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2022-2023 学年北师大版数学七年级上册压轴题专题精选
汇编
专题 01 丰富的图形世界
考试时间：120分钟 试卷满分：100分
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2021七上·平阴期末）一个正方体的平面展开图如图所示，将它折成正方体
后，“富”字的对面的字是（ ）
A．主 B．强 C．自 D．由
【答案】C
【完整解答】解：“富”字的对面的字是“自”，
“强”字的对面的字是“主”，
“民”字的对面的字是“由”，
故答案为：C．
【思路引导】根据正方体的平面展开图的特点，结合图形求解即可。
2．（2分）（2021七上·和平期末）某一品牌的牛奶包装盒，该包装盒可以近似的看成是
长方体，则它的展开图不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【完整解答】A： 可以折成这样，故A项不符题意；B： 可以折成这样，故B项不符合题意；
C：左右两边一边宽，一边窄，竖起来之后不一样高，无法折成长方体，故B项符合题意；
D： 可以折成这样，故B项不符合题意．
【思路引导】分别将各选项进行折成几何体，再判断即可.
3．（2分）（2021七上·南山期末）一个正方体的表面分别标有百、年、峥、嵘、岁、月，
下面是该正方体的一个展开图，已知“嵘”的对面为“岁”，则（ ）
A．▲代表“岁” B．▲代表“月”
C．★代表“月” D．◆代表“月”
【答案】B
【完整解答】解：一个正方体的表面分别标有百、年、峥、嵘、岁、月，下面是该正方体
的一个展开图，已知“嵘”的对面为“岁”，可得：★和◆代表的是“嵘”和“岁”，则
▲代表“月”，
故答案为： ．
【思路引导】根据正方体展开图的特征求解即可。
4．（2分）（2021七上·宜宾期末）某几何体由8个相同的小立方体构成，它的俯视图如
图所示，俯视图中小正方形标注的数字表示该位置上的小立方体的个数，则这个几何体的
主视图是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【完整解答】解：从俯视图可知，从左往右，这个几何体的 “高度”即小正方体的个数分
别为：3个，1个，2个，从正面看所得到的图形为C选项中的图形.
故答案为：C.
【思路引导】根据给出的俯视图判断出该几何体每行每列小正方体的个数，然后根据主视
图的概念进行判断.
5．（2分）（2021七上·青神期末）在下面的四个几何体中，同一几何体的主视图与俯视
图相同的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【完整解答】解：A、圆柱主视图、俯视图分别是长方形、圆，主视图与俯视图不相同，
故A选项错误；
B、圆锥主视图、俯视图分别是三角形、有圆心的圆，主视图与俯视图不相同，故B选项
错误；
C、三棱柱主视图、俯视图分别是长方形，三角形，主视图与俯视图不相同，故C选项错
误；
D、球主视图、俯视图都是圆，主视图与俯视图相同，故D选项正确.
故答案为：D.
【思路引导】根据三视图的概念分别判断出圆柱、圆锥、三棱柱、球的主视图与俯视图，
据此判断.
6．（2分）（2021七上·长顺月考）若干个相同的正方体组成一个几何体，从不同方向看
可以得到如图所示的形状，则这个几何体最多可由多少个这样的正方体组成？（ ）
A．12个 B．13个 C．14个 D．18个【答案】B
【完整解答】解：综合从正南方向看（主视图）与从正西方向看（左视图）可知，这个几
何体有三行、三列，
即：
第一行第1列最多有2个,
第一行第2列最多有1个,
第一行第3列最多有2个;
第二行第1列最多有1个,
第二行第2列最多有1个,
第二行第3列最多有1个;
第三行第1列最多有2个,
第三行第2列最多有1个,
第三行第3列最多有2个;
所以最多有：2+1+2+1+1+1+2+1+2=13(个).
故答案为：B.
【思路引导】通过题中的两个从不同方向看到的图形可知，此几何体有三行，三列，分别
判断出各行各列最多有几个正方体组成即可得出答案.
7．（2分）（2020七上·西安月考）如图所示的三棱柱，高为 ，底面是一个边长为
的等边三角形.要将该三棱柱的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，需剪开棱
的棱长的和的最小值为（ ） .
