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专题01 丰富的图形世界
一、单选题
1．下列几何体中，含有曲面的有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】B
【分析】根据各类几何体的特征，找出含有曲面的几何体，然后再得出个数从而求解即可．
【解析】∵球与圆柱含有曲面，而正方体与三棱柱不含曲面，
∴含有曲面的几何体有2个，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了几何体的基本性质，熟练掌握相关概念是解题关键．
2．下列说法错误的是（ ）
A．长方体和正方体都是四棱柱
B．五棱柱的底面是五边形
C． 棱柱有 条侧棱， 个面
D．若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面面积相等
【答案】C
【分析】根据立体图形的概念定义和特性即可求解．
【解析】\
解：A、棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，
由这些面所围成的几何体叫做棱柱．所以长方体和正方体都是四棱柱，故说法正确；
B、底面是五边形的棱柱是五棱柱，故说法正确；
C、n棱柱有n条侧棱，（n+2）个面，故说法错误；
D、若直棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面是全等的平行四边形，则它们面积相等，故说法正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查棱柱的定义以及它的性质，属于基础题．
3．如图是由6个大小相同的小正方体组成的几何体，它的左视图是（ ）
1A． B． C． D．
【答案】C
【分析】从左边向右看得到的图形是左视图，根据左视图即可得出结论
【解析】从物体左面看，第一层有3个正方形，第二层的中间有1个正方形．
故选C．
【点睛】本题考查简单组合体的三视图，掌握三视图定义是解题关键．
4．下列四个几何体中，从右边看为圆的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据几何体从右边看是否为圆进行判断即可．
【解析】解：A、从右边看为圆，故该选项符合题意；
B、从右边看为长方形，故该选项不符合题意；
C、从右边看为等腰三角形，故该选项不符合题意；
D、从右边看为等腰梯形，故该选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了从不同方向看几何体，解题时注意观察几何体的角度．
5．如图，是一个正方体纸盒的展开图，将它折成正方体后与“美”字相对的面上的字是（ ）
A．我 B．丽 C．镇 D．宁
2【答案】D
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
【解析】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
∴与“美”字相对的面上的汉字是“宁”，与“我”字相对的面上的汉字是“丽”，与“爱”字相对的面
上的汉字是“镇”．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开
图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．
6．下图中的几何体（圆锥）是由下列（ ）平面图形绕轴旋转一周得到的．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据面动成体逐项判断即得答案．
【解析】圆锥能由直角三角形绕轴旋转一周得到，
故选A．
【点睛】本题考查了点、线、面、体的相关知识，熟练掌握面动成体是解题关键．
7．如图所示为几何体的平面展开图，则从左到右，其对应的几何体名称分别为（ ）
A．圆锥，正方体，三棱锥，圆柱 B．正方体，圆锥，四棱锥，圆柱
C．正方体，圆锥，四棱柱，圆柱 D．正方体，圆锥，圆柱，三棱柱
【答案】D
3【分析】根据常见的几何体的展开图进行判断，即可得出结果．
【解析】解：根据几何体的平面展开图，
从左到右，其对应的几何体名称分别为：正方体，圆锥，圆柱，三棱柱．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了常见几何体的展开图；熟记常见几何体的平面展开图的特征，是解题的关键．
8．用一个平面去截三棱柱，可能截出以下图形中的（ ）
等腰三角形； 等边三角形； 圆； 正方形； 梯形．
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】C
【分析】根据平面截三棱柱的不同角度与位置判断相应截面形状即可．
【解析】解：当截面与底面平行时，得到的截面形状是三角形，故①②正确；
当截面与底面垂直且经过三棱柱的四个面时，得到的截面形状是正方形，故④正确；
当截面与底面斜交且经过三棱柱的四个面时，得到的截面形状是等腰梯形，故⑤正确；
不可能截出圆．
故选：C．
【点睛】本题考查了截一个几何体，解决本题的关键是理解截面经过三棱柱的几个面，得到的截面形状就
是几边形；经过截面相同，经过位置不同，得到的形状也不相同．
