文档内容
微专题：直线的五种方程
【考点梳理】
1、直线方程的五种形式
名称 方程的形式 常数的几何意义 适用范围
点斜 (x ，y )是直线上一定点，k
0 0
y － y ＝ k ( x － x ) 不垂直于x轴(k存在)
0 0
式 为斜率
斜截 k为斜率，b是直线的纵截
y ＝ kx ＋ b 不垂直于x轴(k存在)
式 距，是点斜式的特例
两点 (x ，y )，(x ，y )是直线上两 不垂直于 x 轴和 y 轴
1 1 2 2
＝
式 个定点 (x ≠x ，y ≠y )
1 2 1 2
截距 a为横截距，b为纵截距，是 不垂直于x轴和y轴，
＋ ＝ 1
式 两点式的特例 且不过原点(ab≠0)
一般 Ax＋By＋C＝0
A，B，C为系数 任何位置的直线
式 (A2＋B2≠0)
2、过点P(x，y)，P(x，y)的特殊直线方程
1 1 1 2 2 2
(1)若x＝x，且y≠y 时，直线垂直于x轴，方程为x＝x；
1 2 1 2 1
(2)若x≠x，且y＝y 时，直线垂直于y轴，方程为y＝y；
1 2 1 2 1
(3)若x＝x＝0，且y≠y 时，直线即为y轴，方程为x＝0；
1 2 1 2
(4)若x≠x，且y＝y＝0时，直线即为x轴，方程为y＝0.
1 2 1 2
【题型归纳】
题型一： 点斜式方程
1．过两直线 的交点，且与直线 平行的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．过点 且与直线 垂直的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．曲线 在点 处的切线方程是（ ）
第 1 页
学学学学 科科科科 网网网网 （（（（ 北北北北 京京京京 ）））） 股股股股 份份份份 有有有有 限限限限 公公公公 司司司司A． B． C． D．
题型二： 斜截式方程
4．已知直线l过抛物线 的焦点，且平分圆 ，则直线l的方程为（ ）
A． B． C． D．
5．若直线l的方程 中， ， ，则此直线必不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
6．已知直线 的倾斜角为 ，且 在 轴上的截距为 ，则直线 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
题型三： 两点式方程
7．过两点 和 的直线在y轴上的截距为（ ）
A． B． C． D．
8．某地汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用y
（元）与行李重量 的关系如图所示，则旅客最多可免费携带行李的重量为（ ）
A．20 kg B．25 kg C．30 kg D．80 kg
9．经过点 和 的直线在两坐标轴上的截距和为（ ）
A．14 B．2 C． D．
第 2 页
学学学学 科科科科 网网网网 （（（（ 北北北北 京京京京 ）））） 股股股股 份份份份 有有有有 限限限限 公公公公 司司司司题型四： 截距式方程
10．过点 且与两坐标轴上的截距相等的直线共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
11．在平面直角坐标系xOy中，直线 过点A（1，2）且x轴、y轴正半轴分别交于M，N，则三角形
OMN面积的最小值是（ ）
A． B．3 C． D．4
12．已知 直线 在 轴上的截距为1，则 的最小值为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．10
题型五： 一般式方程
13．已知直线 ， ，则过 和 的交点且与直线 垂直的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
14．已知直线 经过点 ，且 与圆 相切，则 的方程为（ ）
A． B． C． D．
15．已知过定点直线 在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
第 3 页
学学学学 科科科科 网网网网 （（（（ 北北北北 京京京京 ）））） 股股股股 份份份份 有有有有 限限限限 公公公公 司司司司题型六： 直线方程的应用
16．过坐标原点 作直线 ： 的垂线，垂足为 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
17．已知 ， ， 三个数成等差数列，直线 恒过定点 ，且 在直线 上，其中
，则 的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．4
18．设 ，过定点 的动直线 和过定点 的动直线 相交于点 不重合），
则 面积的最大值是（ ）
A． B．5 C． D．
【双基达标】
19．直线 的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
20．经过点 ，且方向向量为 的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
21．已知点 ，若直线 与线段 有交点，则实数 的取值范围是
A． B．
C． D．
22．在x，y轴上的截距分别为－3，4的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
第 4 页23．设直线 ， ，若 ，则 （ ）
A．-1 B．1 C．±1 D．0
24．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心
