文档内容
微专题：抛物线的中点弦问题
【考点梳理】
1、有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝
x＋x＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.
1 2
2、中点弦问题还经常运用到点差法，设而不求，利用抛物线方程作差有效地简化了计算量，从而到达所需的变量
等式，此方法在椭圆和双曲线中也广泛运用.
【典例剖析】
典例1．已知抛物线 ，过点 的直线 与抛物线 交于A，B两点，若点 是线段AB的中点，则直线
的斜率为（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
典例2．已知抛物线 ，直线 与抛物线 交于 、 两点，线段 的中点为 ，则 的方程为
（ ）
A． B．
C． D．
典例3．已知点F为抛物线 的焦点，过F的直线l与C交于A、B两点．若 中点的纵坐标为2，则
( )
A．6 B．7 C．9 D．10
典例4．已知抛物线C： 的焦点为F，直线l与抛物线C交于A，B两点，线段AB的中点为 ，则点F
到直线l的距离为（ ）
A． B． C． D．
典例5．已知抛物线 的焦点为F，过点F的直线与C交于M，N两点，若 ，则线段 的中点
到y轴的距离为（ ）
第 1 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．8 B．6 C．4 D．2
典例6．已知以F为焦点的抛物线 上的两点A，B（点A的横坐标大于点B的横坐标），满足
（O为坐标原点），弦AB的中点M的横坐标为 ，则实数 （ ）
A． B． C．3 D．4
【双基达标】
7．在平面直角坐标系 中，已知 是抛物线 的焦点，过点 作两条相互垂直的直线 ， 分别与抛
物线交于点 和 ，记 的中点为 ， 的中点为 ，则 的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．已知抛物线 ，过其焦点且斜率为 的直交抛物线于 ､ 两点，若线段 的中点的横坐标为 ，则该抛
物线的准线方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．如果椭圆 的弦被点 平分，那么这条弦所在的直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知过抛物线C：y2＝4x的焦点F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，Q为AB的中点，P为C上一点，
则|PF|+|PQ|的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
11．已知直线 与抛物线 相交于 、 两点，点 是抛物线 的准线与
以 为直径的圆的公共点，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司C． 的面积为 D．
12．已知抛物线 ，过点 的直线 与抛物线 交于 ， 两点.若点 是线段 的中点，则直线 的
斜率是（ ）
A． B． C． D．
13．已知抛物线 内一点 ，过点 的直线 交抛物线于 ， 两点，且点 为弦 的中点，则直线 的
方程为（ ）
A． B．
C． D．
14．若斜率为 （ ）的直线 l 与抛物线 和圆M： 分别交于A，B和C，D．且
，则当 面积最大时k的值为（ ）
A． B． C． D．
15．已知抛物线y2＝4x，直线l与抛物线交于A、B两点，若线段AB中点的纵坐标为2，则直线AB的斜率为（
）
A．2 B． C． D．1
16．已知斜率为 的直线 与抛物线 交于 两点， 为坐标原点， 是线段 的中点， 是
的焦点， 的面积等于3，则 （ ）
A． B． C． D．
17．已知抛物线 ，以 为中点作 的弦，则这条弦所在直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
18．已知抛物线 的焦点为 ，过点 且倾斜角为锐角的直线 与 交于 、 两点，过线段
的中点 且垂直于 的直线与 的准线交于点 ，若 ，则 的斜率为（ ）
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
19．已知直线l过抛物线 的焦点，并交抛物线C于A、B两点， ，则弦AB中点M的横坐标是
（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
20．已知直线 与抛物线 相交于 两点，若线段 的中点为 ，则直线 的方程为（ ）
A． B． C． D．
21．已知抛物线 ： ，直线 过点 ，且与抛物线 交于 ， 两点，若线段 的中点恰好为点 ，
