文档内容
微专题：利用抛物线定义求动点轨迹
【考点梳理】
1. 抛物线的定义
我们把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. 点F叫做抛物线
的焦点，直线l叫做抛物线的准线.
2.由定义求抛物线的方程，关键在于理解抛物线的定义，确定抛物线的焦点和准线，准确地得出抛物线的标准
方程
【典例剖析】
典例1．已知圆C经过点 ，且与直线 相切，则其圆心到直线 距离的最小值为（ ）
A．3 B．2 C． D．
典例2．已知点 ，直线 ，若动点 到 的距离等于 ，则点 的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．直线
典例3．若动圆与圆（x-5）2+y2=4外切，且与直线x+3=0相切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
典例4．若动点 满足 ，则点M的轨迹是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
典例5．已知曲线C上任意一点P到定点 的距离比点P到直线 的距离小1，M，N是曲线C上不同的
两点，若 ，则线段MN的中点Q到y轴的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
典例6．在x轴的上方的动点M到定点 的距离比到x轴的距离多1，则动点M的轨迹的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【双基达标】
第 1 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司7．已知动点 的坐标满足方程 ，则动点 的轨迹为（ ）
A．抛物线 B．双曲线 C．椭圆 D．以上都不对
8．已知动圆M与直线y=2相切，且与定圆 外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
9．在平面直角坐标系 中，下列结论正确的有（ ）个
①过双曲线 右焦点的直线被双曲线所截线段长的最小值为
②方程 表示的曲线是双曲线
③若动圆 过点 且与直线 相切，则圆心 的轨迹是抛物线
④若椭圆 的离心率为 ，则实数
A． B． C． D．
10．如图，南北方向的公路 ， 地在公路正东 处， 地在 北偏东 方向 处，河流沿岸曲线
上任意一点到公路 和到 地距离相等．现要在曲线 上某处建一座码头，向 ， 两地运货物，经测算，从
到 ， 修建公路的费用都为 万元 ，那么，修建这两条公路的总费用最低是（ ）
A． 万元 B． 万元 C． 万元 D． 万元
11．已知 ， 的最小值为 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
12．点 到直线 的距离比到点F(0，-1)的距离大 ，则点 的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
13．已知半径为 的圆 经过点 ，且与直线 相切，则其圆心到直线 距离的最小值为
（ ）
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．1 B． C．2 D．
14．设动圆圆心为 ，该动圆过定点 ，且与直线 相切（ ），圆心 轨迹为曲线 .过点 的直线
与 轴垂直，若直线 与曲线 交于 ， 两点，则 （ ）
A． B． C． D．
15．已知动点 到点 比到直线 的距离大 ，动点 的轨迹为曲线 ，点 ， 是曲线
上两点，若 ，则 的最大值为（ ）
A．10 B．14 C．12 D．16
16．如图，在同一平面内， ， 为两个不同的定点，圆 和圆 的半径都为 ，射线 交圆 于点 ，过点
作圆 的切线 ，当 变化时， 与圆 的公共点的轨迹是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．抛物线
17．已知三棱柱 平面 是 内一点，点 在直线 上运动，若直线 和 所
成角的最小值与直线 和平面 所成角的最大值相等，则满足条件的点 的轨迹是（ ）
A．直线的一部分 B．圆的一部分 C．抛物线的一部分 D．椭圆的一部分
18．正方体 中，P为面 内的一动点，若点P到直线 与直线 的距离相等，则动点P
的轨迹是（ ）
A．一条线段 B．一段圆弧
C．抛物线的一部分 D．椭圆的一部分
19．在正方体 中， 为侧面 所在平面上的一个动点，且点 到平面 的距离与到直
线 的距离相等，则动点 的轨迹为（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．圆 D．抛物线
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司20．设定点 ，动圆 过点 且与直线 相切.则动圆圆心 的轨迹方程为
A． B． C． D．
21．平面中与点 和直线 的距离相等的点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
22．已知点 ，直线 ，以点 为圆心， 为半径的圆与直线 相切，记点 的轨迹为 ，过
点 作圆 的切线与 交于两点 ，则| |的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
23．已知实数 ， 满足 ，则对于任意实数 ， 的最小值为（ ）
A．4 B．16 C．17 D．25
24．设圆C与圆 外切，与直线 相切，则圆C的圆心的轨迹为（ ）
A．抛物线 B．双曲线 C．椭圆 D．圆
25．在平面直角坐标系xOy中，动点 到直线 的距离比它到定点 的距离小1，则P的轨迹方程为
（ ）
A． B．
C． D．
【高分突破】
一、单选题
26．方程 表示的曲线为
A．抛物线 B．圆 C．一条直线 D．两条直线
27．动圆M与定圆 相外切，且与直线 相切，则动圆 的圆心 满足的方程为（ ）
A． B． C． D．
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司28．平面直角坐标系内，到点 和直线 距离相等的点的轨迹是
A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
二、多选题
29．（多选）已知平面内到定点 比它到定直线 ： 的距离小1的动点的轨迹为曲线 ，则下列说法正
确的是（ ）
A．曲线 的方程为 B．曲线 关于 轴对称
C．当点 在曲线 上时， D．当点 在曲线 上时，点 到直线 的距离
30．(多选)若动点P到定点 的距离与到直线 的距离相等，则P点的轨迹不可能是（ ）
A．抛物线 B．线段 C．直线 D．射线
31．下列结论正确的是（ ）
A．方程 表示的曲线是双曲线的右支；
B．若动圆 过点 且与直线 相切，则点 的轨迹是抛物线；
C．两焦点坐标分别为 和 ，且经过点 的椭圆的标准方程为 ；
D．椭圆 上一点 到右焦点的距离的最大值为9，最小值为6.
