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第一章 勾股定理1. 知识与技能：理解勾股定理及其逆定理的内容，能用数学语言准确表述，能识别
勾股数 ，并掌握常见勾股数组合。
2. 过程与方法：通过测量、数格子、拼图等活动，经历勾股定理及其逆定理的探索
教学目标 与证明过程，体会数形结合、从特殊到一般等数学思想 ，提升合情推理与逻辑推理
能力。
3. 情感态度与价值观：了解勾股定理的历史文化背景，感受数学的魅力，增强对数
学学习的兴趣 ，并能将其应用到实际生活中解决问题。
1.重点
（1）勾股定理的证明与应用，能熟练运用公式a2+b2=c2（a、b为直角边，c为斜
边），已知直角三角形两边求第三边 ，解决如几何图形边长计算、实际生活中的距
离测量等问题。
（2）勾股定理逆定理的理解与运用，通过判断三角形三边是否满足a2+b2=c2（c为最
长边），来判定三角形是否为直角三角形 。
教学重难点
2.难点
（1）勾股定理及其逆定理的区分与准确运用，学生易混淆二者条件和结论，在具体
题目中不能正确判断该使用哪个定理，导致解题错误。
（2）将实际问题抽象转化为数学模型，运用勾股定理及其逆定理求解 ，例如解决立
体图形表面两点间最短距离、路线规划等复杂实际问题时，如何构建合适的直角三角
形是难点。
知识点01 勾股定理
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
a，b c
如图：直角三角形 ABC 的两直角边长分别为 ，斜边长为 ，那么
a2 b2 c2
.
知识点02 勾股定理证明
（1）邹元治证法（内弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.
图（1）中 ，所以 .
（2）赵爽弦图（外弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.图（2）中 ，所以 .
（3）总统证法：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.
，所以 .
知识点03 勾股定理逆定理
a，b，c a2 b2 c2
1.定义：如果三角形的三条边长 ，满足 ，那么这个三角形是直角三角形.
2.如何判定一个三角形是否是直角三角形
c
（1）首先确定最大边（如 ）.
c2 a2 b2 c2 a2 b2
（2）验证 与 是否具有相等关系.若 ，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若
c2 a2 b2
，则△ABC不是直角三角形.
知识点04 勾股数
像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.
勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数
知识点05 勾股定理的应用
勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在
具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第
三边的平方比较而得到错误的结论.
知识点06 平面展开图-最短路径问题
几何体中最短路径基本模型如下：
基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用
勾股定理求解
题型01 勾股数的判断
【典例1】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A． ， ， B． ， ，1 C．4，5，6 D．9，40，41
【变式1】（24-25八年级下·山西朔州·期末）下列各组数中，是勾股数的一组是（ ）
A．3，3，5 B．4，5，6 C．7，24，25 D．2，3，
【变式2】（25-26九年级上·河南信阳·开学考试）下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．9，16，25 B． ， ，2 C． ，2， D．5，12，13
【变式3】（24-25八年级下·广东江门·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A．4，5，6 B．5，12，13 C．6，8，11 D．5，12，23
题型02 以直角三角形三边为边长的图形面积
【典例2】（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图所示，直线上有三个正方形 ，若 的面积分别为
2和4，则正方形 的面积为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．10
【变式1】（25-26八年级上·贵州黔东南·阶段练习）如图所示是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都
是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为2，5，1，2，则最大的正
方形E的面积是（ ）
A．7 B．10 C．20 D．34
【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在 中， ，分别以各边为直径作半
圆．若 ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【变式3】（24-25八年级下·广东深圳·开学考试）如图1，分别以直角三角形三边为边向外作正三角形，
面积分别为 ， ， ，如图2，分别以直角三角形三边长为直径向外作半圆，面积分别为 ， ， ，
其中 ， ， ， ，则 （ ）A．10 B．9 C．8 D．7
题型03 用勾股定理解三角形
