值；又由椭圆的离心率，可得 的值，进而可得 的值；由椭圆的焦点在 轴上，可得椭圆的方程．
第 13 页【详解】解答：解：根据题意， 的周长为16，即 ,
根据椭圆的性质，有 ，即 ；椭圆的离心率为 ，即 ，则 ，故 ，则
，则椭圆的方程为 ，故选D．
【点睛】本题考查椭圆的性质，此类题型一般与焦点三角形联系，难度一般不大；注意结合椭圆的基本几何性质
解题即可．
10．B
【分析】根据关系式，可知点 满足椭圆方程，即可根据定义，求解椭圆方程.
【详解】由题设可知椭圆 的焦点在 轴上，其坐标分别为 ， ， ，故 ， ， ，所以
椭圆 的标准方程为 ．
故选：B
11．B
【分析】讨论焦点的位置利用椭圆定义可得答案.
【详解】若 ，则由 得 （舍去）；
若 ，则由 得 ．
故选：B.
12．B
【分析】根据给定条件利用椭圆定义及余弦定理列出方程求出 即可得解.
【详解】依题意，设椭圆方程为 ，
由椭圆定义知， ，因 ， ，则 ，解得 ，
于是得 ， ， ，显然点A在y轴上，如图，
在 中， ， ，在 中， ，
由余弦定理得 ，即 ，解得 ，
，
所以椭圆C的方程为 .
故选：B
第 14 页13．C
【分析】由椭圆的一焦点坐标为 ，则另一焦点为 ，由又椭圆过点 ,根据椭圆的定义可得答案.
【详解】由椭圆的一焦点坐标为 ，可得所求椭圆焦点在 轴上，
设所求椭圆方程为： ，
则椭圆的另一焦点为 ，又椭圆过点
由椭圆的定义可得：
故选：C
14．A
【分析】根据 ，利用椭圆的定义得到点 的轨迹是以 为焦点的椭圆求解.
【详解】由题意得 ，
所以点 的轨迹是以 为焦点的椭圆，
设其标准方程为 ，则 ，从而 ．
又 三点不共线，
∴点 不在 轴上，
点 的轨迹方程为 ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查椭圆的定义求方程，属于基础题.
15．D
【解析】根据 ，得到 ，由椭圆的定义得到 ，结合 ，求得
，然后在 中，由余弦定理求得a即可.
【详解】因为 ，所以 ，
P是C上一点，由椭圆的定义得： ，
又 ，
所以 ，
又 ，则 ，
所以在 中，由余弦定理得： ，
即 ，
整理得： ，
解得 ，则 ，
第 15 页所以椭圆C的方程为
故选：D
16．D
【解析】不妨设 为椭圆 的右焦点， 为椭圆 的左焦点，连接 ，利用椭圆的定义，以及 的最小值，
列方程组可得椭圆 的焦距．
【详解】不妨设 为椭圆 的右焦点， 为椭圆 的左焦点，连接
因为 为等边三角形，所以 ，所以 是直角三角形，所以 ．因为
，所以 ．因为 的最小值为 ，所以 ，所以 ，
椭圆 的焦距为
故选：D
17．B
【解析】求出 点所在轨迹方程，与直线方程联立方程组，方程组解的个数就是满足题意的 点的个数．
【详解】∵ ， ，∴ 在以 为焦点， 为长轴长的椭圆上，
由于 ， ，又 ，因此 ，
椭圆方程为 ，
由 ，解得 ， ∴ 点只有一个．
故选：B．
【点睛】关键点点睛：本题考查求平面满足题意的的个数，方法是求出满足动点 的一个条件的轨迹方程，由方
程组的解的个数确定曲线交点个数，从而得出结论，这也是解析几何的基本思想．
18．D
【详解】因为 ，所以 ．因为 ，所以 ， ，
故椭圆C的标准方程为 ．
故选：D.
19．A
第 16 页【分析】将动圆 的轨迹方程表示出来： ,利用椭圆的性质将距离转化,最后利用距离关系得到最值.
