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微专题：判断零点所在的区间
【考点梳理】
1. 函数的零点与方程的解
(1)零点的定义：对于一般函数y＝f(x)，我们把使 f ( x ) ＝ 0 的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.
(2)方程的解、函数的零点、函数的图象之间的关系：方程 f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)
的图象与x轴有公共点.
(3)函数零点存在定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有 f ( a ) f ( b )<0 ，那么，
函数y＝f(x)在区间 ( a ， b ) 内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得 f ( c ) ＝ 0 ，这个c也就是方程f(x)＝0的解.
2.理解函数零点存在定理要注意三点：
①“函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线”和“f(a)f(b)<0”这两个条件缺一不可. 如图1仅
满足前者，图2仅满足后者，两函数均无零点.
图1 图2
②定理不可逆，就是说满足了①中的两个条件的函数一定有零点，但是一个函数有零点，不一定需要具备这
两个条件. 如图3中f(a)f(b)＞0，但函数有零点.
图3 图4
③该定理只能判断出零点的存在性，而不能判断出零点的个数. 至少存在一个零点，就是说满足了①中的两个
条件的函数一定至少有一个零点，但不一定只有一个零点，可能有其它更多的零点，如图 4，但若该函数是单调函
数，则有唯一零点.
【题型归纳】
题型一：判断零点所在的区间
1．函数 的零点所在的大致区间是（ ）
A． B．
C． D．
2．函数 的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
第 1 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司3．函数 的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【双基达标】
4．已知函数 ，则函数 的零点所在区间为（ ）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
5．用二分法求方程x3＋3x－7＝0在(1，2)内的近似解的过程中，构造函数f(x)＝x3＋3x－7，算得f(1)<0，
f(1.25)<0，f(1.5)>0，f(1.75)>0，则该方程的根所在的区间是（ ）
A．(1，1.25) B．(1.25，1.5)
C．(1.5，1.75) D．(1.75，2)
6．函数 的零点一定位于下列哪个区间内（ ）.
A． B． C． D．
7．函数 的零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
8．设函数 的零点为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
9．函数 的零点所在区间为（ ）
A． B．
C． D．
10．设函数 ，用二分法求方程 近似解的过程中，计算得到 ， ，则
方程的近似解落在区间（ ）
A． B．
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司C． D．
11．已知函数 ，则零点所在的区间可以为（ ）
A． B．
C． D．
12．设函数 与 的图象交点为 ，则 所在区间是（ ）
A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4)
13．已知实数a>1，00得f(1.25)·f(1.5)<0，
又函数f(x)的图象是连续不断的，
根据零点存在性定理可知，函数f(x)的一个零点x∈(1.25，1.5)，
0
即方程x3＋3x－7＝0的根所在的区间是(1.25，1.5)，
故选：B
6．C
【解析】
【分析】
求出端点所对应的函数值，利用零点的存在性定理即可判断.
【详解】
， ，
的零点一定位于 .
故选：C.
【点睛】
本题考查利用零点存在性定理判断零点所在区间，属于基础题.
7．C
【解析】
【分析】
由函数 ，分别求得区间端点的函数值，结合函数的单调性和零点的存在定理，即可求解.
【详解】
由题意，函数 ，可得函数 为单调递增函数，
可得 ， ， ，
， ，
第 9 页所以 ，所以函数 的零点所在区间为 .
故选：C.
8．B
【解析】
【分析】
根据零点存在性定理进行求解.
【详解】
易知 在R上单调递增且连续．由于 ， ， ，当 时，
，所以 ．
故选：B
9．B
【解析】
【分析】
由零点存在定理判定可得答案.
【详解】
因为 在 上单调递减，
且 ， ，
所以 的零点所在区间为 ．
故选：B.
10．A
【解析】
【分析】
根据二分法求方程的近似解的过程，由条件先求得 ，再求 的符号，只须找到满足 即可
【详解】
取 ，因为 ，所以方程近似解 ，
取 ，因为 ，
所以方程近似解 ，
故选：A.
11．B
【解析】
【分析】
先判断函数的单调性，并判断各区间端点处的函数值的正负，再结合零点存在性定理判断即得.
【详解】
第 10 页显然函数 在R上单调递增， ，而 ，
所以零点所在的区间可以为 .
故选：B
12．B
【解析】
【分析】
令 ，利用零点存在性定理即可求解.
【详解】
令 ，则f (0)＝－4<0，f (1)＝－1<0，f (2)＝3>0，
∴f (x)的零点在区间(1，2)内，
即函数 与 的图象交点的横坐标 ．
故选：B
13．B
【解析】
【分析】
分别计算 ，以及 的函数值，根据零点存在性定理，即可判断.
