文档内容
微专题：充分必要条件的判定
【考点梳理】
1. 充分条件、必要条件与充要条件
如果p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件. 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结
论成立的一个充分条件；每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件；每一条数学定义都给出
了相应数学结论成立的一个充要条件
p是q的充分不必要条件 记作 p ⇒ q 且q p
p是q的必要不充分条件 记作p q 且 q ⇒ p
p是q的充分必要条件(简称充要条件) 记作 p ⇔ q
p是q的既不充分又不必要条件 记作p q 且q p
2. 充分、必要条件的传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条
件.
3. 以下说法等价：p⇒q；p是q的充分条件；q是p的必要条件；p的一个必要条件是q；q的一个充分条件是
p.
【题型归纳】
题型一：充分不必要条件的判定
1．“ ”是“函数 在区间 上单调递减”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．在 中，“A=B”是“sin2A=sin2B”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．设函数 （其中 为自然常数），则“ ”是“ 在区间 上单调递增”的
（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
题型二：必要不充分条件的判定
4．设 ，则使 成立的一个必要不充分条件为（ ）
A． B． C． D．
第 1 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司5．已知函数 ，则“ ”是“ 在R上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．“函数 在 上单调递减”是“函数 为偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
题型三：充要条件的判定
7．在等比数列 中，“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．已知四边形 为平行四边形，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
9．若 与 都是非零向量，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分但非必要条件 B．必要但非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
题型四：既不充分也不必要条件的判定
10．已知命题 ，命题 ，则 是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
11．“ ”是“G是a、b的等比中项”的（ ）条件
A．既不充分也不必要 B．充分不必要
C．必要不充分 D．充要
12．在 ABC中，角A，B，C所对的边分别为 ，则“ ”是“ ABC是等
△ △
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司腰三角形”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【双基达标】
13．“学生甲在河北省”是“学生甲在沧州市”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
14．“ ”是“直线 和直线 垂直”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
15．“直线 与 平行”是“直线 与 的斜率相等”的（ ）条件
A．充分非必要 B．必要非充分
C．充要 D．既非充分又非必要
16．在 中，“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
17．已知实数 ， ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
18．复数 的平方是一个实数的充要条件是（ ）.
A． 且 B． 且
C． D．
19．给出下列说法：
①“ ”是“ ”的充分不必要条件；
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司②命题“ ， ”的否定形式是“ ， ”.
③将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个
班，则不同分法的种数为 种.其中正确说法的个数为
A． B． C． D．
20．若 ，则“ ”是 “ ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
21．2022年3月21日，东方航空公司MU5735航班在广西梧州市上空失联并坠毁．专家指出：飞机坠毁原因需要
找到飞机自带的两部飞行记录器（黑匣子），如果两部黑匣子都被找到，那么就能形成一个初步的事故原因认定.3
月23日16时30分左右，广西武警官兵找到一个黑匣子，虽其外表遭破坏，但内部存储设备完整，研究判定为驾
驶员座舱录音器．则“找到驾驶员座舱录音器”是“初步事故原因认定”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
22．已知函数 ，则“ ”是“ 有极值”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
23．命题“ ， ”是真命题的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
24．已知 、 、 、 ，则“ ”是“ ”的（ ）注：
表示 、 之间的较大者.
