文档内容
微专题：双曲线与平面向量的综合问题
【考点梳理】
双曲线的综合问题难度一般不大，此例体现了新高考“四翼”中“综合性”的要求，这类问题常与其他知识
综合在一起考查，如向量等，要求灵活应用相关知识解题.
【典例剖析】
典例1．已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 、 ，左、右顶点分别为 、 ，过点 的直线与双曲
线 的右支交于 点，且 ，则 （ ）
A． B．1 C．2 D．3
典例2．已知双曲线 的两个焦点分别为 ， ，过点 的直线与双
曲线的左、右两支分别交于 两点，且 ，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
典例3．在直角坐标系 中，直线 是双曲线 的一条渐近线，点 在双曲线C上，设
为双曲线上的动点，直线 与y轴相交于点P，点M关于y轴的对称点为N，直线 与y轴相交
于点Q.
（1）求双曲线C的方程；
（2）在x轴上是否存在一点T？使得 ，若存在，求T点的坐标；若不存在，说明理由；
（3）求M点的坐标，使得 的面积最小.
典例4．设双曲线C： －y2＝1(a>0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点A，B．
(1)求双曲线C的离心率e的取值范围；
(2)设直线l与y轴的交点为P，且 ，求a的值．
第 1 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司典例5．已知点 、 依次为双曲线 （ ， ）的左、右焦点，且 ， ，
．
（1）若 ，以 为方向向量的直线 经过 ，求 到 的距离；
（2）若双曲线 上存在点 ，使得 ，求实数 的取值范围．
【双基达标】
6．已知双曲线 的右焦点为 ，过点 的直线交双曲线的右支于 、 两点，且 ，点 关
于坐标原点的对称点为 ，且 ，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过点 的直线与双曲线 的右支交于 ，
两点，点 在线段 上，且 ， ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
8．已知双曲线 的左焦点为 ， 分别是 的左、右顶点， 为 上一点，且
轴，过点 的直线 与线段 交于点 ，与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ，若 ( 为
坐标原点)，则双曲线 的离心率为_____．
9．设 ， 为双曲线 ： （ ， ）的左、右焦点，过 的直线 交双曲线 的右支于 ，
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司两点，且 ， ，则双曲线的离心率为__________.
10．已知 ， 分别为双曲线 ： 左、右焦点，过点 的直线与双曲线 的左、右两支分
别交于 ， 两点，且 ， ，则双曲线 的离心率是______．
11．已知曲线E：ax2＋by2＝1(a＞0，b＞0)，经过点M 的直线l与曲线E交于点A，B，且 ＝－2 .若
点B的坐标为(0，2)，求曲线E的方程．
12．已知双曲线 与圆 交于点 第一象限 ，曲线 为 、 上取满
足 的部分．
（1）若 ，求b的值；
（2）当 ， 与x轴交点记作点 、 ，P是曲线 上一点，且在第一象限，且 ，求 ；
（3）过点 斜率为 的直线l与曲线 只有两个交点，记为M、N，用b表示 ，并求
的取值范围．
13．已知：双曲线 （ ， ）的离心率为 且点 在双曲线上.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若双曲线的左顶点为 ，右焦点为 ，P为双曲线右支上任意一点，求 的最小值；
（3）若M是双曲线左支上任意一点， 为左焦点，写出 的最小值.
14．已知椭圆 离心率为 ，点P(0,1)在短轴CD上，且 .
（I）求椭圆E的方程；
（II）过点P的直线l与椭圆E交于A,B两点.若 ，求直线l的方程.
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司15．如图，已知双曲线C的方程为 ，渐近线方程为 ，焦点到渐近线的距离为1．M、
N两动点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一象限和第四象限，P是直线MN与双曲线右支的一个公共点，
．
(1)求双曲线C的方程；
(2)当λ＝1时，求 的取值范围；
(3)试用λ表示 MON的面积S，设双曲线C上的点到其焦点的距离的取值范围为集合 ，若 ∈ ，求S的取值
范围．
16．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，离心率为 ，过点 的直线 与双曲线的左、右
两支分别交于点 ， ．当 时， 的面积为5．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若直线 与 轴交于点 ，且 ， ，求证： 为定值．
17．已知双曲线的焦点在 轴上，中心在原点，离心率为 ，且过点 .
(1)求双曲线的标准方程；
(2)双曲线的左右顶点为 ， ，且动点 ， 在双曲线上，直线 与直线 交于点 ，
， ，求 的取值范围.
