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专题 01 二元一次方程（组）及二元一次方程（组）的解
目录
A题型建模・专项突破
题型一、根据二元一次方程的定义求字母的值..................................................................................................1
题型二、已知二元一次方程的解求字母的值......................................................................................................2
题型三、已知二元一次方程的解求代数式的值..................................................................................................4
题型四、二元一次方程的整数解..........................................................................................................................5
题型五、已知二元一次方程组的解求字母的值..................................................................................................7
题型六、已知二元一次方程组的解求代数式的值..............................................................................................8
B综合攻坚・能力跃升
题型一、根据二元一次方程的定义求字母的值
1.若关于 的方程 是二元一次方程，则 的值是（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查根据二元一次方程的定义求参数的值，根据二元一次方程的定义，得到 ，进行
求解即可．
【详解】解：由题意，得： ，
∴ ；
故选A．
2.若方程 是关于x，y的二元一次方程，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程的定义和求代数式的值，注意：只含有两个未知数，并且所含未知数的
项的最高次数是1次的整式方程，叫二元一次方程．
根据二元一次方程的定义和已知条件得出 ，求出m、n的值即可．
【详解】解：因为方程 是关于是关于x，y的二元一次方程，
所以 ，
解得 ．
故答案为： ．3.若方程 是二元一次方程，则 ．
【答案】2
【分析】本题考查了二元一次方程的定义，含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样
的整式方程叫做二元一次方程．根据二元一次方程的定义解答即可．
【详解】解：∵方程 是二元一次方程，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
故答案为：2．
4.已知 是关于x，y的二元一次方程，则m的值为 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解题的关键；由题意易得
，然后求解即可．
【详解】解：由题意得： ，
解得： ；
故答案为3．
题型二、已知二元一次方程的解求字母的值
5.若 是关于 的方程 的一个解，则 的值为 ．
【答案】1
【分析】本题考查二元一次方程的解，一元一次方程，掌握知识点是解题的关键．
将 代入 ，得到 ，即可解答．
【详解】解：将 代入 ，得
，
解得 ．
故答案为：1．
6.已知 是二元一次方程 的一个解，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程的解．将 代入 计算即可．
【详解】∵ 是二元一次方程 的一个解，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
7．（25-26八年级上·黑龙江鹤岗·开学考试）已知 是方程 的一个解，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程的解；把解代入二元一次方程中，即可求解．
【详解】解：∵ 是方程 的一个解，
∴ ，
解得： ，
故答案为：1．
8．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）已知 是二元一次方程 的解，则a的值为
【答案】2
【分析】本题考查的是二元一次方程的解，理解方程的解的含义是解本题的关键．把 代入方程
即可得到a的值．
【详解】解：∵ 是二元一次方程 的解，
∴ ，
解得： ，
故答案为：2．
题型三、已知二元一次方程的解求代数式的值
9．（24-25七年级上·云南保山·期末）若 是二元一次方程 的一个解，则 的值等于（
）
A． B． C．2 D．3
【答案】D【分析】本题考查了二元一次方程的解的定义．根据二元一次方程的解的定义将 代入即可求解．
【详解】解：∵ 是二元一次方程 的一个解，
∴ ．
故选：D．
10.（2025八年级上·全国·专题练习）若 是方程 的一个解，求 的值．
【答案】
【分析】本题考查二元一次方程的解、代数式求值，掌握整体代入思想是解题的关键．将 代入方程
得到 ，代入即可求解．
【详解】解：因为 是方程 的一个解，
所以 ，
所以 ．
11．（25-26八年级上·陕西延安·开学考试）如果 是方程 的一组解，求代数式
的值．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程的解，先把方程的解代入方程得到a与b的关系式，再对 变形，
最后代入求值．
【详解】解： 是方程 的一组解，
∴将 代入方程 ，得： ，
∴ ，
∴ ．
题型四、二元一次方程的整数解
12.二元一次方程 的正整数解共有（ ）组．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】本题考查了二元一次方程的解．由 ，可得出 ，结合 ， 均为正整数，即可求出二元一次方程 的正整数解．
【详解】解： ，
．
又 ， 均为正整数，
或 ，
二元一次方程 的正整数解共有2组．
故选：C．
