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专题 01 二元一次方程（组）中含参数问题的五类热点题型
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题型一：利用二元一次方程的定义求参数或代数式的值......................................................................................1
题型二：已知二元一次方程的解求参数或代数式的值..........................................................................................2
题型三：已知二元一次方程组的解求参数或代数式的值......................................................................................4
题型四：已知二元一次方程组的解的情况求参数或代数式的值...........................................................................6
题型五：已知二元一次方程组的解为整数解时求参数或代数式的值...................................................................9
题型一：利用二元一次方程的定义求参数或代数式的值
1．（2025八年级上·全国·专题练习）如果方程 是一个二元一次方程，那么 ，
．
【答案】 1 0
【分析】本题考查了二元一次方程的定义．根据二元一次方程的定义列出方程求出m、n的值即可．
【详解】解：∵ 是二元一次方程，
∴ ， ，
解得： ， ．
故答案为： ， ．
2．（25-26八年级上·全国·课后作业）如果 是一个关于x，y的二元一次方程，那么 的
值是 ．
【答案】8
【分析】本题考查了二元一次方程的定义，代数式求值，解题的关键是正确解方程组．
根据二元一次方程的定义列出关于a、b的方程，求出 的值，代入 计算即可．
【详解】解：∵ 是关于x，y的二元一次方程，
∴ ，
解得 ，
∴ ．
故答案为：8．
3．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）若 是关于 ， 的二元一次方程，则
的值 ．
【答案】0
【分析】本题考查二元一次方程的定义，根据含有2个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程，叫做二元一次方程，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得： 且 ， 且 ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：0．
4．（23-24七年级下·湖北襄阳·期中）已知方程 是关于x，y的二元一次方程，则
的立方根是 .
【答案】
【分析】本题考查二元一次方程的定义以及立方根的求算，掌握二元一次方程组的定义以及立方根的定义
是解题关键．根据二元一次方程组的定义：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方
程，进行求解即可．
【详解】解：∵方程 是关于 x，y 的二元一次方程，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵
∴ 的立方根是： ，
故答案为： ．
5．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知方程 是关于 的二元一次方程，
求 的值．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义可得 且 ， 且
，再进一步即可得解，熟练掌握二元一次方程的定义是解此题的关键．
【详解】解：由题意可得： 且 ， 且 ，
解得 ．
题型二：已知二元一次方程的解求参数或代数式的值
1．（2025八年级上·全国·专题练习）已知 是方程 的一个解，则a的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程的解的定义，属于基础题，熟知二元一次方程的解的概念是关键．把
代入已知方程可得关于a的方程，解方程即得答案．【详解】解：把 代入方程 ，得 ，解得： ；
故答案为 ．
2．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知 是方程 的解，则代数式 的值为
．
【答案】2
【分析】根据二元一次方程的解的定义,得出 ,整体代入代数式求值即可求解．
【详解】解：将 和 代入方程 ,得：
即
∵
∴原式=
故答案为：2 ．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解的定义,代数式求值,熟练掌握以上知识是解题的关键,使得方程左右
两边相等的未知数的值是方程的解．
3．（24-25七年级下·江苏淮安·阶段练习）已知 是关于x，y的二元一次方程 的解，则
．
【答案】11
【分析】本题主要考查了二元一次方程的解、代数式求值等知识点，熟练掌握二元一次方程解的定义是解
题的关键．
把 代入 可得 ，再把所求代数式化成含有 的形式，最后整体代入计算即
可．
【详解】解：把 代入 可得 ，
，
故答案为：11．
4．（24-25七年级下·山东东营·开学考试）如果 是方程 的一组解，那么代数式 的
值是 ．
【答案】8
【分析】本题考查了二元一次方程的解，代数式求值．将 代入方程 得到 ，代入计算即可．
【详解】解：∵ 是方程 的一组解，
∴ ，
∴ ．
故答案为：8
5．（24-25八年级上·全国·阶段练习）若 是二元一次方程 的一个解，则
的值为 .