18．已知双曲线 ，O为坐标原点，离心率 ，点 在双曲线上．
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（1）求双曲线的方程
（2）如图，若直线l与双曲线的左、右两支分别交于点Q，P，且 ，求 的最小值．
19．设 ， 分别是双曲线 的左、右两焦点，过点 的直线 （ ）
与 的右支交于 ， 两点， 过点 ，且它的虚轴的端点与焦点的距离为 .
(1)求双曲线 的方程；
(2)当 时，求实数 的值；
(3)设点 关于坐标原点 的对称点为 ，当 时，求 面积 的值.
20．已知点 ， ，双曲线C上除顶点外任一点 满足直线RM与QM的斜率之积为4.
(1)求C的方程；
(2)若直线l过C上的一点P，且与C的渐近线相交于A，B两点，点A，B分别位于第一、第二象限， ，
求 的最小值.
【高分突破】
一、单选题
21．已知直线 与圆锥曲线 相交于 、 两点，与 轴、 轴分别交于 、 两点，且满足 、
．
(1)已知直线 的方程为 ，抛物线 的方程为 ，求 的值；
(2)已知直线 ，椭圆 ，求 的取值范围；
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(3)已知双曲线 ， ，求点 的坐标．
22．已知双曲线 的离心率为2，焦点到渐近线的距离为 ，点 的坐标为 ，过
的直线 与双曲线 交于不同两点 、 .
(1)求双曲线 的方程；
(2)求 的取值范围（ 为坐标原点）.
23．已知曲线 上任意一点 满足方程 ，
(1)求曲线 的方程；
(2)若直线 与曲线 在 轴左､右两侧的交点分别是 ，且 ，求 的最小值.
24．已知双曲线C： 的渐近线方程为 ，O为坐标原点，点 在双曲线上．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l与双曲线交于P、Q两点，且 ，求 的最小值．
25．已知椭圆E： 的离心率为 ，且过点 .直线l： 与y轴交于点P，与椭圆
交于M，N两点.
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若 ，求实数m的值.
26．设点M、N分别是不等边△ABC的重心与外心，已知 、 ，且 .
（1）求动点C的轨迹E；
（2）若直线 与曲线E交于不同的两点P、Q，且满足 ，求实数 的取值范围．
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司27．已知圆 ，点P为圆O上的动点， 轴，垂足为D，若 ，设点M的轨迹为曲线
E.
（1）求曲线E的方程；
（2）直线 与曲线E交于A，B两点，N为曲线E上任意一点，且 ，证明：
为定值.
28．如图，曲线τ的方程是 ，其中A、B为曲线τ与x轴的交点，A点在B点的左边，曲线τ与y轴的交
点为D．已知F（﹣c，0），F（c，0），c 0， 的面积为 ．
1 2
（1）过点B作斜率为k的直线l交曲线τ于P、Q两点（异于B点），点P在第一象限，设点P的横坐标为xP、Q
的横坐标为xQ，求证：xP•xQ是定值；
（2）过点F 的直线n与曲线τ有且仅有一个公共点，求直线n的倾斜角范围；
2
（3）过点B作斜率为k的直线l交曲线τ于P、Q两点（异于B点），点P在第一象限，当 时，
求 成立时λ的值．
29．已知P是平面上的动点，且点P与 的距离之差的绝对值为 ．设点P的轨迹为曲线E．
(1)求曲线E的方程；
(2)设不与y轴垂直的直线l过点 且交曲线E于M，N两点，曲线E与x轴的交点为A，B，当 时，求
的取值范围．
第 7 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司30．已知双曲线 的离心率为2，F为双曲线的右焦点，直线l过F与双曲线的右支交于
两点，且当l垂直于x轴时， ；
(1)求双曲线的方程；
(2)过点F且垂直于l的直线 与双曲线交于 两点，求 的取值范围．
第 8 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．D
【分析】根据双曲线性质,结合 可知 ,即可求得 .
【详解】双曲线 ：
由双曲线性质可知
过点 的直线与双曲线 的右支交于 点,且
则
则 点的横坐标为2,代入双曲线
可得P点的纵坐标为
所以
故选:D
【点睛】本题考查了双曲线的标准方程及性质的简单应用,双曲线中通径的求法,属于基础题.
2．A
【分析】由共线向量可确定 ，得到 ，由此构造关于 的齐次方程求得离心率.
