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专题 2.4 不等式综合练
题号 一 二 三 四 总分
得分
练习建议用时：120分钟 满分：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的
四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2023春·黑龙江佳木斯·高三校考开学考试）设 ， ，且 ，则 的最
小值为（ ）
A．18 B．9 C．6 D．3
【答案】C
【分析】根据基本不等式，即可求解.
【详解】∵
∴ ，（当且仅当 ，取“=”）
故选：C.
2．（2021秋·江苏苏州·高一统考期中）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一
书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐
渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若 ，则下列命题正确的
是（ ）
A．若 且 ，则
B．若 ，则
C．若 且 ，则
D．若 ，则
【答案】C
【分析】对A,B,D举反例，对C利用不等式的基本性质判断即可.
【详解】对A，当 时， ，故错误；
对B，当 ， 时， ，故错误；
对C， ， ，则 ， ，则 ，故C正确；
对D，当 ，满足前提 ，但此时 ， ，
，故错误.
故选：C.
3．（2022秋·广东佛山·高三佛山市荣山中学校考期中）若命题“对任意的 ，恒成立”为真命题，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先参变分离，转化为 ，再利用基本不等式求最值，即可求解.
【详解】由题意可知，对任意的 ， 恒成立，即 ，
当 时， ，当 ，即 时，等号成立，
所以 .
故选：D
4．（2023·全国·高三专题练习）若集合 ， ，
则 （ ）
A． B． 或 C． 或 D． 或
【答案】C
【分析】通过解不等式得集合 ，再求交集即可.
【详解】因为 或 ，
或 ，
所以 或 ，
故选：C.
5．（2023·天津南开·南开中学校考模拟预测）已知 ， ，则“ ”是“ ”
的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】由充分必要条件的定义举反例判定即可.
【详解】若 ，则 不成立，若 且 ，此时 推不出 ，所
以“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件.
故选：D
6．（2021秋·广东惠州·高三惠州一中校考期中）已知命题 ，
，若 是 的必要不充分条件，那么实数 的取值集合是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】解不等式 ， ，再利用 是 的必要不充分条件，列出
不等式组，解之即得.
【详解】由 得， 或 ，
解得 ，即p： ；
由 得 ，
∴当 时， ，当 时， ，当 时， ；
又 是 的必要不充分条件，
∴ 或 或 ，且不等式组中等号不同时成立，
∴ ，即实数 的取值集合 .
故选：A.
7．（2023春·江苏南京·高三南京市中华中学校考期中）在 中， 为线段 上一点，
且 ，若 ，则 的最小值为（ ）
A． B．16 C．48 D．60
【答案】C
【分析】先由 得出 再得出 ,最后常值代换应用基本不等式
可解.
【详解】 ,
, ，又B，D，C三点共线，,
,当且仅当 即当 时取最小值.
故选:C.
8．已知不等式 的解集为 ，且对于 ，不等式
恒成立，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由不等式的解集为 知可用 表示 ，代入 中并用
参数分离与基本不等式求得 的取值范围.
【详解】由不等式 的解集为 ，可知 为方程
的两个根，
故 且 ，即 ，
则不等式 变为 ，
由于 ，则上式可转化为 在 恒成立，
又 ，当且仅当 时等号成立，
故 .
故选：B.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选
项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的
得0分
9．（2022秋·四川广安·高三统考期末）下列命题为真命题的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
【答案】AB
【分析】对于A、D项运用作差法判断，对于B项由不等式性质可判断，对于C项举反例
可判断.
【详解】对于A项，因为 ，所以 且 ，即： 且 ，
故A项正确；
对于B项，运用不等式的性质可知，若 ， ，则 正确，故B项正确；对于C项，当 ， ， ， 时，满足 ， ，但不满足 ，故
C项错误；
对于D项，因为 ，
又因为 ， ，所以 ， ，
所以 ，即： ，故D项错误.
故选：AB.
10．（2021秋·湖南邵阳·高三武冈市第二中学校考阶段练习）下列说法正确的是：（ ）
A．平板电脑屏幕面积与整机面积的比值叫电脑的“屏占比”，它是平板电脑外观设计中
一个重要参数，其值通常在 间，设计师将某平板电脑的屏幕面积和整机面积同时减少
相同的数量，升级为一款“迷你”新电脑的外观，则该电脑“屏占比”和升级前比变小了．
B．小明两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，
每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花
的钱数一定．则小明用第一种策略划算．
C．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买10 黄金，售货员
先将5 的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5 的砝
码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金
交给顾客，我认为顾客吃亏了．
D．设矩形ABCD（AB>AD）的周长为24cm，把△ABC沿AC向△ADC折叠，AB折过去后
交DC于点P，则△ADP的最大面积为 ．
【答案】AD
【分析】设法列出升级前后的屏占比表达式，由作差法可比较大小可判断A；利用基本不
等式可判断BD的正误；设天平左臂长为a，右臂长为b（不妨设 ），先称得的黄金的
实际质量为 ，后称得的黄金的实际质量为 ，利用杠杆的平衡原理，由
，求得 ，再利用作差法比较可判断C；
【详解】对于A，设升级前屏幕面积为a,整机面积为b,
则屏占比为 ，设减小面积为 ，则升级后屏占比为： ，则 ，即 ，屏占比变小，
故A正确；
对于B，设两次购买此种商品的单价分别为 ， （都大于0），
第一种方案每次购买这种物品数量为 ；
第二种方案每次购买这种物品的钱数为 .可得：
第一种方案的平均价格为： ；
第二种方案的平均价格为 .