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
25．“ ”是“ 为圆方程”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
26．已知等比数列 的前n项和为 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司27．若 、 为实数，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
28．2019年12月，湖北省武汉市发现多起病毒性肺炎病例．2020年1月12日，世界卫生组织正式将造成此次肺
炎疫情的病毒命名为“2019新型冠状病毒”．2020年2月11日，世界卫生组织将新型冠状病毒感染的肺炎命名为
COVID-19（新冠肺炎）｡新冠肺炎患者症状是发热､干咳､浑身乏力等外部表征｡“某人表现为发热､干咳､浑身乏
力”是“新冠肺炎患者”的（ ）．
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
29．已知直线a，b，平面，， ， ， ，那么“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
30．已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要
【高分突破】
一、单选题
31．设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，则甲是丁的 （ ） 条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
32．已知命题 ： ， ： 为偶函数，则 是 成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
33．设曲线 是双曲线，则“ 的方程为 ”是“ 的渐近线方程为 ”的（ ）
A．充分必要条件 B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
34．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，则“Sn >Sn”是“{an}单调递增”的（ ）
+1
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
35．等比数列 的公比为q，前n项和为 ，设甲： ，乙： 是递增数列，则（ ）
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
36．已知 ， ，则 是 的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分不必要条件
37．已知圆 ，则“ 且 ”是“圆C与 轴相切于原点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题
38．下列说法正确的是
A．“ ”是“ ”的必要不充分条件
B．若命题 ：某班所有男生都爱踢足球，则 ：某班至少有一个女生爱踢足球
C．“任意菱形的对角线一定相等”的否定是“菱形的对角线一定不相等”
D．“ ， ”是“一次函数 的图象交 轴于负半轴，交 轴于正半轴”的充要条件
39．给出下列四个条件：① ；② ；③ ；④ ．其中能成为 的充分条件的是
（ ）
A．① B．② C．③ D．④
40．已知A、B为实数集R的非空集合，则A B的必要不充分条件可以是（ ）
A．A∩B＝A B．A∩ RB＝ ⫋C． RB RA D．B∪ RA＝R
∁ ∅ ∁ ⫋∁ ∁
41．下列四个选项中， 是 的充分必要条件的是（ ）．
A． ， B． ，
C． ， D． ，
三、填空题
42．“ ”是“ ”的________条件．
43．以下四个命题中，正确的题号是__________.
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司①函数的最值一定是极值；
②设 ：实数 ， 满足 ； ：实数 ， 满足 ，则 是 的充分不必要条件；
③已知椭圆 ： 与双曲线 ： 的焦点重合， 、 分别为 、 的离心率，
则 ，且 ；
④一动圆 过定点 ，且与已知圆 ： 相切，则动圆圆心 的轨迹方程是 .
44．已知 ， ，则 是 的_______________（充分条件”、“必要条件”、“充要条件”、“既不
充分也不必要条件”中选择一个填空）．
45．设集合 ， ， ，则“ ”是“ ”的
_______条件．(填：充分不必要､必要不充分､充要､既不充分也不必要)
46．右图为由电池、开关和灯泡组成的电路，假定所有零件均能正常工作，则电路中“开关K 和K 有且只有一个
1 2
闭合”是“灯泡L亮”的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)
47．写出一个使命题“ ， ”成立的充分不必要条件______（用m的值或范围作答）．
四、解答题
48．给定正整数m，数列 ，且 .对数列A进行T操作，得到数列
.
(1)若 ， ， ， ，求数列 ；
(2)若m为偶数， ，且 ，求数列 各项和的最大值；
(3)若m为奇数，探索“数列 为常数列”的充要条件，并给出证明.
49．已知m，n∈R，证明:m4-n4=2n2+1成立的充要条件是m2-n2=1.
第 7 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司50．设 ，求证 成立的充要条件是 ．
51．已知命题 ，使 为假命题．
(1)求实数m的取值集合B；
(2)设 为非空集合，若 是 的充分不必要条件，求实数a的取值围．
52．指出下列各组命题中，p是q的什么条件？q是p的什么条件？
(1)p： ，q： ；
(2)p： 或 ；q： ；
(3)p：a能被6整除，q：a能被3整除．
第 8 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．B
【解析】
【分析】
由函数 在区间 上单调递减可得 ，进而可判断为充分不必要条件.
【详解】
对于函数 ，
当 时， 在R上单调递减；当 时，若要使得 在 上单调递减，需满足 且 ，解
得 .
“故 ”是“函数 在区间 上单调递减”的充分不必要条件，
故选:B.
2．B
【解析】
【分析】
根据充分必要条件的定义判断．
【详解】
时， ，充分性满足，
当 时， ，不必要．
所以应为充分不必要条件．
故选：B．
3．A
【解析】
【分析】
利用充分条件和必要条件的定义分析判断即可
【详解】
函数的定义域为
当 时，由 ，得 ，所以 在 上单调递增，
当 时， 在 上单调递增，
所以“ ”是“ 在区间 上单调递增”的充分不必要条件，
故选：A
4．C
【解析】
【分析】
根据必要不充分条件的推出关系，结合各项及指对数函数性质、不等式性质判断与 之间的推出关系，即可得
第 9 页答案.
