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专题 2.4 函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性
【新高考专用】
题型一 函数单调性的判断及单调区间的求解
1．（2024高三·全国·专题练习）设函数f (x)在R上为增函数，则下列结论正确的是（ ）
1
A．y=
在R上为减函数
|f (x)|
B． 在R上为增函数
y=|f (x)|
1
C．y=− 在R上为增函数
f (x)
D．y=−f (x)在R上为减函数
2．（2024·江西·二模）已知函数f (x)=¿若f (a)=f (a+3)，则g(x)=ax2+x的单调递增区间为（ ）
(1 ) ( 1)
A． ,+∞ B． −∞,
8 8
(1 ) ( 1)
C． ,+∞ D． −∞,
2 2
3．（24-25高一上·湖南邵阳·阶段练习）函数g(x)=x|x−1|+1的单调递减区间为 .
x+2
4．（23-24高一上·河南郑州·期中）函数y= 在区间(6,+∞)内的单调性是 .
x−6
题型二 利用函数的单调性求参数
5．（2024·陕西商洛·一模）已知函数f(x)=¿是定义在R上的增函数，则a的取值范围是（ ）
A．[1,3) B．[1,2] C．[2,3) D．(0,3)
6．（2024·北京丰台·一模）已知函数f (x)的定义域为R，存在常数t(t>0)，使得对任意x∈R，都有
| t|
f(x+t)=f(x)，当x∈[0,t)时，f(x)= x− ．若f (x)在区间(3,4)上单调递减，则t的最小值为（ ）
2
8 8
A．3 B． C．2 D．
3 57．（2024·山东·模拟预测）若函数 的图像经过点 ，且在 上是减函数，则 ．
f(x)=kx+k2 (1,2) R k=
8．（24-25高一上·江苏连云港·期中）若函数f (x)=¿在R上单调递增，则实数a的取值范围为 .
题型三 函数的最值问题
9．（2024·江西九江·模拟预测）若00，a∈R，若f (x)的最小
x
值为2，则实数a的取值范围是 .
题型四 函数的奇偶性及其应用
13．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知f (x)是定义在R上的奇函数，g(x)是定义在R上的偶函数，且f (x)，
g(x)在[0,+∞)上单调递减，则（ ）
A． 是偶函数 B． 是奇函数
f (f (x)) f (g(x))
C． D．
f (f (−1))g(f (−2))
14．（2024·陕西宝鸡·三模）已知函数 ( 3 )为偶函数，则 （ ）
f(x)=x⋅ a+ a=
1+2x
3 3
A．−1 B．− C． D．1
2 2
15．（2024·内蒙古包头·三模）已知函数f (x)=
ax+b
是定义在R上的奇函数，且f
(1)
=
4
，则f (3)=
x2+3 2 13
．
16．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知f (x),g(x)是定义域为R的函数，且f (x)是奇函数，g(x)是偶函数，满足 ，若对任意的 ，都有 g(x )−g(x ) 成立，则实数 的取值范
f (x)+g(x)=ax2+x+2 1−3 a
1 2 x −x
1 2
围是 .
题型五 函数的对称性与周期性综合
17．（2024·四川南充·三模）已知函数f (x)、g(x)的定义域均为R，函数f(2x−1)+1的图象关于原点对
称，函数g(x+1)的图象关于y轴对称，f(x+2)+g(x+1)=−1,f(−4)=0，则f(2030)−g(2017)=
（ ）
A．−4 B．−3 C．3 D．4
18．（2024·陕西榆林·一模）定义在R上的函数f(x)，g(x)满足f(0)<0，f(3−x)=f(1+x)，
1
g(2−x)+g(x)=2，g(x+ )=f(2x)+1，则下列说法中错误的是（ ）
2
A．x=6是函数f(x)图象的一条对称轴
B．2是g(x)的一个周期
C．函数f(x)图象的一个对称中心为(3,0)
D．若n∈N∗且n<2023，f(n)+f(n+1)+⋯+f(2023)=0，则n的最小值为2
19．（2024·宁夏银川·一模）若定义在R上的函数f (x)满足y=f(x+1)是奇函数，f(4+x)=f(−x)，
f(2)=2，则f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(30)= ．
20．（2024·广西南宁·二模）定义域为R的函数f(x)的图象关于点(1,1)对称，函数g(x)=f(x)−2x的图
象关于直线x=2对称．若f(0)=0，则f(1)+f(2)+⋯+f(50)= ．
题型六 利用函数的性质比较大小
21．（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）已知定义在R上的函数f (x)满足f (1+x)=f (1−x)，且
， 时， ，记 (√2)， (√3)， (√6)，则（ ）
∀x ,x >1 x ≠x [f (x )−f (x )](x −x )<0 a=f b=f c=f
1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2
A．b>c>a B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b
22．（23-24高一上·陕西西安·期中）已知函数 是偶函数，当 时，
f (x) 0≤x 0
1 2 2 1 2 1
恒成立，设 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
a=f (√55) b=f (−√2) c=f (√33)A．a0 f (x)<0
1 2 1 2
则关于 的不等式 的解集为（ ）
x f (x2)+f (2x)≥0
A．[−2,0] B．[0,2]
C．(−∞,−2]∪[0,+∞) D．(−∞,0]∪[2,+∞)
27．（2024·河南·模拟预测）已知定义在R上的函数f (x)满足：∀x,y∈R,f (xy)+f (x)f (y)=0,f (x)在
上单调递减， ，则满足 的 的取值范围为 .