当且仅当 时取等号，所以用第二种策略比较经济，故B不正确；
对于C，因为天平的两臂不相等，故可设天平左臂长为a，右臂长为b（不妨设 ），
先称得的黄金的实际质量为 ，后称得的黄金的实际质量为 ，
由杠杆的平衡原理： ，
解得 ，
所以 ，
则 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，则顾客所得黄金大于10 ，商店亏了，故C不正确；
对于D，由题意可知，矩形 的周长为24， ，即 ，
因为 ，故 .
设 ，则 ， ，而 为直角三角形，
∴ ，
∴ ，∴ ，其中 ，
∴
.当且仅当 ，即 时取等号，
即 时 取最大面积为 ，故D正确.
故选：AD.
11．（2023·云南曲靖·统考模拟预测）若实数 满足 ，则（ ）
A． 且 B． 的最大值为
C． 的最小值为7 D．
【答案】ABD
【分析】对于AD，利用指数函数的性质即可判断；对于BC，利用指数的运算法则与基本
不等式的性质即可判断.
【详解】由 ，可得 ，所以 且 ，故A正
确；
由 ，可得 ，即 ，所以
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，所以 的最大值为 ，故B正
确；
，
当且仅当 时，等号成立，
所以 的最小值为9，故C错误；
因为 ，则 ，
所以 ，故D正确.
故选：ABD.
12．（2023春·内蒙古赤峰·高三校考阶段练习）下列命题不正确的是（ ）
A．集合 ，若集合A有且仅有2个子集，则a的值为
B．若一元二次方程 的解集为R，则k的取值范围为
C．设集合 ， ，则“ ”是“ ”的充分不必要条件
D．正实数 满足 ，则【答案】AB
【分析】结合条件可知集合 中只有一个元素，分类讨论 和 两种情况，求出 的
值，即可判断A选项；一元二次不等式 的解集为 ，可得 且 ，
求出 的取值范围，即可判断B选项；根据子集的含义和充分不必要条件的定义，即可判
断C选项；根据基本不等式求和的最小值，即可判断选项D.
【详解】对于A，因集合 有且仅有2个子集，则集合 中只有
一个元素，
当 ， ，符合题意；当 ， ，
综上所述，可得 ， ，故A选项不正确；
对于B，因为一元二次不等式 的解集为 ，可知 ，
可得 且 ，故B选项不正确；
对于C，当 时， ，
当 时， 或 ，则 或 ，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件，故C选项正确；
对于D，因正实数 满足 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时取等号，故D选项正确.
故选：AB.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.
13．（2023·全国·高一专题练习）已知集合 ， ，则
_________
【答案】
【分析】解分式不等式求集合A，由对数函数性质求定义域确定集合B，再应用集合的并
补运算求集合.
【详解】由 ，则 ，故 ，即 ，
所以 ，则 ，
由对数、根式的性质知： ，即 ，
所以 .故答案为：
14．（2023·天津·高三专题练习）已知 ，则 的最小值为____________．
【答案】4
【分析】将 构造变形为 ，然后利用基本不等式即可求解．
【详解】由 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，故最小值为4，
故答案为：4．
15．（2020·安徽宣城·高三泾县中学校考强基计划）若关于 的不等式 只
有一个整数解2，则实数 的取值范围为 ____________．
【答案】
【分析】求出不等式的解后可得端点满足的不等式组，从而可求参数的取值范围.
【详解】 的解为 ，
因为不等式的整数解只有2，故 ，故 ，
故答案为： .
16．（2022秋·陕西咸阳·高三校考阶段练习）不等式 的解集为
，则函数 的定义域为____，单调递增区间是____．
【答案】
【分析】由题可得 和1是方程 的两个根，且 ，由此可得 ，
求得函数 的定义域，再结合定义域求函数的单调递增区间即可.
【详解】由题可得 和1是方程 的两个根，且 ，则 ，解得 ，
则函数 ，
由 解得 ，即函数定义域为 ，
因为 在 单调递增，函数 在 上单调递增，
故函数 在 上单调递增，
因为 在 单调递减，函数 在 上单调递增，
故函数 在 上单调递减，
所以函数 的单调递增区间为 .
故答案为： ， .
四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程
或演算步骤.
17．求解下列不等式的解集：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) .