32．泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互瞭望的星星，却没有交汇的轨迹；世
界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅．已知点 ，直线l：
，若某直线上存在点P，使得点P到点M的距离比到直线l的距离小1，则称该直线为“最远距离直线”，
则（ ）
A．点P的轨迹是一条线段
B．点P的轨迹与直线 ： 是没有交汇的轨迹（即两个轨迹没有交点）
C． 不是“最远距离直线”
D． 是“最远距离直线”
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司三、填空题
33．已知动圆M与直线 相切，且与定圆C： 外切，那么动圆圆心M的轨迹方程为_______.
34．动点 到点 的距离与它到直线 的距离相等，则 的轨迹方程为_______.
35．动点 到点 的距离比它到直线 的距离大1，则动点的轨迹方程为_________.
36．如图，在棱长为 的正四面体 中，动点 在侧面 内， 底面 ，垂足为 ，若
，则 长度的最小值为________.
37．若点 到直线 的距离比它到点 的距离小 ，则点 的轨迹方程是__________．
38．过定点 且与直线 相切的动圆圆心 的轨迹方程为______．
39．点 到点 的距离比它到直线 的距离小1，则点 的轨迹方程是___________.
40．四面体P﹣ABC中，PA ，PB＝PC＝AB＝AC＝2，BC＝2 ，动点Q在△ABC的内部（含边界），设
∠PAQ＝α，二面角P﹣BC﹣A的平面角的大小为β，△APQ和△BCQ的面积分别为S 和S，且满足 ，
1 2
则S 的最大值为_____.
2
41．已知动圆 与直线 相切，且与定圆 外切，则动圆圆心 的轨迹方程为______.
四、解答题
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司42．动点 到y轴的距离比它到定点 的距离小2，求动点 的轨迹方程．
43．在平面直角坐标系 中，动点 到点 的距离比到直线 的距离小2．
(1)求 的轨迹的方程；
(2)设动点 的轨迹为曲线 ，过点 作斜率为 ， 的两条直线分别交 于M，N两点和P，Q两点，其中
．设线段 和 的中点分别为A，B，过点 作 ，垂足为 ．试问：是否存在定点 ，使得
线段 的长度为定值．若存在，求出点 的坐标及定值；若不存在，说明理由．
44．已知动圆 过定点 ，且与直线 相切，圆心 的轨迹为 ．
(1)求动点 的轨迹方程；
(2)已知直线 交轨迹 于两点 ， ，且 中点的纵坐标为 ，则 的最大值为多少？
45．在平面直角坐标系xOy中，动点P到直线 的距离比到点 的距离大1.圆F的方程为 ．
(1)求动点P的轨迹E的方程；
(2)过点 的直线交轨迹E于M、N两点，直线OM、ON分别交圆F于A、B两点．求证：直线AB过定点，并
求出该定点坐标．
46．已知动点P在y轴及其右方，且点P到点 的距离比到y轴的距离大1.
(1)求点P的轨迹E的方程；
(2)设斜率为1的直线 与E交于A，B两点，点A关于y轴的对称点为C，若 的外接圆恰好过点F，求直线
的方程.
47．已知点 ，点 为直线 上的动点，过 作直线 的垂线 ，线段 的中垂线与 交于点 .
(1)求点 的轨迹 的方程；
(2)若过点 的直线 与曲线 交于 ， 两点，求 与 面积之和的最小值.（ 为坐标原点）
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．D
【分析】利用已知可推出圆心C的轨迹为抛物线，利用抛物线的几何性质求解即可.
【详解】解：依题意，设圆C的圆心 ，动点C到点P的距离等于到直线 的距离，
根据抛物线的定义可得圆心C的轨迹方程为 ，
设圆心C到直线 距离为d， ，
当 时， ，
故选：D．
2．C
【分析】由抛物线的定义求解即可.