9．如图，已知AB是圆柱底面直径，BC是圆柱的高在圆柱的侧面上，过点A、C嵌有一圈路径最短的金属
丝．现将圆柱侧面沿BC剪开，所得的侧面展开图是（ ）
A． B． C． D．
4【答案】C
【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．
【解析】解：因圆柱的展开面为长方形，AC展开应该是两直线，且有公共点A．
故选C．
【点睛】此题主要考查圆柱的展开图，以及学生的立体思维能力．
10．已知一个组合体是由几个相同的正方体叠合在一起组成，该组合体的主视图与俯视图如图所示，则该
组合体中正方体的个数最多是（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】B
【分析】从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出每一层小正方体的层数和
个数，从而算出总的个数．
【解析】解：从俯视图可得最底层有5个小正方体，由主视图可得上面一层是2个，3个或4个小正方体，
则组成这个几何体的小正方体的个数是7个或8个或9个，
组成这个几何体的小正方体的个数最多是9个．
故选B．
【点睛】本题考查三视图的知识及从不同方向观察物体的能力，解题中用到了观察法．确定该几何体有几
列以及每列方块的个数是解题关键．
二、填空题
11．六棱柱有 面．
【答案】8
【解析】试题分析：根据六棱柱的概念和定义即解．
解：六棱柱上下两个底面，侧面是6个长方形，所以共有8个面．
5故答案为8．
考点：认识立体图形．
12．如图，将 绕 所在的直线 旋转一周，得到的几何体是 ．
【答案】圆锥
【分析】根据面动成体进行判断即可．
【解析】解：将 绕 所在的直线 旋转一周，得到的几何体是圆锥．
故答案为：圆锥．
【点睛】本题主要考查了面动成体，解题的关键是数形结合，熟练掌握点、线、面之间的关系．
13．用6根火柴最多组成 个一样大的三角形，所得几何体的名称是 ．
【答案】 4 三棱锥或四面体
【解析】试题分析：用6根火柴，要使搭的个数最多，就要搭成立体图形，即三棱锥．
解：要使搭的个数最多，就要搭成三棱锥，
这时最多可以搭4个一样的三角形．图形如下：
故答案为4，三棱锥或四面体．
考点：认识立体图形．
14．如图，由五个小正方体组成的几何体中，若每个小正方体的棱长都是1，则该几何体的主视图和左视
图的面积之和是 ．
【答案】7
【分析】根据从左面看得到的图形是左视图，从前面看的到的视图是主视图，再根据面积求出面积的和即
6可．
【解析】解：该几何体的主视图的面积为1×1×4=4，左视图的面积是1×1×3=3，
所以该几何体的主视图和左视图的面积之和是3+4=7，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，确定左视图、主视图是解题关键．
15．图中几何体的截面（图中阴影部分）依次是 、 、 、 ．
【答案】 圆形 三角形 六边形 圆形
【分析】根据图形即可得出答案．
【解析】解：（1）的截面是圆形，（2）的截面是三角形，（3）的截面是六边形，（4）的截面是圆形；
故答案为：圆形，三角形，六边形，圆形．
【点睛】本题考查几何体的截面，正确理解题意是解题的关键．
16．如图的正方体盒子的外表面上画有3条黑线，将这个正方体盒子的表面展开（外表面朝上），展开图
可能是 ．
① ② ③ ④
【答案】④
【分析】根据正方体的表面展开图进行分析解答即可．
【解析】根据正方体的表面展开图，
①选项两条黑线在一列，折叠后成对面了，故①错误；
②选项两条相邻成直角，故②错误；
③选项正视图的斜线方向相反，故③错误；
④选项符合条件；
7故答案为：④．
【点睛】本题主要考查了几何体的展开图，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
17．如图，这是一个长方体的表面展开图．（单位：cm）
（1）这个长方体的表面有 个完全相同的长方形．
（2）它的表面积是 平方厘米，体积是 立方厘米．
【答案】 4 256 256
【分析】（1）由长方体的表面展开图可直接得出答案；
（2）根据长方体的表面积公式和体积公式列式计算即可．
【解析】解：由长方体的表面展开图可知：长方体的底面是边长为 的正方形，高为 ；
（1）这个长方体的表面有4个完全相同的长方形；
（2）它的表面积是 平方厘米，体积是 立方厘米；
故答案为：（1）4；（2）256，256．
【点睛】本题考查了简单几何体的平面展开图，熟记长方体的表面积公式和体积公式是解题的关键．
18．瑞士著名数学家欧拉发现：简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E之间满足一种有趣的关系：V+F
﹣E＝2，这个关系式被称为欧拉公式．比如：正二十面体（如右图），是由20个等边三角形所组成的正
多面体，已知每个顶点处有5条棱，则可以通过欧拉公式算出正二十面体的顶点为 个．那么一个多面
体的每个面都是五边形，每个顶点引出的棱都有3条，它是一个 面体．
【答案】 12． 12．
【分析】①设出正二十面体的顶点为n个，则棱有 条.利用欧拉公式构建方程即可解决问题.②设顶点
数V、棱数E、面数F、每个点都属于三个面，每条边都属于两个面，利用欧拉公式构建方程即可解决问题.