则直线 的斜率为（ ）
A． B．2 C．3 D．
22．已知抛物线 ，倾斜角为 的直线交 于 两点.若线段 中点的纵坐标为 ，则 的
值为（ ）
A． B．1 C．2 D．4
23．过抛物线 的焦点 的直线 与抛物线交于 ， 两点，若 的倾斜角为 ，则线段 的中点到 轴
的距离是（ ）
A． B． C． D．
24．已知抛物线 的焦点为F，过点F作直线l与抛物线分别交于A，B两点，若第一象限内的点 为线
段 的中点，则 的长度为（ ）
A．12 B．18 C．16 D．8
25．已知抛物线 ，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标
为3，则该抛物线的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
【高分突破】
一、单选题
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司26．过抛物线 的焦点F的直线l（不平行于y轴）交抛物线于A，B两点，线段AB的中垂线交x轴
于点M，若 ，则线段FM的长度为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
27．直线 与抛物线 交于 两点，且线段 中点的横坐标为1，则 的值为（ ）
A． 或 B． C． D．
28．已知抛物线 的焦点为 ，过 且倾斜角为 的直线交 于A， 两点，线段 中点的纵坐
标为 ，则 （ ）
A． B．4 C．8 D．24
29．直线l与抛物线 相交于A，B两点，线段AB的中点为M，点P是y轴左侧一点，若线段PA，
PB的中点都在抛物线上，则（ ）
A．PM与y轴垂直 B．PM的中点在抛物线上
C．PM必过原点 D．PA与PB垂直
二、多选题
30．设 ， 是抛物线 上的两点， ， 是坐标原点，下列结论成立的是（ ）
A．直线 过定点 B． 到直线 的距离不大于1
C．线段 中点的轨迹为抛物线 D．
31．在平面直角坐标系xOy中，过点 的直线l与抛物线C： 交于A，B两点，点
为线段AB的中点，且 ，则下列结论正确的为（ ）
A．N为 的外心 B．M可以为C的焦点
C．l的斜率为 D． 可以小于2
32．已知抛物线 的焦点为F，准线为 ，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司两点作准线的垂线，垂足为 ， ，P为线段 的中点，O为坐标原点，则（ ）
A．线段 长度的最小值为4 B． 为锐角
C．A，O， 三点共线 D．P的坐标可能为
33．已知直线 与抛物线 交于 两点，若线段 的中点是 ，则（ ）
A． B．
C． D．点 在以 为直径的圆内
三、填空题
34．过点 作抛物线 的弦 ，若弦 恰好被点 平分，则弦 所在直线的方程为______．
35．已知 为抛物线 的焦点，过点 的直线交该抛物线于 ， 两点，若点 在第一象限，且 ，
则线段 的中点坐标为__________.
36．已知抛物线 为过焦点 的弦，过 分别作抛物线的切线，两切线交于点 ，设
，则下列结论正确的有________．
①若直线 的斜率为-1，则弦 ；
②若直线 的斜率为-1，则 ；
③点 恒在平行于 轴的直线 上；
④若点 是弦 的中点，则 ．
37．已知抛物线C： 与直线l交于A，B两点，若线段AB中点的纵坐标为3，则l的倾斜角为_____.
38．已知抛物线 上有3点A，B，C，且直线AB，BC，AC的斜率分别为 ，2，3，则 的重心的纵坐
标为______．
39．若 、 是抛物线 上的不同两点，弦 （不平行于 轴）的垂直平分线与 轴相交于点 ，则
弦 中点的横坐标为___________.
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司40．已知抛物线 的焦点为F，过F作斜率为 的直线 与C交于 两点，若线段 中点的
纵坐标为 ，则F到C的准线的距离为_______．
41．已知直线 经过抛物线 的焦点，与抛物线交于 ，且 ，点 是弧 （ 为原点）上
一动点，以 为圆心的圆与直线 相切，当圆 的面积最大时，圆 的标准方程为__________.
四、解答题
42．已知直线l的抛物线 交于A，B两点，M是线段AB的中点．
(1)若直线AB的斜率为1，求点M的横坐标；
(2)若 ，求点M纵坐标的最小值．
43．已知抛物线 的准线方程为 ，过其焦点F的直线l交抛物线C于A、B两点，线段AB
的中点为M，坐标原点为O，且直线OM的斜率为 .
(1)求实数p的值；
(2)求 的面积.
44．已知抛物线 ： （ ），过点 的直线 与抛物线 交于 ， 两点（ 在 的左侧），
为线段 的中点.当直线 斜率为 时，中点 的纵坐标为 .