【详解】
由 可知： ， ， ，
即 ，即 ， ， .
故选：A.
3．（1） ；（2）存在， ；（3） 或 或 或 .
【分析】（1）由渐近线方程得 ，再由顶点坐标可得 ，得双曲线方程；
（2）假设 ，由直线 方程和是 坐标，由向量的数量积运算可得 ，用坐标表示这个结
论可得 与 关系，再由点 在双曲线可得结论；
第 9 页（3）直接计算 的面积，用基本不等式可得最小值，从而得点坐标．
【详解】（1）由已知得 ，所以 ， ，所以双曲线方程为
（2）设 ，因为 ，令 得 ， ，令 得
因为 ，平方可得 ，所以 ，
因为 ，所以 ，故 ，存在 ；
（3）因为
，
当且仅当 时，取得最小值，
此时M的坐标是 或 或 或 .
【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线有方程，双曲线中存在性问题，三角形面积的最值问题，解题方法是解
析几何的基本方程，设出点的坐标，写出直线方程，求出交点坐标，由交点坐标表示数量积或三角形面积，然后
根据定值或最值求解．
4．（1）e> 且e≠ ；（2）a＝ .
【分析】（1）由直线与双曲线联立得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0，结合条件得 ，从而可得离心
率范围；
（2）设点A(x，y)，B(x，y)，由 可得x＝ x，由根与系数的关系可得－ ＝ ，从而得解.
1 1 2 2 1 2
【详解】(1)将y＝－x＋1代入双曲线 －y2＝1中，得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0.①
∴ 解得0 且e≠ .
(2)设点A(x，y)，B(x，y)．有P(0,1)．
1 1 2 2
∵ ，∴(x，y－1)＝ (x，y－1)．
1 1 2 2
第 10 页由此得x＝ x.由于x，x 都是方程①的根，且1－a2≠0，因此由根与系数的关系，得 x＝－ ， ＝
1 2 1 2 2
－ .
消去x，得－ ＝ .由a>0，得a＝ .
2
【点睛】本题考查双曲线的几何性质、向量问题坐标化，直线与双曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能
力、运算求解能力、考查化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想，属于中档题.
5．（1） ；（2） ．
【解析】（1）由题意知， ，根据 的关系求出 ，根据向量的共线定理设出直线方程
，再代入点 ，求出直线方程，根据点到直线的距离公式计算距离；（2）设出点 ，根据
数量积公式得 ，再根据点 在双曲线上得 ，联立求解以后根据 代入不等式
求范围即可.
【详解】（1）依题意， ，则双曲线 ， ， ，
设直线 ，将 代入解得： ，
此时 ， 到 的距离为 ；
（2） 设双曲线上的点 满足 ，即 ，
又 ，∴ ，即 ，
∵ ，且 ，∴ ，
又因为 ，∴实数 的取值范围是 ．
【点睛】解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去 或 建立一元二次方程，然后借助根与
系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系或者不等关系求解.
6．C
【分析】设双曲线 的左焦点为 ，连接 、 、 ，推导出四边形 为矩形，设 ，
则 ，在 中，利用勾股定理得出 ，然后在 中利用勾股定理可得出 、 的等量关系，
由此可求得双曲线 的离心率.
【详解】设双曲线 的左焦点为 ，连接 、 、 ，则四边形 为平行四边形，
设 ，则 ，
由双曲线的定义可得 ， ，
第 11 页， ， ，
所以，四边形 为矩形，
由勾股定理得 ，即 ，解得 ，
， ，由勾股定理得 ，即 ，
双曲线 的离心率为 .
故选：C.
【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，考查利用双曲线的定义解决双曲线的焦点三角形问题，考查计算能力，
属于中等题.
7．B
【分析】根据题意，判断△ 的形状，结合双曲线定义，求得 ，利用离心率公式即可求得结果.
【详解】根据题意，作图如下：
因为 ，故可得 ，
故可得 // ，且 ，故 分别为 的中点；
第 12 页又 ，故可得 既是三角形 的中线又是角平分线，
故可得 ；又 为 中点，由对称性可知： 垂直于 轴.
故△ 为等边三角形，则 ；
令 ，可得 ，解得 ，故可得 ，
则 ，由双曲线定义可得： ，
即 ，解得 ，则离心率为 .
故选：B.