A．28 B．31 C．34 D．36
【答案】A
【完整解答】解：由图形可知：没有剪开的棱的条数是4条，
则至少需要剪开的棱的条数是：9-4=5（条），
∴棱长和的最小值为：8+4×5=28，故答案为：A
【思路引导】三棱柱有9条棱，观察三棱柱的展开图可知没有剪开的棱的条数是条，相减
即可求出需要剪开的棱的条数.
8．（2分）（2020七上·呼和浩特期末）有一种正方体如图所示，下列图形是该方体的展
开图的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【完整解答】A.折叠后，三条对角线交于一点，不能构成三角形；
B. 折叠后，侧面俩条对角线无交点，不能构成三角形；
C.折叠后，可以形成三角形；
D,折叠后，底面和侧面的俩条对角线无交点，不能构成三角形.
故答案为：C.
【思路引导】由平面图形的折叠及正方体的展开图解题.
9．（2分）（2019七上·中期中）图①是正方体的平面展开图，六个面的点数分别为1点、
2点、3点、4点、5点、6点，将点数朝外折叠成一枚正方体骰子，并放置于水平桌面上，
如图②所示，若骰子初始位置为图②所示的状态，将骰子向右翻滚 ，则完成1次翻
转，此时骰子朝下一面的点数是2，那么按上述规则连线完成2次翻折后，骰子朝下一面
的点数是3点；连续完成2019次翻折后，骰子朝下一面的点数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【完整解答】解：正方体的表面展开图，相对面之间一定相隔一个正方形，
“2点”与“5点”是相对面，“3点”与“4点”是相对面，“1点”与“6点”是相对面，
∵ ，
∴完成2019次翻转为第505组的第三次翻转，∴骰子朝下一面的点数是5．
故答案为：D．
【思路引导】根据正方体的表面展开图，可得各个面上的数字，由2019次翻转为第505组
的第三次翻转，即可得到答案．
10．（2分）（2019七上·双流月考）明明用纸（如图）折成了一个正方体的盒子，里面装
了一瓶墨水，与其它空盒子混放在一起，只凭观察，选出墨水在哪个盒子中（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【完整解答】根据展开图中各种符号的特征和位置，可得墨水在B盒子里面．
故答案为：B．
【思路引导】观察展开图可得有“○”和有“阴影”的两个面为同一顶点上的三个面，且
折叠后有阴影的部分的三角形有一条直角边重合，据此进行判断.
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2021七上·历下期末）“创出一条路，蝶变一座城”，济南市一直努力建设
更高水平的全国文明城市，我校也积极开展了文明校园创建活动．为此七年级学生设计了
正方体废纸回收盒，如图所示将写有“收”字的正方形添加到图中，使它们构成完整的正
方体展开图，你有 种添加方式．
【答案】4
【完整解答】解：“收”字分别放在“垃”、“圾”、“分”、“类”下方均可成完整的
正方体展开图，
所以有4种添加方式．
故答案为：4．【思路引导】根据所给的正方体展开图求解即可。
12．（2分）（2021七上·顺义期末）如图是一个没有完全剪开的正方体，若再剪开一条棱，
则得到的平面展开图不可能是下列图中的 ．（填序号）
【答案】②⑤
【完整解答】根据题意，再剪开一条棱，展开图不可能为：
故答案为：②⑤．
【思路引导】根据正方体展开图的特征逐项判断即可。
13．（2分）（2021七上·镇江期末）图中平面展开图按虚线折叠成正方体后，相对面上两
个数之和为5，则 .
【答案】4
【完整解答】解：将题图中平面展开图按虚线折叠成正方体后，可知标有数字“2”的面和
标有x的面是相对面，标有数字“4”的面和标有y的面是相对面，
∵相对面上两个数之和为5，
∴x＝3，y＝1，
∴x+y＝3+1＝4.
故答案为：4.【思路引导】根据正方体的展开图中相对的面之间必间隔一个正方形，“Z”字两端是对面
即可解决问题.
14．（2分）（2021七上·天河期末）如图是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正
方体后，有“祖”字一面的相对面上的字是 ．
【答案】伟
【完整解答】解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，
“祖”字一面的相对面上的字是是“伟”.