【典例3】（24-25八年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，在 中， ，a、b、c分别
表示 、 、 的对边．
(1)已知 ， ，求c；
(2)已知 ， ，求b．
【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）如图，已知直角三角形一直角边 ，斜边
，求这个直角三角形的周长．
（2）在 中， ， ， ，求 边上的高 的长．
【变式2】（24-25八年级下·江西南昌·阶段练习）如图，在 中， ， 、 、 是 的
三边长．
(1)已知 ， ，求 的值；
(2)若 ， ，求 ， 的值．
【变式3】（2025八年级上·全国·专题练习）我们规定：三角形任意一条边的“线高差”等于这条边与这条边上高的差．如图①，在 中， 为 边上的高，边 的“线高差”等于 ，记为
．
(1)若 中， ，则 ________；
(2)如图②，在 中， ，求 的值．
题型04 勾股定理与网格问题
【典例4】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中， 的三个
顶点均在格点上，按要求完成下列各题．
(1)试判断 的形状并说明理由；
(2)在网格中以 为边向右作直角三角形 ，令点 在格点上，且使 是等腰三角形，则 的长
为 ．
【变式1】（24-25八年级下·河南信阳·阶段练习）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是
，小正方形的顶点称为格点．
(1)请在网格中画出格点三角形 ，使 ， ， ；
(2)求 的面积．
【变式2】（25-26九年级上·广东广州·开学考试）如图，四边形 的四个顶点都在网格上，且每个小
正方形的边长都为1．(1) __________．
(2)连接 ，判断 是什么三角形？请说明理由．
(3)求四边形 的面积．
【变式3】（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，四边形 的四个顶点都在网格上，且
每个小正方形的边长都为 ．
(1)求四边形 的面积；
(2) 是直角吗？
题型05 勾股定理与折叠问题
【典例5】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在长方形 中， 为 上一
点，将 沿着 翻折至 ， 与 交于点 ，且 ，求 的长．
【变式1】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在长方形 中， ，E是 边上一
点．将四边形 沿BE折叠，折叠后点C，D的对应点分别为 ．若 恰好经过点A，求：
(1) 的长．(2) 的面积．
【变式2】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，把一张长方形纸片 折叠起来， 为折痕，使
其对角顶点A与点 重合，点 与点 重合．若长方形的长 为8，宽 为4．
(1)求 的长；
(2)求 的值；
(3)求阴影部分 的面积．
【变式3】（24-25八年级下·广东汕头·阶段练习）已知长方形 ， ， ，Q为射线 上
的一个动点，将 沿直线 翻折至 的位置（点B落在点 处）．
(1)如图1，连接 ，当点 落在 上时， ______；
(2)如图2，当点Q与点A重合时， 与 交于点E，求重叠部分（阴影）的面积；
(3)当直线 经过点D时，求 的长．
题型06 勾股定理的应用
【典例6】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，长方形 是某公园的荷花观赏池，对角线 为观
赏浮桥，点 为公园小门， ， 为两条小路，图中阴影部分为草坪，测得 米， 米，
米， 米．
(1)求观赏池 边的长；
(2)求草坪的面积．【变式1】（25-26八年级上·全国·期末）如图，小明在某泳池沿泳道l练习游泳，点A处有一个攀梯．游
了一段时间后，在点B处的小明想上岸休息，他决定游至点C处后再向攀梯游去．已知 三点都在
直线l上， ．
(1) 的长是否为攀梯A到泳道l的最短距离？
(2)小明游至点C处后又沿泳道l滑行 到达点D，若从点D游至攀梯A，求 的长度（结果保留根号）．
【变式2】（25-26八年级上·全国·单元测试）一艘轮船从A港向南偏西 方向航行 到达B岛，再从
B岛沿 方向航行 到达C岛，A港到航线 的距离是 ．
(1)若轮船速度为 ，求轮船从C岛沿 返回A港所需的时间；
(2)C岛在A港的什么方向？
【变式3】（25-26八年级上·江苏南通·开学考试）小王与小林进行遥控赛车游戏，终点为点 ，小王的赛
车从点 出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点 出发，以3米/秒的速度由南向北行
驶（如图）．已知赛车之间的距离小于或等于 米时，遥控信号会产生相互干扰， 米，
米．
(1)出发 秒钟时，遥控信号是否会产生相互干扰？
(2)当两赛车距 点的距离之和为35米时，遥控信号是否会产生相互干扰？
题型07 判断能否构成直角三角形
【典例7】（25-26八年级上·全国·期中）下列长度的三条线段能构成直角三角形的是（ ）A． B． C． D．
【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）在 中， 的对边分别为 ，且
，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（24-25八年级下·广西·阶段练习）在 中，下列条件中，不能判断 是直角三角形的
是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（24-25八年级下·辽宁抚顺·开学考试）在 中， 的对边分别是 ，则下列
条件中不能说明 是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