【详解】
因为a>1，00，
所以f(－1)·f(0)<0，
则由零点存在性定理可知f(x)在区间(－1，0)上存在零点.
故选： .
【点睛】
本题考查利用零点存在性定理判断零点所在区间，属基础题.
14．B
【解析】
设函数 ，结合导函数判断单调性，利用根的存在性定理即可判定其解所在区间.
【详解】
设函数 ，
所以 是增函数，
， ，
方程 的解所在的区间为 .
第 11 页故选：B
15．A
【解析】
【分析】
利用导数研究函数 的单调性得 仅有1个零点，且 ，结合函数 的单调性与零点的存在性定理
得 ，根据对数运算得 ，进而 ，再根据范围得大小.
【详解】
解：因为 ， ，
所以 在 上是减函数，在 上是增函数，在 上是减函数，
因为 ，所以 仅有1个零点，
因为 ，所以 ，
因为 是增函数，且 ， ，
所以 ，
因为 ， ，
所以 ，所以 .
故选：A．
16．B
【解析】
【分析】
判断函数的单调性，计算区间端点处函数值，由局零点存在定理即可判断答案.
【详解】
函数 , 是单调递增函数，
当 时， ，
，
故
故函数的零点所在的区间为 ，
故选：B
17．B
【解析】
【分析】
根据零点存在定理确定．
【详解】
解析：因为f(2)·f(4)<0，f(2)·f(3)<0，
第 12 页所以f(3)·f(4)>0，所以x∈(2，3)．
0
故选：B．
18．B
【解析】
【分析】
先确定函数的单调性，再确定函数零点所在的区间，即得解.
【详解】
解：由题可知 单调递增（增函数+增函数=增函数），且 ， ，则
，
所以
所以 .
故选：B
19．C
【解析】
【分析】
利用零点存在定理即可判断.
【详解】
函数 的定义域为R.
因为函数 均为增函数，所以 为R上的增函数.
又 ， ，
， .
由零点存在定理可得： 的零点所在的区间为 .
故选：C
20．B
【解析】
【分析】
结合函数的单调性，利用零点存在定理判断.
【详解】
解：因为 是 上的增函数，且 ，
所以 的零点在区间 内.
故选：B
21．B
【解析】
第 13 页【分析】
结合单调性和零点存在定理直接判断即可.
【详解】
易知 为增函数，又 ，
，故零点所在的区间是 .
故选：B.
22．A
【解析】
【分析】
先利用零点存在定理判断出 ，再由指数函数和对数函数的性质求解.
【详解】
因为 是 上的增函数，且 ， ，
所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ，
故选：A.
23．D
【解析】
【分析】
由已知条件构造函数 ，利用导数求出最值，由零点存在性定理验证 的根的范围即可.
【详解】
令 ，即 ，
∴ ， ，
∴ ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
∴ 在 上单调递增，且 ，
∴存在唯一 使得 ，
当 时， ， ，当 时， ， ，
∴ ，
即 取得最小值时， ，
第 14 页由零点的存在定理验证 的根的范围，
当 时， ，当 时， ，
故 ，
故选： ．
24．D
【解析】
【分析】
根据函数零点的存在性定理可知零点 ，结合对二分法的理解即可得出结果.
【详解】
因为 ，
由零点存在性知：零点 ，
根据二分法，第二次应计算 ，即 ，
故选：D.
25．C
【解析】
【分析】
根据函数零点存在性定理判断即可
【详解】
函数 是 上的连续增函数,
,
可得 ,
所以函数 的零点所在的区间是 .
故选：C
26．D
【解析】
【分析】
利用函数的单调性及零点存在定理即得.
【详解】
∵函数 为增函数，又 ，
∴ ，
由 ，得 ，即 ，
∵ 在 单调递增，
第 15 页又 ，
∴ ，
∴ .
故选：D.
27．A
【解析】
【分析】
结合对数函数、函数零点存在性定理等知识求得正确答案.
【详解】
，
，
对于函数 ，
在 上递增， ，
所以 存在唯一零点 ， ，使 ，
所以对于 ，有 ，
所以 .
故选：A
28．A
【解析】
【分析】
结合函数的单调性、零点存在性定理确定正确选项.
【详解】
在 上递增，
，
，所以 的零点在区间 .
故选：A
29．ABC
【解析】
【分析】
根据互为反函数的性质可得 的中点坐标为 ，从而可判断A；利用基本不等式可判断B、D；
利用零点存在性定理以及对数的运算性质可判断C.