(1)求抛物线 的方程；
(2)若线段 上存在点 ，使得 ，求点 的轨迹方程.
45．已知抛物线 ，点 ，过M的直线l交抛物线C于A，B两点，
(1)若线段 中点的横坐标等于2，求直线的斜率；
(2)设点A关于x轴的对称点为 ，求证：直线 过定点．
46．已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点 到焦点的距离为6．
(1)求抛物线C的方程；
第 7 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(2)若抛物线C与直线 相交于不同的两点A、B，且AB中点横坐标为2，求k的值．
第 8 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．B
【分析】设 ， ，代入抛物线方程相减可得．
【详解】设 ， ，∵ 是AB的中点，∴ ，
由 ，相减得 ，
所以直线 的斜率 ，
故选：B．
2．A
【分析】设点 、 ，则 ，利用点差法可求得直线 的斜率，再利用点斜式可得出直线
的方程.
【详解】设点 、 ，则 ，
若直线 轴，则线段 的中点在 轴上，不合乎题意，则直线 的斜率存在，
由已知 ，两式作差可得 ，
所以，直线 的斜率为 ，
因此，直线 的方程为 ，即 .
故选：A.
3．D
【分析】设 的中点为 ，则 ﹒根据A和B在抛物线上，满足抛物线方程得
到两个方程，两个方程作差即可得到直线l斜率，故可得直线l方程，从而可求M的横坐标 ，从而可求
．
【详解】焦点为 ，p＝4，设 的中点为 ，
∴ ，
∴ ，即 ，故 ，
由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，故 ，
故 ，∴ ，
∴ ．
故选：D．
4．A
第 9 页【分析】利用点差法可求出直线的斜率，即得直线方程，根据点到直线的距离即可得结果.
【详解】设 ， ，则 ， ，所以 ，
即 ，
因为AB的中点为 ， ，
所以直线 的斜率 ，所以直线 的方程为 ，
所以焦点 到直线 的距离 ，
故选：A.
5．C
【分析】由椭圆定义及其组成的直角梯形的几何特征，得到线段 的中点到准线的距离，再减去准线到 轴的
距离，即可得到结果
【详解】
由图， 中点为 ， 分别垂直准线于 ， 交 轴于 ，易得 为直角梯形 的中
位线，则 ，
由椭圆定义易得， ， ，又准线为 ， ，
故线段 的中点到y轴的距离 ，
故选：C
6．D
【分析】根据已知及抛物线的几何性质求出 ，再由已知 求出 的值.
【详解】由题意可得抛物线 的焦点 .
弦AB的中点M的横坐标为 ，
由已知条件可知直线AB的斜率存在.
设直线AB的方程为 ， ，
第 10 页则联立 ，消去y得 ，
∴ ，又因为弦AB的中点M的横坐标为 ，
∴ ，∴ ， ，
∴点A到准线的距离为 ，
点B到准线的距离为 ，
所以 ∴ ，
又 ， 故 .
故选：D
7．C
【分析】设出 的方程，分别与抛物线 联立，利用韦达定理和中点坐标公式求出 ， 的坐标，进而可
以求出 ，利用基本不等式求其最小值．
【详解】解：由 是抛物线 的焦点，得 ，
设 ，
联立 ，消去 得 ，
,
设 ，
联立 ，消去 得 ，
,
．
第 11 页故选：C．
【点睛】本题考查直线和抛物型的位置关系，利用韦达定理解决中点坐标问题，中档题，注意计算的准确性．
8．D
【解析】先将抛物线方程写成标准方程形式，直线 方程与抛物线方程联立，利用根与系数的关系求 ，再求抛
物线的准线方程.
【详解】抛物线的标准方程是 ，焦点坐标是 ，
则直线 的方程是 ，与抛物线方程联立得 ，
，因为线段 的中点的横坐标为2，所以 ，得 ，
所以该抛物线方程 ，则准线方程 .
故选：D
9．B
【分析】设该弦所在直线与椭圆的两个交点分别为 ， ，则 ，利用点差法可
得答案.
