文档内容
微专题：判断零点个数
【考点梳理】
判断函数零点个数的主要方法：①解方程法；②数形结合法，即转化为两个函数图象的交点个数；③零点存
在性定理结合函数的性质.
【题型归纳】
题型一：方程法
1．已知函数 ，则方程 在 的解的个数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
2．已知函数 则函数 的零点个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．已知函数 ，则方程 的根个数为（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
题型二：数形结合法
4．函数 的零点个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．已知函数 ，则函数 ， 的零点个数（ ）
A．5或6个 B．3或9个 C．9或10个 D．5或9个
6．已知函数 ，则函数 的零点个数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
题型三：零点存在性定理
7．函数 所有零点的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
第 1 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司8．函数 的零点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
9．函数 的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【双基达标】
10．已知 是定义在 上的奇函数，且满足 ，当 时， ，则函数 与函
数 的图象在 上所有交点的横坐标之和为（ ）
A．2020 B．1010 C．1012 D．2022
11．函数 的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
12．给出下列四个命题，其中假命题的个数为（ ）
① ，使 是幂函数；
②若 只有一个零点，则 ；
③命题“若 且 ，则 ”的否命题为“若 且 ，则 ”；
④函数 在区间 上单调递增，则 ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
13．已知函数 ，则关于 的方程 有 个不同实数解，则实数 满足
（ ）
A． 且 B． 且
C． 且 D． 且
14．已知函数 ，以下结论中错误的是（ ）
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． 是偶函数 B． 有无数个零点
C． 的最小值为 D． 的最大值为
15．函数f（x）＝ 的零点个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
16．已知函数 ，则 在区间 上的零点的个数为（ ）
A． B． C． D．
17．已知 ，则函数 的零点个数为（ ）
A． B． C． D． 、 或
18．已知函数 ，则函数 的零点个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
19．声音是由物体振动产生的声波，我们听到的声音中包含着正弦函数．若某声音对应的函数可近似为
，则下列叙述正确的是（ ）
A． 为 的对称轴 B． 为 的对称中心
C． 在区间 上有3个零点 D． 在区间 上单调递增
20．已知函数 与 ，则它们的图象交点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．不确定
21．已知定义在 上的函数 和 都是偶函数，当 时， ，则函数
在 上的零点个数是（ ）
A． B． C． D．
22．函数 满足 ， ，当 时， ，则关于x的方程
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司在 上的解的个数是（ ）
A．1010 B．1011 C．1012 D．1013
23．函数 的零点的个数是（ ）
A． B． C． D．
24．已知函数 在区间 上有且仅有4条对称轴，给出下列四个结论：
① 在区间 上有且仅有3个不同的零点；
② 的最小正周期可能是 ；
③ 的取值范围是 ；
④ 在区间 上单调递增．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①④ B．②③ C．②④ D．②③④
25．若函数 满足对 都有 ，且 为R上的奇函数，当 时，
，则 的零点个数为（ ）
A．2 B．3
C．4 D．5
【高分突破】
一、单选题
26．已知函数f(x)＝ ，则此函数图象上关于原点对称的点有（ ）
A．0对 B．1对
C．2对 D．3对
27．已知函数 ，则函数 的零点个数为（ ）
A．3 B．4 C．2 D．1
28．定义在R上的函数 满足 ， ，若 ，则函数
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司在区间(9,11)内（ ）
A．没有零点 B．可能有无数个零点
C．至少有2个零点 D．有且仅有1个零点
29．已知函数 ，若方程 的所有实根之和为4，则实数 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
30．已知函数 ，则方程 的实数根的个数为（ ）
A． B． C． D．
31．设函数 定义域为R， 为奇函数， 为偶函数，当 时， ，则函数
有（ ）个零点
A．4 B．5 C．6 D．7
32．已知函数 ，则函数 的零点个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
33．已知函数 则方程 的解的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
34．二次函数 在 上有两个零点，则函数 在 上的零点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．以上均不对
二、多选题
35．已知函数 关于 的方程 的实数解个数，下列说法正确的是（ ）
A．当 时，方程有两个实数解
B．当 时，方程无实数解
C．当 时，方程有三个实数解
D．当 时，方程有两个实数解
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司36．已知函数 ，下列说法正确的是（ ）.