【详解】定圆 ， ，动圆 满足与 外切且与 内切
设动圆半径为 ，则
表示椭圆，轨迹方程为：
故答案选A
【点睛】本题考查了轨迹方程，椭圆的性质，利用椭圆性质变换长度关系是解题的关键.
20．D
【分析】先求出椭圆的标准方程为 再求出点 的坐标即得解.
【详解】由题得椭圆的焦点为 不妨设 在第一象限，
设椭圆方程为 ，
因为 ，
所以 ①
，②
又 ，③
解①②③得 ，所以椭圆的方程为
由题得直线 方程为 即：
联立直线 和椭圆方程 得 或 ，
所以 ,或
当 时，
所以 ,
所以
所以 .
当 时， .
第 17 页所以 可以取8.
故选：D
【点睛】方法点睛：解答圆锥曲线的问题时，看到焦半径，一般要马上联想到该圆锥曲线的定义，再利用该定义
解题求解.
21．B
【分析】求出 点所在轨迹方程，与直线方程联立方程组，方程组解的个数就是满足题意的 点的个数．
【详解】详解：
∵ ， ，∴ 在以 为焦点， 为长轴长的椭圆上，
由于 ， ，又 ，因此 ，
椭圆方程为 ，
由 ，解得 ,∴ 点只有一个．
故选：B．
22．B
【分析】根据焦点在x轴上，c=1，且过点 ，用排除法可得.也可待定系数法求解，或根据椭圆定义求2a可得.
【详解】因为焦点在x轴上，所以C不正确；又因为c=1，故排除D；将 代入 得 ，故
A错误，所以选B.
故选：B
23．C
【解析】根据椭圆的定义，可得 ，求得 ，再由离心率为 ，求得 ，进而得到 ，即可求得椭
圆的方程，得到答案.
【详解】 的周长为12，
， ，
又 ， ， ，
的标准方程为 ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了椭圆的定义与标准方程的求解，其中解答中熟记椭圆的定义，以及椭圆的几何性质，准
确运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.
24．C
【分析】根据题意得出 的轨迹为椭圆，且方程为 .设出点 的坐标，利用向量数量积的定义求出
第 18 页，结合椭圆中 的取值范围即可求出 的最大值.
【详解】易知 的轨迹为椭圆，其方程为 ，设 ，则 ，
因为 ，所以 ，即 ，
.
故选： .
25．B
【分析】由椭圆的定义结合勾股定理求出 ，即可求解
【详解】由 ，
得 ，
又因为 ，
所以 ，
由 ，
得 ，
所以 ，
又 .
因为椭圆的焦点在 轴上，
所以椭圆的方程是 .
故选：B.
26．B
【分析】由所给方程 ,可知动点 到定点 和 距离和是定值 ,根
据椭圆的定义可知其轨迹是椭圆,即可求出椭圆的 ,进而得到答案.
【详解】根据两点间的距离公式可得: 表示点 与点 的距离,
表示点 与点 的距离.
所以原等式化简为
因为
所以由椭圆的定义可得:点 的轨迹是椭圆:
根据椭圆中: ,得:
第 19 页所以椭圆的方程为: .
故选:B.
【点睛】本题考查了由椭圆的几何意义来求椭圆方程,能理解椭圆定义是解本题关键.
27．B
【解析】由椭圆的定义可得出点 的轨迹是以 为焦点的椭圆，其中 ， ，由此可得出椭圆的标准
方程.
【详解】由题意可知，点 到点 的距离与到点 的距离之和为定值 ，并且
，
所以点 的轨迹是以 为焦点的椭圆，所以 ，因为 ，所以 ，
所以点 的轨迹方程为 .
故选：B.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于熟悉、灵活运用椭圆的定义，求出椭圆的焦点的位置，椭圆中的 .
28．D
【分析】由方程的几何意义得到是椭圆，进而得到焦点和长轴长求解.