到垂心距离的一半，这条直线称之为三角形的欧拉线.已知 的顶点 ， ，若其欧拉线方程为
，则顶点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
25．直线 过定点（ ）
A． B． C． D．
26．过点 且倾斜角为 的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
27．已知直线 与直线 垂直，则a＝（ ）
A．3 B．1或﹣3 C．﹣1 D．3或﹣1
28．下列有关直线 的说法中正确的是（ ）．
A．直线 的斜率为 B．直线 的斜率为
C．直线 过定点 D．直线 过定点
29．过点 引直线，使 ， 两点到直线的距离相等，则这条直线的方程是（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
30．已知 则直线 不过
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
第 5 页【高分突破】
一、单选题
31．已知 ， ，直线 ： ， ： ，且 ，则 的最小值为
（ ）
A．2 B．4 C． D．
32．已知点 ， ．若直线 与线段 相交，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
33．若直线 经过点 ，且在 轴上的截距的取值范围是（3，5），则其斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
34．如果AB<0，BC<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
35．若直线 与直线 互相垂直，则实数 的值（ ）
A． B．1 C． D．2
36．“ ”是“直线 与直线 相互垂直”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
37．已知直线 ，当 变化时，所有直线都恒过点（ ）
A．
B．
第 6 页C．
D．
38．经过点(－ ，2)，倾斜角是30°的直线的方程是（ ）
A．y＋ (x－2) B．y＋2＝ (x－ )
C．y－2 (x＋ ) D．y－2＝ (x＋ )
39．下列直线方程纵截距为 的选项为（ ）
A． B． C． D．
40．平行于直线 且过 的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
41．下列说法错误的是
A．“ ”是“直线 与直线 互相垂直”的充要条件
B．直线 的倾斜角 的取值范围是
C．过 ， 两点的所有直线的方程为
D．经过点 且在 轴和 轴上截距都相等的直线方程为
42．若直线过点 ，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线 方程可能为（ ）
A． B．
C． D．
43．已知直线 ，若 ，则实数 （ ）
A．-1 B．0 C．2 D．-3
44．下列说法正确的是（ ）
A．点（2，0）关于直线y＝x+1的对称点为（﹣1，3）
第 7 页B．过（x，y），（x，y）两点的直线方程为
1 1 2 2
C．经过点（1，1）且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y﹣2＝0或x﹣y＝0
D．直线x﹣y﹣4＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是8
三、填空题
45．过点 ，且与直线 垂直的直线方程为______.
46．若光线由点 射到x轴上，反射后过点 ，则反射光线所在直线方程是______.
47．已知三点 ， 在同一直线上，则实数m的值为____．
48．已知点 ， ，且直线 与线段AB有公共点，则实数k的取值范围为________．
49．直线 被圆O； 截得的弦长最短，则实数m=___________.
50．直线过点 ，且在 轴上的截距是在 轴上的截距2倍的直线方程：___________.
四、解答题
51．求适合下列条件的直线方程：
（1）经过点P(3，2)，且在两坐标轴上的截距相等；
（2）直线经过点A(－ ，3)，且倾斜角为直线 x＋y＋1＝0的倾斜角的一半；
（3）在 ABC中，已知A(5，－2)，B(7，3)，且AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上，求直线MN的方
程． △
52．直角三角形 的顶点坐标 ，直角顶点 ，顶点 在 轴上.
（1）求 边所在直线的方程；
（2）圆 是三角形 的外接圆，求圆 的方程.
53．已知两条直线： ， 为何值时， 与 ：
（1）垂直；
（2）平行
54．已知 的顶点坐标为 ， ， ．
（1）试判断 的形状；
（2）求 边上的高所在直线的方程．
55．已知直线l： .
第 8 页（1）求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；
（2）为使直线l不经过第二象限，求a的取值范围.
第 9 页参考答案：
1．C
【解析】
【分析】
先求出两直线交点，再由与直线 平行得出斜率，由点斜式写出方程即可求解.
【详解】
由 解得 ，则直线 的交点 ，
又直线 的斜率为 ，则所求直线方程为 ，整理得 .
故选：C.
2．B
【解析】
【分析】
求出与直线 垂直的直线的斜率，利用点斜式求出直线方程.
【详解】
直线 的斜率 ，因为 ，故 的斜率 ，故直线 的方程为 ，即 ，
故选：B．
3．A
【解析】
【分析】
对 求导，利用导数的几何意义求在点 处的切线的斜率，进而求出切线方程.