A． 是周期函数
B．若 ，则 （ ）
C． 在区间 上是增函数
D．函数 在区间 上有且仅有一个零点
37．设函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 有实根，则方程 有实根
B．若 无实根，则方程 无实根
C．若 ，则函数 与 都恰有 个零点
D．若 ，则函数 与 都恰有 零点
38．下列说法正确的是（ ）
A．函数 在定义域上是减函数
B．函数 有且只有两个零点
C．函数 的最小值是1
D．在同一坐标系中函数 与 的图象关于 轴对称
三、填空题
39．已知 ，则函数 零点的个数为___________.
40．设函数 ，当函数的零点个数达到最大值时，实数k的取值范围为______．
41．已知 是定义在 上的奇函数，当 时， 有下列结论：
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司①函数 在 上单调递增；
②函数 的图象与直线 有且仅有 个不同的交点；
③若关于 的方程 恰有 个不相等的实数根，则这 个实数根之和为 ；
④记函数 在 上的最大值为 ，则数列 的前 项和为 .
其中所有正确结论的编号是___________.
42．方程 的所有根的和为___________．
43．已知函数 ，下列关于函数 的说法正确的序号有________.
①函数 在 上单调递增；
② 是函数 的周期；
③函数 的值域为 ；
④函数 在 内有4个零点.
44． 的零点的个数为________．
四、解答题
45．已知 ．
(1)当 时，判断函数 零点的个数；
(2)求证： .
46．已知函数 ．
（1）若对任意的x∈R ，不等式f(x)>0恒成立，求m的取值范围；
＋
（2）试讨论函数f(x)零点的个数．
47．对定义在 上，并且同时满足以下两个条件的函数 称为G函数.①对任意的 ，总有 ；②
当 时，总有 成立.已知函数 与 是定义在
上的函数.
(1)试问函数 是否为G函数？并说明理由；
第 7 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(2)若函数 是G函数，
（i）求实数a的值；
（ii）讨论关于x的方程 解的个数情况.
48．函数 在区间 上是否存在零点？若存在，有几个零点？
49．已知函数 .
(1)讨论 的导函数 零点的个数；
(2)若 的最小值为e，求a的取值范围.
第 8 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．C
【解析】
【分析】
由题设及正弦函数的性质知 ，再判断一个周期内解的个数，由 与周期的数量关系判断解的个数.
【详解】
由 ，则 或 且 ，而 ，
所以 ，在 上有2个解， 上无解，
所以 在 上有6个解，则 有2个解，
所以共有8个解.
故选：C
2．C
【解析】
【分析】
当 时，函数没有零点；当 时，函数有两个零点，即得解.
【详解】
解：当 时， ，因为 ，所以舍去；
当 时， 或 ，满足 .所以 或 .
函数 的零点个数为2个.
故选：C
3．A
【解析】
【分析】
设 ，所以 ，求出 的值，得到 或 ，
解方程求解即可.
【详解】
令 ，即 根的个数，
设 ，所以 ，即 或 ，解得 或 ，
即 或 ，即 或 ，解得 ；
或 或 ，无符合题意的解.
综上所述：程 的根个数为 个.
故选：A.
第 9 页4．B
【解析】
【分析】
令 ，即可得到 ，则函数的零点个数转化为函数 与 的交点个数，画出函数图象，数
形结合即可判断.
【详解】
解：由题意，令 ，即 ，
则函数 的零点个数，等价于两个函数 与 的交点个数，
与 两函数的图象如下图所示：
由图知，两个函数有 个交点，故函数 的零点个数是 .
故选：B．
5．D
【解析】
【分析】
设 ，求导分析 的最值与极值，画出图形，再分析 与 的根的范围与个数即可
【详解】
设 ，则由 ，
得 ，即 ，
又 ，
由 得 或 ，此时函数单调递增，
由 得 ，此时函数单调递减，
即函数在 处取得极大值 ，
函数在 处取得极小值 ，
第 10 页又由 ， 可得图象：
若 ， ，则方程有三个解，
满足 ， ， ，
则当 时，方程 ，有3个根，
当 时，方程 ，有3个根，
当 时，方程 ，有3个根，
此时共有9个根，
若 ， ，则方程有两个解，
满足 ， ，
则当 时，方程 ，有3个根，
当 ，有2个根，
此时共有5个根，
同理 ， ，也共有5个根
故选：D．
6．B
【解析】
【分析】
令 ， ，则 ，分别作出函数 和直线 的图象，得到 ， ，再
分别作出函数 和直线 的图象，得到方程 和方程 的根的个数，进而得到函数
的零点个数.