【详解】
第 16 页函数 与 互为反函数，
则 与 的图象关于 对称，
将 与 联立，则 ，
由直线 分别与函数 和 的图象交于点 ，
作出函数图像：
则 的中点坐标为 ，
对于A，由 ，解得 ，故A正确；
对于B， ，
因为 ，即等号不成立，所以 ，故B正确；
对于C，将 与 联立可得 ，即 ，
设 ，且函数为单调递增函数，
， ，
故函数的零点在 上，即 ，由 ，则 ，
，故C正确；
对于D，由 ，解得 ，
由于 ，则 ，故D错误；
故选：ABC
【点睛】
本题考查了互为反函数的性质、基本不等式的应用、零点存在性定理以及对数的运算性质，考查了数形结合的思
想，属于难题.
第 17 页30．ABC
【解析】
【分析】
判断函数的单调性，利用零点的存在性定理得到零点所在的区间，由此即可判断 的正零点不可能在的区间.
【详解】
因为 在 上是增函数，所以 至多有一个零点，
又因为 ，所以 有且仅有一个零点且零点在 内，
所以 的正零点不可能在 内.
故选：ABC.
【点睛】
本题考查函数的零点存在性定理的应用，难度较易.判断零点个数时，注意单调函数的零点至多有 个.
31．AD
【解析】
【分析】
由函数 的零点为 ，得到 ，变形为 ，
由 为增函数，得到 判断AB，再结合零点存在定理判断CD。
【详解】
∵ ，
∴ ，
∴ ．
令 为增函数，
∴由 ，
得 ，
∴ ．
∴ ．
由 ， ，
又由 ， ，
有 ，
则 .
故选：AD
32．BC
【解析】
第 18 页分析函数 的单调性，利用零点存在定理可判断A、B选项的正误，利用指数与对数的转化可判断
B、D选项的正误.
【详解】
由于函数 在 上单调递增，且 ， ，
，
由于 是函数 的零点，则 ，即 ， ，即 ，则
，
故A、D选项错误，B、C选项正确.
故选：BC.
【点睛】
本题考查利用零点存在定理判断零点的取值范围，同时也考查了指数与对数转化的应用，考查计算能力，属于中
等题.
33．②③
【解析】
【分析】
利用导数可判断①，利用指数函数及正弦函数的性质可判断②，利用零点存在定理可知存在 ，使得
，进而可知函数 的单调性及极值情况，再结合函数的零点存在性定理及三角函数的图像性质可判断
③④.
【详解】
∵ ， ，
因为 时， ， ，
所以 ，所以 在 上单调递增，故①错误；
有两个零点等价于 有两个根，即函数 与 有两个交点，根据 与 的图
象，可知在 上有两个交点，故②正确；
第 19 页，
，
， ，
存在 ，使得 且
在 上， ，在 上， ，
在 上， 单调递减，在 上， 单调递增，
在 上存在唯一极小值点 ，
，则 ，
，故③正确．
令 ，则 ，
当 时， ， ， ，
当 时， ， ．
在 恒成立，
单调递增且 ， ，
存在唯一零点 ，使得
， ，即 ， ， ，即 ，
第 20 页在 处取得极小值故有唯一极小值点，故④错误．
故答案为：②③.
34．3
【解析】
【分析】
易知 是增函数，再由零点存在定理结合 求解.
【详解】
因为 均为增函数，
所以 是增函数，
又 ，
所以 的零点 ，
又 ，
所以 ，
故答案为：3
35．
【解析】
【分析】
用二分法求函数零点近似值，直至区间的长度不超过 即可.
【详解】
， ， 的零点 .
， ， .
， ， .
而 ， 即为符合条件的一个区间.
故答案为:
36．0
【解析】
判断 在 上递增，判定 ， （1）的符号，根据零点存在性定理即可得到所求值．
【详解】
函数 ，
第 21 页可得 在 上递增，
由 ，
（1） ，
可得 在 内存在零点，
则 ．
故答案为：0．
37．
【解析】
【分析】
令 ，利用零点存在定理即得.
【详解】
构造函数 ，函数在 上单调递增，
∵ ,
∴函数 在 存在零点.
故答案为： .
38．
【解析】
【分析】
由分段函数的性质画出函数图象，若 、 ，将问题转化为 与 的
交点问题，应用数形结合判断交点的区间，结合绝对值函数、对数函数的性质可得 、
、 ，根据目标式求范围即可.
【详解】
由解析式知： 在 上递减且值域为 ，在 上递增且值域为 ，在 上递减且值域
为 ，在 上递增且值域为 .
∴ 的草图如下，令 且 ，则 ， ， ， 为 与 的交点横坐
标，
由图知： ， 且 ，
∴ (注意基本不等式的等号不能取)，又 ，
第 22 页∴ ：由对勾函数的单调性知，在 上递增，
∴ ，即 .
综上， 的范围为 .
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：将问题转化为函数的交点问题，应用数形结合法判断交点横坐标的范围及关系式，根据目标式求范
围.
39．(1)
(2)
(3)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据偶函数的定义求得 的值.