【详解】由抛物线的定义（平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线）可知，点 的轨迹是抛
物线.
故选：C
3．C
【分析】令动圆圆心P的坐标为（x，y），C （5，0），动圆得半径为r，则根据两圆相外切及直线与圆相切得性
1
质可得P（x，y）到C （5，0）与直线x＝ 5的距离相等，由抛物线定义可求．
1
【详解】设圆圆 的圆心C （5，0），动圆圆心P的（x，y），半径为r，
1
作x＝ ，x＝ 3，PQ⊥直线x＝ 5，Q为垂足，因圆P与x＝ 3相切，故圆P到直线x＝ 的距离PQ＝r+2，
又PC ＝r+2，
1
因此P（x，y）到C （5，0）与直线x＝ 的距离相等，P的轨迹为抛物线，焦点为C （5，0），准线x＝ ，
1 1
顶点为（0，0），
开口向右，可得P＝10，方程为： ．
故选C．
【点睛】本题主要考查了点的轨迹方程的求解，解题的关键是根据两圆相外切及直线与圆相切得性质得轨迹为抛
物线．
4．D
【分析】根据题意，化简得到 ，结合抛物线的定义，即可求解.
【详解】由题意，动点 满足 ，
第 8 页即 ，
即动点 到定点 的距离等于动点 到定直线 的距离，
又由点 不在直线 上，
根据抛物线的定义，可得动点 的轨迹为以 为焦点，以 的抛物线.
故选：D.
5．A
【分析】根据抛物线的定义求出曲线 的方程，再根据抛物线的性质计算可得；
【详解】解：依题意曲线 上任意一点 到定点 的距离和点 到直线 的距离相等，
由抛物线的定义可知：曲线 是以 为焦点， 为准线的抛物线，
所以曲线 的方程为 ．分别设点M、N、Q到准线 的距离分别为 ， ，d，
则 ，所以中点Q到y轴的距离为3，
故选：A．
6．C
【分析】动点 到定点 的距离比到 轴的距离多1，得出动点 到定点 的距离与到直线
的距离相等.根据抛物线的定义可知:动点M的轨迹是抛物线，可求得其标准方程.
【详解】∵动点 到定点 的距离比到 轴的距离多1，
∴动点 到定点 的距离与到直线 的距离相等.
根据抛物线的定义可知:动点M的轨迹是抛物线，并且其焦点为： ，准线为： ，所以其抛物线的方程为
.
故选：C.
【点睛】本题考查的是抛物线的定义，由定义求抛物线的方程，关键在于理解抛物线的定义，确定抛物线的焦点
和准线，准确地得出抛物线的标准方程，属于基础题.
7．A
【分析】把方程变形为 ，利用抛物线的定义，即可得到答案.
【详解】由题意，动点 的坐标满足方程 ，
变形为 ，
可得上式表示动点 到定点 的距离与到定直线 的距离相等，且定点不在定直线上，
结合抛物线的定义可知：动点 轨迹是以定点为焦点，定直线为准线的抛物线.
故选A.
【点睛】本题主要考查了抛物线的定义及其应用，其中解答中把方程 变形为
，结合抛物线的定义求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础
第 9 页题.
8．A
【分析】根据动圆M与直线y=2相切，且与定圆 外切，可得动点M到C（0，-3）的距离与到直
线y=3的距离相等，由抛物线的定义知，点M的轨迹是抛物线，由此易得轨迹方程．
【详解】设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，由题意可得M到C(0，－3)的距离与到直线y＝3的距离相等,
由抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹是以C(0，-3)为焦点，以y＝3为准线的一条抛物线，
所以 ，其方程为 ，
故选：A
9．A
【分析】①直线被双曲线所截线段长的最小值为 ，所以该命题错误；
②方程表示以 ， 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，故该命题错误；
③圆心 的轨迹是抛物线，故该命题正确；
④当焦点在 轴上时，解得 ，故该命题错误．
【详解】解：①过双曲线 右焦点 的直线被双曲线所截线段长的最小值为 ，所以该命题
错误；
②方程 的几何意义是平面内动点 到两个定点 ， 距离差等于6的点
的轨迹，表示以 ， 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，故该命题错误；
③若动圆 过点 且与直线 相切，则圆心 到 的距离等于到直线 的距离，则圆心 的轨迹是
抛物线，故该命题正确；
④椭圆 的离心率为 ，当焦点在 轴上时， ， ，则 ，
则 ，解得 ，故该命题错误．
故选：A
10．C
【分析】依题意知曲线 是以A为焦点、 为准线的抛物线，利用抛物线的定义求 的最小值，即可求
解.