【详解】
令 ， ，则 ，即 ，
分别作出函数 和直线 的图象，如图所示，
第 11 页由图象可得有两个交点，横坐标设为 ， ，
则 ， ，
对于 ，分别作出函数 和直线 的图象，如图所示，
由图象可得，
当 时，即方程 有两个不相等的根，
当 时，函数 和直线 有三个交点，
即方程 有三个不相等的根，
综上可得 的实根个数为 ，
即函数 的零点个数是5.
故选：B.
7．C
第 12 页【解析】
【分析】
先判断函数 的定义域及奇偶性，利用导数求解函数 的单调性，结合零点存在定理即可得出结论.
【详解】
解：由题可知， ，且 ，
故函数 为定义域上的偶函数，且 ，
当 ，且 时， ，
当 时， ，函数 单调递减，且 ，故函数 在区间 上无零点，
当 时， ，函数 单调递减，当 时， ，当 时， ，故函数 在区
间 上必存在一点 ，使得 ，所以函数 在区间 上有1个零点，
又函数 为定义域上的偶函数，则函数 在区间 上有1个零点，
又 ，
所以函数 共有3个零点.
故选：C.
8．B
【解析】
【分析】
利用函数的单调性及零点存在性定理即得.
【详解】
由于函数 在 上是增函数，且 ，
故函数在 上有唯一零点，也即在 上有唯一零点.
故选：B.
9．B
【解析】
【分析】
应用导数研究 的单调性、极值，再结合零点存在性定理判断区间零点个数，即可确定答案.
【详解】
由题设， 且 定义域为 ，
所以在 上 ，在 上 ，即 在 上递减，在 上递增，
所以 的极小值为 ，又 ， ，
则 在 、 上各有一个零点，共有2个零点.
故选：B
10．A
【解析】
第 13 页【分析】
根据条件先得出函数 的周期性和对称性，然后再利用函数 与函数 的图像交点研究问题即可.
【详解】
因为 是定义在 上的奇函数，
所以 ，即当 时，
由已知 ，
，
，故 是 周期函数，且对称轴为 ，
又 ，即 ，
所以函数 关于 对称
如图函数 和函数 在 上的图像
在区间 上，包含了函数 中的 个周期再加上 个周期，
在区间 上，包含了函数 中的 个周期再加上 个周期，
所以函数 和函数 在 和 上都有 个交点，
根据对称性可得所有交点的横坐标之和为 .
故选：A.
11．C
【解析】
【分析】
由题意可知零点个数转化为 的交点个数，作出图象即可求解
【详解】
函数 ，由 ，可得 ，作出 和 的图象，
第 14 页由图象可得它们有2个交点，则 的零点个数为2，
故选：C.
12．C
【解析】
【分析】
根据幂函数的定义判断①，分 与 两种情况判断②，根据否命题的定义判断③，求出函数的导函数，即可
得到 在 上恒成立，参变分离，再利用基本不等式计算可得，即可判断④；
【详解】
解：对于①，令 ，即 ，
因为 ，所以方程有两个不相等实数根，所以存在实数 满足题意，故①正确；
对于②，若 只有一个零点，
当 时 只有一个零点满足题意，
当 ，令 ，即 ，则 ，解得 ，
综上可得 或 ，故②错误；
对于③，命题“若 且 ，则 ”的否命题为“若 或 ，则 ”，故③错误；
对于④，因为 ，所以 ，
因为 在 上单调递增，所以 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
因为 ，当且仅当 ，即 时取等号，所以 ，故④错误；
故选：C
13．C
【解析】
【分析】
令 ，利用换元法可得 ，由一元二次方程的定义知该方程至多有两个实根 、 ，作出函数
第 15 页的图象，结合题意和图象可得 、 ，进而得出结果.
【详解】
令 ，作出函数 的图象如下图所示：
由于方程 至多两个实根，设为 和 ，
由图象可知，直线 与函数 图象的交点个数可能为0､2､3､4，
由于关于x的方程 有7个不同实数解，
则关于u的二次方程 的一根为 ，则 ，
则方程 的另一根为 ，
直线 与函数 图象的交点个数必为4，则 ，解得 .
所以 且 .
故选：C.
14．C
【解析】
【分析】
由奇偶性定义可判断出A正确；令 可确定B正确；根据 定义域为 ， ，可知若最小值为
，则 是 的一个极小值点，根据 可知C错误；由 时， 取得最大值， 取得最
小值可确定D正确.