【详解】∵方程 ，
表示平面内到定点 、 的距离的和是常数 的点的轨迹，
∴它的轨迹是以 为焦点，长轴 ，焦距 的椭圆；
∴ ；
∴椭圆的方程是 ，即为化简的结果．
故选：D．
29．C
【分析】以 的中点 为原点，直线 为 轴，直线 为 轴，建立如图所示直角坐标系，结合椭圆的定义
和三角形的面积公式，即可求解．
【详解】解：以 的中点 为原点，直线 为 轴，直线 为 轴，建立如图所示直角坐标系，
由椭圆的定义易知，点 的轨迹是分别以 ， 为左、右焦点的椭圆（不含长轴两端点），且 ， ，
则 ，故该椭圆的标准方程为 ，
当点 为椭圆的上下顶点时，即 时， 取最大值，
则三角形面积 ，当且仅当 时取等号．
故选：C．
第 20 页30．B
【解析】由椭圆定义及性质，布列方程组，即可得到结果.
【详解】由已知得 ，解得 ，
∴焦距为8.
故选：B
【点睛】本题考查椭圆的定义及基本性质，考查计算能力，属于基础题.
31．AB
【解析】根据椭圆的定义，可判断A的正误；根据点关于线的对称点的求法，可求得对称点坐标，即可判断B的
正误；根据直线的两点式方程，即可判断C的正误；根据直线的截距式方程，可判断D的正误，即可得答案.
【详解】对于A：因为 ，所以 ，所以C点到两定点A、B的距离之和为定值4>2，满足椭
圆的定义，
所以 ，解得 ， ，
所以顶点 的轨迹方程是 ，故A正确；
对于B：设点 关于直线 的对称点是 ，
则 ，解得 ，故对称点为 ，故B正确；
对于C：当 时，过 ， 两点的直线方程为 ，故C错误；
对于D：若直线在 轴和 轴上截距都为0时，设直线 ，又直线过点 ，代入解得k=1，所以直线方程为
；
当直线在 轴和 轴上截距都相等且都不为0时，设截距为a，则直线方程为 ，又直线过点 ，代入解
得a=2，所以方程为 ，整理可得 ，故D错误.
故选：AB
32．ACD
【分析】由椭圆定义、勾股定理和椭圆 关系可求得椭圆方程，知A正确；
第 21 页由 的值可确定焦距，知B错误；
由 知 在以线段 为直径的圆上，由 知C正确；
利用点差法可求得直线 方程，知D正确.
【详解】对于A，由椭圆的定义知： ，解得： ．
， ，解得： ，
， 椭圆的方程为 ，A正确；
对于B，由 知：焦距为 ，B错误；
对于C，由 知 ， 在以线段 为直径的圆上，
由 知：以线段 为直径的圆与椭圆有 个交点，
即椭圆上存在 个点 ，使得 ，C正确；
对于D，由题意知点 为弦 的中点，
设 ， ，则 ， ，
两式相减得： ．
， ，则 ， ，
直线 的方程为： ，即 ，D正确.
故选：ACD.
【点睛】结论点睛：本题D选项考查了与弦中点有关的直线方程的求解问题，点差法是解决此类问题的常用方法，
若弦 中点坐标为 ，则以 为中点的弦所在直线的斜率与中点坐标有关，具体结论为：
（1）椭圆 中， ；
（2）双曲线 中， ；
（3）抛物线 中， .
33．AD
【分析】根据题意求得P的轨迹是椭圆 ，从而判断椭圆上是否存在点 ，使得 ，判断A；
当点P为椭圆上、下顶点时， 面积的取最大值，进而判断B；
由椭圆定义知， 验证C选项；
第 22 页求得使得 的面积为 的P点坐标满足的关系，与椭圆联立，根据判别式判断交点个数，判断D.
【详解】由题知，点P的轨迹是 ， ，焦点在x轴上的椭圆，
则 ，椭圆方程为 ，
A：当点P为椭圆右顶点时， ，故A正确；
B：当点P为椭圆上、下顶点时， 面积的取最大值，
且最大值为 ，故B错误；
C： ，
因 ，故C错误；
D：设使得 的面积为 的P点坐标为 ，
由 坐标知， ，直线 的方程为 ，
则 ，解得 或 ，
联立 ，化简得 ，
则 ，因此存在两个交点；
同理可得直线 与椭圆没有交点；
综上，有且仅有2个点 ，使得 的面积为 ，故D正确；
故选：AD
34．BC
【分析】分点A在圆内、圆外、圆上、圆心，作图，结合椭圆、双曲线定义以及圆的性质可知.