【详解】
， ，
当 时， ，
在点 处的切线方程为： ，
即： .
故选：A.
4．C
第 10 页【解析】
【分析】
根据题意可知直线 经过抛物线的焦点和圆的圆心，有两点坐标即可求解直线方程.
【详解】
抛物线 的焦点为 ，由于直线 平分圆，故直线 经过圆心 ，所以可得直线 经过点 和 ，故
斜率 ，由斜截式可得方程为： ，
故选：C
5．C
【解析】
【分析】
根据直线的斜率及截距即可求解.
【详解】
由 ， ， ，
知直线斜率 ，在 轴上截距为 ，
所以此直线必不经过第三象限.
故选：C
6．C
【解析】
【分析】
首先求出直线的斜率，再根据斜截式计算可得；
【详解】
解：因为直线 的倾斜角为 ，所以直线 的斜率 ，
又直线 在 轴上的截距为 ，所以直线 的方程为 ；
故选：C
7．C
【解析】
【分析】
求出直线方程，令x＝0，即可求出纵截距.
【详解】
由题可知直线方程为： ，即 ，
第 11 页令x=0，则 ，故直线在y轴上的截距为 .
故选：C.
8．C
【解析】
【分析】
根据图象结合直线的两点式方程求出直线 的方程，从而可求解．
【详解】
由图知点 ， ，
所以由直线方程的两点式，得直线 的方程是 ，即 ．
依题意，令 ，得 ，即旅客最多可免费携带30 kg行李．
故选：C.
9．C
【解析】
【分析】
点斜式写出直线方程，再由直线方程求出在坐标轴上的截距，即可得解.
【详解】
经过点 和 的直线的斜率 ，
所以直线方程为 ，
令 ，解得 ，令 ，解得 ，
所以直线在两坐标轴上的截距和为 ，
故选：C
10．B
【解析】
【分析】
分直线的两坐标轴上的截距为0，不为0时两种情况求解即可
【详解】
①当直线的两坐标轴上的截距为0时，设直线方程为 ，由题意有 ，则 ，∴直线方程为
满足条件；
第 12 页②当直线的两坐标轴上的截距不为0时，设 的方程为 ．把点 代入直线方程得 ．解得
，从而直线方程为 .
故满足条件的直线方程为 和 ．
故选：B．
11．D
【解析】
【分析】
点代入直线得到 ，结合基本不等式求出 ，求出M，N坐标，求面积即可.
【详解】
直线 过点A（1，2）可得 ，令 ，令 ，
又直线与x轴、y轴正半轴分别交于M，N，故 ，
得 ，当且仅当 时取等号，故 .
故选：D.
12．B
【解析】
【分析】
由题意可得 ，然后利用基本不等式可求得 的最小值
【详解】
因为直线 在 轴上的截距为1，
所以 ，即 ，
因为
所以 ，当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最小值为6，
故选：B
13．D
【解析】
【分析】
第 13 页由于所求出直线与直线 垂直，所以设所求直线为 ，然后求出两直线的交点坐标，代入
上式方程可求出 ，从而可求出直线方程
【详解】
由于所求出直线与直线 垂直，所以设所求直线为 ，
由 ，得 ，即 和 的交点为 ，
因为直线 过点 ，
所以 ，得 ，
所以所求直线方程为 ，
故选：D
14．A
【解析】
【分析】
直线 经过点 ，且 与圆 相切可知 ，再使用点斜式即可.
【详解】
直线 经过点 ，且 与圆 相切，则 ,
故直线 的方程为 ，即 .
故选：A.
15．C
【解析】
【分析】
由题意可知， ，求出直线 与两坐标轴的交点 ， ，再由均值不等式即可求
出截距之和的最小值，即可求出直线方程.
【详解】
直线 可变为 ，所以过定点 ，又因为直线 在两坐标轴上的截距
都是正值，可知 ，
令 ，所以直线与 轴的交点为 ，
令 ，所以直线与 轴的交点为 ，
第 14 页所以 ，
当且仅当 即 时取等，所以此时直线为： .
故选：C.
16．D
【解析】
【分析】
根据给定条件，将 表示成a的函数，求出函数的值域的作答.
【详解】
依题意， ，直线l的方向向量 ，则有 ，
解得 ，因此， ，
因当 时， 取最小值 ，则有 ，
所以 的取值范围是 .