【详解】
对于A， 定义域为 ， ，
为偶函数，A正确；
对于B，令 ，即 ， ，解得： ，
有无数个零点，B正确；
对于C， ， 若 的最小值为 ，则 是 的一个极小值点，则 ；
第 16 页， ，
不是 的极小值点，C错误；
对于D， ， ；
则当 ， ，即 时， 取得最大值 ，D正确.
故选：C.
15．C
【解析】
题目中条件：“函数 的零点个数”转化为方程 的根的个数问题及一次函数
的根的个数问题，分别画出方程 左右两式表示的函数图象即得．
【详解】
对于函数 的零点个数
转化为方程 的根的个数问题，分别画出左右两式表示的函数：如图．
由图象可得两个函数有两个交点．
又一次函数 的根的个数是：1．
故函数 的零点个数为3
故选： ．
【点睛】
函数的图象直观地显示了函数的性质，在判断方程是否有解、解的个数及一次方程根的分布问题时，我们往往构
造函数，利用函数的图象解题，体现了数形结合的数学思想，属于基础题．
16．B
【解析】
【分析】
将问题转化为函数 与函数 的图像交点个数，画出图像即可观察出答案.
【详解】
由已知 在区间 上的零点的个数即为函数 与函数 的图像交点个数，
两个函数在同一坐标系下的图像如下：
第 17 页明显函数 与函数 的图像在 上有2个交点
故选：B.
17．A
【解析】
【分析】
作出函数 与 的图象，观察两个函数图象的交点个数，即可得解.
【详解】
函数 的零点个数，等于函数 和函数 的图象的交点个数，如下图所示：
由图可知，当 时，函数 和函数 的图象的交点个数为 ，
故 时，函数 的零点个数为 ．
故选：A．
18．B
【解析】
【分析】
由 的性质求出对应区间的值域及单调性，令 并将问题转化为 与 交点横坐标 对应 值的个
数，结合数形结合法求零点个数即可.
【详解】
令 ，
当 时， 且递增，此时 ，
当 时， 且递减，此时 ，
第 18 页当 时， 且递增，此时 ，
当 时， 且递增，此时 ，
所以， 的零点等价于 与 交点横坐标 对应的 值，如下图示：
由图知： 与 有两个交点，横坐标 、 ：
当 ，即 时，在 、 、 上各有一个解；当 ，即 时，在
有一个解.
综上， 的零点共有4个.
故选：B
19．D
【解析】
【分析】
利用 知 关于直线 对称的性质验证A；求得 可判断B；化简
，令 ，得 ，进而判断C；利用导数研究函数的单调性可判断D.
【详解】
对于A，由已知得 ，即 ，故 不关于 对称，
故A错误；
对于B， ，故B错误；
对于C，利用二倍角公式知 ，令 得 或 ，即 ，所以该函
数在区间 内有4个零点，故C错误；
对于D，求导 ，令 ，由 ，知 ，即 ，
利用二次函数性质知 ，即 ，可知 在区间 上单调递增，故D正确；
故选：D.
第 19 页20．B
【解析】
【分析】
令 ，判断 的单调性并计算 的极值，根据极值与0的大小关系判断 的零点个数，得出
答案.
【详解】
令 ，则 ，由 ，得 ，
∴当 时， ，当 时， .
∴当 时， 取得最小值 ，
∴ 只有一个零点，即 与 的图象只有1个交点.
故选：B.
21．D
【解析】
【分析】
根据题意得函数 的周期为 ，进而作出函数图像，数形结合求解即可.
【详解】
因为 是偶函数，所以函数 的图象关于 轴对称，即 .又因为函数 为偶函数，
所以 ，即 ，
所以函数 的周期为 .
因为当 时， ，
所以 ， ， 在 上单调递增.
作出函数 与函数 的图象如图所示.由图可得，交点共有 个，
故函数 的零点个数为 .
故选:D.
22．B
【解析】
【分析】
第 20 页根据题意，函数 关于点 对称，直线 对称，进而作出函数图像，易得 为周期函数，周期为 ，
再结合指数函数图像与周期函数性质，数形结合求解即可.
【详解】
解：因为函数 满足 ，所以函数 关于点 对称，
因为 ，即 ，所以函数 关于直线 对称，
因为当 时， ，
所以，结合函数性质，作出函数图像，如图所示：
由图可知，函数 为周期函数，周期为 ，
由于函数 一个周期内， 与 有2个交点，
在 上， 与 有1个交点，
所以根据函数周期性可知，当 时， 与 有 个交点.
所以关于x的方程 在 上的解的个数是 个.
故选：B
23．B
【解析】
【分析】
令 可得 ，作出函数 、 的图象，观察两函数图象的交点个数，即可得解.