[0,+∞) f (−1)=1 |f (x)|<1 x
28．（2024·河北保定·二模）已知函数f (x)的定义域D=(−∞,0)∪(0,+∞)，对任意x ,x ∈D，恒有
1 2
，且当 时， x f (x )−x f (x ) 恒成立， ，
f (x x )−x −x =x f (x )+x f (x )−1 x >x >0 1 2 2 1 >−1 f (2)=−3
1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 x −x
1 2( 1 )
则不等式(x+1)f +x+2>f (−1)的解集为 .
x+1
题型八 抽象函数的性质综合
29．（23-24高二下·辽宁大连·阶段练习）定义域为R的函数f (x)，对任意
x,y∈R,f (x+ y)+f (x−y)=2f (x)f (y)，且f (x)不恒为0，则下列说法错误的是（ ）
A．f (0)=1 B．f (x)为偶函数
C． D．若 ，则2024
f (x)+f (0)≥0 f (1)=0 ∑❑f(i)=4048
i=1
30．（2024·河南·模拟预测）已知函数f (x)的定义域为R，对于任意实数x，y满足
f (x+ y)+f (x−y)=f (x)f (y)，且 f (1)=1，则下列结论错误的是（ ）
A．f (0)=2 B．f (x)为偶函数
C．f (x)为奇函数 D．f (2)=−1
31．（24-25高一上·重庆·期中）已知定义域在(−∞,0)∪(0,+∞)上的函数f(x)满足：
f(xy)=f(x)+f(y)−4，且当x>1时，f(x)>4.
(1)求f(1)，f(−1)的值；
(2)证明f(x)是偶函数；
(3)解不等式f(2)+f(x+2)f (5)的解集是（ ）
A．(−∞,1)∪(4,+∞) B．(−∞,4) C．(1,+∞) D．(1,4)
4．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知y=f(x+1)−2为奇函数，则
f(−3)+f(−2)+f(−1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4) +f(5)=（ ）
A．−14 B．14 C．−18 D．18
5．（2024·北京·模拟预测）定义在R上的函数f(x)满足：f(−1+x)−f(−1−x)=0，且
f(1+x)+f(1−x)=0，当x∈[−1,1]时，f(x)=ax−2，则f(x)的最小值为（ ）A．−6 B．−4 C．−3 D．−2
6．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知定义在区间(−m,m)(m>0)上，值域为R的函数f(x)满足：①当
f(a)+f(b)
00；②对于定义域内任意的实数a、b均满足：f(a+b)= ．则（ ）
1−f(a)f(b)
A．f(0)=1
B．
∀x ,x ,−mf (x )
1 2 1 2 1 2
C．函数f(x)在区间(0,m)上单调递减
D．函数f(x)在区间(−m,m)上单调递增
7．（2024·重庆·模拟预测）已知函数y=f(x)的定义域是(−∞,0)∪(0,+∞)，对任意的x ，x ∈(0,+∞)，
1 2
，都有 x f (x )−x f (x ) ，若函数 的图象关于点 成中心对称，且 ，则
x ≠x 2 2 1 1 >0 y=f (x+1) (−1,0) f (1)=4
1 2 x −x
2 1
4
不等式f (x)> 的解集为（ ）
x
A．(−1,0)∪(0,1) B．(−1,0)∪(1,+∞)
C．(−∞,−1)∪(0,1) D．(−∞,−1)∪(1,+∞)
8．（2024·四川绵阳·模拟预测）定义在R上的函数f (x)满足f (2−x)=f (x)，f (1)=2，f (3x+2)为奇函数，
有下列结论：
(2 )
①直线x=1为曲线y=f (x)的对称轴；②点 ,0 为曲线y=f (x)的对称中心；③函数f (x)是周期函数；④
3
2004
；⑤函数 是偶函数.