【详解】根据抛物线的定义知：
欲求从 到A， 修建公路的费用最低，即求 的最小值，设点 到直线 的距离为 ，且 ，
即求 的最小值，即为点 到直线 的距离．
因 地在A地东偏北300方向 km处，
∴ 到点A的水平距离为3（km），
∴ 到直线 距离为：3+2=5（km），
那么修建这两条公路的总费用最低为： （万元）．
故选：C．
第 10 页11．C
【分析】如图所示：在直角坐标系中，取点 ， ， ，得到 的轨迹方程为
，故 ，得到答案.
【详解】如图所示：在直角坐标系中，取点 ， ， ，
则 ， ，满足 ，设 ，
过点 作 垂直于 所在的直线与 ，则 的最小值为 ，
即 ，根据抛物线的定义知 的轨迹方程为： .
取 ，故 ，
即 ，
当 垂直于准线时等号成立.
故选： .
【点睛】本题考查了向量和抛物线的综合应用，根据抛物线的定义得到 的轨迹方程是解题的关键.
12．D
【分析】根据题意，点 在 的下方，故点 到直线 的距离和到点F(0，-1)的距离相等，可得点的轨迹为
以F(0，-1)为焦点，以直线 为准线的抛物线，即可得解.
【详解】根据题意，设点 ，且点 在 的下方，
故点 到直线 的距离和到点F(0，-1)的距离相等，
所以点的轨迹为以F(0，-1)为焦点，以直线 为准线的抛物线，
第 11 页所以 的轨迹方程为 ，
故选：D.
13．B
【分析】先求出得圆心 的轨迹方程，再利用点到直线的距离公式表示出距离，最后根据二次函数的最值求解方
法可求得答案.
【详解】依题意，设圆 的圆心 ，动点 到点 的距离等于到直线 的距离，
根据抛物线的定义可得圆心 的轨迹方程为 ，
设圆心 到直线 距离为 ，
当 时,
故选：B
方法二：可以设与直线 平行的抛物线的切线方程，联立方程，利用判别式等
于零，得到切线方程，再利用平行线的距离公式得解；
方法三：在第一象限分析问题，转化为求函数 的切线与直线 平行，再利用平行线的距离公式
得解.
14．D
【分析】先根据抛物线的定义求曲线 的轨迹，再由定义可求解 .
【详解】由题意，设 ，因为 ，
根据抛物线的定义可知，曲线 的轨迹为 ，
再根据直线 与 轴垂直且直线 与曲线 交于 ， 两点，
从而可知 .
故选：D
15．C
【分析】先设点 ，根据题意得 ，化简整理得曲线 ： ，再根据抛物线定义
得 ，又 ，即可求解.
【详解】设点 ，所以 ，点 到 的距离为 ，
所以 ，解得 ，即曲线 ： ，
根据抛物线的定义得， ，又 ，所以 ，
因为 ，当且仅当 ， ， 三点共线时等号成立，
即 ，所以 的最大值为 .
第 12 页故选：C.
16．D
【分析】数形结合找出公共点M到点B与到直线m距离相等，符合抛物线定义，所以由定义可得到轨迹为抛物线.
【详解】由题意画图如下：
设切线 与圆 的一个公共点为 ，过点 作直线 的垂线 ，过点 作 ，垂足为 ，连接 ，则
， ，所以 ，即动点 到定点 的距离等于动点 到定直线 的距离，且定点 不
在定直线 上，根据抛物线定义知，动点 的轨迹是以 为焦点， 为准线的抛物线．
故选：D．
17．C
【分析】过点 作 平面 ，垂足为点 ，则由最小角定理得直线 和 所成角的最小值为直线 与平
面 所成的角 ，直线 与平面 所成的角为 ，根据题意利用正弦函数可得点 在平面 内
的轨迹为抛物线的一部分，可得结论.
【详解】过点 作 平面 ，垂足为点 ，则由最小角定理得直线 和 所成角的最小值为直线 与平
面 所成的角 .
直线 与平面 所成的角为 ，
因为 为定值，所以如果 最大，则 最小，当 时， 取得最小值为点 到直线 的距离，
又因为 ，则由直线 和 所成角的最小值与直线 与平面 所成角的最大值相等，可得点
到点 的距离等于点 到直线 的距离，
所以点 在平面 内的轨迹为抛物线的一部分，则点 在平面 内的轨迹为抛物线的一部分.
第 13 页故选C.
【点睛】本题考查立体几何中动点轨迹的相关问题，涉及最小角定理、线面角、抛物线的定义，属于中档题.
18．C
【分析】利用线面垂直，将点 到两直线的距离相等，转化为点 到定点(在定直线外)和定直线的距离相等，从而
由抛物线的定义可知，轨迹图形为抛物线的一部分.