【详解】
令 可得 ，则函数 的零点个数即为函数 、 图象的交点个数，
分别作函数 、 的图象，如图，
第 21 页由图可得交点个数为 ，
因此，函数 的零点的个数是 ，
故选：B.
24．B
【解析】
【分析】
令 ，则 ，由函数 在区间 上有且仅有4条对称轴，即
有4个整数 符合，可求出 判断③，再利用三角函数的性质可依次判断①②④.
【详解】
由函数 ，
令 ，则
函数 在区间 上有且仅有4条对称轴，即 有4个整数 符合，
由 ，得 ，则 ，
即 ， ，故③正确；
对于①， ， ，
当 时， 在区间 上有且仅有3个不同的零点；
当 时， 在区间 上有且仅有4个不同的零点；故①错误；
对于②，周期 ，由 ，则 ， ，
又 ，所以 的最小正周期可能是 ，故②正确；
对于④， ， ，又 ，
又 ，所以 在区间 上不一定单调递增，故④错误．
故正确结论的序号是：②③
第 22 页故选：B
【点睛】
方法点睛：函数 的性质：
(1) .
(2)周期
(3)由 求对称轴，由 求对称中心.
(4)由 求增区间；由 求减区间.
25．C
【解析】
【分析】
分析函数 的性质，在同一坐标系内作出函数 与 的部分图象，再借助图象求解作答.
【详解】
依题意， ， 为R上的奇函数，即 ，则 ，因此， 是周期
为2的周期函数，
当 时， 是递增的，令 ，有 ，即 ，
在同一坐标系内作出函数 与 的部分图象，如图，
观察图象得函数 与 的图象有4个公共点，
所以 的零点个数为4.
故选：C
26．B
【解析】
【分析】
首先作出函数y＝f(x)图象，在同一坐标系中，再作出－y＝f(－x)，由数形结合即可求解.
【详解】
作出函数y＝f(x)图象如图所示：
第 23 页再作出－y＝f(－x)，即y＝x2－4x，
恰好与函数图象位于y轴左侧部分(对数函数的图象)关于原点对称，记为曲线C，
发现y＝ 与曲线C有且仅有一个交点，
因此满足条件的对称点只有一对，图中的A、B就是符合题意的点．
故选：B．
27．A
【解析】
【分析】
令 ，令 ，得出 ，求出关于 的方程 的根 或 ，然后再考查
直线 或 与函数 的图象的交点个数，即可得出答案．
【详解】
令 ，令 ，则 ,
当 时，则 ，所以 ， ，
当 时， ，则 ，
作出函数 的图象如下图所示，
直线 与函数 的图象只有1个交点，
线 ，与函数 的图象只有2个交点，
因此，函数 只有3个零点，
故选： ．
28．D
第 24 页【解析】
由已知条件可知 的对称轴为 ，在 上单调递减；在 上单调递增，又 及对
称性知 ，结合区间单调性即可知(9,11)内零点个数.
【详解】
∵函数 满足 ，
∴函数 图象的对称轴为直线 ．
又∵ ，
∴当 时， ；当 时， ，
∴函数 在 上单调递减；在 上单调递增．
又 ，且由对称性得， ， ，则 ．
又函数 在区间 上单调递增，
∴函数 在区间 内有且仅有1个零点．
故选：D．
【点睛】
结论点睛：函数对称性、单调性、零点个数判断.
1、当 时有对称轴为 ．
2、当 时函数在对应区间单调增，当 时函数在对应区间单调减.
3、当在一个区间内两端点值符号不同且单调时有且只有一个零点，若单调性不定必有零点但个数不定.
29．C
【解析】
【分析】
由题对 取特殊值，利用数形结合，排除不合题意的选项即得.
【详解】
令 ，
当 时，方程为 ，即 ，
作出函数 及 的图象，
第 25 页由图象可知方程的根为 或 ，即 或 ，
作出函数 的图象，结合图象可得所有根的和为5，不合题意，故BD错误；
当 时，方程为 ，即 ，
由图象可知方程的根 ，即 ，
结合函数 的图象，可得方程有四个根，所有根的和为4，满足题意，故A错误.
故选：C.
30．B
【解析】
【分析】
由已知，可令 ，要求 ，即为 ，原题转化为直线 与 的图象的交点情况，通
过画出函数 的图象，讨论 的取值，即可直线 与 的图象的交点情况.