题型08 利用勾股定理的逆定理求解
【典例8】（25-26八年级上·四川达州·开学考试）如图，在 中， 是 上的点，连接 ，
， ， ， ，求 的长．
【变式1】（24-25八年级上·四川巴中·阶段练习）已知：如图，四边形 中， ， ，
，且 ．试求：
(1) 的度数．
(2)四边形 的面积．（结果保留根号）
【变式2】（24-25八年级上·河南驻马店·期末）如图，在四边形 中，
．(1)判断 的形状，并说明理由；
(2)求 的长．
【变式3】（24-25八年级下·湖北恩施·阶段练习）如图，在 中， ，点 是边 上一点，连
接 ，且 ， ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的周长．
题型09 勾股定理逆定理的应用
【典例9】（2025八年级上·全国·专题练习）已知图①是某超市的购物车，图②是超市购物车的侧面示意
图，现已测得购物车支架 ， ，两轮轮轴的水平距离 （购物车车轮半径忽
略不计）， ， 均与地面平行．
(1)猜想两支架 与 的位置关系并说明理由；
(2)若 的长度为 ， ，求购物车把手点 到 的距离．
【变式1】（24-25八年级下·陕西延安·阶段练习）如图，孙师傅在三角形铁片 中剪下 ，且
， ， ．(1)求 的长；
(2)若 ， ，求图中阴影部分的面积．
【变式2】（24-25八年级下·全国·期末）在春天来临之际，八（1）班和八（2）班的同学计划在学校劳动
实践基地种植蔬菜；如图，点 是自来水管的位置，点A和点 分别表示八（1）班和八（2）班实践基地
的位置，A、 两处相距6米， 两处相距8米， 两处相距10米；为了更好的使用自来水灌溉，
八（1）班和八（2）班在图纸上设计了两种水管铺设方案：
八（1）班方案：沿线段 铺设2段水管；
八（2）班方案：过点 作 于点 ，沿线段 铺设3段水管；
(1)求证： ；
(2)从节约水管的角度考虑，你会选择哪个班的铺设方案？为什么？
【变式3】（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）某公园是人们健身散步的好去处．小明跑步的路线如图，
从A点到D点有两条路线，分别是 和 ．已知 米， 米， 米，点
D在点C的正北方60米处（即 米， ）．
(1)试判断 与 的位置关系，并说明理由；
(2)通过计算比较两条路线谁更短．
题型10 验证勾股定理的方法
【典例10】（25-26八年级上·全国·课后作业）（教材母题变式）如图①，直角三角形的两条直角边长分别
是 ，斜边长为 ．(1)用四个这样的直角三角形拼成一大一小两个正方形（如图②）．
①大正方形的边长为________，小正方形的边长为________；
②大正方形的面积可以表示为________，也可以表示为________；
③观察两种表示方法，可得出________，整理得________，从而验证勾股定理；
(2)将两个这样的直角三角形按图③所示摆放，使 和 在一条直线上，连接 ．请你类比（1）中的
方法用图③验证勾股定理．
【变式1】（24-25八年级下·江西南昌·阶段练习）著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较大的
直角边长都为 ，较小的直角边长都为 ，斜边长都为 ），大正方形的面积可以表示为 ，也可以表示
为 ，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长为 、 ，斜边长为 ，
则 ．
(1)如图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理；
(2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄 ，河边原有两个取水点 、 ， ，由于某种原
因，由 到 的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点 （ 、 、 在同一
条直线上），并新修一条路 ，且 ．测得 千米， 千米，求新路 比原路
短多少千米？
【变式2】（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）《整式的乘法》一章学习中，我们体验了“以形助数，
以数解形”的研究策略．这充分体现了数学中“数形结合”这一数学思想方法的重要性．民兴七年级数学
兴趣小组通过面积恒等的方法对直角三角形三边关系进行了探究．
【初步探究】（1）如图（1），直角三角形纸片三条边长分别为a，b，c（ ），小组同学用四个这样的纸片拼成
了一个大正方形，中间空一个小正方形（阴影部分）．
①一个直角三角形纸片的面积为____，小正方形边长为_____．（用含a，b的代数式表示）
②请用两种不同的方法表示出阴影部分（小正方形）的面积，从而探究出a，b，c三者之间的关系．（需
化简）
【结论运用】
（2）如图2，已知， 是直角三角形， ．请利用上面得到的结论求解．
①若 ，求 的长．
②若 ， 的长比 的长大2，求 的长．
【应用拓展】
（3）如图3，已知，在 中， ，请求出 的面积．
【变式3】（24-25八年级下·安徽亳州·期末）【问题提出】勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被
称为“几何学的基石”．（1）在我国最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽．如图1是
著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形（直角边分别为 ， ，斜边为 ）拼成，用它可以验证勾股定
理 ；（2）图2为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，它用两个全等的直角三角形（直
角边分别为 ， ，斜边为 ）和直角边为 的等腰直角三角形拼成一个直角梯形，用它也可以验证勾股定