【详解】设该弦所在直线与椭圆的两个交点分别为 ， ，则
因为 ，两式相减可得， ，即
由中点公式可得 ，所以 ，即 ，
所以AB所在直线方程为 ，即 ．
故选：B．
10．D
【分析】设直线AB的方程为x＝ y+1，联立 ，得到AB的中点坐标，然后过P作PH垂直准线于点
H，再利用抛物线的定义，由 三点共线时求得最小值求解.
【详解】如图所示：
第 12 页由题意，得F（1，0），故直线AB的方程为x＝ y+1，
联立 ，得 ，
设A（x，y），B（x，y），
1 1 2 2
则 ，x+x＝ （y+y）+2＝14，
1 2 1 2
所以Q（7，2 ），
过P作PH垂直准线于点H，
由抛物线的定义得：|PF|+|PQ|＝|PH|+|PQ|≥|QH|＝7+1＝8，
当 三点共线时，等号成立，
所以|PF|+|PQ|的最小值为8，
故选：D.
11．C
【分析】求出抛物线 的准线方程，可求得 的值，可判断A选项的正误；利用点差法可求得线段 的中点坐标，
根据勾股定理列等式可求得 的值，可判断B选项的正误；利用抛物线的焦点弦长公式以及三角形的面积公式可
判断CD选项的正误.
【详解】由题意知，抛物线 的准线为 ，即 ，解得 ，故选项A正确；
因为 ，所以抛物线 的方程为 ，其焦点为 ，
又直线 ，即 ，所以直线 恒过抛物线的焦点 ，
设点 、 ，因为 、 两点在抛物线 上，
联立方程 ，两式相碱可得， ，
设 的中点为 ，则 ，
因为点 在直线 上，解得 ，
第 13 页所以点 是以 为直径的圆的圆心，
由抛物线的定义知，圆 的半径 .
因为 ，所以 ，
解得 ，故选项B正确；
因为 ，所以 ，直线 为 ，即 ，
由点到直线的距离公式可得，点 到直线 的距离为 ，
所以 ，故选项C错误，D正确.
故选：C.
12．D
【分析】设 ， ，代入抛物线方程，相减，利用中点坐标公式可得直线 斜率．
【详解】设 ， ，因为 ， 是抛物线 上的点，所以 ，则 .
因为点 是线段 的中点，所以 ，所以 ，则 ，即直线 的斜率是 .
故选：D．
13．B
【解析】利用点差法求出直线斜率，即可得出直线方程.
【详解】设 ，
则 ，两式相减得 ，
即 ，
则直线方程为 ，即 .
故选：B.
14．C
【分析】由条件可得 的中点与 的中点重合，设此点为 ，则 ，求出当 面
积最大时 的长，结合此时 列出不等式，解出 ，得出答案.
【详解】因为 ，则 的中点与 的中点重合，设此点为 ，
第 14 页则
当 ，即 ，时， 取最大值，
令 ， ， ，
,
由 ,得 ，
由 ，得 ，
.
故选：C．
15．D
【分析】设直线l的方程为x＝my+n，A（x，y），B（x，y），联立直线与抛物线的方程，由韦达定理及直线斜
1 1 2 2
率公式即可求解.
【详解】设直线l的方程为x＝my+n，A（x，y），B（x，y），
1 1 2 2
联立直线l与抛物线方程 ，化简可得，y2﹣4my﹣4n＝0，
第 15 页由韦达定理可得，y+y＝4m，
1 2
∵ ，
∴4m＝4，即m＝1，
∴直线l的方程为y＝x﹣n，
∴k＝1．
故选：D
16．B
【解析】先求出F,设出A、B、M，用“点差法”找出 ，利用 的面积等于3计算出 ，求出
斜率k.
【详解】由抛物线 知：焦点
设
因为 是线段 的中点，所以
将 和 两式相减可得： ，
即
∵
∴ ,
.
故选：B
【点睛】“中点弦”问题通常用“点差法”处理.
17．D
【解析】设弦与抛物线的交点为 ，则 ，根据弦的中点是 ，利用点差法求解.
【详解】设弦与抛物线的交点为 ，
则 ，
两式相减得： ，
所以 ，
因为弦的中点是 ，
所以 ，
则 ，
第 16 页所以这条弦所在直线的方程为 ，
即 ，
故选：D
18．C
【分析】设直线 的方程为 ，其中 ，设点 、 、 ，将直线 的方程与抛
物线 的方程联立，列出韦达定理，求出 、 ，根据条件 可求得 的值，即可得出直线 的
斜率.