【详解】
令 ，则 ，
①当 时， ， ， ，即 ，
②当 时， ， ，
画出函数 的图象，如图所示，
第 26 页若 ，即 ，无解；
若 ，直线 与 的图象有3个交点，即 有3个不同实根；
若 ，直线 与 的图象有2个交点，即 有2个不同实根；
综上所述，方程 的实数根的个数为5个，
故选： ．
31．C
【解析】
【分析】
根据题意可得 的对称性，再画出 的图象，再数形结合判断 的图象交点个数即可
【详解】
的零点个数即 的图象交点个数.因为 为奇函数，故 关于原点对称，故
关于 对称，又 为偶函数，故 关于 对称，又当 时， ，画出图象，
易得函数 的图象有6个交点
故选：C
32．D
【解析】
【分析】
转化为两个函数图象的交点个数，作图求解
【详解】
第 27 页当 时， ，则 ；以此类推，当 时， ；…；
在平面直角坐标系中作出函数 与 的部分图象如图所示.
由图可知， 与 的图象有7个不同的交点
故选：D
33．C
【解析】
【分析】
函数 零点的个数即函数 与函数 的交点个数，结合图像分析．
【详解】
令 ，得 ，则函数 零点的个数即函数 与函数 的交点个数．
作出函数 与函数 的图像，可知两个函数图像的交点的个数为2，故方程 的解的个数为2
个．
故选：C．
34．C
【解析】
根据两函数之间关系，结合题中条件，可直接得出结果.
【详解】
因为 可由 向左平移一个单位后得到，
又二次函数 在 上有两个零点，
所以向左平移一个单位后，其零点位于区间 内，
即函数 在 上的零点的个数为 个.
故选：C.
35．CD
【解析】
【分析】
第 28 页方程 即 ，作出函数 的简图，数形结合可得结果.
【详解】
方程 即 ，作出函数 的简图，由图可知：
当 时，函数 的图象与直线 有2个交点，即方程 有2个实数解；当 时，函数
的图象与直线 有3个交点，即方程 有3个实数解，故A错误；
当 时，函数 的图象与直线 有1个交点，即方程 有1个实数解，故B错误；
当 时，函数 的图象与直线 有3个交点，即方程 有3个实数解，故C正确；
当 时，函数 的图象与直线 有2个交点，即方程 有2个实数解，故D正确.
故选：CD.
36．AB
【解析】
【分析】
写出 的分段函数形式，A应用正余弦函数的性质判断 的周期性，B由已知可得 ，则
， （ ），即可判断正误；根据解析式，应用特殊值法判断C、D的正误.
【详解】
将函数 化作分段函数，即 ，
A， ，
是周期为 的函数，对；
B，由 得 ，则 ，
此时 ， （ ），可得 ，对；
C，由解析式得 ， 在 上不单调，错；
第 29 页D，由解析式知 ，即 在 上至少有两个零点，错.
故选：AB.
37．ABD
【解析】
【分析】
直接利用代入法可判断A选项的正误；推导出 对任意的 恒成立，结合该不等式可判断B选项的
正误；取 ，结合方程思想可判断C选项的正误；利用二次函数的基本性质可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项，设 有实根 ，则 ，A选项正确；
对于B选项，因为 ，若方程 无实根，则 对任意的 恒成立，
故 ，从而方程 无实根，B选项正确；
对于C选项，取 ，则 ，函数 有两个零点，
则 ，可得 或 ，即 或 .
解方程 可得 或 ，解方程 ，解得 .
此时，函数 有 个零点，C选项错误；
对于D选项，因为 ，设 ，则 ，
因为 且 ，所以，函数 必有两个零点，设为 、 且 ，
则 ，所以，方程 无解，方程 有两解，
因此，若 ，则函数 与 都恰有 零点，D选项正确.
第 30 页故选：ABD.
【点睛】
思路点睛：对于复合函数 的零点个数问题，求解思路如下：
（1）确定内层函数 和外层函数 ；
（2）确定外层函数 的零点 ；
（3）确定直线 与内层函数 图象的交点个数分别为 、 、 、 、 ，则函数
的零点个数为 .
38．CD
【解析】
【分析】
利用熟知函数的图象与性质逐一判断即可.
【详解】
对于A， 在定义域上不具有单调性，故命题错误；
对于B，函数 有三个零点，一个负值，两个正值，故命题错误；
对于C，∵|x|≥0，∴2|x|≥20＝1，∴函数y＝2|x|的最小值是1，故命题正确；
对于D，在同一坐标系中，函数y＝2x与y＝2﹣x的图象关于y轴对称，命题正确.