【点睛】本题考察双曲线离心率的求解，核心步骤在于根据向量关系，判断三角形形状，以及双曲线定义的利用，
属中档题.
8．3
【分析】根据条件分别求出直线AE和BN的方程，求出N，E的坐标，利用 的关系建立方程进行求解
即可．
【详解】解：因为 轴，所以设 ，
则 ， ，
AE的斜率 ，
则AE的方程为 ，令 ，则 ，
即 ，
BN的斜率为 ，则BN的方程为 ，
令 ，则 ，即 ，
因为 ，所以 ，
即 ，即 ，则离心率 ．
第 13 页故答案为3．
【点睛】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据条件求出直线方程和点N，E的坐标是解决本题的关键．
9．
【分析】由题意，设 ，则 ，利用勾股定理，求出 ， 的关系，再利用勾股定理确定 ， 的
关系，即可求出双曲线的离心率．
【详解】解：由题意，设 ，因为 ，则 ，
， ，
因为
所以 ，
，
，
，即 ，即
．
故答案为： ．
10．
【分析】由正弦定理和双曲线的定义可得 是正三角形，从而 ．在 中，由余弦定理即
可得到答案.
【详解】由 ，得 ，因为 ，所以 ， ．又
，即 ，所以 ．设 ，则 ，
又 ，则 ，解得 ，所以 ， ，所以 是正三角形，从
而 ．在 中，由 ，得 ，所以 ．
第 14 页故答案为：
11．x2＋ ＝1.
【解析】设A(x，y)，由已知得出 ＝－2 .求得x＝ ，y＝－1，再由A，B都在曲线E上，
0 0 0 0
代入可得方程.
【详解】设A(x，y)，因为B(0，2)，M ，故 ＝ ， ＝ .
0 0
由于 ＝－2 ，所以 ＝－2 .
所以x＝ ，y＝－1，即A .
0 0
因为A，B都在曲线E上，
所以 解得
所以曲线E的方程为x2＋ ＝1.
12．（1） ；（2） ；（3） ， ．
【分析】（1）联立曲线 与曲线 的方程，以及 ，解方程可得b；
（2）由双曲线的定义和三角形的余弦定理，计算可得所求角；
（3）设直线 ，求得O到直线l的距离，判断直线l与圆的关系：相切，可设切点为M，考虑双
曲线的渐近线方程，只有当 时，直线l才能与曲线 有两个交点，解不等式可得b的范围，由向量投影的定
义求得 ，进而得到所求范围．
【详解】（1）由 ，点A为曲线 与曲线 的交点，
联立 ，解得 ， ；
（2）由题意可得 ， 为曲线 的两个焦点，
由双曲线的定义可得 ，
又 ， ，
所以 ，
因为 ，则 ，
所以 ，
第 15 页在 中，由余弦定理可得
，
由 ，可得 ；
（3）设直线 ，可得原点O到直线l的距离 ，
所以直线l是圆的切线，设切点为M，
所以 ，并设 与圆 联立，
可得 ，
可得 ， ，即 ，
注意直线l与双曲线的斜率为负的渐近线平行，
所以只有当 时，直线l才能与曲线 有两个交点，
由 ，可得 ，
所以有 ，解得 或 舍去 ，
因为 为 在 上的投影可得， ，
所以 ，
则 ．
13．（1） ；（2）-4；（3） .
【分析】（1）根据离心率及双曲线上的点联立方程求a,b即可求标准方程；
（2）设 ，写出向量 ，利用二次函数求最值；
（3）设 为双曲线左支上任意一点，求 ，利用二次函数求最值.
【详解】（1）由题意有 ，解得 ， ，
第 16 页故双曲线的标准方程为 ；
（2）由已知得 ， ，设 ，则 ， ，
所以 ，
因为 ，所以当 时， 取得最小值，且最小值为-4.
（3）设 为双曲线左支上任意一点，
因为左焦点 ，
所以 ，
由 ，对称轴为 知，
当 时， ，
所以 .
14．（1） .
（2）y= x+1.
【分析】（1）通过椭圆的离心率和向量的数量积的坐标表示，计算即得 ， ，进而得结论；（2）设直
线l为 ，代入椭圆方程 ，运用韦达定理和向量共线的坐标表示，解方程可求斜率k，进而得到
所求直线方程．
【详解】（1）由题意，e= ，得a=
又C(0,b)，D(0,-b). ∴ =(b-1)(-b-1)=-1， ∴b2=2
∴a=2, 所以椭圆E的方程为 .