【详解】抛物线 的焦点为 ，设直线 的方程为 ，其中 ，
设点 、 、 ，
联立 可得 ， ， ，
所以， ，
， ，
直线 的斜率为 ，则直线 的斜率为 ，
所以， ，
因为 ，则 ，因为 ，解得 ，
因此，直线 的斜率为 .
故选：C.
19．C
【解析】根据抛物线方程画出图像,结合抛物线定义及梯形中位线性质,即可求得AB中点M的横坐标.
【详解】直线l过抛物线 的焦点, 交抛物线C于A、B两点
则其焦点坐标为 ,准线方程为
过 向准线作垂直交准线于 点,过 向准线作垂直交准线于 点,过 向准线作垂直交准线于 ,交 轴于 ,如下
图所示:
第 17 页设
由抛物线定义可知,
由 ,可知
因为 为 的中点,
由梯形的中位线性质可知
则
即M的横坐标是
故选:C
【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系,过焦点的直线与弦长关系,中点坐标公式及梯形中位线性质的应用,属
于基础题.
20．C
【分析】设 ，则 ，两式作差算出直线 的斜率即可.
【详解】设 ，则
两式相减得 ，
∴直线 的方程为 ，即 ，
故选：C
21．C
【分析】根据点差法和中点坐标公式即可求出；
【详解】解：设 ， ， ， ，
由 ， ，
相减可得 ，
第 18 页，
，
故选：C．
22．C
【解析】设出直线方程，联立抛物线方程，利用韦达定理和中点公式可求 的值.
【详解】设直线方程为 ，联立 得 ，
设 ，则 ，
因为线段 中点的纵坐标为 ，所以 ，所以 .
故选：C.
【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，利用弦中点求解参数时，一般利用待定系数法，结合韦达定理
及中点公式可得结果，侧重考查数学运算的核心素养.
23．D
【分析】由题设知直线 为 ，联立抛物线方程，应用韦达定理易得 的中点横坐标，根据中点在直线
上求纵坐标，即可得线段 的中点到 轴的距离.
【详解】由题意，抛物线为 ，则 ，即直线 为 ，
∴将直线方程代入抛物线整理得： ，令 ， ，
∴ ，故线段 的中点的横坐标为 代入直线 ，得： .
∴线段 的中点到 轴的距离是 .
故选：D
24．C
【分析】设 ， ，直线 的方程为 ，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，
由 的中点 的坐标，求出参数 的值，即可得到 ，再根据焦点弦的性质计算可得；
【详解】解：由条件得 ，设 ， ，直线 的方程为： ，
联立 得 ，
∴ ，由 得 .
∴ ，所以 .
故选：C
25．B
【分析】设 ，进而根据题意，结合中点弦的问题得 ，进而再求解准线方程即可.
【详解】解：根据题意，设 ，
第 19 页所以 ①， ②，
所以，① ②得： ，即 ，
因为直线AB的斜率为1，线段AB的中点的横坐标为3，
所以 ，即 ，
所以抛物线 ，准线方程为 .
故选：B
26．B
【解析】先设点 ，点 ，则 ，再把 的中点坐标 和斜率 表示
出来，
进一步可以求出线段AB的中垂线的方程，只需令 ，则 的横坐标 ，故可计算出线段FM的长度为
.
【详解】设 ， ，由抛物线性质可知 .
，由题可知 .
，即
设线段AB的中垂线的斜率为 ，则 .
所以AB的中垂线方程为：
令 ，则 的横坐标
则
所以线段FM的长度为2.
故选：B.
【点睛】（1）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用
公式|AB|＝x＋x＋p，
1 2
若不过焦点，则必须用一般弦长公式.
（2）本题还运用到点差法，设而不求，利用抛物线方程作差有效地简化了计算量，从而到达所需的变量等式，此
方法在椭圆和双曲线中也广泛运用.
27．B
【分析】联立直线与抛物线的方程，然后利用韦达定理，根据中点坐标公式，可得结果.