故选CD
【点睛】
本题考查函数的性质，涉及到单调性、最值、对称性、零点等知识点，考查数形结合能力，属于中档题.
39．
【解析】
【分析】
函数 零点的个数可转化为函数 与函数 的图像交
点个数，画出两个函数图像观察交点个数即可.
【详解】
解：对于函数 ，
当 时， ，
第 31 页当 时，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
，
函数 零点的个数可转化为函数 与函数 的图像交
点个数，
在同一个直角坐标系中画出两个函数图像如图：
观察图像可得：两个函数有4个交点，即函数 零点的个数为4.
故答案为：4.
【点睛】
关键点点睛：本题主要考察零点个数问题，我们可以把零点个数问题转化为函数图像的交点个数，这里准确的画
出函数图像是关键。另外本题函数 中带有 结构，这里需要分类讨论求函
数在不同区间上的解析式，并及时发现规律，可使问题变简单.
40．
【解析】
【分析】
设 ，由 得 ，利用数形结合可得，当 时， 与 有
4个交点，再结合 ，即得.
【详解】
第 32 页设 ， ，则 时， ，
设 ，则 ，
函数 图象如图所示， ，
当 时， 与 有4个交点，此时两者的交点最多，设交点横坐标为 ，
由图可知 ，
又 ，若 ，有一个解， ，有两个解，
∴当 与 有4个交点，且交点横坐标均大于 时，函数 的零点最多，
∴ 即 .
故答案为： .
41．①④
【解析】
【分析】
作出函数的图像，利用数形结合思想依次判断选项①②③，利用等比数列求和判断选项④；
【详解】
当 时， ，此时不满足方程；
若 ，则 ，即
若 ，则 ，即
作出函数在 时的图像，如图所示，
第 33 页对于①，由图可知，函数 在 上单调递增，由奇函数性质知，函数 在 上单调递增，故①正确；
对于②，可知函数在 时的图像与与直线 有1个交点，结合函数 的奇偶性知， 的图象与直线
有3个不同的交点，故②错误；
对于③，设 ，则关于 的方程等价于 ，解得： 或
当 时，即 对应一个交点为 ；方程恰有4个不同的根，可分为两种情况：
（1） ，即 对应3个交点，且 ， ，此时4个实数根的和为8；
（2） ，即 对应3个交点，且 ， ，此时4个实数根的和为4，故③错误；
对于④，函数 在 上的最大值为 ，即 ，由函数的解析式及性质可知，数列 是首项为1，
公比为 的等比数列，则数列的前 项和为 ，故④正确.
故答案为：①④
【点睛】
方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数
形结合的方法求解
42．8
【解析】
【分析】
第 34 页由于函数 与 都关于点 成中心对称，结合图像以 为中心的两个函数有8个交点，
利用对称性得解.
【详解】
设 ， ，等价于求两个函数的交点的横坐标的和的问题．
显然，以上两个函数都关于点 成中心对称，作出两个函数的图象，如图所示，
函数 在 上出现1.5个周期的图象，在 和 上是减函数；在 和 上是增函数．
函数 在 上函数值为负数，且与 的图象有四个交点 、 、 、 ，
相应地， 在 上函数值为正数，且与 的图象有四个交点 、 、 、 ，
且： ，
故所求的横坐标之和为8，
故答案为：8．
【点睛】
方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数
形结合的方法求解
43．①③④
【解析】
【分析】
①化简解析式，求出 范围，根据正弦函数的单调性即可判断；
②根据奇偶性举特例验证f(x＋2π)与f(x)关系即可；
③分类讨论求出f(x)解析式，研究在x≥0时的周期性，再求出值域即可；
④根据值域和单调性讨论即可.
【详解】
∵函数 ，定义域为R， ，∴ 为偶
第 35 页函数.
当 时， ， ，
，此时正弦函数为增函数，故①正确；
∵ ，
∴ ，
而 ，
∴ 不是函数 的周期，故②错误；
当 或 ，k∈Z时， ，
此时 ，
当 ，k∈Z时， ，
此时 ，
故 时， 是函数的一个周期，
故考虑 时，函数的值域，
当 时， ， ，此时 单调递增，
当 时， ， ，此时 单调递减，
；
当 时， ， ，此时 ，
综上可知， ，故③正确；
由③知， 时， ，且函数单调递增，故存在一个零点，
当 时， ，且函数单调递减，故存在一个零点，
其他区域无零点，
故当 时，函数有2个零点，
∵函数为偶函数，∴函数 在 内有4个零点.故④正确；
第 36 页故答案为：①③④.