8【解析】解：①设出正二十面体的顶点为n个，则棱有 条．
由题意F＝20，
∴n+10﹣ ＝2，
解得n＝12．
②设顶点数V，棱数E，面数F，每个点属于三个面，每条边属于两个面
由每个面都是五边形，则就有E＝ ，V＝
由欧拉公式：F+V﹣E＝2，代入：
F+ ﹣ ＝2
化简整理：F＝12
所以：E＝30，V＝20
即多面体是12面体．棱数是30，面数是12，
故答案为12，12.
【点睛】本题考查欧拉公式的应用，解题的关键是弄清题意、利用等量关系列出方程是解答本题的关键.
三、解答题
19．(1)下面这些基本图形和你很熟悉，试写出它们的名称；
(2)将这些几何体分类，并写出分类的理由．
【答案】(1)从左向右依次是球、圆柱、圆锥、长方体、三棱柱．
(2)按柱、锥、球划分，则有圆柱、长方体、三棱柱为柱体；圆锥为锥体；球为球体
【分析】(1)针对立体图形的特征，直接填写它们的名称即可；
(2)按柱体、锥体、球体进行分类即可．
【解析】解：(1)从左向右依次是球、圆柱、圆锥、长方体、三棱柱．
(2)观察图形，按柱、锥、球划分，则有圆柱、长方体、三棱柱为柱体；圆锥为锥体；球为球体．
【点睛】本题考查了立体图形的认识和几何体的分类，熟记立体图形的特征是解决本题的关键．
920．如图，是由6个大小相同的小立方体块搭建的几何体，其中每个小正方体的棱长为1厘米．
(1)直接写出这个几何体的表面积（包括底部）：___________；
(2)请按要求在方格内分别画出从这个几何体的三个不同方向看到的形状图．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）三视图面积和的2倍即可；
（2）利用三视图的画法画出图形即可．
【解析】（1）解： （ ），
故答案为： ；
（2）根据三视图的画法，画出相应的图形如下：
【点睛】本题考查简单组合体的三视图，理解三视图的意义是正确解答问题的关键．
21．如图是一个大正方体切去一个小正方体组成的几何体．
（1）下列三个图形中，从上面、左面、正面看到的平面图形分别是哪个；（写序号）
（2）若大正方体的边长为20cm，小正方体的边长为10cm，求这个几何体的表面积．
【答案】（1）③，②，①；（2）2400（cm2）．
10【分析】（1）由切去的小正方体位置即可分别判断其视图；
（2）大正方体的表面积与该被切去一个小正方体的几何体表面积相同.
【解析】（1）由题可得，从上面、左面、正面看到的平面图形分别是③，②，①；
（2）∵大正方体的边长为20cm，小正方体的边长为10cm，
∴这个几何体的表面积为：2（400+400+400）=2×1200=2400（cm2）．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图以及几何体的表面积计算.
22．如图所示，图（1）为一个长方体，AD=AB=10,AE=6,图2为图1的表面展开图 字在外表面上 ，请根
据要求回答问题：
（1）面“句 ”的对面是面______；
（2）如果面“居”是右面,面“宜”在后面,哪一面会在上面？
（3）图（1）中，M、N为所在棱的中点，试在图（2）中画出点M、N的位置；并求出图（2）中三角形
ABM的面积.
【答案】（1） “爱”；（2） “句”面会在上面；（3）25或105.
【分析】（1）根据长方体展开图的特征判断即可；
（2）根据长方体展开图的特征和题意判断即可；
（3）结合图（1）和图（2）即可判断M、N的位置（其中M有两种情况），然后再计算三角形ABM的面
积即可.
【解析】解：（1）根据长方体展开图的特征：面“句”的对面是面“爱”；
（2）由图可知，如果面“居”是右面，面“宜”在后面，“句”面会在上面；
（3）由图（1）和图（2）即可判断M、N的位置（其中M有两种情况），如图所示；
根据三角形边长求出，△ABM的面积为10×5× =25或10×21× =105.
11【点睛】此题考查的是长方体的展开图，掌握长方体展开图的特征是解决此题的关键.