【详解】当点A在圆内时，如图1，因为点Q在PA的垂直平分线上，所以 ，所以
，又 ，所以由椭圆定义知，此时轨迹为椭圆；
当点A在圆外时，如图2， ，且 ，由双曲线定义可知，此时轨迹为双曲
线；当点A在圆上时，易知点Q为定点，即圆心O；当点A在于点O重合时，易知Q为AP的中点，轨迹为圆.
故选：BC
第 23 页35．BCD
【分析】两圆圆心距C C ＝4，当r+r＜4，即两圆外离时，动圆P可能与两圆均内切或均外切或一个内切一个外
1 2 1 2
切；当r+r＞4，两圆相交，动圆P可能与两圆均内切或均外切或一个内切一个外切，分别讨论，得出结论．
1 2
【详解】解：根据题意圆 ，半径r，圆 ，半径r，所以 ，设圆P的半径为r，
1 2
（1）当 ，即两圆外离时，动圆P可能与两圆均内切或均外切或一个内切一个外切，
①均内切时 ， ，此时 ，
当 时，此时P点的轨迹是以C ，C 为焦点的双曲线，
1 2
当 时，此时点P在C ，C 的垂直平分线上．
1 2
②均外切时|PC |＝r+r，|PC |＝r+r，此时 ．
1 1 2 2
此时P点的轨迹是与①相同．
③与一个内切与一个外切时，不妨设与圆C 内切，与圆C 外切，
1 2
|PC |＝r﹣r，|PC |＝r+r，
1 1 2 2
与圆C 内切，与圆C 外切时，同理得，
2 1
此时点P的轨迹是以C ，C 为焦点的双曲线，与①中双曲线不一样．
1 2
（2）当 ，两圆相交，动圆P可能与两圆均内切或均外切或一个内切一个外切，
④均内切时轨迹和①相同．
⑤均外切时轨迹和①相同
⑥与一个内切另一个外切时，不妨设与圆C 内切，与圆C 外切，
1 2
|PC |＝r﹣r，|PC |＝r+r，|PC |+|PC |＝r+r
1 1 2 2 1 2 1 2
此时点P的轨迹是以C ，C 为焦点的椭圆．
1 2
与圆C 内切，与圆C 外切时，同理得 ，
2 1
此时点P的轨迹是以C ，C 为焦点的椭圆．
1 2
故选：BCD．
【点睛】本题考查动点的轨迹问题，圆与圆的位置关系以及椭圆与双曲线的定义的应用，解答本题的关键是根据
动圆圆心与已知圆的圆心距离 ， 的和与差与 ， 间的关系，结合椭圆与双曲线的定义进行分
析
第 24 页36．AC
【分析】求出 、 、 的值，对椭圆焦点的位置进行分类讨论，由此可得出椭圆的标准方程.
【详解】由椭圆的定义可得 ，可得 ，椭圆 的离心率为 ，则 ，
所以， .
若椭圆 的焦点在 轴上，则椭圆 的方程为 ；
若椭圆 的焦点在 轴上，则椭圆 的方程为 .
故选：AC.
37．
【分析】由题意可知 为直角三角形，由椭圆的定义结合已知条件即可求解
【详解】∵PF⊥PF，
1 2
∴ 为直角三角形，
又知 的面积为9，
∴ |PF|·|PF|＝9，
1 2
得|PF|·|PF|＝18.
1 2
在Rt 中，由勾股定理得|PF|2＋|PF|2＝|FF|2，
1 2 1 2
由椭圆定义知|PF|＋|PF|＝2a，
1 2
∴(|PF|＋|PF|)2－2|PF||PF|＝|FF|2，即4a2－36＝4c2，
1 2 1 2 1 2
∴a2－c2＝9，即b2＝9，
又知b>0，
∴b＝3，
∵ 的周长为18，
∴2a＋2c＝18，即a＋c＝9，①
又知a2－c2＝9，
∴a－c＝1.②
由①②得a＝5，c＝4，
∴所求的椭圆方程为 .
故答案为：
38．
【分析】利用椭圆的定义可得轨迹方程.