（2）当直线l的斜率不存在时， ， ， ，
不符合题意，不存在这样的直线.
当直线l斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+1. A(x,y) , B(x,y).
1 1 2 2
联立方程 ，整理得(1+2k2)x2+4kx-2=0,
由韦达定理得x+x= ，xx= ，
1 2 1 2
由 得，(x,y-1)= (-x,1-y), ∴x=- x,
2 2 1 1 2 1
第 17 页∴x = ，x2 = ， 解得k2= ， ∴k= ，
1 1
所以直线l的方程为y= x+1.
【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线方程，向量共线和数量积运算，直线与椭圆的位置关系等基
础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、考查化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想，属于中档
题．
15．(1) －y2＝1
(2)(－∞，－1]
(3)
【分析】（1）由题意， ， ，即得解；
（2）设M(2m，m)，N(2n，－n)，由 可得 ，代入双曲线可得mn＝1，坐标表示 ，
结合均值不等式即得解；
（3）由 ＝λ 可得P ，代入双曲线可得mn＝ ，利用M，N坐标表示MN方程可得
(m＋n)x－(2m－2n)y－4mn＝0，从而表示出 MON的面积 ，再求出 的取值范围，即可得出
的取值范围，结合单调性即得解.
(1)
双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0．故
又 ＝1⇒b＝1⇒a2＝4，所以双曲线C的方程为 －y2＝1．
(2)
由题意，设M(2m，m)，N(2n，－n)，m＞0，n＞0，
当λ＝1时， 设 ，即
则
所以 ＝1，
整理得mn＝1．
又 ，
所以 mn≤－ ·2mn＋ ＝－1，当且仅当m＝n＝1时，等号成立，
第 18 页所以 ∈(－∞，－1]．
(3)
设M(2m，m)，N(2n，－n)，m＞0，n＞0，
由 ＝λ 得 ＝λ( )，
即(1＋λ) ＋λ ，
则
＝ ．
所以P ．
把点P的坐标代入双曲线的方程得 ＝1，
即(m＋λn)2－(m－λn)2＝(1＋λ)2，
所以mn＝ ．
当直线MN的斜率不存在时，其方程为x＝2m．
当直线MN的斜率存在时，kMN＝ ，
此时直线MN的方程为y－m＝ (x－2m)，即(m＋n)x－(2m－2n)y－4mn＝0，
经检验，斜率不存在时，直线方程也满足上式，所以直线MN的方程为(m＋n)x－(2m－2n)y－4mn＝0，
所以点O到直线(m＋n)x－(2m－2n)y－4mn＝0的距离
d＝ ＝ ，
又|MN|＝ ，
所以S＝ ·|MN|·d＝2mn＝ ＋1．
记双曲线的左、右焦点分别为F(－ ，0)，P(x，y)(x≥2)，
1
则|PF|＞|PF|，
1 2
又|PF|＝
2
＝
＝ x－2，
所以|PF|∈
2
第 19 页即双曲线C上的点到其焦点的距离的取值范围为集合
因为 ∈Ω，所以λ∈[5 －10，＋∞)，
令f(x)＝ ＋1，x∈[5 －10，＋∞)，
任取x，x∈[5 －10，＋∞)，且 ，
1 2
则f(x)－f(x)＝ ＜0，
1 2
因为 ， ，
所以
所以f(x)＜f(x)，
1 2
所以f(x)在x∈[5 －10，＋∞)上单调递增，
因此f(x) ＝f(5 ，
min
即S ＝ ．
min
所以S∈ ．
16．（1） ；（2）证明见解析.
【分析】（1）当 时，由勾股定理和三角形面积公式可得 ，再由双曲线定义，即可得出结果.
（2）当直线 与 轴垂直时，点 与原点 重合,求出定值；
当直线 与 轴不垂直时，设直线 的方程为 ，由渐近线可得 ，联立直线与双曲线方程，由韦
达定理结合向量知识，即可得出定值.