故答案为：伟．
【思路引导】根据正方体表面展开图的相间、Z端是对面求解即可。
15．（2分）（2021七上·昌平期末）如图所示的是一个正方体的平面展开图．若将平面展
开图折叠成正方体后，相对面上的两个数字之和均为-5，则 的值为 ．
【答案】0
【完整解答】解：根据正方体展开图的“相间、Z端是对面”的特征可知，
“-2”与“y”相对，
“-10”与“z”相对，
“x”与“-3”相对，
又∵相对面上的两个数字之和均为-5，
∴y=-3，x=-2，z=5，
∴x+y+z=-2-3+5=0，
故答案为：0．
【思路引导】先求出“-2”与“y”相对，“-10”与“z”相对，“x”与“-3”相对，再求出
y=-3，x=-2，z=5，最后代入求解即可。
16．（2分）（2020七上·郑州月考）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积
为 .（π取3）【答案】13
【完整解答】解：观察该几何体的三视图发现其为半个圆柱，半圆柱的直径为2，高为2，
故其表面积为： .
故答案为：13.
【思路引导】首先根据三视图判断几何体的形状，然后计算其表面积即可.
17．（2分）（2019七上·南山期末）一个几何体是由一些相同的小正方体构成，该几何体
从正面看 主视图 和从上面看 俯视图 如图所示 那么构成这个几何体的小
正方体至少有 块，至多有 块
【答案】5；7
【完整解答】解：如图所示，
由图知构成这个几何体的小正方体至少有5块，至多有7块．
【思路引导】根据俯视图能够判断出这个几何体的最底层是有5个小正方体，根据主视图
可以判断出这个几何体有两层，并且第二层的左边至少有一个小正方体，至多有三个小正
方体。
18．（2分）用棱长是1cm的小正方体组成如图所示的几何体，把这个几何体放在桌子上，
并把暴露的面涂上颜色，那么涂颜色面的面积之和是 cm2.【答案】30
【完整解答】解：通过观察，从前、后、左、右、上5个方向各有6个面暴露，
∴ 涂颜色的面积为5×6=30cm2
故答案为：30。
【思路引导】通过观察，从前、后、左、右、上5个方向各有6个面暴露，可知总暴露的
面积。
19．（2分）（2017七上·深圳期末）一个由许多规格相同的小正方体堆积而成的几何体，
其主视图、左视图如图所示一模一样，若要摆成这样的图形，至少需用 m 块小正方体，
至多需用n 块小正方体，则 mn= ．
【答案】65
【完整解答】摆出如图所示的图形，至少要3+2=5个小正方体，最多需要9+4=13个小正方
体，所以mn=65.
【思路引导】最少情况就是对角摆放，中间放一个，最多情况是每行每列都填满.
20．（2分）（2021七上·成都期末）一张长50cm，宽40cm的长方形纸板，在其四个角上
分别剪去一个小正方形（边长相等且为整厘米数）后，折成一个无盖的长方体形盒子，这
个长方体形盒子的容积最大为 cm3.
【答案】6552
【完整解答】解：设减去的正方形的边长为x厘米，则体积V=x（50-2x）（40-2x）=2×2x
（25-x）（20-x）；
因为2x+（25-x）+（20-x）=45，当2x、（25-x）、（20-x）三个值最接近时，积最大，而
每一项=45÷3=15时，积最大，而取整数厘米，所以2x=14，即x=7时；
这时纸盒的容积v=（50-7×2）×（40-7×2）×7，
=36×26×7，=6552cm3.
故答案为：6552.
【思路引导】根据题意，这张纸板上在它的四个角上剪去大小相等的四个正方形，然后做
成一个无盖的纸盒,也就是纸板的长和宽分别减去所剪正方形的两个边长，是纸盒底面的长
和宽，纸盒的高就等于所剪去的正方形的边长；当纸盒的长、宽、高三个值最接近时，它
们的容积最大，因此可以设减去的正方形的边长为x厘米，列方程解答.
三．解答题（共10，满分60分）
21．（4分）（2022七上·城固期末）小刚设计了一个正方体包装盒的展开图，由于粗心少
设计了其中一个盖子，请你把它补上，使其成为一个两面均有盖子的正方体盒子，并在补
全的图中填入-2，4， ，0.25， ，3，使得折成正方体的相对面上的两个数互为
倒数.