【详解】如图，
因为在正方体 中， 平面 ，
平面 ，所以 ，
故点 到直线 的距离，即为点 到点 的距离，
又由题知，点 到直线 的距离等于点 到直线 的距离，
所以点 到点 的距离与点 到直线 的距离相等，
又点 在直线 外，点 在面 内运动，
所以点 的轨迹为抛物线的一部分.
故选：C.
19．D
【分析】根据正方体的性质得点 到平面 的距离等于点 到直线 的距离，再根据抛物线的定义可得
选项.
【详解】解：正方体 中 平面 ，∴ 等于点 直线 的距离.
∵平面 平面 ，∴点 到平面 的距离等于点 到直线 的距离.
∵点 到平面 的距离与到直线 的距离相等，∴MB等于点 到直线 的距离.
根据抛物线的定义，可知动点 的轨迹为抛物线.
故选：D.
20．A
【分析】由题意，动圆圆心的轨迹是以 为焦点的抛物线，求得 ，即可得到答案．
【详解】由题意知，动圆圆心到定点 与到定直线 的距离相等，
所以动圆圆心的轨迹是以 为焦点的抛物线，则方程为
故选A
【点睛】本题考查抛物线的定义，属于简单题．
21．B
第 14 页【分析】结合抛物线的定义即可.
【详解】由抛物线的定义可知 ，解得 ，
所以该抛物线方程是 ，
故选： .
22．C
【分析】根据抛物线的定义判断曲线 是抛物线，再结合抛物线的定义进行求解即可.
【详解】因为以点 为圆心， 为半径的圆与直线 相切，
所以曲线 的轨迹是以 的抛物线，所以方程为 ，
设直线 的方程为： ，于是有 ，
，所以有 ，
因此 ，
当 时， 有最小值，最小值为 ，此时 ，
故选：C
23．B
【分析】 所确定的点 的轨迹是以 为圆心，半径为1的圆， 可以看作
是点 到点 的距离的平方.利用图象求得最小值.
【详解】 所确定的点 的轨迹是以 为圆心，半径为1的圆，
可以看作是点 到点 的距离的平方.
又点 在抛物线 上，见下图:
由图可知,点 与点 距离最近时,是点 到点 的距离,
，
的最小值为16.
故选: B.
24．A
第 15 页【分析】由动圆与定圆相外切可得两圆圆心距与半径的关系，然后利用圆与直线相切的可得圆心到直线的距离与
半径的关系，借助等量关系可得动点满足的条件，即可得动点的轨迹.
【详解】解：
设 的坐标为 ，圆 的半径为 圆 的圆心为 ，
圆 与圆 外切，与直线 相切
， 到直线 的距离
，即动点 到定点 的距离等于到定直线 的距离
由抛物线的定义知： 的轨迹为抛物线.
故选：A
25．D
【分析】根据抛物线的定义判断轨迹，再由抛物线焦点、准线得到方程即可.
【详解】由题意知动点 到直线 的距离与定点 的距离相等，
由抛物线的定义知，P的轨迹是以 为焦点， 为准线的抛物线，
所以 ，轨迹方程为 ，
故选：D
26．A
【分析】根据两点间距离公式与点到直线的距离公式，可得动点P到点F（0，-1）的距离等于点P到直线
=0的距离，再根据抛物线的定义判定可得答案．
【详解】方程可化为 ，它的几何意义为 到定点 的距离等于P到直线
（不经过点F）的距离，则方程表示的曲线为抛物线.
故选：A
【点睛】本题考查了抛物线的定义,考查转化与变形能力，特别要注意条件：点不在直线上．
27．B
【分析】设M点坐标为（x，y），C（﹣2，0），动圆的半径为r，则根据两圆相外切及直线与圆相切的性质可得，
MC=2+r，d=r，从而|MC|﹣d=2，由此能求出动圆圆心轨迹方程．
【详解】设M点坐标为（x，y），C（﹣2，0），动圆的半径为r，
则根据两圆相外切及直线与圆相切的性质可得，MC=2+r，d=r
∴|MC|﹣d=2，即： ﹣（2﹣x）=2，
化简得： y2＋12x－12＝0．
∴动圆圆心轨迹方程为y2＋12x－12＝0．
故选B．
【点睛】本题考查动圆圆心轨迹方程的求法，考查直线方程、圆、两点间距离公式、两圆相外切、直线与圆相切
等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．
28．A
【解析】根据已知判断点A是否在直线上，即可结合抛物线的定义判断正确选项，据此解答此题，此题属于基础
第 16 页题.
【详解】由题意，点 在直线 ，
即动点到点A的距离与动点到直线 的距离相等，
点 满足直线 方程，
所以动点的轨迹是一条过A与直线垂直的直线.