【详解】连接 ，由题意， ，则 ，
第 25 页由椭圆的定义可得动点D的轨迹为椭圆，其焦点坐标为 ，长半轴长为2，
故短半轴长为1，故轨迹方程为： .
故答案为： .
39．x24+y23=1##y23+x24=1
【分析】根据椭圆的定义判断出点M的轨迹C为椭圆，直接求出其标准方程.
【详解】设圆M的半径为r.
∵圆M与圆F 相内切，∴MF ＝4－r.
1 1
∵圆M过点F，∴MF ＝r，∴MF ＝4－MF ，即MF ＋MF ＝4>FF，
2 2 1 2 1 2 1 2
∴点M的轨迹C是以F，F 为焦点的椭圆，设椭圆的方程为 (a>b>0)，
1 2
则有2a＝4，c＝1，∴a＝2，b＝ ，
∴轨迹C的方程为
故答案为： .
40．最大值为 ，最小值为 .
【分析】由 ，可知点 的轨迹表示以定点 ， 的距离之和为定长20
的椭圆，进而结合点到直线的距离得到答案.
【详解】满足题设的点 的轨迹是定点 ， 的距离之和为定长20的椭圆，此椭圆的中心在 、
长半轴a满足 ，即 .线段 长为 ，即 ，所以椭圆的短半轴长 .又椭圆长轴所
在直线方程为 .如图可知，使得椭圆与直线 有公共点的m的取值范围是原点到直线 的
距离不超过 .
第 26 页即 ，解得 .
椭圆上任意一点 均满足 .
由 ，得 的最大值为 ，最小值为 .
故答案为：最大值为 ，最小值为 .
41．
【分析】利用图中的几何关系以及椭圆的定义即可求解.
【详解】由已知得，点 在焦点为 、 的椭圆 上， 交 轴于点 ，且△ 为正三角形，则
,
即 为△ 的中位线， ,
又∵在等腰△ 中， ,
∴ ,∴ ,
由椭圆的定义可知 ，即 ，
又∵ ，∴ ，
∴ ，则椭圆方程： ．
故答案为： ．
42． ##
【分析】利用椭圆的定义求椭圆的离心率.
【详解】解析: 如图， ，即
∵点 在椭圆上，且
∴ ，即 ，
∴ ##
故答案为： ## .
第 27 页43．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据椭圆定义和点在椭圆上建立方程，解出方程即可；
（2）联立直线 与椭圆 的方程，根据韦达定理表示出点 和点 的坐标关系，同理也可以表示出点 和点
的坐标关系，然后将 化简为 三点的坐标表示，最后化简即可
(1)
根据椭圆的定义可得：
解得：
将 代入方程 ，得
解得：
椭圆C的方程为：
(2)
由题知， ，设 ，则直线 的方程为
由 得
同理可得
第 28 页为定值 .
【点睛】（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去 (或 )建立一元二次方程，然后借
助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
44．(1) ；
(2)是定值， .
【分析】(1)由条件可得 点轨迹满足椭圆定义，设出椭圆方程，由 ， 的值可得 的值，从而求得轨迹方程；
(2)设出直线 的方程，结合韦达定理，分别求得 为定值， 也为定值，从而可得 是定值．
(1)
由题意知 ，
，
根据椭圆的定义知 点的轨迹是以 ， 为焦点的椭圆，
设椭圆的方程为 ，
则 ， ，
第 29 页曲线 的方程为 ；
(2)
由题意知直线 的方程为 且m≠0)，
设直线 与椭圆的交点为 ， ， ， ，
由 得， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
是定值，为 ．
45． 或
【分析】（1）结合椭圆的定义来求轨迹方程；
（2）利用 建立关于点的坐标 的方程求出A轨迹方程.
【详解】（1）根据椭圆定义，平面上到两个定点的距离之和为定值,且定值大于定长的点的集合轨迹为椭圆，
， 以及 ，则有
那么 ，且A,B,C三点构成三角形，那么A点的轨迹方程为
（2）设点 ，B坐标为 ，C坐标为 ，则有 ， ，且 ，那么
，
第 30 页化简可得 ， ，
且A,B,C三点构成三角形，那么A点的轨迹方程为 .