【答案】解：如图所示：
【思路引导】首先根据乘积为1的两个数互为倒数找出互为倒数的数，然后根据正方体的
表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形进行解答.
22．（4分）（2021七上·大名期中）一块长方形铁皮，长25厘米，宽15厘米，从四个角
分别剪去边长2厘米的小正方形，然后把四周折起来，做成没有盖子的铁盒，铁盒的容积
是多少升？
【答案】解：由题意得：铁盒的长 ，铁盒的宽 ，
铁盒的高 ，
∴铁盒的容积 升．【思路引导】分别求出铁盒的长、宽、高，根据铁盒的容积等于长×宽×高进行求解即可。
23．（4分）（2021七上·温州期中）一个长12cm，宽12cm，高为8cm的长方体容器中装
满了水.小明先把容器中的水倒满2个底面半径为3cm，高为5cm的圆柱体杯子，再把剩下
的水全部倒入瓶子甲中.当瓶子甲正放时如图1，瓶内溶液的高度为20cm； 瓶子甲倒放时
如图2，空余部分的高度为5cm. 求瓶子甲的容积. ( 取3，容器的厚度不计）
【答案】解：
【思路引导】利用长方体的体积的计算方法，根据题意列式计算可求出结果.
24．（4分）（2021七上·揭东月考）如图所示，要使图中平面展开图按虚线折叠成正方体
后，相对面上两个数之和相等，求a+b-c的值？
【答案】解：由正方体展开图可知a与b相对，6与c相对，3与-1相对，
∵相对面上两个数之和相等，
∴a+b=-1+3，6+c=-1+3，
∴a+b=2，c=-4，
∴a+b-c=2+4=6．
【思路引导】根据题意求出 a+b=-1+3，6+c=-1+3， 再求出 a+b=2，c=-4， 最后计算求解
即可。25．（4分）（2021七上·峄城月考）如图是一个立体图形在三个方向上的形状图，请根据
在三个方向的形状图写出该立体图形的名称，并计算该立体图形的体积．(结果保留π)
【答案】解：该立体图形为圆柱．
∵圆柱的底面半径r=5，高h=10，∴圆柱的体积V=πr2h=π×52×10=250π（立方单位）．
答：所以立体图形的体积为250π立方单位．
【思路引导】根据三视图可以知道该立体图形为圆柱，再根据题干中的数据，利用圆柱的
体积计算公式求解即可。
26．（7分）（2021七上·章贡期末）
（1）（1分）如图所示的长方体，长、宽、高分别为4，3，6．若将它的表面沿某些棱
剪开，展成一个平面图形，则下列图形中，可能是该长方体表面展开图的有 （填
序号）．
（2）（3分）图A，B分别是题（1）中长方体的两种表面展开图，求得图A的外围周
长为52，请你求出图B的外围周长．
（3）（3分）第（1）题中长方体的表面展开图还有不少，聪明的你能画出一个使外围
周长最大的表面展开图吗？请画出这个表面展开图，并求出它的外围周长．
【答案】（1）①②③
（2）解：由已知可以给图B标上尺寸如下：
∴图B的外围周长为6×3＋4×4+4×6＝58．
（3）解：能．如图所示．外围周长为6×8＋4×4＋3×2＝48＋16＋6＝70．
【完整解答】解：（1）根据长方体展开图的特征可得答案为：①②③；
【思路引导】（1）根据长方体展开图的特征即可得出答案；
（2）观察图形可知图B的外围周长有四个长，四个宽，六个高围成，再带入计算即可；
（3）钥匙展开图的外围周长最大，应尽量使连在一起的棱为较短的棱即可。
27．（7分）（2021七上·毕节期末）一个物体由几个相同的正方体堆叠成，从三个不同方
向观察得到的图形如图所示，试回答下面的问题：
（1）（3分）该物体共有几层？
（2）（4分）一共需要几个正方体叠成？
【答案】（1）解：由主视图与左视图可得：这个物体一共有三层.
（2）解：结合三种视图可得：各个位置的小正方体的个数如图示：
所以这个图形一共由9个小正方体组成.
【思路引导】（1）根据从正面或左面看到的图形可得由正方体积木组成的立体图形有几层
高；
（2）“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案，注意俯视图中
有几个正方形，底层就有几个立方体.