故选：D
17．B
【解析】
【分析】
先由等差数列求得 ，再由 求出定点 坐标，代入直线 得 ，由
结合基本不等式即可求解.
【详解】
易知 ，则 ，整理得 ，由 解得 ，
第 15 页则 ，则 ，即 ，又 ，则 ，
则 ，
当且仅当 即 时取等，故 的最小值为 .
故选：B.
18．D
【解析】
【分析】
由题意结合直线位置关系的判断可得两直线互相垂直，由直线过定点可得定点 与定点 ，进而可得
，再利用基本不等式及三角形面积公式即得．
【详解】
由题意直线 过定点 ，
直线 可变为 ，所以该直线过定点 ，
所以 ，
又 ，
所以直线 与直线 互相垂直，
所以 ，
所以 即 ，
当且仅当 时取等号,
所以， ，即 面积的最大值是 .
故选：D.
19．C
【解析】
【分析】
第 16 页根据直线方程写出直线的斜率，再求解出倾斜角即可.
【详解】
根据题意直线方程可写为：
所以直线的斜率为 ，由直线倾斜角的取值范围为
故题中直线的倾斜角为120°，选项C正确，选项ABD错误
故选：C.
20．A
【解析】
【分析】
由直线方向向量可得直线斜率，由直线点斜式方程可整理得到结果.
【详解】
直线的方向向量为 ， 直线的斜率 ，
直线的方程为 ，即 .
故选：A.
21．C
【解析】
【分析】
根据题意知A、B两点在直线的异侧或在直线上，得出不等式（2k﹣2﹣1）×（﹣k﹣3﹣1）≤0，求出解集即可．
【详解】
根据题意，若直线l：kx﹣y﹣1＝0与线段AB相交，
则A、B在直线的异侧或在直线上，
则有（2k﹣2﹣1）×（﹣k﹣3﹣1）≤0，
即（2k﹣3）（k+4）≥0，解得k≤﹣4或k≥ ，
即k的取值范围是（﹣∞，﹣4]∪[ ，+∞）．
故选C．
【点睛】
本题考查直线与线段AB相交的应用问题，考查了转化思想，是基础题．
22．A
【解析】
【分析】
根据直线方程的截距式判断．
第 17 页【详解】
由截距式方程可得，所求直线方程为 ．
故选：A．
23．D
【解析】
【分析】
由 得，当斜率存在时， ，计算可得.
【详解】
，
当 时， ，矛盾，
当 时，符合题意，
故选：D.
【点睛】
此题考直线垂直的性质，属于简单题.
24．A
【解析】
【分析】
设 的坐标，由重心坐标公式求重心，代入欧拉线得方程，求出 的垂直平分线，联立欧拉线方程得三角形外心，
外心到三角形两顶点距离相等可得另一方程，两方程联立求得 点的坐标.
【详解】
设 ，因为 ， ，
由重心坐标公式得重心为 ，
代入欧拉线方程得： ①
的中点为 ， ，
所以 的中垂线方程为 ，
联立 ，解得
所以 的外心为 ，
第 18 页则 ，化简得： ②
联立①②得： 或 ，
当 时， 、 重合，舍去，
所以顶点 的坐标是
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了直线方程的各种形式，重心坐标公式，属于中档题.
25．C
【解析】
【分析】
将直线方程变形，可得出关于 、 的方程组，即可解得定点坐标.
【详解】
直线方程可化为 ，由 ，解得 ，
因此，直线 过定点 .
故选：C.
26．D
【解析】
【分析】
由倾斜角为 求出直线的斜率，再利用点斜式可求出直线方程
【详解】
解：因为直线的倾斜角为 ，所以直线的斜率为 ，
所以直线方程为 ，即 ，
故选：D
27．D
【解析】
【分析】
根据 ，得出关于 的方程，即可求解实数 的值.
【详解】
直线 与直线 垂直，
第 19 页所以 ，解得 或 .
故选：D.
28．D
【解析】
【分析】
讨论 和 两种情况可得.
【详解】
直线 可化为 ．
当 时，直线 的方程可化为 ，其斜率为 ，过定点 ；
当 时，直线 的方程为 ，其斜率不存在，过点( ，
所以A，B，C不正确，D正确．
故选：D.
29．D
【解析】
【分析】
就直线与 平行或过 的中点可求直线的方程.