第 20 页【详解】解：设 ，由 ，
消去y得 ，
由题意得 ，
∴ ， .
故选：B
28．C
【分析】点差法求得 ，然后利用直线AB方程求得中点横坐标，根据抛物线定义可得.
【详解】记AB中点为 ，设 ，则 ，显然 ，所以由点差法得
，由题知 ， ，所以 ，易得直线AB方程为 ，
则 ，即 ，所以 .
故选：C
29．A
【解析】设 ,得出线段PA，PB的中点坐标，代入抛物线方程，得到 ，
从而得到答案.
【详解】设
则线段PA，PB的中点坐标分别为
线段PA，PB的中点都在抛物线 上.
则 ，即
所以 是方程 的两个实数根
所以 ，所以 ,即PM与y轴垂直
第 21 页故选：A
【点睛】关键点睛：本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线，解答本题的关键是由线段PA，PB的中点都
在抛物线 上得到 ，所以 是方程 的两个实数
根，即 ，属于中档题.
30．BCD
【解析】设方程为 ，可得 ，利用 可求出 ，得出定点，判断A；利用
点到直线距离公式可求出距离范围判断B；利用中点坐标关系表示出中点坐标，消去 可得轨迹，判断C；利用
，结合基本不等式可求判断D.
【详解】由题可知，直线AB的斜率存在且不过原点，设方程为 ， ，
联立直线与抛物线方程 ，可得 ，
则 ，
， ，
解得 （舍去）或 ，
则直线AB方程为 ，恒过定点 ，故A错误；
点 到直线 的距离 ，故B正确；
设线段 中点坐标为 ，
则 ，消去 可得 ，
故线段 中点的轨迹为抛物线，故C正确；
，则 ，
，当且仅当 ，即 时等号成立，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：
（1）得出直线方程，设交点为 ， ；
第 22 页（2）联立直线与曲线方程，得到关于 （或 ）的一元二次方程；
（3）写出韦达定理；
（4）将所求问题或题中关系转化为 形式；
（5）代入韦达定理求解.
31．AC
【分析】由 可得 ，即可判断A选项；设出直线，联立抛物线，由 求出 ，即
可判断B选项；由点差法即可求出l的斜率判断C选项；求出 即可判断D选项.
【详解】
由 可得 ，则N为 的外心，A正确；
易得直线 斜率不为0，设 ， ，联立 可得 ，
，则 ，则 ，由 可得 ，
即 ，则 ，则焦点为 ，B错误；
由 作差得 ，即 ，C正确；
，则 ，D错误.
故选：AC.
32．ACD
【分析】根据抛物线的性质判断A；根据抛物线的定义和平行线的性质判断B；设直线AB和点A、B的坐标，联
立抛物线方程，结合韦达定理和三点共线经过任意两点的直线斜率相等，判断C；结合C选项可判断D.
【详解】由题意知，抛物线C的方程为 ，
线段 长度的最小值为通径 ，A正确；
， 轴，∴ ，
第 23 页同理 ，∴ ，B错误；
设直线 ，
联立抛物线并整理，得 ，
设 ， ，
则 ， ，
∵ ，∴ ，A，O， 三点共线，C正确；
设 的中点 ，
则 ， ，
取 时， ，D正确；
故选：ACD
33．AB
【分析】直线与抛物线方程联立，利用韦达定理和中点坐标可构造方程求得 ，知A正确；
将中点坐标代入直线方程即可求得 ，知B正确；
根据直线过抛物线焦点，根据抛物线焦点弦长公式可知C错误；
根据长度关系可确定 ，由此可确定D错误.
【详解】对于A，设 ， ，
由 得： ， ，
又线段 的中点为 ， ，解得： ，A正确；
对于B， 在直线 上， ，B正确；
对于C， 过点 ， 为抛物线 的焦点，
，C错误；
对于D，设 ，则 ，又 ，
， ， 在以 为直径的圆上，D错误.
故选：AB.
34．
【分析】只需求出 的斜率即可得到直线方程，设出 ， ，利用“点差法”解决.