13.（2025·四川泸州·中考真题）《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载了求
不定方程（组）解的问题．例如方程 恰有一个正整数解 ．类似地，方程 的
正整数解的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查了二元一次方程的解，根据题意写出 的正整数解，即可求解．
【详解】解：∵
∴
正整数解为： ， ； ， ； ， 共3个，
故选：C．
14.已知二元一次方程 ．
(1)直接写出它所有的正整数解；
(2)请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程组成的方程组的解为 ．
【答案】(1)所有的正整数解为 或
(2) （答案不唯一）
【分析】本题考查了二元一次方程组的解；
（1）将方程变形，写出满足方程的正整数解即可；
（2）写出满足解的一个二元一次方程即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴当 时， ，符合题意；
当 时， ，符合题意；当 时， ，不符合题意；
∴ 所有的正整数解为 或 ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴方程组 的解为 ．
15．（24-25七年级下·山东德州·期末）关于x，y的二元一次方程均可以变形为 的形式，其中
a，b，c，均为常数且 ， ，规定：方程 的“关联系数”记为 ．
(1)【探索发现】二元一次方程 的“关联系数”为______．
(2)【拓展应用】已知关于x，y的二元一次方程的“关联系数”为 ，若 ，为该方程的一
组解，且 均为正整数，求m，n的值．
【答案】(1)
(2) 或
【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组解的情况求参数，解题的关键是理解题意，熟练掌握解方程
组的方法．
（1）根据关联系数的定义进行解答即可；
（2）根据关联系数的定义得出该二元一次方程为 ，把 代入，得出 ，根据
m、n均为正整数，求出结果即可；
【详解】（1）解：∵规定：方程 的“关联系数”记为 ，
∴二元一次方程 的“关联系数”为 ；
故答案为： ；
（2）解：∵关于x，y的二元一次方程的“关联系数”为 ，
∴二元一次方程为 ．
∵ 为该方程的一组解，
∴ ，即 ．
∵m，n均为正整数，∴ 或
题型五、已知二元一次方程组的解求字母的值
16.已知 与 都是方程 的解，则 ， ．
【答案】 /
【分析】本题考查了解二元一次方程组，解题关键是把x和y的值代入方程，建立关于a和b的二元一次
方程组，
先根据题意列出方程组，再求解即可．
【详解】解：根据题意得： ，
解得： ．
故答案为： ； ．
17.（2025八年级上·全国·专题练习）已知关于 的二元一次方程组 的解满足 ，则
的值为 ．
【答案】4
【分析】本题考查二元一次方程组的求解，先联立方程组中的第一个方程与已知条件 组成新的方
程组，求出 和 的值，再将 和 的值代入第二个方程求出 的值．
【详解】解：∵方程组 的解满足 ③，
∴①和③组成新的方程组为 ，解得 ，
将 代入②，得 ．
故答案为：4．
题型六、已知二元一次方程组的解求代数式的值
18.（24-25七年级下·湖北襄阳·阶段练习）已知 是关于 的二元一次方程组 的一组解，
则 的值为（ ）
A．3 B． C．5 D．【答案】A
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解题的关键．将
代入方程组求出 的值，再代入计算即可得．
【详解】解：∵ 是关于 的二元一次方程组 的一组解，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
19．若二元一次方程组 的解为 ，则 的值是 ．
【答案】3
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，根据二元一次方程组的解的定义得出
，然后 求出 的值，进而即可得出结果．
【详解】解：∵二元一次方程组 的解为 ，
∴ ，
∴ ，得 ，
∴ ，
故答案为∶3．
20．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于 的二元一次方程组 的解为 ．
(1)求 的值；
(2)求 的值．
【答案】(1)
(2)2028
【分析】本题考查根据二元一次方程组的解，求参数的值，代数式求值：
（1）把 代入方程组，进而解关于 的方程组即可；
（2）把 的值代入，计算即可．【详解】（1）解：把 代入关于 的二元一次方程组
，得 ，解得 ．
把 代入①，得 ，解得 ，
．
（2）由（1），得 ，
．
的值为2028．
一、单选题
1．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】主要考查二元一次方程的概念，正确记忆二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知
数的最高次项的次数是1的整式方程是解题关键．根据二元一次方程的定义逐项判断即可．
【详解】A、 ：含两个未知数，但乘积项次数为2，不符合二元一次方程的定义；
B、 ： 的次数为2，不符合二元一次方程的定义；
C、 ：含两个未知数，次数均为1，且为整式方程，符合二元一次方程的定义；
D、 ：含分式 ，不是整式方程，不符合二元一次方程的定义．
故选：C．
2．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若方程 的解是 ，则a的值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】本题考查了二元一次方程的解，把 代入方程 得到关于a的一元一次方程，解之
即可．【详解】解：把 代入方程 得：
，
解得： ，
故选：B．
3．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列六个方程组中，是二元一次方程组的有（ ）
① ；② ； ③ ；④ ； ⑤ ；⑥
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的识别，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的定义．