【详解】
要使条件 是 成立的一个必要不充分条件，则 ，而 推不出 ，
A：由 则 ，当 时 无意义，即 是 的充分不必要条件；
B：由 ，则 ，同时 也有 ，即 是 的充要条件；
C：由 有 ，但 不一定有 ，即 是 的必要不充分条件；
D：由 不一定有 ，而 可得 ，即 是 的充分不必要条件；
故选：C
5．B
【解析】
【分析】
先由 在R上单调递增求得a的取值范围，再去判断“ ”与“ 在R上单调递增”二者间的逻辑关系即
可.
【详解】
若 在R上单调递增，
则 时， 单调递增，且 ，所以 .
由“ ”可以得到“ ”，但由“ ”不可以得到“ ”，
所以“ ”是“ 在R上单调递增”的必要不充分条件.
故选：B.
6．B
【解析】
【分析】
求出两个条件中参数 的取值范围，利用集合的包含关系判断可得出结论.
【详解】
若函数 在 上单调递减，则 ，
若函数 为偶函数，则 ，解得 ，
因为 ，
因此，函数 在 上单调递减”是“函数 为偶函数”的必要不充分条件.
故选：B.
7．C
【解析】
【分析】
根据充分条件和必要条件的定义，等比数列的定义分析即可.
【详解】
等比数列 中 ， ，
第 10 页， 或
所以“ ”是“ ”的充分条件.
同理可证 或 ，
所以“ ”是“ ”的必要条件.
综上所述 “ ”是“ ”的充分必要条件.
故选：C.
8．B
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质与数量积的运算律，分别分析充分性与必要性即可
【详解】
因为四边形 为平行四边形，故当 时，四边形 为矩形，此时 ，故 ；当
时， ，此时四边形 为矩形， .故“ ”是“ ”的充要条件
故选：B
9．C
【解析】
【分析】
根据向量数量积运算及向量垂直的充要条件，可得答案.
【详解】
解：因为 与 都是非零向量，所以 ，
故“ ”是“ ”的充要条件.
故选：C.
10．D
【解析】
【分析】
根据分式不等式的解法，先求得 ，根据充分、必要条件的概念，分析即可得答案.
【详解】
由 ，等价于 ，解得 或 ，
所以 ．
因为 ，且 ，
所以 是q的既不充分也不必要条件．
故选：D
第 11 页11．A
【解析】
【分析】
分别举反例判断充分与必要条件是否满足即可
【详解】
当 时，满足 ，不满足G是a、b的等比中项；当G是a、b的等比中项，如 ，
但不满足 ，故“ ”是“G是a、b的等比中项”的既不充分也不必要条件
故选：A
12．D
【解析】
【分析】
根据充分必要条件的定义判断．
【详解】
充分性：
或 ，即 或 ，故 不一定是等腰三角形，故充分性不成
立
必要性：当 是等腰三角形，不妨令： ，则 ，
推不出： ，故必要性不成立
综上所述：为既不充分也不必要条件，
故选：D．
13．B
【解析】
直接利用充分条件与必要条件的定义判断即可.
【详解】
因为若“学生甲在沧州市”则“学生甲一定在河北省”，必要性成立；
若“学生甲在河北省”则“学生甲不一定在沧州市”，充分性不成立，
所以“学生甲在河北省”是“学生甲在沧州市”的必要不充分条件，
故选：B．
14．A
【解析】
【分析】
因为直线 和直线 垂直，所以 或 ，再根据充分必要条件的定义判断得
解.
【详解】
由直线 和直线 垂直，
可得 或 .
当 时，直线 和直线 垂直；
第 12 页当直线 和直线 垂直时， 不一定成立.
所以 是直线 和直线 垂直的充分不必要条件，
故选：A．
15．B
【解析】
【分析】
根据直线平行与斜率之间的关系，逐个选项进行判断即可.
【详解】
充分性：直线 与 平行，但是 和 都没有斜率，即当 和 都垂直于 轴时， 与 仍然平行，但是，此时不满
足直线 与 的斜率相等，故充分性不成立；
必要性：直线 与 的斜率相等，则必有直线 与 平行，故必要性成立；
综上，“直线 与 平行”是“直线 与 的斜率相等”的必要非充分条件.
故选：B
16．B
【解析】
【分析】
利用充分条件和必要条件的定义判断.
【详解】
在 中，若 ，则 或 ，故不充分；
在 中，若 ，则 ，故必要；
故选：B
17．A
【解析】
【分析】
首先求出当 时， ，再由充分条件、必要条件的定义即可得出选项.