【答案】2024
【分析】本题考查了二元一次方程的解，把 代入方程 ，得 ，将所求式子
变形为 ，再代入求出答案即可．
【详解】解：∵ 是方程 的解，
∴ ，
∴ ．
故答案为：2024．
题型三：已知二元一次方程组的解求参数或代数式的值
1．（24-25七年级下·全国·期末）已知方程组 的解是 ，则 ，
【答案】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握以上知识是解题的关键．
将 代入 中，进而利用加减消元法求解即可．
【详解】解：∵方程组 的解是 ，
∴ ，
得， ，解得： ，
将 代入 ，可得 ，
解得： ，
故答案为： ； ．
2．（24-25七年级下·福建南平·期末）若 是方程组 的解，则 ＝ ．
【答案】3
【分析】本题考查了方程组的解，求整式的值；将 代入方程组，再将两个方程相加，即可求解；理
解方程组的解，能用整体思想求解是解题的关键．
【详解】解：∵ 是方程组 的解，
∴ ，
由 得： ，
解得： ．
故答案为：3
3．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）如果 是方程组 的解，则
．
【答案】5
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，正确的计算是解题的关键．
将方程组的解代入方程组得到关于 、 的方程组，然后整体代入即可．
【详解】解：将 代入方程组得： ，
∴ ．
故答案为：5．
4．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）已知 是二元一次方程组 的解，则 的算术平
方根是 ．
【答案】
【分析】此题考查了二元一次方程组的解及其解法，求解算术平方根，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
把 与 的值代入方程组求出 与 的值，即可求出 的算术平方根．
【详解】解：把 代入 得： ，解得： ，
∴ ，
故答案为： ．
5．（23-24七年级下·吉林长春·期中）若关于x、y的二元一次方程组 的解为 ，则代数
式 的值是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解的定义，先把 代入原方程组得到
，解方程组求出a、b的值即可得到答案．
【详解】解：∵关于x、y的二元一次方程组 的解为 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
故答案为： ．
题型四：已知二元一次方程组的解的情况求参数或代数式的值
1．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）已知关于 的方程组 ，如果它的解 与 互为相反
数，那么 ．
【答案】
【分析】本题考查了根据二元一次方程组的解求参数，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键．
根据方程组整理得到 ，再结合它的解 与 互为相反数，推出 ，解之，即可解题．
【详解】解：关于 的方程组 ，
由① ②得 ，
它的解 与 互为相反数，
，
解得 ；故答案为： ．
2．（2025八年级上·全国·专题练习）已知关于 的二元一次方程组 的解满足 ，
则 的值为 ．
【答案】4
【分析】本题考查含参数的二元一次方程组，关键在于利用已知条件构造关于参数 的方程，先把② ①，
得 ．再利用代入法可得新的方程，再解方程可得答案．
【详解】解：令 ，
② ①，得 ．
方程组的解满足 ，
．
．
解得 ．
故答案为：4
3．（2025八年级上·全国·专题练习）已知关于 的二元一次方程组 的解满足 与 的值之
和等于6，则 的值为 ．
【答案】8
【分析】本题考查了根据二元一次方程组的解求参数．
先求出 的值，再根据 与 的值之和等于6求解即可．
【详解】解： ，
得 ，
∵ 与 的值之和等于6，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
4．（2023八年级上·湖南长沙·竞赛）关于x，y的方程组 只有唯一的一组解，那么a的取值为
多少？
【答案】
【分析】本题主要考查了含字母系数的二元一次方程组，
先根据方程组有唯一的解可知 ，进而得出答案.【详解】解：∵关于x，y的方程组 只有唯一的一组解，
∴ ，
解得 .
把 代入方程组得： ，
解得： ，
所以a的取值为： .