【详解】
若过 的直线与 平行，因为 ，
故直线 的方程为： 即 .
若过 的直线过 的中点，因为 的中点为 ，此时 ，
故直线 的方程为： 即 .
故选：D.
30．B
【解析】
【分析】
将直线方程整理为斜截式，结合其斜截式方程确定直线经过的象限即可.
【详解】
直线方程即： ，
第 20 页其斜率 ，直线在 轴的截距 ，
据此可知直线不经过第二象限.
本题选择B选项.
【点睛】
本题主要考查直线方程及其应用，属于基础题.
31．D
【解析】
根据 得到 ，再将 化为积为定值的形式后，利用基本不等式可求得结果.
【详解】
因为 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 时，等号成立.
故选：D
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的
因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的
最值，这也是最容易发生错误的地方
32．A
【解析】
【分析】
直线l过定点P（1，1），且与线段AB相交，利用数形结合法，求出PA、PB的斜率，
从而得出l的斜率 的取值范围,即得解
【详解】
设直线 过定点 ，则直线 可写成 ，
令 解得 直线 必过定点 ．
第 21 页， ． 直线 与线段 相交，
由图象知， 或 ，解得 或 ，
则实数 的取值范围是 ．
故选：A
【点睛】
本题考查了直线方程的应用，过定点的直线与线段相交的问题，考查了学生综合分析、数形结合的能力，属于中
档题．
33．A
【解析】
【分析】
先得出直线的点斜式方程，求得直线在x轴上的截距，建立不等式可得选项．
【详解】
设直线的斜率为k ，则直线方程为y－2＝k(x－1)，
令y＝0，得直线l在x轴上的截距为1－ ，则3<1－ <5，
解得
所以直线 的斜率的取值范围为 .
故选：A
34．D
【解析】
【分析】
根据AB<0，BC<0，分别判断直线Ax＋By＋C＝0的斜率和在y轴上的截距的符号即可
【详解】
第 22 页因为AB<0，
所以直线Ax＋By＋C＝0斜率 ，
又因为BC<0，
所以直线的y轴上的截距 ，
所以那么直线Ax＋By＋C＝0不经过第四象限,
故选：D
【点睛】
本题主要考查确定直线完整的几何要素斜率和截距，属于基础题.
35．B
【解析】
【分析】
根据两直线垂直的公式，即可计算结果.
【详解】
因为两条直线互相垂直，则 ，得 .
故选：B
36．A
【解析】
【分析】
直线 与直线 相互垂直得到 ，再利用充分必要条件的定义判断得解.
【详解】
因为直线 与直线 相互垂直，
所以 ，
所以 .
所以 时，直线 与直线 相互垂直，所以“ ”是“直线 与直线
相互垂直”的充分条件；
当直线 与直线 相互垂直时， 不一定成立，所以“ ”是“直线 与直线
相互垂直”的非必要条件.
第 23 页所以“ ”是“直线 与直线 相互垂直”的充分非必要条件.
故选：A
【点睛】
方法点睛：充分必要条件的判定，常用的方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法. 要根据已知条件灵
活选择方法求解.
37．D
【解析】
【分析】
将直线方程整理为 ，从而可得直线所过的定点.
【详解】
可化为 ，∴直线过定点 ，
故选：D.
38．C
【解析】
【分析】
根据k=tan30°求出直线斜率，再利用点斜式即可求解.
【详解】
直线的斜率k=tan30°= ，
由直线的点斜式方程可得y－2＝ (x＋ )，
故选：C．
39．B
【解析】
【分析】
纵截距就是令 是 的值，令每一个选项中的 为0，解出y，最后选出符合题意的.
【详解】
直线 的纵截距为 ，直线 的纵截距为 ，直线 的纵截距为 ，直线 的纵
截距为 .
故选：B.
40．D
【解析】
第 24 页两直线平行，若斜率存在，则斜率相同，根据点斜式方程可得解.
【详解】
两直线平行，若斜率存在，则斜率相同，故 ，
根据点斜式方程可得 ，化简得
故选：D
【点睛】
本题考查了过定点与已知直线平行的直线方程，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.