【详解】
若 ，则 ，
当 时，推不出 ；反之，成立，
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：A
18．D
【解析】
【分析】
利用充要条件的定义和复数的运算判断即可
【详解】
第 13 页因为 为实数，
所以 ，
反之，当 时，复数 的平方是一个实数，
所以复数 的平方是一个实数的充要条件是 ，
故选：D
19．C
【解析】
【分析】
根据充要关系、存在性问题否定形式以及排列组合分别判断，最后得结果.
【详解】
① 时 ，反之不然，所以“ ”是“ ”的充分不必要条件；
②命题“ ， ”的否定形式是“ ， ”, ②错；
③四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，分法有 种，其中甲、乙两名学生分到同一个
班，有 种，因此甲、乙两名学生不能分到同一个班的分法种数为 种.
综上正确说法的个数为2，选C.
【点睛】
充分、必要条件的三种判断方法．
（1）定义法：直接判断“若 则 ”、“若 则 ”的真假．并注意和图示相结合，例如“ ”为真，则 是
的充分条件． ⇒
（2）等价法：利用 与非 非 ， 与非 非 ， 与非 非 的等价关系，对于条件或结论是
否定式的命题，一般运用等价法．
⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇔ ⇔
（3）集合法：若 ，则 是 的充分条件或 是 的必要条件；若 ＝ ，则 是 的充要条件．
20．A
⊆
【解析】
本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取 的值，推出矛盾，确定
必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.
【详解】
当 时， ，则当 时，有 ，解得 ，充分性成立；当 时，
满足 ，但此时 ，必要性不成立，综上所述，“ ”是“ ”的充分不必要条件.
【点睛】
易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取 的值，
从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.
21．C
【解析】
【分析】
第 14 页因为两部黑匣子都被找到，就能形成一个初步的事故原因认定，根据充分与必要条件的定义即可判断出结果．
【详解】
因为两部黑匣子都被找到，就能形成一个初步的事故原因认定，
则“找到驾驶员座舱录音器”不能形成“初步事故原因认定”；
而形成“初步事故原因认定”则表示已经“找到驾驶员座舱录音器”，
故“找到驾驶员座舱录音器”是“初步事故原因认定”的必要不充分条件，
故选：C．
22．B
【解析】
求导函数，判断导函数的符号，确定有极值时 的范围即可.
【详解】
， ， ．
若 ， 则 恒成立，
为增函数，无极值；
若 ，即 ，则 有两个极值．
所以“ ”是“ 有极值”的必要不充分条件．
故选:B
23．A
【解析】
【分析】
求出当命题“ ， ”是真命题时，实数 的取值范围，结合题意可得出合适的选项.
【详解】
命题“ ， ”是真命题，则 ，
因此，命题“ ， ”是真命题的一个必要不充分条件是 .
故选：A.
24．B
【解析】
【分析】
利用特殊值法、不等式的基本性质结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】
充分性：取 ， ，则 成立，
但 ，充分性不成立；
必要性：设 ，则 ， ，
从而可得 ，必要性成立.
因此，“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B.
第 15 页【点睛】
方法点睛：判断充分条件和必要条件，一般有以下几种方法：
（1）定义法；
（2）集合法；
（3）转化法.
25．A
【解析】
【分析】
根据圆的一般方程表示圆的条件和充分必要条件的判断可得选项.
【详解】
方程 表示圆需满足 或 ，
所以“ ”是“ 为圆方程”的充分不必要条件，
故选：A.
【点睛】
本题考查圆的一般方程和充分条件与必要条件的判断，属于基础题.
26．C
【解析】
【分析】
结合等比数列的前 项和公式，以及充分、必要条件的判断方法，判断出正确选项.
【详解】
由于数列 是等比数列，所以 ，由于 ，所以
，
所以“ ”是“ ”的充要条件.
故选：C
【点睛】
本小题主要考查等比数列前 项和公式，考查充分、必要条件的判断，属于中档题.
27．D
【解析】
【分析】
利用推理判断或举特例说明命题“若 ，则 ”和“若 ，则 ”的真假即可作答.
【详解】
若 成立，取 ，而 ，即命题“若 ，则 ”是假命题，
若 成立，取 ，而 ，即命题“若 ，则 ”是假命题，
第 16 页所以“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件.
故选：D
28．A
【解析】
【分析】
根据充分必要的定义，即可得出结论.