利用二元一次方程组的定义来进行判断，即“由两个二元一次方程组成的方程组”，组成二元一次方程组
的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程．
【详解】解：① ， 是分式，该选项不是二元一次方程组，不符合题意；
② ， 次数为2，该选项不是二元一次方程组，不符合题意；
③ ，含有3个未知数，该选项不是二元一次方程组，不符合题意；
④ ，该选项是二元一次方程组，符合题意；
⑤ ，该选项是二元一次方程组，符合题意；
⑥ ，该选项是二元一次方程组，符合题意；
故选：C．
4．（24-25七年级上·云南保山·期末）若 是二元一次方程 的一个解，则 的值等于（
）
A． B． C．2 D．3
【答案】D
【分析】本题考查了二元一次方程的解的定义．根据二元一次方程的解的定义将 代入即可求解．【详解】解：∵ 是二元一次方程 的一个解，
∴ ．
故选：D．
5．（24-25七年级下·四川巴中·阶段练习）已知方程 是二元一次方程，则
的值为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】A
【分析】根据关于 ， 的方程 是二元一次方程，得到 ， ，
解答即可．
本题考查了二元一次方程的定义，正确理解定义是解题的关键．
【详解】解：由关于 ， 的方程 是二元一次方程，
故 ， ， ， ，
解得 ， 且 ， ，
故 ， ，
故 ，
故选：A．
6．（25-26八年级上·黑龙江绥化·开学考试）关于 的方程组 的解为 ，则 的值
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组解的定义，将 代入 得出
关于 的二元一次方程组，求得 的值，即可求解．
【详解】解：∵关于 的方程组 的解为 ，
∴ ，解得：
∴ ，
故选：C．
二、填空题
7．（2026九年级·广西·专题练习）已知二元一次方程 ，请写出方程的一组解： ．【答案】 （答案不唯一）
【分析】二元一次方程的解是指能使方程左右两边相等的一组未知数 的值．
【详解】解：把 代入方程 得：
．
故 为原方程的解．
故答案为： （答案不唯一）
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，理解二元一次方程的解的定义是解题的关键．
8．（24-25八年级上·宁夏固原·期末）已知 是方程 的一个解，那么k的值是 ．
【答案】1
【分析】本题考查了二元一次方程的解和解一元一次方程，熟练掌握方程的解的定义是解题的关键．根据
题意，把 代入方程 得出一个关于k的一元一次方程，求出方程的解即可．
【详解】解：根据题意，把 代入方程 得： ，
解得： ，
故答案为：1．
9．（24-25七年级下·北京·期中）如果 是关于x，y的二元一次方程 的一个解，那么m的
值为 ．
【答案】1
【分析】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键．
根据二元一次方程的解的定义把 代入关于x，y的二元一次方程 中即可求出m的值．
【详解】解：把 代入关于x，y的二元一次方程 中，得 ，
解得 ，
故答案为：
10．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知 是方程 的解，则代数式 的值为
．
【答案】2
【分析】根据二元一次方程的解的定义,得出 ,整体代入代数式求值即可求解．【详解】解：将 和 代入方程 ,得：
即
∵
∴原式=
故答案为：2 ．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解的定义,代数式求值,熟练掌握以上知识是解题的关键,使得方程左右
两边相等的未知数的值是方程的解．
11．（24-25七年级下·黑龙江牡丹江·期末）若 是关于a，b的二元一次方程 的一个解，
则代数式 的值是 ．
【答案】24
【分析】本题考查的是二元一次方程的解，把 代入 可得 ，再进一步求解即可．
【详解】解：∵ 是关于a，b的二元一次方程 的一个解，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
12．（23-24七年级下·四川南充·期中）已知 是二元一次方程组 的解，则 的值
是 ．
【答案】
【分析】本题考查二元一次方程组的解，把 代入方程组，得到关于 的方程组，求出 的值，
进而求出 的值即可．
【详解】解：把 代入 ，得： ，
即： ，解得： ，
∴ ；故答案为： ．
三、解答题
13．（2025八年级上·全国·专题练习）若 是方程 的一个解，求 的值．
【答案】
【分析】本题考查二元一次方程的解、代数式求值，掌握整体代入思想是解题的关键．将 代入方程
得到 ，代入即可求解．
【详解】解：因为 是方程 的一个解，
所以 ，
所以 ．
14．（25-26八年级上·陕西延安·开学考试）如果 是方程 的一组解，求代数式
的值．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程的解，先把方程的解代入方程得到a与b的关系式，再对 变形，
最后代入求值．
【详解】解： 是方程 的一组解，
∴将 代入方程 ，得： ，
∴ ，
∴ ．
15．（23-24七年级下·宁夏吴忠·期中）解关于x，y的方程组 时，甲正确地解出 ，乙因
为把c抄错了，误解为 ，求a，b，c的值．
【答案】 ．
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，将 代入 求出 ，再将将 代入
，得 ，联立得 ，求解即可，掌握相关知识是解题的关键．【详解】解：将 代入 ，得： ，
解得： ，
将 代入 ，得： ，
联立得： ，
解得： ，
∴ ．
16．（2025八年级上·全国·专题练习）若 是关于 的二元一次方程，
则（ ）
A． B．
C． D．
下面是马虎的解答，你认为他的解法正确吗？若不正确，请给出正确答案，并说明理由．
解：因为 2025是关于 的二元一次方程，
所以 ．
解得 ．故选A．
【答案】马虎的解法不正确．正确选项为D，见解析
【分析】本题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解答本题的关键．方程的两边
都是整式，含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1次的方程叫做二元一次方程．
马虎的解法未考虑未知数的系数不能为0，故错误；根据二元一次方程的定义求解即可.