【详解】（1）当 时， ， ，
可得 ．
由双曲线的定义可知， ，
两边同时平方可得， ，
所以 ．①
又双曲线的离心率为 ，所以 ．②
由①②可得， ， ，所以 ，
所以双曲线的标准方程为 ．
第 20 页（2）当直线 与 轴垂直时，点 与原点 重合，
此时 ， ， ，所以 ， ， ．
当直线 与 轴不垂直时，设直线 的方程为 ， ， ，
由题意知 且 ，
将直线 的方程与双曲线方程联立，消去 得， ，
则 ， ， ．
易知点 的坐标为 ，
则由 ，可得 ，
所以 ，
同理可得 ．
所以 ．
综上， 为定值 ．
【点睛】易错点点睛：直线与双曲线左、右分支各交于一点，直线斜率的取值范围容易忽略.本题考查了运算求解
能力和逻辑推理能力，属于一般题目.
17．(1) ；
(2) .
【分析】（1）利用离心率，点在双曲线上以及 ， ， 的关系，联立方程即可求得 ， 的值，从而求得双曲线
的标准方程；
（2）将直线 和直线 的方程分别用点斜式表示出来，并联立求得点 的轨迹方程，易知
，再由点 的轨迹方程，可知 的范围，从而求解.
(1)
解：设双曲线的标准方程为 ，
联立 得 ， ，所以双曲线的标准方程为 .
第 21 页(2)
解：已知 ， ， ， .
当 时，动点 与点 ， 重合，
当 时，直线 ，直线 ，
联立两直线方程得 .
又因为 ，即 ，所以 ，即 .
又 ，
且 ，所以 .
18．（1） ；（2）24.
【解析】（1）由条件可知 ，再代入点求双曲线方程；（2）设直线OP的方程为 ，则直线OQ
的方程为 ，与双曲线方程联立，求点 的坐标，并求 ，再将 换为 求 ，利用
是定值，求 的最小值再表示
【详解】 因为 ，所以 ， ．
所以双曲线的方程为 ，即 ．
因为点 在双曲线上，所以 ，所以 ．
所以所求双曲线的方程为 ．
设直线OP的方程为 ，则直线OQ的方程为 ，
由 ，得 ，
所以 ．
同理可得， ，
所以 ．
第 22 页设 ，
则 ，
所以 ，即 当且仅当 时取等号 ．
所以当 时， 取得最小值24．
【点睛】关键点点睛：本题的第一个关键是利用直线 和 垂直，利用斜率的关系求 ，第二个关键是注意
隐含条件
19．(1) ；
(2) ；
(3) .
【分析】（1）根据点在双曲线上及两点距离列方程组求双曲线参数，即可得方程；
（2）由点在直线上求得 ，根据 到直线 与等腰三角形 底边 上的高相等，列方程求
参数m；
（3）设 ， ，联立双曲线与直线方程，应用韦达定理得 ， ，由向量
的数量关系可得 ，根据对称点、三角形面积公式 求 面积.
（1）
由 过点 ，且它的虚轴的端点与焦点的距离为 ，
所以 ，即 ，
则所求的双曲线 的方程为 .
（2）
因为直线 过点 ，所以 ，
由 得：等腰三角形 底边 上的高的大小为 ，
又 到直线 的距离等于等腰三角形 底边上的高，则 ，
第 23 页即 ，则 .
（3）
设 ， ，
由 得： ，
则 ， ，又 ，即 ，
则 ， ，即 ，则 ，
又 关于坐标原点 的对称点为 ，
则 .
则所求的 面积为 .
20．(1)
(2)1
【分析】（1）由题意得 ，化简可得答案，
（2）求出渐近线方程，设点 ， ， ， ， ，由 可得 ，
代入双曲线方程化简可得 ，然后表示 的坐标，再进行数量积运算，化简后利用基本
不等式可得答案
(1)
由题意得 ，即 ，
整理得 ，
因为双曲线的顶点坐标满足上式，
所以C的方程为 .
(2)
由（1）可知，曲线C的渐近线方程为 ，
设点 ， ， ， ， ，
由 ，得 ，
第 24 页整理得 ， ①，
把①代入 ，整理得 ②，
因为 ，
，
所以 .由 ，得 ，
则 ，
当且仅当 时等号成立，所以 的最小值是1.
21．(1) ；(2) ；(3) .