44．1
【解析】
【分析】
的零点的个数即即 且 ，从而得出答案.
【详解】
的零点的个数即方程 的解的个数，
即 且 ；
解得， ；
故 的零点的个数为1；
故答案为：1．
【点睛】
本题考查函数的零点个数的求法，属于基础题.
45．(1)1；
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）把 代入，求导得函数 的单调性，再由 作答.
（2）构造函数 ，利用导数借助单调性证明作答.
(1)
当 时， ， ，当且仅当 时取“=”，
所以 在R上单调递增，而 ，即0是 的唯一零点，
所以函数 零点的个数是1.
(2)
，令 ，则 ，因 ，则 ，
因此，函数 在 上单调递增， ， ，
所以当 时， 成立.
46．（1） ；（2）答案见解析.
【解析】
【分析】
（1）分离参数，将问题转化为求函数最值问题，进而得到答案；
（2）分离参数，作出函数的图象，通过数形结合求得答案.
【详解】
第 37 页（1）当x>0时， ，不等式f(x)>0恒成立等价于 恒成立，
则 恒成立，而 ，当 时，有最大值 ，所以 .
（2）令 ，得 ，
在同一坐标系中作出函数 与函数 的图象(如图，仅作出 时的情况)．
结合图象可知，
① 或 ，有一个零点；
② 或m＝0时，有两个零点；
③ 且m≠0时，有三个零点．
47．(1)是，理由见解析；
(2)（i）1；（ii）详见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据G函数的定义求解；
（2）（i）根据函数 是G函数，由 ，总有 成立，求得 再由②当
时，总有 成立，由 ，对 时成立，求得
求解；（ii）将方程 ，转化为 ，令 ，转化为
求解.
(1)
解：函数 是为G函数，理由如下：
①对任意的 ，总有 ；
②当 时， ，
第 38 页所以函数 是为G函数，
(2)
（i）因为函数 是G函数，
则① ，总有 成立，
即 ，对 成立，
所以
②当 时，总有 成立，
即 ，对 时成立
因为 ，
所以 ，
因为 不同时为1，
所以 ，
当 时，等号成立，
所以 ，
综上： ，
（ii）方程 ，即为 ，
令 ，则方程为 ，
当 或 时，方程无解；
当 时，方程一个解；
当 时，方程有两个解.
48．存在，函数 在区间 上有三个零点．
【解析】
【分析】
借助于计算器首先考察区间的两个端点的函数值的符号是否相异，若为异号，则该区间上必有零点；若为同号，
则再考察区间中间点的函数值的符号是否与区间两端点的函数值异号，经过几次这样的考察，即可得到本题的答
案．
【详解】
因为 ， ，
所以在区间 上至少有一个零点．
取区间 的中点 ；
第 39 页取区间 的中点 ；
取区间 的中点 ．
因为 ，所以在区间 上至少有一个零点；
因为 ，所以在区间 上至少有一个零点；
因为 ，所以在区间 上至少有一个零点．
又由于函数 是三次函数，最多有三个零点，
所以，函数 在区间 上有三个零点．
【点睛】
本题考查零点存在性定理，利用二分法确定零点所在的区间，考查数形结合思想，属于基础题.
49．(1)答案见解析；
(2) .
【解析】
【分析】
（1）对 求导有 ，再研究 的单调性，结合 及零点存在
性定理，讨论a的范围判断 零点的个数.
（2）讨论 、 、 、 ，结合 的符号研究 的单调性并结合 求参数a的范围.
(1)
，
令 ，则 ，故 在 上单调递增，而 ，
当 时， 无解；
当 时，由 ， ，故 有一个在 上的解；
当 时，由 ，故 的解为1；
当 时，由 ， ，故 有一个在 上的解；
综上，当 或 时，导函数 只有一个零点.
当 或 时，导函数 有两个零点.
(2)
当 时， ，则函数 在 处取得最小值 .
当 时，由（1）知： 在 上单调递增，则必存在正数 使得 .
若 则 ，在 上 ，则 ，在 上 ，则 ，在 上
，则 ，
所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减，又 ，不合题意.
若 则 ，在 上 ，则 在 上单调递增，又 ，不合题意.
若 则 ，在 上 ，则 ，在 上 ，则 ，在 上
第 40 页，则 ，
所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减，则 ，
解得 ，即 .
综上， .
第 41 页第 42 页