故选：A
【点睛】本题考查了抛物线的定义，需注意抛物线定义中满足的条件，属于基础题.
29．AB
【分析】由抛物线的定义可知曲线 的轨迹是抛物线，进而可判断A,根据抛物线的性质可判断B,C,D.
【详解】由题意可知：动点到定点 与它到定直线 ： 的距离相等，
由抛物线定义，知曲线 是以 为焦点，直线 为准线的抛物线，其方程为 ，所以A，B正确；由
知 ，点 到直线 的距离 ，所以C，D错误．
故选：AB．
30．BCD
【解析】根据抛物线的定义可得动点的轨迹为抛物线.
【详解】因为动点到定点的距离等于到定直线的距离，且点 不在直线 上，符合抛物线的定义，所以P
点的轨迹是抛物线，不可能是线段、直线、射线，
故选：BCD
31．AB
【解析】 方程化简得 ，它表示的曲线是双曲线的右支，所以该选项正确；
由题得满足抛物线的定义，所以点 的轨迹是抛物线，所以该选项正确；
由题得椭圆的标准方程为 ，所以该选项错误；
点 到右焦点的距离的最大值为 ，最小值为 ,所以该选项错误.
【详解】 方程 化简得 ，它表示的曲线是双曲线的右支，所以该
选项正确；
由题得点 不在直线 上，点 到定点 和定直线 的距离相等，满足抛物线的定
义，所以点 的轨迹是抛物线，所以该选项正确；
由题得椭圆的 ，所以 ，所以椭圆的标准方程为 ，所以该选项错误；
椭圆 上一点 到右焦点的距离的最大值为 ，最小值为 ,所以该选项错误.
故选：AB
【点睛】本题主要考查圆锥曲线的方程的求法，考查圆锥曲线的几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握
水平.
第 17 页32．BCD
【分析】根据题意可以判断点P的轨迹是以 为焦点，直线 ： 为准线的抛物线，然后求出其方程判
断AB，进而根据直线与曲线的位置关系判断CD.
【详解】由点P到点M的距离比到直线l的距离小1，可得点P到点M的距离等于到直线 ： 的距离，故点
P的轨迹是以 为焦点，直线 ： 为准线的抛物线，其方程是 ，故A错误．由上述可知点P的
轨迹与直线 没有交点，即两者是没有交汇的轨迹，故B正确．易知“最远距离直线”与抛物线 有交点，
把 代入抛物线方程 ，消去y并整理得 ．因为 ，方程无解，
所以 不是“最远距离直线”，故C正确．把 代入抛物线方程 ，消去y并整理得
．因为 ，方程有解，所以 是“最远距离直线”，故D正确．
故选：BCD．
33．
【分析】根据动圆 与直线 相切，且与定圆C： 外切，可得动点 到 的距离与到直线
的距离相等，由抛物线的定义知，点 的轨迹是抛物线，由此易得轨迹方程．
【详解】解：方法一：由题意知，设 ，
则 ，
，
解得 .
方法二：由题意知，动点M到 的距离比到 的距离多1，
则动点M到 的距离与到 的距离相等，
根据抛物线的定义， 为准线， 为焦点，
设抛物线为 ， ， ，
故 .
故答案为： .
34．
【分析】根据题意可知，点 的轨迹是以点 为焦点，以直线 为准线的抛物线，进而可求得点 的轨迹方程.
【详解】由抛物线的定义知，点 的轨迹是点 为焦点，以直线 为准线的抛物线，故其标准方程为 .
故答案为： .
【点睛】本题根据抛物线的定义求动点的轨迹方程，考查计算能力，属于基础题.
35．
【解析】将直线方程向左平移1个单位，可知动点 到点 的距离与它到直线 的距离相等，结合
第 18 页抛物线定义即可求得抛物线的标准方程.
【详解】将 化为 ，
动点 到点 的距离比它到直线 的距离大1，
则动点 到点 的距离与它到直线 的距离相等，
由抛物线定义可知动点 的轨迹为抛物线，
该抛物线以 为焦点，以 为准线，开口向右，
设 ，
所以 ，解得 ，
所以抛物线方程为 ，
故答案为： .
【点睛】本题考查了抛物线的定义及简单应用，抛物线标准方程的求法，属于基础题.