【答案】(1) 或
(2)
(3)
(4)
(5)
【分析】（1）（2）利用二次不等式的解集解原不等式即可得其解集；
（3）利用绝对值不等式的解法解原不等式即可得其解集；（4）（5）利用分式不等式的解法解原不等式可得其解集.
【详解】（1）解：由 可得 ，解得 或 ，
故原不等式的解集为 或 .
（2）解：由 可得 ，解得 ，
故原不等式的解集为 .
（3）解：由 可得 ，即 ，解得 ，
故原不等式的解集为 .
（4）解：由 可得 ，解得 ，
故原不等式的解集为 .
（5）解：由 可得 ，解得 ，
故原不等式的解集为 .
18．（2023·全国·高一专题练习）已知函数 ．
(1)若 ，求 的取值范围；
(2)若 ，求 的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求得 ，利用基本不等式结合 可得出 的取值范围；
（2）由已知可得出 ，将代数式 与 相乘，展开后利用基本不等式可求
得 的取值范围.
【详解】（1）解：∵ ，∴ ，
又∵ ， ，∴ 即 ，∴ 即 ．当且仅当 时等号成立．
由题意可知 ， 的取值范围是 ．
（2）解：∵ ，∴ ，即 ．
∵ ， ，∴ ，
当且仅当 ，即 ， 时等号成立．
∴ 的最小值是 ．
19．已知关于 的不等式 的解集是 ．
(1)求 ， 的值；
(2)若对于任意 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1) ， ；
(2)
【分析】（1）由题意，可判断得方程 的两根为 和 ，再利用韦达定理列方
程组计算；
（2）将题干条件转化为 ，利用函数 的单调性求解最大
值，从而可得 的取值范围.
【详解】（1）由题意，方程 的两根为 和 ，
由韦达定理可得， ，解得 .
所以 ，
（2）由（1）知，对任意 ， 恒成立，
即任意 ， 恒成立，
令 ，则 成立，
因为函数 在 上为减函数，
所以当 时， ，即 ，
所以实数 的取值范围为 .20．已知 是实数.
(1)求证： ，并指出等号成立的条件；
(2)若 ，求 的最小值.
【答案】(1)证明见解析，当且仅当 ， 时，不等式等号成立
(2)4
【分析】（1）作差法证明即可；
（2）构造基本不等式，利用基本不等式解决即可.
【详解】（1）证明：因为
，
所以 ，
当且仅当 ， 时，不等式中等号成立.
（2） ，
当且仅当 ，即 或 时，不等式中等号成立.
所以 的最小值为4.
21．（2023春·江西新余·高二新余市第一中学校考阶段练习）设 ．
(1)若不等式 对一切实数 恒成立，求实数 的取值范围；
(2)解关于 的不等式 ．
【答案】(1)
(2)答案见解析.
【分析】(1)根据给定条件利用一元二次不等式恒成立求解作答.
(2)分类讨论解一元二次不等式即可作答.
【详解】（1） ， 恒成立等价于 ， ，
当 时， ，对一切实数 不恒成立，则 ，
此时必有 ，
即 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .（2）依题意， ，可化为 ，
当 时，可得 ，
当 时，可得 ，又 ，
解得 ，
当 时，不等式 可化为 ，
当 时， ，解得 ，
当 时， ，解得 或 ，
当 时， ，解得 或 ，
所以，当 时，原不等式的解集为 ，
当 时，原不等式的解集为 ，
当 时，原不等式的解集为 或 ；
当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 或 .
22．（2023秋·江苏徐州·高三统考期末）“硬科技”是以人工智能､航空航天､生物技术､光
电芯片､信息技术､新材料､新能源､智能制造等为代表的高精尖科技，属于由科技创新构成
的物理世界，是需要长期研发投入､持续积累才能形成的原创技术，具有极高技术门槛和技
术壁垒，难以被复制和模仿､最近十年，我国的一大批自主创新的企业都在打造自己的科技
品牌，某高科技企业自主研发了一款具有自主知识产权的高级设备，并从2023年起全面发
售.经测算，生产该高级设备每年需投入固定成本1000万元，每生产x百台高级设备需要另
投成本 万元，且 每百台高级设备售价为
160万元，假设每年生产的高级设备能够全部售出，且高级设备年产展最大为10000台.
(1)求企业获得年利润 （万元）关于年产量 （百台）的函数关系式；
(2)当年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润.
【答案】(1) ；(2)当年产量为30百台时公司获利最大，且最大利润为800万元.
【分析】(1)根据利润、成本、收入之间的关系分类讨论即可；
(2)当 时，结合二次函数的性质求出函数的最大值；当 时，利用基本不
等式求出函数的最大值，再比大小，即可求解.
【详解】（1）当 时，
.
当 时，
，
所以 ；
（2）当 时，
，
所以当 时， (万元).
当 时，
(万元)，
当且仅当 即 时，等号成立.
因为 ，
所以当年产量为30百台时，公司获利最大，且最大利润为800万元.