46．(1) ；
(2) .
【分析】(1)由题得 ， 的轨迹是以 为焦点的椭圆，再借助椭圆的定义直接求
出方程即可.
(2)根据条件设出直线PQ的方程，联立直线和椭圆方程消元，结合韦达定理及基本不等式求解即可计算作答.
(1)
依题意，圆 的圆心 ，半径 ，圆 的圆心 ，半径 ，
设圆 的半径为 ，则有 ， ，因此， ，
于是得点 的轨迹是以 为焦点，长轴长 的椭圆，此时，焦距 ，短半轴长b有：
，
所以动圆圆心 的轨迹 的方程为： .
(2)
显然直线 不垂直于坐标轴，设直线 的方程为 ， ，
由 消去 得： ，则 ， ，
点 关于 轴的对称点 ， ， ，如图，
显然 与 在3的两侧，即 与 同号，
于是得
第 31 页，
当且仅当 ，即 时取“=”，因此，当 时， ，
所以 面积的最大值 .
47．（1） ；（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.
【分析】（1）由抛物线定义表示出 ，即可求出点 的坐标，由此求出 的值，进而求出抛物线的方程，然
后求出点 ， 的坐标，利用椭圆的定义即可求出动点 的轨迹方程；（2）（i）设出点 的坐标，然后分别设
出直线 ， 的方程，求出 ， 的关系式，利用已知 建立等式关系，再由 为四边形，即可证明；
（ii）求出 ， 的坐标，即可求出直线 的斜率，设出直线 的方程，并与椭圆方程联立，利用韦达定理以及
斜率公式表示出 ，并令该关系式等于 ，化简求出直线 的斜率，由此即可证明．
【详解】解：（1）由题知： ，所以 ，
所以 ，解得 ，
所以抛物线 的标准方程为 ， ，
设动圆 的半径为 ，由题意知 ， ，
所以 ，
所以 点的轨迹是以 为焦点的椭圆，其长轴长 焦距为 ， ，
所以曲线 的标准方程为： .
（2）（i）设点 ，因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，整理得 ，
因为 为四边形，所以 ，
所以点 在定直线 上；
（ii）由题知 ，直线 ，
设 ，直线 ，
第 32 页将 代入 得 ，
所以 ，
所以
，
所以 ，
所以 ，
所以 ，解得 ，
所以 .
48．（1） ；（2）是定值为 .
【解析】（1）由圆 的方程可得圆心和半径，由线段垂直平分线的性质可得 ，
由椭圆的定义即可求解；
（2）设 ，设直线 ： 与椭圆方程联立得 由根与系数
的关系可得 、 ，计算 即可求解.
【详解】（1）圆 的圆心为 ，半径为 ，
点 在圆 内， ，
所以曲线 是 为焦点，长轴长为 的椭圆，
由 ，得 ，所以曲线 的方程为 .
（2）①设 ，由已知直线 的斜率存在，
设直线 ： ，联立方程组 得 ，
，
第 33 页（定值）
所以 是定值.
【点睛】方法点睛：求轨迹方程的常用方法
（1）直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量，如（距离和角）的等量关系，或几何条件简单明了
易于表达，只需要把这种关系转化为 的等式，就能得到曲线的轨迹方程；
（2）定义法：某动点的轨迹符合某一基本轨迹如直线、圆锥曲线的定义，则可根据定义设方程，求方程系数得到
动点的轨迹方程；
（3）几何法：若所求轨迹满足某些几何性质，如线段的垂直平分线，角平分线的性质，则可以用几何法，列出几
何式，再代入点的坐标即可；
（4）相关点法（代入法）：若动点满足的条件不变用等式表示，但动点是随着另一动点（称之为相关点）的运动
而运动，且相关点满足的条件是明显的或是可分析的，这时我们可以用动点的坐标表示相关点的坐标，根据相关
点坐标所满足的方程，求得动点的轨迹方程；
（5）交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现求两个动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常通过解方程组得出交点
（含参数）的坐标，再消去参数参数求出所求轨迹的方程.
第 34 页第 35 页