23．观察如图所示的直四棱柱．
（1）它有几个面？几个底面？底面与侧面分别是什么图形？
（2）侧面的个数与底面多边形的边数有什么关系？
（3）若底面的周长为20cm，侧棱长为8cm，则它的侧面积为多少？
【答案】（1）它有6个面，2个底面，底面是梯形，侧面是长方形；
（2）侧面的个数与底面多边形的边数相等都为4；
（3）它的侧面积为160cm2．
【解析】试题分析：（1）（2）（3）根据直四棱柱的特征直接解答即可．（4）根据棱柱的侧面积公式：
底面周长×高，进行计算．
试题解析：（1）它有6个面，2个底面，底面是梯形，侧面是长方形；
（2）侧面的个数与底面多边形的边数相等都为4；
（3）它的侧面积为20×8=160cm2．
24．一个圆柱的底面半径是 ，高是 ，把这个圆柱放在水平桌面上，如图所示．
(1)如果用一个平面沿水平方向去截这个圆柱，所得的截面是什么形状？
(2)如果用一个平面沿竖直方向去截这个圆柱，所得的截面是什么形状？
(3)怎样截时所得的截面是长方形且长方形的面积最大，请你求出这个截面面积．
12【答案】(1)所得的截面是圆
(2)所得的截面是长方形
(3)360cm2
【分析】(1)用水平的平面去截，所得到的截面形状与圆柱体的底面相同，是圆形的；
(2)用竖直的平面去截，所得到的截面形状为长方形的；
(3)求出当截面最大时，长方形的长和宽，即可求出面积．
【解析】（1）解：所得的截面是圆．
（2）解：所得的截面是长方形．
（3）解：当平面沿竖直方向且经过两个底面的圆心时，截得的长方形面积最大，
这时，长方形的一边等于圆柱的高，长方形的另一边等于圆柱的底面直径，
这个长方形的面积为:10×2×18=360(cm2) ．
答：这个截面面积是360 cm2．
【点睛】本题考查认识立体图形和截几何体，掌握立体图形的特征和截面的形状是得出正确答案的关键．
25．用相同的小立方体搭一个几何体，从正面、上面看到的形状图如图所示，从上面看到的形状图中小正
方形中的字母表示在该位置上小立方体的个数，请回答下列问题：
(1)填空： _________， _________；
(2)这个几何体最多由_________个小立方体搭成；
(3)当 ， 时，画出这个几何体从左面看得到的形状图．
【答案】(1)3；1
(2)11
(3)见解析
【分析】（1）由该组合体的从正面、上面看到的形状图可知，a列有3个小正方体，b列有1个小正方体，
从而判定；
13（2）当 时，最多；
（3）根据从上面看的图形，结合小正方体的数目画出即可.
【解析】（1）解：由该组合体的主视图、俯视图可知，
，
故答案为：3；1；
（2）解：根据该组合体的从正面、上面看到的形状图相应位置所摆放的小立方体的个数可知，
需要最多小立方体时， ，
此时需要的个数为： （个），
答：这个几何体最多由11个小立方体搭成；
（3）解：当 ， 时，这个几何体从左面看得到的形状图如下：
【点睛】本题考查了从三个方向看，熟练掌握不同方向看的形状图的特点是解题的关键.
26．如图所示，在一张正方形纸片的四个角上各剪去一个同样大小的正方形，然后把剩下的部分折成一个
无盖的长方体盒子．请回答下列问题：
（1）剪去的小正方形的边长与折成的无盖长方体盒子的高之间的大小关系为 ；
（2）如果设原来这张正方形纸片的边长为 ，所折成的无盖长方体盒子的高为 ，那么，这个无盖
长方体盒子的容积可以表示为 ；
（3）如果原正方形纸片的边长为 ，剪去的小正方形的边长按整数值依次变化，即分别取
时，计算折成 的无盖长方体盒子的容积得到下表，由此可
以判断，当剪去的小正方形边长为 时，折成的无盖长方体盒子的容积最大
14剪去的小正方 形的边长
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
折成的无盖长
方体的容积 324 576 500 384 252 128 36 0
【答案】（1）相等；（2）h（a-2h）2；（3）3
【分析】（1）根据图形作答即可；
（2）根据长方体体积公式即可解答；
（3）将h=2，3分别代入体积公式，即可求出m，n的值；再根据材料一定时长方体体积最大与底面积和
高都有关，进而得出答案．
【解析】解：（1）由折叠可知，
剪去的小正方形的边长与折成的无盖长方体盒子的高之间的大小关系为相等，
故答案为：相等；
（2）这个无盖长方体盒子的容积=h（a-2h）（a-2h）=h（a-2h）2（cm3）；
故答案为：h（a-2h）2；
（3）当剪去的小正方形的边长取2时，m=2×（20-2×2）2=512，
当剪去的小正方形的边长取3时，n=3×（20-2×3）2=588，
当剪去的小正方形的边长的值逐渐增大时，所得到的无盖长方体纸盒的容积的值先增大后减小，
当剪去的小正方形的边长为3cm时，所得到的无盖长方体纸盒的容积最大．
故答案为：3．
【点睛】此题主要考查了几何体的体积求法以及展开图问题，根据题意表示出长方体体积是解题关键．
15