【详解】显然 不垂直于 轴，故 ，设 ， ，则 ，两式相减得
第 24 页．
∵点 是弦 的中点，∴ ，于是 ，即直线 的斜率 ，
故弦 所在直线的方程为 ，即 ．
故答案为：
35．
【分析】根据抛物线方程及几何关系画出图形，由抛物线定义及几何关系可求得直线 的方程，联立抛物线方程，
结合韦达定理可求得线段 中点的横坐标，再代入直线 的方程即可求得纵坐标，进而得线段 的中点坐标.
【详解】根据题意和抛物线几何关系，画出几何关系如下图所示：
如图所示，过 分别作准线的垂线，垂足分别为 ，过 作 的垂线，垂足为 .
设 ，则 ， .
由抛物线的定义知 ，
故在 中，有 ，所以 ，即直线 的倾斜角为 .
所以可设直线 的方程为 ，
代入 ，有 ，
设 ， 中点为 .
则 ，
所以 ，
所以 .
故 中点坐标为 .
故答案为： .
第 25 页【点睛】本题考查了抛物线性质及定义的应用，三角形几何关系的应用，直线与抛物线交点弦的中点坐标求法，
属于中档题.
36．①③④
【解析】设PA的方程 与抛物线方程 联立，利用判别式求出 ，可得PA的方程，同理
可得PB的方程,联立 与 的方程求出点 的坐标，可知④正确；设直线 的方程为 ，与抛物线方程
联立，当 时，利用韦达定理求出 与 可知②错误，③正确；当 时，利用抛物线的定义和
韦达定理可得弦长 ，可知①正确．
【详解】设PA方程 与抛物线方程 联立得 ，
由 得 ，
方程为 ，同理得PB方程 ，
联立 ，解得 ，
所以交点P ，即 ，所以④正确；
根据题意直线 的斜率必存在，设直线 的方程为 ，
联立 ，消去 并整理得 ，
由韦达定理得 ， ，所以③正确；
当t=-1时， ，所以②错误，
当t=-1时，根据抛物线的定义可得
，所以①正确．
故答案为：①③④
【点睛】关键点点睛：设出切线方程，利用判别式等于0，求出切线方程，联立切线方程求出交点 的坐标是解题
关键.
37． ##
【分析】结合点差法求得直线 的斜率，从而求得其倾斜角.
【详解】设 ， ，则 ， ，
第 26 页两式相减可得 ，
则 ，
故 的斜率为1，则 的倾斜角为 .
故答案为：
38．
【分析】设 ， ， ，利用点差法和两点坐标表示直线斜率可得 ，同理可得
、 ，进而可得 ，结合三角形重心的坐标表示即可得出结果.
【详解】设 ， ， ，
则 ，两式相减得 ，
所以直线AB的斜率 ，所以 ．
同理，直线BC的斜率 ，
所以 ，直线AC的斜率 ，
所以 ．所以 ，
， ，
所以 的重心的纵坐标为 ．
故答案为： .
39．
【分析】设出点A，B的坐标，再求出弦AB的垂直平分线的方程，将 代入计算作答.
【详解】设点 、 的坐标分别是 、 ，则 ， ，
两式相减得 ，因 ，即有 ，
设直线 的斜率是 ，弦 的中点是 ，则 ，
从而 的垂直平分线 的方程为 ，
又点 在直线 上，所以 ，而 ，解得 ，
弦 中点的横坐标为2.
第 27 页故答案为：2
40．
【分析】设 、 ，利用点差法可得出 ，最后根据线段 中点的纵坐标为 即
可求出结果.
【详解】设 ， ，则 ， ，
两式相减得 ，即 ，
因为 、 两点在斜率为 的直线 上，所以 ，
所以由 得 ，
因为线段 中点的纵坐标为 ，所以 ，
则 ， ，
所以F到C的准线的距离为 .
故答案为： .
41．
【分析】设 ，代入抛物线方程，结合斜率公式，求得直线 的斜率，得出 的方程为 ，联
立方程组，求得 的坐标，根据点 在 上一动点，利用点 到直线 的距离公式，得到 时，
，进而求得圆 的方程.
【详解】设 ，
因为点 在抛物线 上，可得 ，
两式相减可得 ，所以 ，
由因为 ，所以 ，所以直线 的方程为 ，
联立方程组 ，可得 ，解得 或 ，
即 或 ，
设点 ，因为点 在 （ 为原点）上一动点，
所以 且 ，
当点 到直线 的距离为 ，
第 28 页当 时， ，所以圆 的方程为 .