36．
【分析】过P作PH⊥AB，连接HQ，则∠PHQ为二面角S﹣AB﹣C的平面角，取底面中心O，AB中点D，连接
SD，OD，则∠SDO为二面角S﹣AB﹣C的平面角，由已知结合 可得点P在以S为焦点，以AB为准
线的抛物线上，取△SAB的中心G，SD中点M，连接CG，由勾股定理及抛物线的性质可得PC长度的最小值．
【详解】解：过P作PH⊥AB，连接HQ，则∠PHQ为二面角S﹣AB﹣C的平面角，
取底面中心O，AB中点D，连接SD，OD，则∠SDO为二面角S﹣AB﹣C的平面角，
可得sin ，
∴sin ，则 PH，
∴点P在以S为焦点，以AB为准线的抛物线上，
取△SAB的中心G，SD中点M，连接CG，
则 ．
∴PC长度的最小值为 ．
故答案为： ．
第 19 页【点睛】本题考查线面角的求法，考查抛物线的简单性质，考查线面、面面间的位置关系等等基础知识，考查运
算求解能力，是中档题．
37．
【分析】根据题意，将条件转化为点 到直线 的距离与它到点 的距离相等，结合抛物线的定义即可求
解点 的轨迹方程．
【详解】 点 到直线 的距离比它到点 的距离小 ，
点 到直线 的距离与它到点 的距离相等，
点 的轨迹是以 为焦点、直线 ： 为准线的抛物线，
因此，设 的轨迹方程为 ， ，
可得 ，解得 ， ，
动点 的轨迹方程为 ．
故答案为： ．
38．
【分析】根据题意，结合抛物线的定义可知动圆圆心的轨迹是以 为焦点，直线 为准线的抛物线，由此不难求出
它的轨迹方程．
F l
【详解】设动圆的圆心为
圆 过点 且与直线 ： 相切
点M到 的距离等于点 l到直线 的距离．
由抛物线的定义，得 的轨迹是以 为焦点，直线 为准线的抛物线
M F M l
M F l
设方程为 ，则 ，
的轨迹方程是
故答案为
【点睛】本题主要考查了给出动圆经过定点并且与定直线相切，求动圆圆心的轨迹方程，着重考查了抛物线的定
义与标准方程的知识，属于基础题．
39．
【分析】根据抛物线的定义即可求解.
【详解】解： 点 到点 的距离比它到直线 的距离小1，
第 20 页点 到直线 的距离和它到点 的距离相等.
因此点 的轨迹符合抛物线的定义
根据抛物线的定义可得点 的轨迹是以点 为焦点，以直线 为准线的抛物线，
，抛物线的标准方程为 ，
故答案为： .
40．4﹣2 .
【分析】取BC的中点M，由题意可得AM＝PM＝PA ，则β＝∠PMA＝60°，作QH⊥BC于H，则
sinα，再由BC＝2PA＝2 ，可得AQ＝QH，即Q为三角形ABC内的
一条抛物线，当Q在AB或AC上时，S 最大，求出S 的最大值.
2 2
【详解】如图所示：
取BC的中点M，连接AM，PM，
因为PB＝PC＝AB＝AC，
AM⊥BC，PM⊥BC，且PA ，PB＝PC＝AB＝AC＝2，BC＝2 ，
所以AM＝PM＝PA ，
所以β＝∠PMA＝60°，
作QH⊥BC于H，
所以 sinα，
所以
而BC＝2PA＝2 ，
所以AQ＝QH，
所以Q的轨迹是△ABC内的一条抛物线，
当Q在AB或AC上时，S 最大，
2
不妨设在AB上，此时 ，
第 21 页即 ，
解得AQ＝QH＝2（ 1），
所以S＝4﹣2 .
2
故答案为：4﹣2
【点睛】本题主要考查二面角的求法以及面积比与相似比的应用，抛物线的定义，还考查了空间想象和逻辑推理
的能力，属于难题.
41．
【分析】 到 的距离等于到 的距离，故轨迹为抛物线，得到答案.
【详解】设动圆半径为 ，则 到直线 的距离为 ， ，
故 到 的距离等于到 的距离，故轨迹为抛物线，即 .
故答案为： .
【点睛】本题考查了抛物线的轨迹方程，意在考查学生对于抛物线定义的理解.
42． 或 ．
【分析】由动点M到y轴的距离比它到定点 的距离小2，利用抛物线的定义求解.
【详解】解：∵动点M到y轴的距离比它到定点 的距离小2，
∴动点M到定点 的距离与它到定直线 的距离相等．
∴动点M到轨迹是以 为焦点， 为准线的抛物线，且 ．
∴抛物线的方程为 ，
又∵x轴上点 左侧的点到y轴的距离比它到 点的距离小2，
∴M点的轨迹方程为 ②．
综上，得动点M的轨迹方程为 或 ．
43．(1)
(2)存在定点 ，使得线段 的长度为定值2；理由见解析
【分析】（1）根据动点G到点 的距离比它到直线 的距离小2和抛物线的定义可知点G的轨迹是以
为焦点，以直线 为准线的抛物线，进而得出结果；
（2）设直线方程，联立抛物线方程，求得A，B的坐标，从而表示出AB的方程，说明其过定点，由 可
说明点D点在一个圆上，由此可得结论.