【详解】
表现为发热、干咳、浑身乏力者不一定是感染新型冠状病毒，
或者只是普通感冒等；而新型冠状病毒感染者早期症状表现为发热、
干咳浑身乏力等外部表征．因而“某人表现为发热、干咳、浑身乏力”
是“该人患得新型冠状病毒”的必要不充分条件．
故选：A．
【点睛】
本题考查必要不充分条件的判定，属于基础题.
29．C
【解析】
【分析】
过直线 作平面 ，交平面 于直线 ， ， ， ，由 可推出 ，由 可推出
，故“ ”是“ ”的充要条件．
【详解】
解：若 ，
过直线 作平面 ，交平面 于直线 ， ， ，
又 ， ，
又 ， ，
若 ，
过直线 作平面 ，交平面 于直线 ， ， ，
， ，
又 ， ，
， ，
故“ ”是“ ”的充要条件，
故选： ．
第 17 页30．B
【解析】
【分析】
由 可解得 ，即可判断.
【详解】
由 可解得 ，
“ ”是“ ”的必要不充分条件，
故“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B.
31．A
【解析】
【分析】
记甲、乙、丙、丁各自对应的条件构成的集合分别为 ， ， ， ，根据题目条件得到集合之间的关系，并推
出 D，，所以甲是丁的充分不必要条件.
【详解】
记甲、乙、丙、丁各自对应的条件构成的集合分别为A， ， ， ，
由甲是乙的充分不必要条件得， B，
由乙是丙的充要条件得， ，
由丁是丙的必要不充分条件得， D，
所以 D，，故甲是丁的充分不必要条件.
故选：A.
32．C
【解析】
【分析】
求出命题 的充要条件，然后确定题中选项．
【详解】
为偶函数，则 恒成立，
， ， ，整理得 ，所以 ．
所以 是 的充分必要条件．
第 18 页故选：C．
【点睛】
本题考查充分必要条件的判断．掌握充分必要条件的概念是解题关键．
33．B
【解析】
【分析】
根据 的方程为 ，则渐近线为 ；若渐近线方程为 ，则双曲线方程为 （
）即可得答案.
【详解】
解：若 的方程为 ，则 ， ，渐近线方程为 ，
即为 ，充分性成立；
若渐近线方程为 ，则双曲线方程为 （ ），
“ 的方程为 ”是“ 的渐近线方程为 ”的充分而不必要条件.
故选：B.
【点睛】
本题通过圆锥曲线的方程主要考查充分条件与必要条件，属于中档题.判断充要条件应注意：首先弄清条件 和结
论 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试 .对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，
除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价
命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.
34．D
【解析】
【分析】
由 ，举反例 和 即可得出结果
【详解】
，例如 ，但是数列 不单调递增，故不充分；
数列 单调递增，例如 ，但是 ，故不必要；
故选：D
35．B
【解析】
【分析】
当 时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当 是递增数列时，必有 成立即可说明 成立，则
甲是乙的必要条件，即可选出答案．
【详解】
第 19 页由题，当数列为 时，满足 ，
但是 不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．
若 是递增数列，则必有 成立，若 不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则 成立，所
以甲是乙的必要条件．
故选：B．
【点睛】
在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程．
36．A
【解析】
【分析】
根据充分和必要条件的定义即可求解.
【详解】
由 ，可得出 ，
由 ，得不出 ，
所以 是 的充分而不必要条件，
故选：A.
37．A
【解析】
【分析】
根据圆的方程，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】
由圆C与y轴相切于原点，可得圆C的圆心在 轴上，设圆心坐标为（a，0），且半径 ，所以当 且
时，可得圆心为 ，半径为 ，
此时圆C与 轴相切于原点，所以充分性成立；
例如：圆 与y轴相切于原点，但 ，所以必要性不成立
所以“ 且 ”是“圆C与 轴相切于原点”的充分不必要条件.
故选：A.