故答案为： .
42．(1)2
(2)3
【分析】（1）设 ，代入抛物线的方程中作差可得答案.
（2）设直线AB的方程为 ，与抛物线的方程联立，根据弦长公式求得 ，再由中点坐标公式和
基本不等式可求得答案.
(1)
解：设 ，则 ，所以 ，即 ，
又直线AB的斜率为1，所以 ，所以线段AB的中点M的横坐标为2；
(2)
解：设直线AB的方程为 ，与抛物线 联立整理得 ，则 ，
所以 ，
又 ，所以 ，整理得 ，解得 ，
设线段AB的中点M的坐标为 ，则 ，所以
，当且仅当 ，即 时取等号，
所以点M纵坐标的最小值为3．
43．(1)
(2)
【分析】（1）由题意得到关于 的方程，解方程可得 的值；
（2）设直线 的方程为 ， ， 与抛物线方程联立，结合韦达定理得到关于 的方程，
解方程即可确定直线方程，再利用弦长公式求出 ，利用点到直线的距离公式求出原点到直线的距离，最后利
用面积公式计算可得．
(1)
解：由准线方程为 知， ，故 .
(2)
解：由（1）知，抛物线方程为 ，
第 29 页设直线 的方程为 ， ，
联立抛物线方程 ，化简得 .
则 ，
由线段 的中点为 ，知 ，
，代入韦达定理知，
，解得 ，
故直线 的方程为 .
所以 ，
因此 的面积 .
44．(1) ；
(2) .
【分析】（1）设 ， ，由题设得直线 ，联立抛物线方程，由韦达定理及中点M纵坐标求
参数p，即可得抛物线方程.
（2）由 ，设 、直线 为： 并联立抛物线，根据根的个数、韦达定理求t
的范围及 ，再由已知条件可得 ，结合 在线段 上得到 关于t的参数方程，进而可
得 的轨迹方程.
(1)
设 ， ，
由题意，直线 ，即 .
由 ，消去 得： ，故 ，
，则抛物线的方程为： .
(2)
设 ，由（1）， 点坐标为 ，
由题意，直线得斜率不为0，设直线 为： .
第 30 页联立直线与抛物线的： ，消去 得： ，
因为方程有两个不等实根 ，故 或 ，
由韦达定理知： ，
因为 ，即 ，而 ， ， ， 四点共线， 在线段 上；
所以 ，化简得： ，即 ，
所以， ， ，消去参数 得： .
由 或 ，可得： .
从而 点的轨迹方程为：
【点睛】关键点点睛：第二问，设直线联立抛物线，应用判别式求参数范围，由韦达定理得到相关点坐标与参数
关系，再由 及点共线求得点N横纵坐标关于t的参数方程.
45．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设出直线方程，与抛物线联立，利用韦达定理结合中点坐标即可求出；
（2）表示出直线方程，根据坐标关系化简可得直线方程为 ，即可得出.
(1)
设直线 斜率为 ，则直线 方程为 ，
联立方程 ，可得 ，
因为 ，且 ，可得 ，
设 ，则 ，
因为线段 中点的横坐标等于2，所以 ，解得 ，符合.
(2)
由题可得 ，则直线 的方程为 ，
又 ，所以 ，
第 31 页因为 ，且 同号，所以 ，
所以直线 的方程为 ，
所以直线 恒过定点 .
46．(1)
(2)2
【分析】（1）根据抛物线上点到焦点的距离关于p的方程可求出 得抛物线方程；
（2）联立直线方程与抛物线方程得一元二次方程，由韦达定理及中点坐标公式即可求解.
(1)
由题意设抛物线方程为 ，其准线方程为 ，
∵ 到焦点的距离等于A到其准线的距离，
∴
∴
∴抛物线C的方程为
(2)
由 消去y，得 ,
∵直线 与抛物线相交于不同两点A、B，
则有 ,
解得 且 ，
又 ，
解得 ，或 （舍去）
∴ 的值为 ．
第 32 页第 33 页