（2）利用分离常数法，结合换元法、函数的单调性来求得 的取值范围.
（3）先求得 的取值范围，结合函数的单调性证得不等式成立.
(1)
，
由于 为偶函数，
所以 ，即 ，
所以 ， .
(2)
依题意关于 的不等式 恒成立，
即 ，
，
令 ，当 时等号成立，
由于 是单调递增函数， ，即 ，
所以 .
(3)
函数 的零点为 ，
即 ，
第 23 页函数 在 上递增， ，
，
所以 ，
对任意 ，
，
其中 ，所以 ，即 在 上递增，
所以 ，
即 .
40．(1)证明见解析；
(2) .
【解析】
【分析】
（1）把 代入，求出 并探讨其单调性，再结合零点存在性定理判断作答.
（2）利用给定单调性建立不等式，再分类分离参数，构造函数，讨论求解作答.
(1)
当 时， ，求导得： ，令 ，
则 ，则函数 在R上单调递增，即函数 在R上单调递增，
而 ， ，由函数零点存在性定理知，存在唯一 ，有 ，
所以 在区间 内有唯一零点.
(2)
函数 的定义域是R，依题意， ， 成立，
当 时， 成立， ，
当 时， ，令 ， ， ，即函数 在 上单调递增，
又当 时， 恒成立，于是得 ，
当 时， ，令 ， ， ，当 时， ，当 时，
，
因此， 在 上单调递减，在 上单调递增，当 时， ，于是得 ，
综上得： ，
所以a的取值范围是 .
【点睛】
第 24 页思路点睛：涉及函数不等式恒成立问题，可以探讨函数的最值，借助函数最值转化解决问题.
41．(1) ；
(2)详见解析.
【解析】
【分析】
（1）当 时，可得 ，当 时，利用二次函数的性质分类讨论即得；
（2）由题可得 ，利用幂函数及一次函数的性质可知函数为增函数，再利用零点存在定理即证.
(1)
当 ，即 时，由 ，得 ，
∴ 符合题意，
当 ，即 时，函数 的对称轴为 ，
m+1>0
{
)
Δ=16m2−8(m+1)(2m−1)>0
当函数 在区间 内有两个零点时，则 m ，
0< <1
m+1
f (0)=2m−1>0
解得 ，
当函数 在区间 内有一个零点时， 或在此区间上单调递增，
∴ 或 ，即 或 且 ，
当 ，即 时，由 得 ，符合题意；
综上，实数 的取值范围为 .
(2)
由题可得 ，又 与 单调递增，
∴函数 在 上单调递增，又 ，
所以有且仅有一个 ，使 ，
故函数 在 上有且只有一个零点.
42．(1)在 上单调递减，在 上单调递增；
(2)证明见解析，零点的最大值为 .
【解析】
【分析】
（1）对 求导，根据其导函数的符号确定单调区间即可.
第 25 页（2）对 求导，构造 利用导数研究其单调性并确定 的大小关系，再利用所得关系，结合放
缩法、零点存在性定理及 的单调性判断 的零点存在性和唯一性，令 得 ，
构造 并研究单调性求其最值即可.
(1)
当 时， ，则 ，
令 得： ，
又 在R上单调递增且 ，
故 时 ； 时
所以 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增.
(2)
由 得： ，且 在R上单调递增.
设 ，则 ，
当 时 ， 单调递减，
当 时 ， 单调递增，
所以 ，即 ，
又 ， .
所以 在 上存在唯一零点 使得 ，解得 .
设 ， ，则 ，
令 得： ，
当 时 ，则 单调递增；
当 时 ，则 单调递减；
所以 ，故 的零点的最大值为 .
【点睛】
关键点点睛：第二问，构造 并研究单调性判断 的大小，利用此关系及 单调性求证零点的
存在性和唯一性，再求 的零点关于参数a的表达式，再构造函数求最值.
43．(1) ;
(2)2
【解析】
第 26 页【分析】
（1）求出当 时 ，只需要 ；（2）先根据切线的条件求出参数 ，在类似（1）
中用恒成立的方式来处理.
(1)
由 ，当 时，得 ．
当 时， ，所以 ，即 在 上单调递增，所以
，由 恒成立，
得 ，所以 ，即b的范围是 ．
(2)
由 得 ，且 ．
由题意得 ，所以 ，
又 在切线 上．
所以 ，所以 ，即 ．
因为 ，所以有 ．
令 ，则 等价于 ，即 ，从而 ．
设 ，则 ．
易知 在 上单调递增，且 ．
所以，由函数零点存在性定理知，存在唯一的 使得 ，
即 ，则 ．
当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增．
从而 ．
而 在 上是减函数，所以 ．
因此 的最小值 ．
从而整数m的最大值是2．
第 27 页第 28 页