(1)
由题意可得动点 到点 的距离比到直线 的距离小2，
则动点 到点 的距离与到直线 的距离相等，
第 22 页故G的轨迹是以 为焦点，以直线 为准线的抛物线，
设抛物线方程为 ，
则焦准距 ，故 的轨迹的方程为： ；
(2)
由题意，直线MN的方程为 ，由题意可知 ，
由 ，消去y得： ，
，
设 ，则 ，
故 ，同理可求得 ，
所以直线AB的斜率 ，
故直线AB的方程为：
，
故直线AB过定点 ，设该点为 ,
又因为 ，所以点D在以EF为直径的圆上，
由于 , ,
故以EF为直径的圆的方程为 ，
故存在定点 ，使得线段 的长度为定值2.
【点睛】本题考查了抛物线方程的求解以及直线和抛物线的位置关系中的定点问题，综合性较强，解答时要注意
设直线方程并和抛物线方程联立,利用很与系数的关系进行化简，关键是解题思路要通畅，计算要准确，很容易出
错.
44．(1)
(2)
【分析】（1）利用抛物线的定义直接可得轨迹方程；
（2）设直线方程，联立方程组，结合根与系数关系可得 ，再根据二次函数的性质可得最值.
(1)
由题设点 到点 的距离等于它到 的距离，
点 的轨迹是以 为焦点， 为准线的抛物线，
所求轨迹的方程为 ；
第 23 页(2)
由题意易知直线 的斜率存在，
设 中点为 ，直线 的方程为 ，
联立直线与抛物线 ，得 ， ，
且 ， ，
又 中点为 ，即 ， ，
故 恒成立，
， ，
所以 ，
当 时， 取最大值为 .
【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x
1
＋x＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
2
45．(1) ；
(2)证明见解析，定点 .
【分析】(1)根据给定条件可得动点P到直线 的距离等于到点 的距离，再借助抛物线定义求解作答.
(2)由(1)的结论设点M，N的坐标，并探求其关系，再求出点A，B的坐标，进而求出直线AB方程即可推理作答.
(1)
依题意，点 在直线 的右侧，因动点P到直线 的距离比到点 的距离大1，
即动点P到直线 的距离等于到点 的距离，则轨迹E是顶点在原点， 为焦点的抛物线，方程为
，
所以动点P的轨迹E的方程是：
(2)
由(1)及已知设 ，则 ，
而点M，Q，N共线，则 ，整理得： ，又 ，则有
，
直线 ，由 消去x得： ，解得点A纵坐标为 ，
第 24 页从而得点 ，而直线 ，同理得点 ，
，
设直线AB上任意一点 ，则 ，因 ，又 ，
于是有： ，
整理得： ，
即 ，因 ，则直线AB方程为： ，
显然无论 取何值，当 时，恒有 ，即直线AB过定点 ，
所以直线AB过定点，该定点坐标为
【点睛】思路点睛：经过圆锥曲线上满足某条件的两个动点的直线过定点问题，可先探求这两个动点的坐标，再
求出直线方程，即可推理计算解决问题.
46．(1) ；
(2) .
【分析】（1）根据抛物线的定义即得；
（2）设直线 的方程 ，联立抛物线方程，利用韦达定理法及条件可得A，B的中点为 ，
的外接圆心 ，然后根据弦长公式可得 即得.
(1)
由题可得动点P的轨迹是以点 为焦点，以直线l： 为准线的抛物线，
所以点P的轨迹E的方程是 ；
(2)
设 ： ，代入 整理得： ，
依题意 ，即 ，
设点 ， ，则 ， ，
故A，B的中点为 ，
设 的外接圆心为 ，则 ，即 ，
故 ， ，
点T到直线l： 的距离 ，
第 25 页，
故 ，
由 ，知 ，结合 ，
解得 ，
因此直线l的方程是 .
47．(1)
(2)
【分析】（1）根据抛物线的定义可得轨迹方程；
（2）联立直线与抛物线方程，利用根与系数关系结合均值不等式可得最小值.
(1)
如图所示，
由已知得点 为线段 中垂线上一点，
即 ，
即动点 到点 的距离与点 到直线 的距离相等，
所以点 的轨迹为抛物线，其焦点为 ，准线为直线 ，
所以点 的轨迹方程为 ，
(2)
如图所示：
设 ，点 ， ，
联立直线与抛物线方程 ，得 ， ，
， ，
第 26 页， ，
所以 ，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，
此时 ，
即 ，
所以当直线直线 ，时 取得最小值为 .
【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x
1
＋x＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
2
第 27 页第 28 页