38．AD
【解析】
【分析】
由 可得 或 ，结合充分必要条件的定义，即可判断 ；由全称命题的否定为特称命题可判断 、 ；
令 ， ，可得函数图象与 轴、 轴交点的坐标，结合充分必要条件定义可判断 ．
【详解】
由 可得 或 ，可得“ ”是“ ”的必要不充分条件，故 正确；
若命题 ：某班所有男生都爱踢足球，则 ：某班至少有一个男生不爱踢足球，故 错误；
“任意菱形的对角线一定相等”的否定是“存在一个菱形的对角线不相等”，故 错误；
第 20 页一次函数 的图象交 轴于负半轴，交 轴于正半轴，可得 ，即 ，
由 ，可得 ，即 ，则“ ， ”是
“一次函数 的图象交 轴于负半轴，交 轴于正半轴”的充要条件，故 正确．
故选： ．
【点睛】
本题考查命题的真假判断，主要是命题的否定和充分必要条件的判断，考查判断能力和运算能力，属于基础题．
39．AD
【解析】
【分析】
由不等式的性质和充分必要条件逐一判断，可得选项.
【详解】
①由” 可知 ，所以 ，故 ；
② 当 时， ；当 时， ，故 ，不能推出 ；
③ 由 ，得 ，但不能推出 ，故 不能推出 ；
④ ．
故选：AD．
【点睛】
本题考查不等式的性质和充分必要条件的判断，属于基础题.
40．ABD
【解析】
【分析】
根据集合之间的关系和必要不充分条件的定义即可判断．
【详解】
解：因为A B RB RA，所以 RB RA是A B的充分必要条件，
因为A B A B A∩B＝A A∩ RB＝ B∪ RA＝R，
⫋ ⇔∁ ⫋∁ ∁ ⫋∁ ⫋
故选：ABD．
⫋ ⇒ ⊆ ⇔ ⇔ ∁ ∅⇔ ∁
41．ABC
【解析】
【分析】
利用充分条件和必要条件的定义判断.
【详解】
A．由 ， ，可得 ， ，反之也成立，∴ 是 的充分必要条件；
B．由 ， ，可得 ， ；反之也成立，∴ 是 的充分必要条件；
C．由 ， ，可得 ， ；反之也成立，∴ 是 的充分必要条件；
D．由 ， ，可得 ， ；反之不成立，
例如取 ， ．∴ 是 的必要不充分条件．
第 21 页故选：ABC．
42．充分不必要
【解析】
【分析】
根据充分必要条件的定义判断．
【详解】
时一定能得出 ，故是充分的，但 时不一定有 ，因此是不必要的．、所以就是充分不必要条件．
故答案为：充分不必要．
【点睛】
本题考查充分必要条件，掌握充分条件、必要条件的定义是解题关键．
43．③④
【解析】
【分析】
举反例 ， 得到①错误，取点 得到②错误，③ ，计算得到③正确，根据双
曲线定义知，得到轨迹方程得到④正确，得到答案.
【详解】
①举反例 ， ，有最大值为 ，最小值为 ，函数没有极值，①错误；
②取点 满足 ，不满足 ，不具有充分性，②错误；
③根据题意 ，故 ，设 ，
则 ，③正确；
④根据题意：当两圆外切时， ，当两圆内切时， ，即 ，根据双
曲线定义知，轨迹为双曲线， ， ，
故双曲线方程为： ，④正确.
故答案为：③④.
【点睛】
本题考查了极值，充分必要条件，椭圆双曲线离心率，轨迹方程，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
44．充分条件
【解析】
【分析】
根据集合关系判断即可得答案.
【详解】
设命题 对应的集合为 ,
命题 对应的集合为 ,
第 22 页因为 ,所以命题 是命题 的充分条件.
故答案为：充分条件.
【点睛】
结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：
（1）若 是 的必要不充分条件，则 对应集合是 对应集合的真子集；
（2）若 是 的充分不必要条件， 则 对应集合是 对应集合的真子集；
（3）若 是 的充分必要条件，则 对应集合与 对应集合相等；
（4）若 是 的既不充分又不必要条件，则 对的集合与 对应集合互不包含．
45．必要不充分
【解析】
【分析】
用集合法判断即可.
【详解】
因为集合 ， ，
所以
而
因为 ，
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故答案为：必要不充分.
46．充分不必要
【解析】
【分析】
根据充分必要条件的定义判断即可.
【详解】
当开关K 和K 有且只有一个闭合时，灯泡L亮
1 2
当灯泡L亮时，开关K 和K 有可能都闭合
1 2
即电路中“开关K 和K 有且只有一个闭合”是“灯泡L亮”的充分不必要条件
1 2
故答案为：充分不必要
47． （答案不唯一）
【解析】
【分析】
先求出命题“ ， ”成立的充要条件为 ，再按照充分性必要性判断即可.