28．（10分）（2019七上·东源期中）如图1，一个边长为2cm的立方体按某种方式展开后，
恰好能放在一个长方形内．（1）（3分）计算图1长方形的面积；
（2）（3分）小明认为把该立方体按某种方式展开后可以放在如图2的长方形内，请你
在图2中划出这个立方体的表面展开图；(图2每个小正方形边长为2cm)；
（3）（4分）如图3，在长12cm、宽8cm的长方形内已经画出该立方体的一种表面展
开图(各个面都用数字“1”表示)，请你在剩下部分再画出2个该立方体的表面展开图，把一
个立方体的每一个面标记为“2”，另一个立方体的每一个面标记为“3”．
【答案】（1）立方体的棱长为2cm，图1长方形的面积为4×2×3×2=48平方厘米。
（2）展开图：
（3）
【思路引导】（1）根据题意求出长方形的长和宽，利用面积公式可求出结果。
（2）利用正方体和展开图特点进行画图。
（3）利用正方体和展开图的特点进行计算。
29．（7分）如图①，从大正方体上截去一个小正方体之后，可以得到图②的几何体．
（1）设原大正方体的表面积为S，图②中几何体的表面积为S，那么S 与S的大小关
1 1
系是
A．S＞S B．S=S C．S＜S D．无法确定
1 1 1
（2）小明说：“设图①中大正方体各棱的长度之和为l，图②中几何体各棱的长度之和
为l，那么l 比l正好多出大正方体3条棱的长度．”你认为这句话对吗？为什么？
1 1
（3）如果截去的小正方体的棱长为大正方体棱长的一半，那么图③是图②中几何体的
表面展开图吗？如有错误，请予修正．【答案】解：（1）设原大正方体的表面积为S，图②中几何体的表面积为S，
1
那么S 与S的大小关系是相等；
1
故选：B；
（2）设大正方体棱长为1，小正方体棱长为x，那么l﹣l=6x．
1
只有当x= 时，才有6x=3，所以小明的话是不对的；
（3）如图所示：
【思路引导】（1）根据平移的性质可得出S 与S的大小关系；
1
（2）利用立方体的性质得出得出棱长之间的关系；
（3）利用立方体的侧面展开图的性质得出即可．
30．（9分）（2021七上·柯桥期末）如图1，现有一个棱长为20cm的立方体水槽放在桌面
上，水槽内水的高度为acm，往水槽里放入棱长为10cm的立方体铁块.
（1）（1分）求下列两种情况下a的值.
①若放入铁块后水面恰好在铁块的上表面，则a= cm;②若放入铁块后水槽恰好
盛满（无溢出)，则a= cm;
（2）（2分）若0≤a≤7.5，放入铁块后水槽内水面的高度为 cm，(用含a的代
数式表示）.
（3）（5分）如图2，在水槽旁用管子连通一个底面在桌面上的圆柱形容器，内部底面
积为
50cm2，管口底部A离水槽内底面的高度为hcm (h>a)，水槽内放入铁块，水溢入圆柱形
容器后，容器内水面与水槽内水面的高度差为4cm，若 a=15，求h的值.(水槽和容器的壁
及底面厚度相同)
【答案】（1）7.5；17.5
（2）
（3）解：根据题意，列方程得： 20×20×15+10×10×10=20×20×h+50×(h-4)
解得 h=16【完整解答】解：（1） ① （20×20）a=20×20×10-10×10×10,
∴400a=3000,
解得a=7.5；
②20×20×20=10×10×10+20×20×a,
∴8000=1000+40a,
解得a=17.5；
故答案为：7.5和17.5.
（2） 设放入铁块后水槽内水面高为xcm,
当0≤a≤7.5时，400x=100x+400a,
解得x= a；
故答案为： a.
【思路引导】（1）根据“总体积=水的体积+铁块的体积”列等式求解即可，根据"水槽的
体积=水的体积+铁块的体积"列等式求解即可；
（2）设放入铁块后水槽内水面高为xcm, 当0≤a≤7.5时，根据“水槽放入铁块后的体积=水
的体积+铁块在水下部分的体积”列式即可求解；
（3）根据“加入铁块前水槽内水的体积+铁块的体积=加入铁块后水槽内水的体积+圆柱形
容器内水的体积”列式，即可求出h.