【解析】(1)根据已知求出 的坐标，再求出 ， ， ， 的坐标，代入 ， ，即
可求出 和 的值；
(2)将直线 的方程与椭圆 的方程联立，消去 可得关于 的一元二次方程，再利用根与系数关系求出两根之和、
两根之积，再结合 、 ，即可得到 ，从而可将 表示为关于 的函数，即可求出
的取值范围；
(3)设直线 的方程为 并与双曲线 的方程联立消去 可得关于 的一元二次方程，再利用根与系数关系求
出 ， ，再结合 、 ，即可求出点 的坐标．
【详解】(1)将 ，代入 ，求得点 ， ，又因为 ， ，
由 得到， ， ，
同理由 得， ，
所以 ．
(2)联立方程组 ，得 ，
所以 ， ，又点 ， ，
由 ，可得 ， ，
同理由 ，可得 ， ，
第 25 页所以 ，即 ，
所以 ，
因为 ，所以点 在椭圆上位于第三象限的部分上运动，
由分点的性质可知 ，所以 ．
(3)设直线 的方程为 ，代入方程 ，得 ，
所以 ， ，所以 (1)
而由 、 ，可得 (2)
又 (3)
由(1)(2)(3)得 ， ，
所以点 ，
当直线 与 轴重合时， ， 或者 ， ，都有 也满足要求，
所以在 轴上存在定点 .
【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系，根与系数关系的运用，考查运算求解能力，属于中档题.
22．(1) ；
(2) 或 .
【分析】（1）解方程 和 即得解；
（2）设过 的直线 的方程为 ，设 ， ，联立直线和双曲线方程得到韦达定理，求出
，再根据 的范围求解.
(1)
解：双曲线 的右焦点为 ，一条渐近线方程为
∵双曲线 的离心率为2，焦点到渐近线的距离为 ，
∴ ， ，∵ ∴ ，
第 26 页∴双曲线 的方程为 .
(2)
解：点 的坐标为 ，设过 的直线 的方程为 ，
与双曲线方程联立可得 消去 可得
① ，不符合题意，舍去；
② 时， 得 .
设 ， ，则 ，
∴
∴ .
∵ ， , ∴ ，
∴ 或 ∴ 或
∴ 或 .
23．(1)
(2)8
【分析】（1）根据双曲线的定义即可得出答案；
（2）可设直线 的方程为 ，则直线 的方程为 ，由 ，求得 ，同理求得
，从而可求得 的值，再结合基本不等式即可得出答案.
(1)
解：设 ，
则 ，等价于 ，
曲线 为以 为焦点的双曲线，且实轴长为2，焦距为 ，
故曲线 的方程为： ；
(2)
解：由题意可得直线 的斜率存在且不为0，可设直线 的方程为 ，
第 27 页则直线 的方程为 ，由 ，得 ，
所以 ，
同理可得， ，
所以 ，
，
当且仅当 时取等号，
所以当 时， 取得最小值8.
24．(1)
(2)24
【分析】（1）待定系数法去求双曲线C的方程；
（2）联立直线PQ的方程与双曲线C的方程，以设而不求的方法得到 的表达式，再对其求最小值即可
解决.
(1)
双曲线C的渐近线方程为 ，
所以 ，双曲线的方程可设为 ．
因为点 在双曲线上，可解得 ，所以双曲线C的方程为 ；
(2)
当直线PQ不垂直与x轴时，设其方程为y＝kx＋m，设点 、 ，
将直线PQ的方程代入双曲线C的方程，可化为 ，
所以 ①
则 ， ．
由
第 28 页即 ，所以
化简得 ，
．
则 （当k=0时等号成立）且满足①，
又因为当直线PQ垂直x轴时， ，所以 的最小值是24．
25．（1） （2）
【解析】（1）根据离心率和过点 代入计算得到答案.
（2）设 ， ， ，联立方程，利用韦达定理得到 ， ，计算得
到答案.
【详解】（1）离心率 且E过点 ，即
解得 ， ，故所求椭圆E的方程为： ；
（2）设 ， ，
由 联立化简得：
，
又 ，
与 联立解得： ，
代入 解得： ，
验证：当 时， 成立，符合题意
故所求 .
【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，直线和椭圆的位置关系求参数，意在考查学生的综合应用能力.
26．(1) ；(2) 或 且 .
第 29 页【分析】（1）设点 ，由重心坐标和外心坐标，结合圆的几何性质及 列方程，化简求得轨迹
的方程.
（2）联立直线 的方程和轨迹 的方程，化简后写出判别式和韦达定理，根据 ，利用向量的坐
标运算进行化简，求得 的等量关系式，并由此求得 的取值范围.
【详解】（1）设 ，则△ABC的重心 ，
又△ABC是不等边三角形，则 ，设△ABC的外心 .