41．ACD
【解析】
【分析】
对于A．根据直线垂直的等价条件进行判断；对于B．根据直线斜率以及正切函数的图象和性质进行判断；对于
C．当直线和坐标轴平行时，不满足条件；对于D．过原点的直线也满足条件．
【详解】
解：对于A．当 ，两直线方程分别为 和 ，此时也满足直线垂直，故A错误，
对于B．直线的斜率 ，则 ，即 ，则 ， ，故B正确，
对于C．当 ，或 ，时直线方程为 ，或 ，此时直线方程不成立，故C错误，
对于D．若直线过原点，则直线方程为 ，此时也满足条件，故D错误，
故选：ACD．
【点睛】
本题主要考查命题的真假判断，涉及直线方程，直线斜率以及直线垂直的位置关系的判断，难度不大．
42．ABC
【解析】
【分析】
讨论直线过原点时和直线不过原点时，分别求出对应的直线方程即可．
【详解】
当直线经过原点时，斜率为 ，所求的直线方程为y=2x，即 ；
当直线不过原点时，设所求的直线方程为x±y=k，把点A（1，2）代入可得1-2=k，或1+2=k，
求得k=-1，或k=3，故所求的直线方程为 ，或 ；
综上知，所求的直线方程为 、 ，或 ．
故选：ABC．
第 25 页【点睛】
本题考查了利用分类讨论思想求直线方程的问题，是基础题．
43．BD
【解析】
【分析】
根据 及线线垂直公式 ，即可求 的值
【详解】
由 知：
解得： 或
故选：BD
【点睛】
本题考查了两直线的垂直关系，结合直线的一般公式有 求参数值
44．ACD
【解析】
通过对称性判断A；两点式方程的体积判断B；截距式方程判断C，三角形的面积判断D；
【详解】
点（2，0）与（﹣1，3）的中点（ ， ）
满足直线y＝x+1，并且两点的斜率为﹣1，
所以点（2，0）关于直线y＝x+1的对称点为（﹣1，3），
所以A正确；
当x≠x，y≠y 时，过（x，y），（x，y），
1 2 1 2 1 1 2 2
两点的直线方程为 ，所以B不正确；
经过点（1，1）且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程
为x+y﹣2＝0或x﹣y＝0，所以 正确；
直线x﹣y﹣4＝0，当x＝0时，y＝﹣4，当y＝0时，x＝4，
所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积是： 8，所以D正确；
故选：ACD.
【点睛】
本题考查命题的真假的判断，直线方程的求法，直线的位置关系的判断，是基本知识的考查.
45．
第 26 页【解析】
【分析】
先由垂直关系求出所求直线的斜率，再利用点斜式可求出直线方程
【详解】
解：因为所求直线与直线 垂直，
所以所求直线的斜率为 ，
因为所求直线过点 ，
所以所求直线方程为 ，即 ，
故答案为：
【点睛】
此题考查两直线的位置关系，考查直线方程的求法，属于基础题
46．
【解析】
求出 关于x轴的对称点坐标，由直线的两点式方程即可求出反射光线所在的直线方程.
【详解】
解： 关于x轴的对称点 在反射光线上，所以 ，
整理得， ，
故答案为: .
47．2
【解析】
【分析】
由的斜率AB和BC的斜率相等，求出实数 的取值.
【详解】
因为A、B、C三点在同一直线上，所以 ，即 ，故 ．
故答案为：2.
【点睛】
本题主要考查斜率公式，考查三点共线是任意两点连线的斜率都相等，注意和坐标轴垂直情况.
48． 或
【解析】
第 27 页【分析】
由题意利用直线的倾斜角和斜率，数形结合求得实数k的取值范围．
【详解】
解：直线 ，即 ，令x−1＝0，求得x＝1，y＝1，可得直线l经过定点M（1，
1）．
如图：
∵已知MA的斜率为 ，MB的斜率为
直线l： 与线段AB相交，
或 ，
故答案为 或 ．
【点睛】
本题主要考查直线的倾斜角和斜率，两条直线的位置关系，属于基础题．
49．1
【解析】
【分析】
求出直线MN过定点A（1,1），进而判断点A在圆内，当 时，|MN|取最小值，利用两直线斜率之积为-1
计算即可.
【详解】
直线MN的方程可化为 ，
由 ，得 ，
所以直线MN过定点A（1，1），
因为 ，即点A在圆 内.
第 28 页当 时，|MN|取最小值，
由 ，得 ，∴ ，
故答案为：1.