【详解】
当 时，易知 ，又 ，
第 23 页，
显然 ，故 是命题“ ， ”成立的充分不必要条件.
故答案为： （答案不唯一）.
48．(1)
(2)
(3) ，证明见解析
【解析】
【分析】
（1）利用已知条件先求出 ，将 ， ， ， 代入 ： ， ， ， 即可求解；
（2）由 ，得到 ，进而有 ，再由得到
即可；
（3）证明见解析.
(1)
由题意 时， ， ， ，由 ，知 ，所以 ， ，
， ，
故 .
(2)
记数列 的所有项和为S，
因为 ，且 ，所以 ，
则 ，故 .
当 ， 或 ， 时取到等号，
所以当 ， 或 ， 时，S取到最大值，为 .
(3)
“数列 为常数列”的充要条件是 （ ）证明如下：
先证充分性：
当 （ ）时， ，所以 为常数列；
再证必要性：
第 24 页当 为常数列时，记 ，
设 中有x个 ，则必有 个 ，将数列 的所有项相加得：
，由 ，且m为奇数，所以 ，
所以 ，由 得： ，所以 ，
所以 .
【点睛】
数学中的新定义题目解题策略：
（1）仔细阅读，理解新定义的含义；
（2）根据新定义，对对应的知识进行再迁移
（3）正确阅读理解题干信息，抓住关键信息，转化为我们所熟悉的问题.
49．证明见解析
【解析】
【分析】
根据必要条件和充分条件的定义证明.
【详解】
①(必要性)∵m2-n2=1，
∴m2=n2+1，
∴m4-n4=(m2+n2)(m2-n2)
=m2+n2=n2+1+n2=2n2+1，
∴m4-n4=2n2+1成立;
②(充分性)∵m4-n4=2n2+1，
∴m4=n4+2n2+1= ，
∴m2=n2+1，即m2-n2=1，
∴m2-n2=1成立.
综上，m4-n4=2n2+1成立的充要条件是m2-n2=1.
【点睛】
本题主要考查逻辑条件的证明，还考查了转化求解问题的能力，属于基础题.
50．见解析
【解析】
【分析】
分为充分性和必要性两种情况来进行证明即可，充分性：若 ，则 成立；必要性：若
，则 ；证明过程结合去绝对值的方法和 的性质即可得证
【详解】
①充分性：若 ，则有 和 两种情况，当 时，不妨设 ，则 ，
，∴等式成立．
第 25 页当 时， ， 或 ， ，
当 ， 时， ， ，∴等式成立，
当 ， 时， ， ，∴等式成立．
综上，当 时， 成立．
②必要性：若 且 ，则 ，
即 ，
∴ ，∴ ．
综上可知， 是等式 成立的充要条件．
【点睛】
本题考查互为充要条件的证明，证明过程中一定要做到讨论的不重不漏，要注意结合绝对值含义去绝对值，对于
运算性质的掌握有一定要求，属于中档题
51．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由命题的真假转化为方程无实根，再利用判别式进行求解；
（2）先根据 为非空集合求出 ，再将充分不必要条件转化为集合间的包含关系进行求解.
(1)
解：由题意，得关于 的方程 无实数根，
所以 ，解得 ，
即 ；
(2)
解：因为 为非空集合，
所以 ，即 ，
因为 是 的充分不必要条件，
则 ，即 ，
所以 ，
52．(1)p是q的充分非必要条件，q是p的必要非充分条件
(2)p是q的必要非充分条件，q是p的充分非必要条件
(3)p是q的充分非必要条件，q是p的必要非充分条件
【解析】
【分析】
（1）根据集合的交、并运算以及利用充分条件、必要条件的定义即可得出结果.
（2）由利用充分条件、必要条件的定义即可得出结果.
（3）由利用充分条件、必要条件的定义即可得出结果.
第 26 页(1)
若 ，可以推出 ，反之不一定成立，
即 ， .
所以p是q的充分非必要条件，q是p的必要非充分条件 ，
(2)
或 ，推不出 ，反之成立，
即 ， ，
所以p是q的必要非充分条件，q是p的充分非必要条件
(3)
a能被6整除，推出a能被3整除，反之不一定成立，
即 ， .
所以p是q的充分非必要条件，q是p的必要非充分条件.
第 27 页第 28 页