∑❑f (i)=0 f (x)
i=1
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
[ 1 1]
9．（2024·河南信阳·模拟预测）若函数f (x)=|x2−(m−2)x+1|在 − , 上单调，则实数m的值可以为
2 2
（ ）1 5
A．−1 B．− C． D．3
2 2
10．（2024·全国·模拟预测）已知函数f (x)的定义域为R，满足f (1)=1且对任意的x,y∈R，有
f (x+ y)+f (x−y)=f (x)f (2+ y)，则（ ）
A．f (0)=0 B．f (2)=2
C． D．2024
f (x+2)=f (2−x) ∑ f (k)=3
k=1
11．（2024·山东·模拟预测）已知定义在(−∞,0)∪(0,+∞)上的函数f(x)，满足f(xy)+2=f(x)+f(y)，
且当x>1时，f(x)>2，则（ ）
A．f(−1)=1 B．f(x)为偶函数
C．f(2024)>f(2023) D．若f(x+2)<2，则x的取值范围为−31时，f (x)=x2，则f (−3)= .
( 3)
13 ． （ 2024· 新 疆 · 一 模 ） 已 知 定 义 在 R上 的 函 数 ， y=f (x)满 足 f (x)+f x− =0，
2
( 3) ( 3)
f −x+ =−f x+ 且f (−1)=−1，f (0)=2，则 f (1)+f (2)+⋯+f (2024)= .
4 4
14．（2024·内蒙古赤峰·一模）定义在(−1,1)上的函数f (x)满足：对任意x,y∈(−1,1)都有
( x+ y )
f(x)+f(y)=f ，且当x∈(0,1)时，f (x)<0恒成立.下列结论中可能成立的有 .
1+xy
①f (x)为奇函数；
②对定义域内任意x ≠x ，都有x f(x )+x f(x )>x f(x )+x f(x )；
1 2 1 1 2 2 1 2 2 1
③对 ，都有 (x +x ) f(x )+f(x )；
∀x ,x ∈(−1,0) f 1 2 ≤ 1 2
1 2 2 2
n
④∑f ( 1 ) >f (1).
i2+3i+1 2
i=1
四、解答题
m
15．（2024·山东济南·三模）已知函数f(x)=x+ ，且f(1)=2.
x
(1)求m的值;(2)判断函数f(x)在(1,+∞)上是增函数还是减函数，并证明.
2x+b
16．（24-25高一上·贵州贵阳·期中）已知函数f(x)= ，点A(1, 5), B(2, 4)是f(x)图象上的两点．
ax+1
(1)求a, b的值：
(2)用定义判断函数f(x)在[1,3]上的单调性，并求该函数的最大值和最小值.
(3)若函数g(x)=f(x)+x, x∈[0,+∞)，求函数g(x)的值域．
x+m
17．（24-25高一上·湖南株洲·期中）已知函数f(x)= 是定义在[−2,2]上的奇函数，且
nx2+4
1
f(−1)=− ．
5
(1)求m，n的值；
(2)判断f(x)在[−2,2]上的单调性，并用定义证明；
(3)设 ，若对任意的 ，总存在 ，使得 成立，求实数
g(x)=kx−2k−5 x ∈[0,3] x ∈[−2,2] g(x )≤f (x ) k
1 2 1 2
的取值范围．
18．（24-25高一上·辽宁大连·期中）定义在R上的函数f (x)满足：对任意的x,y∈R，都有
f (x−y)=f (x)−f (y)，且当x>0时，f (x)<0．
(1)判断f (x)的奇偶性；
(2)求证：函数f (x)在R上是减函数；( 1) [ 1 1]
(3)若f − =1，且∀x∈ − , ，∀a∈[−1,1]，f (x)≥−t2+6at−9恒成立，求实数t的取值范围．
2 2 2
19．（23-24高一上·上海·期末）若函数y=f (x)与y=g(x)满足：对任意x ,x ∈D，都有
1 2
，则称函数 是函数 在集合上的“约束函数”.已知函数
|f (x )−f (x )|≥|g(x )−g(x )| y=f (x) y=g(x)
1 2 1 2
y=f (x)是函数y=g(x)在集合D上的“约束函数”.
(1)若f (x)=|x|，D=R，判断函数y=g(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)若f (x)=ax2+2x+1，g(x)=x2+ax(a>0)，D=(0,+∞)，求实数a的取值范围；
(3)若y=g(x)为严格减函数，f (0)