50． 或
【解析】
【分析】
分类讨论，由直线过原点和不过原点分类讨论求解．
【详解】
直线过原点时，设直线方程为 ，则 ， ，方程为 ，即 ；
直线不过原点时，设直线方程为 ，则 ， ，直线方程为 ，即 ．
故答案为： 或 ．
51．（1）2x－3y＝0或x＋y－5＝0；（2） x－y＋6＝0；（3）5x－2y－5＝0.
【解析】
【分析】
（1）设所求直线的斜率k存在且k≠0，分截距为0和截距不为0两种情况讨论，即可求解；
（2）先求出直线的斜率，利用点斜式求出直线方程；
（3）先求出M、N的坐标，利用截距式求出直线方程.
【详解】
（1）由题意，所求直线的斜率k存在且k≠0，
设直线方程为y－2＝k(x－3)，
令y＝0，得x＝3－ ，
令x＝0，得y＝2－3k，
由已知3－ ＝2－3k，
解得k＝－1或k＝ ，
∴直线l的方程为y－2＝－(x－3)或y－2＝ (x－3)，
即x＋y－5＝0或2x－3y＝0.
（2）由 x＋y＋1＝0得此直线的斜率为－ ，所以倾斜角为120°，从而所求直线的倾斜角为60°，故所求直线
第 29 页的斜率为 .
又直线过点A(－ ，3)，所以所求直线方程为y－3＝ (x＋ )，即 x－y＋6＝0.
（3）设C(x，y)，则
0 0
M ，N
因为点M在y轴上，所以 ，
所以x＝－5.
0
因为点N在x轴上，所以 ，
所以y＝－3，即C(－5，－3)，
0
所以M ，N(1，0)，
所以直线MN的方程为 ，
即5x－2y－5＝0.
52．（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）计算出直线 的斜率，利用 可得出直线 的斜率，然后利用点斜式可得出 边所在直线的方程；
（2）求出点 的坐标，计算出线段 的中点坐标作为圆 的圆心坐标，计算出 作为圆 的半径，由此可
得出圆 的标准方程.
【详解】
（1）直线 的斜率为 ，
由题意可知 ，则直线 的斜率为 .
因此， 边所在直线的方程为 ，即 ；
（2）直线 的方程为 ，由于点 在 轴上，则点 .
第 30 页由于 是以 为直角的直角三角形，则该三角形的外接圆圆心为线段 的中点，
则 ，所以，圆 的半径为 .
因此，圆 的标准方程为 .
【点睛】
本题考查直线方程的求解，同时也考查了三角形外接圆的方程，一般利用圆的一般方程求解，也可以确定圆心坐
标，利用标准方程求解，考查计算能力，属于中等题.
53．（1） （2）
【解析】
【分析】
先考虑x和y的系数为0时， 与 直线的方程，得出两直线是否平行或垂直，
再考虑x和y的系数不为0时，两直线的斜率，根据两直线平行或垂直的条件，列出方程求解m，注意验证两直线
是否重合.
【详解】
当 时， ，此时 与 不平行也不垂直，
当 时，直线 的斜率 ，直线 的斜率
（1）由 得 ，所以
（2）由 得 ，即 ，所以 或 ，
当 时 ，此时 与 重合，不符，舍去；
当 时， ，此时 ，符合
第 31 页综上所述， .
【点睛】
本题考查两直线平行和垂直的判断条件，注意先需考虑x和y的系数为0的情况，属于基础题.
54．（1）直角三角形；（2） .
【解析】
【分析】
(1)先求 直线的斜率,再根据斜率关系即可判断;
(2)由 得 边上高线所在直线的斜率为 ,进而根据点斜式求解即可.
【详解】
解：（1） , ，
，
，
为直角三角形
（2）因为 ，
所以， 边上高线所在直线的斜率为
直线的方程是 ，即
55．（1）证明见解析；（2） .
【解析】
【分析】
（1）将直线方程整理得到 ，求出直线所过定点，即可证明结论成立；
（2）根据直线的特征，列出不等式求解，即可得出结果.
【详解】
（1） 直线l为 ，
即 ，
，解得 ，
第 32 页不论a为何值，直线l总过第一象限的点 ，
即直线l过第一象限；
（2）因为直线 的斜率显然存在，
又直线l不经过第二象限，直线l过第一象限，
所以斜率只能为正，且直线与 轴不能交于正半轴；
因此 ；解得 ，
的取值范围是 .
第 33 页第 34 页第 35 页