由 ，即 ，可得 .
又 ，即 ，化简整理得：轨迹 是
（2）将直线 代入 ，化简得：
依题意知： ， ，且 ，化简得：
设 、 ，又 ，
所以
又 ， ，
所以 ，化简得
所以 ，解得： 或 且 .
【点睛】关键点点睛：
（1）设 ，写出重心坐标，再由向量数乘的几何意义确定外心坐标，进而应用两点距离公式列方程求轨迹；
（2）根据直线与椭圆关系，结合判别式求k、b不等关系，再应用向量数量积的坐标表示及韦达定理求k、b的等
量关系，结合（1）椭圆中 ，求参数范围.
27．（1） ；（2）证明见解析.
【分析】（1）设点M的坐标为 ，点P的坐标为 ，可得 ， ，代入圆 的方程，进而可得
结果；
（2）设 ， ，联立直线 与椭圆方程可得关于 的一元二次方程，由根与系数关系可得 ，
，将向量式化为坐标表示，再代入椭圆 ，即可证得结果.
【详解】（1）设点M的坐标为 ，点P的坐标为 ，则有 ， ，
第 30 页所以有 ， ，因为点P在圆上，所以 .
则有 ，即 ，所以曲线E的方程为 .
（2）由 ，有 ，
显然 ，设 ， ，
则 ， ，
设 ，则 ，又点N在曲线E上，则
，
又
，
， ，
则 ，
所以 为定值.
【点睛】关键点点睛：联立直线与椭圆方程利用根与系数关系，证明 是解题的关键点和难点.
28．（1）证明见解析；（2） ；（3）答案见解析.
【分析】（1）求出点P，点Q的坐标，计算即可得证；
（2）根据题意可得 ，设直线n的方程为 ，由直线n与曲线τ有且仅有一个公共点，可得 ，
显然直线n的方程为 时也符合题意，进而得出结论；
（3） ，利用数量积公式建立关于k的方程，解出k，进而得出答案．
【详解】（1）设直线方程 ，
联立方程组 ，解得 ，
联立方程组 ，解得 ，
所以 .
（2）因为 的面积为 ，可得 ，解得 ，
第 31 页设过点F，直线n的方程为 ，则 只有一个交点，
2
故方程 只有一个解，亦即 ，
由 ，解得 ，
显然直线n的方程为 时也符合题意，
由图可知，当 与双曲线 的渐近线 平行时， ，
此时仅有一个交点，
所以直线n的倾斜角的取值范围为 ；
（3）由 ,
所以
因为
所以 ，所以 ，
所以 ， ，
则
【点睛】直线与圆锥曲线的综合问题的求解策略：
对于直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用问题，通常联立直线方程与圆锥曲线方程，应用一元二次方程根与系
数的关系，以及弦长公式等进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考
生的逻辑思维能力、运算求解能力．
29．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意得到 ，结合双曲线的定义，即可求解；
（2）设直线 方程为 ，联立方程组求得 ，利用弦长公式和 ，
求得 或 ，结合向量的数量积的运算公式，化简得到 ，进而求得其范围，
即可求解．
(1)
解：依题意，P是平面上的动点，且点 与 的距离之差的绝对值为 ．
即 ，
第 32 页根据双曲线的定义，可得点 的轨迹E是以 为焦点，
其中 ，所以 ，则 ，
所以轨迹 的方程为 ．
(2)
解：设直线 方程为 ，点 ，
联立方程组 ，整理得 ，
可得 且 ．
由弦长公式，可得
因为 ，可得 ，解得 或
因为 ，
所以
，
因为 或 ，所以 ，
所以 的取值范围是 ．
30．(1)
(2)
【分析】（1）根据通径 ，直接求得 ，再结合离心率为2即可求双曲线的方程；
（2）通过对 转化为 ，从而简化计算，利用韦达定理求解即可.
(1)
依题意， ，当l垂直于x轴时， ，
即 ，即 ，
解得 ， ，因此 ；
(2)
第 33 页设 ，联立双曲线方程 ，
得： ，
当 时， ，
，
当 时，设 ，
因为直线 与双曲线右支相交，
因此 ，即 ，同理可得 ，
依题意 ，
同理可得， ，
而 ，
代入 ， ，
，
分离参数得， ，
因为 ，
当 时，由 ，
，
所以 ，
综上可知， 的取值范围为 .
第 34 页第 35 页