【详解】解：马虎的解法不正确．正确选项为D．理由如下：
因为 是关于 ， 的二元一次方程，
所以
解得
故选D．
17．（24-25七年级下·湖北黄冈·期末）若关于 、 的二元一次方程变形为 的形式（ 、 是常
数， ），则其中一对常数 、 称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为 ．例如二元一次方程 变形为 ，则二元一次方程 的“相伴系数对”为 ．
(1)二元一次方程 的“相伴系数对”为____________．
(2)已知 是关于 、 的二元一次方程的一个解，且该方程的“相伴系数对”为 ，求出这
个二元一次方程；
(3)关于 、 的二元一次方程 ，已知该方程的“相伴系数对”之和为2，求 的
值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了二元一次方程的解，新定义“相伴系数对”，理解题意是解题的关键．
（1）先把二元一次方程 变形为 ，根据“相伴系数对”的定义解答即可；
（2）先根据“相伴系数对”的值写出方程 ，然后把 的值代入即可求出k的值，从而写
出方程；
（3）先求出方程的“相伴系数对”的值，然后根据已知条件列出关于 的方程，从而求出 的值．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴二元一次方程 的“相伴系数对”为 ，
故答案为： ；
（2）解：∵方程的“相伴系数对”为 ，
∴该方程为 ，
∵ 是关于 、 的二元一次方程的一个解，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
即 ；
（3）解：∵ ，∴ ，
即 ，
∵关于 、 的二元一次方程 的“相伴系数对”之和为2，
∴ ，
整理得 ，
即 ．
18．（24-25八年级上·全国·阶段练习）对于二元一次方程 的任意一个解 ，给出如下定义：
若 ，则称 为方程 的“和谐值”；若 ，则称 或 为方程 的“和谐值”，
此时的“和谐值”又称为“和谐平衡值”；若 ，则称 为方程 的“和谐值”.
(1)当 时，此方程的“和谐值”是_____，二元一次方程 的“和谐平衡值”是_____；
(2)若二元一次方程 的“和谐值”为5，写出所有满足条件的方程的解；
【答案】(1) ； 或 ；
(2) 、 ；
【分析】本题考查了二元一次方程的解，理解“和谐值”和“和谐平衡值”的定义，利用分类讨论的思想
解决问题是关键．
（1）先求出当 时，此方程的解，再根据“和谐值”的定义求解即可；根据“和谐平衡值”可得
，再分两种情况分别求解即可；
（2）根据“和谐值”的定义分四种情况讨论即可．
【详解】（1）解 ：当 时，则 ，
，
，即 ，
，
当 时，此方程的“和谐值”是 ；
二元一次方程 有“和谐平衡值”
，
，
当 时， ，解得： ；
当 时， ，解得： ；综上可知，二元一次方程 的“和谐平衡值”是 或 ，
故答案为：1； 或 ；
（2）解：若二元一次方程 的“和谐值”为5，
①当 时， ，解得： ，
，
5是二元一次方程 的“和谐值”，符合题意，此时方程的解为 ；
②当 时， ，解得： ，
，
5是二元一次方程 的“和谐值”，符合题意，此时方程的解为 ；
③当 时， ，解得： ，
，
4是二元一次方程 的“和谐值”，不符合题意；
④当 时， ，解得： ，
，
1是二元一次方程 的“和谐值”，不符合题意；
综上可知，所有满足条件的方程的解为 、 ；