5．（23-24七年级下·四川乐山·期中）已知 、 满足 ，且 ，求 的值．
三位同学经过思考，分别提出了以下三种不同的解题思路：
甲同学：先解关于 、 的方程组 ，再求 的值：
乙同学：先将方程组的两个方程相加，再求 的值；
丙同学：先解方程组 ，再求 的值；
请从中选择一种你最欣赏的解题思路来解答此题．
【答案】
【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握消元法是解题关键．
甲同学：先利用加减消元法求出方程组的解，再代入 可得一个关于 的一元一次方程，解方程即
可得；
乙同学：先将方程组的两个方程相加可得 ，再根据 求解即可得；
丙同学：先利用加减消元法求出方程组的解，再代入方程 求解即可得．
【详解】解：甲同学： ，
由① ② 得： ，解得 ，
将 代入②得： ，解得 ，
∵ 、 满足 ，
∴ ，
解得 ．
乙同学：将方程组 的两个方程相加得： ，∴ ，
∵ 、 满足 ，
∴ ，
解得 ．
丙同学： ，
由③ ④得： ，解得 ，
将 代入③得： ，解得 ，
将 ， 代入方程 得： ，
解得 ．
题型五：已知二元一次方程组的解为整数解时求参数或代数式的值
1．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）二元一次方程组 的解为整数，则满足条件的所有整
数 的值的和为（ ）
A． B． C．8 D．10
【答案】C
【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，正确理解题意、熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题关
键．
先把a看作已知数求出 ，然后结合方程组的解为整数即可求出a的值，进而可得答案．
【详解】解：对方程组 ，
②－①×2，得 ，
∴ ，
∵关于x、y的方程组 的解为整数，
∴ ，即 ，
∴满足条件的所有a的值的和为 ．
故选：C．
2．要使方程组 有正整数解，求整数a的值是 ．【答案】
【分析】此题主要考查了二元一次方程组的解法，正确表示出y的值是解题关键．根据题意用a表示出y
的值，进而得出符合题意的值．
【详解】解： ，
由②得： ，
故 ，
则 ，
∵方程组 有正整数解，且a是整数
∴当 时，即 时， ，此时 ，此时符合题意；
∴当 时，即 时， ，此时 ，此时符合题意；
∴当 时，即 时， ，此时 ，此时符合题意；
∴当 时，即 时， ，此时 ，此时符合题意；
∴当 时，即 时， ，此时 ，此时符合题意；
综上：满足题意的整数a的值是 ，
故答案为：
3．（2025八年级上·湖南长沙·竞赛）已知方程组 ，若方程组有非负整数解，则正整数m的值
是 ．
【答案】1或3
【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解，先解方程组，再根据非负整数解及正整数m求解．
【详解】解：解方程组得： ，
∵方程组有非负整数解，
∴ 的值为：1或2或4，
∴m的值为0或1或3，
∴正整数m的值为：1或3．
故答案为：1或3．4．（2025七年级下·河南洛阳·竞赛）已知，关于x、y的二元一次方程组 的解是正整数，求整
数p的值．
【答案】5或7
【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，通过加减消元法用p表示出x、y成为解题的关键．
先用含p的式子表示x和y，再根据题意得出整数p的值即可．
【详解】解：
②×3，得 ．③
①-③，得 ，解得： ，
②×5，得 ④
④-①，得 ，解得： ．
∵x，y是正整数，
∴ ，解得： ．
∵p是整数，
∴p=5，6，7．
又∵x，y都是正整数，
∴当 时，不合题意，舍去，
∴ 或7．
5．（24-25七年级下·湖北宜昌·阶段练习）关于x，y的方程组 （n是常数）．
(1)当 时，直接写出第一个方程 的所有非负整数解；
(2)当 时，该方程组的解也满足 ，求m；
(3)当 时，如果方程组也有整数解，求整数m．
【答案】(1) ，
(2)
(3) 或0
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组的知识，熟练掌握解二元一次方程组的方法，并根据题意确定
的值是解题关键．
（1）①根据 ， 为非负数即可求得方程 的所有非负整数解；（2）先解方程组 ，然后将 ， 的值代入方程 中即可获得答案；
（3）将 代入原方程组，利用加减消元法得到 ，再根据方程组有整数解，且 为整数，分
情况讨论即可．
【详解】（1）解：∵ ， 为非负整数，
∴方程 的所有非负整数解为
， ；
（2）∵根据题意可得 ，
解得 ，
将 代入 中，
解得 ；
（3）当 时，原方程组可化为 ，
由 ，可得 ，
整理可得 ，
∵方程组有整数解，且 为整数，
∴ 或 ，
当 时，解得 ，此时方程组的解为 ；
当 时，解得 ，此时方程组的解为 （舍去）；
当 时，解得 ，此时方程组的解为 ；
当 时，解得 ，此时方程组的解为 （舍去）．
综上所述，整数 的值为 或0．