理
【问题解决】（1）在直角三角形中，直角边分别为 ， ，斜边为 ，从上述两种方法中，任选一种方法
证明勾股定理 ；
（2）勾股定理的验证过程体现了一种重要的数学思想是（ ）；
A．函数思想 B．整体思想 C．分类讨论思想 D．数形结合思想
【知识应用】（3）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄 ，河边原有两个取水点 ， ，该村为
方便村民取水决定在河边新建一个取水点 （ ， ， 在同一条直线上），并新修一条路 ，现测得
千米， 千米， 千米，为最大限度节省铺路的费用（保证质量的前提下），求新修路 的长．
一、单选题
1．（24-25八年级下·河北石家庄·开学考试）下列各组数中，不是勾股数的是（ ）
A． ， ， B． ， ， C． ， ， D． ， ，
2．（24-25八年级下·河北石家庄·开学考试）在 中， ，且 ，若 ，那么 的值
是（ ）
A．1 B．5 C． D．
3．（24-25八年级下·江西上饶·期末）设 的三边分别为 ，满足下列条件的 中，不是直角
三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25八年级下·广西贵港·期末）如图，在 中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正
方形，面积分别记为 ．若 ．则图中阴影部分的面积为（ ）
A．6 B．5 C． D．
5．（25-26八年级上·全国·单元测试）将挂好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为
，在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图①．彩旗完全展平时的尺寸（单位： ）如图②的长方
形，则彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h是（ ）
A． B． C． D．6．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）我国古代称直角三角形为“勾股形”．如图，数学家刘徽（约公元
225年—公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形．若 ， ，则此勾股形
的面积为（ ）
A．7．5 B．10 C．12 D．15
二、填空题
7．（25-26八年级上·全国·单元测试）在 中， 为直角边，c为斜边，若 ，
则 ．
8．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在 镇和 镇之间有一座大山，原来从 镇到 镇，需沿道
路 绕过两镇间的大山，为了促进两镇交流发展，决定修建一条从 镇直达 镇的公路．已知
， ，那么直达公路建成后从 镇到 镇比原来少走 ．
9．（25-26八年级上·全国·课后作业）若 的三边a，b，c满足 ，则
的面积为 ．
10．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，公园内有一块长方形的草坪，已知 的长为 ， 的
长为 ，由于路人沿路线 抄近道，践踏了绿地，小亮想在 处树立一个标牌“少走□米，踏之何
忍”，则小亮应在标牌的□处填入的数是 ．
11．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在一个长为2米，宽为1米的长方形草地上，堆放着一根正三棱
柱的木块，它的侧棱平行且长于草地宽 ，木块的上下底面是边长为 米的正三角形，一只蚂蚁从点A
处到C处需要爬行的最短路程是 米．12．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中有一长方形 ，点B的坐标为
为x轴上一动点，连接 ，将 沿 所在直线翻折得到 ，当点 恰好落在y轴上时，
的长为 ．
三、解答题
13．（25-26九年级上·河北唐山·开学考试）在 中，a，b，c 分别是 、 、 所对应的边，
，试解决下列问题：
(1)已知 ， ，求c的长；
(2)已知 ， ，求a的长；
14．（20-21八年级下·陕西西安·期中）如图，在 中， ， 是 的垂直平
分线，交 于点D， 于点E．
(1)求证： 为直角三角形．
(2)求 的长．
15．（24-25九年级上·福建莆田·开学考试）如图，把一块直角三角形 （其中 ）土地划出
一个三角形 后，测得 米， 米， 米， 米．
(1)判断 的形状，并说明理由；
(2)求图中阴影部分土地的面积．
16．（25-26八年级上·全国·课后作业）在 中， ，设 为最长边，当
时， 是直角三角形；当 时，通过比较代数式 和 的大小，探究
的形状（按角分类）．
(1)当 三边长分别为6，8，9时， 为________角形；当 三边长分别为6，8，11时，
为________三角形；(2)猜想：当 ________ 时， 为锐角三角形；当 ________ 时， 为钝角三角形；
(3)当 时，探究 的形状，并求出对应的 的取值范围．
17．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在长方形 中， ．
(1)如图①，将长方形 沿 翻折，使点 与点 重合，点 落在点 处，求 的长；
(2)如图②，将 沿 翻折，若 交 于点 ，求 的长；
(3)如图③， 为 边上的一点，将 沿 翻折得到 分别交 边于点 ，且
，求 的长．
18．（25-26八年级上·全国·期中）综合与实践．
如图①是“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理，思路是大正方形的面
积有两种求法，一种是等于 ，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即
，从而得到等式 ，化简便得结论 ．这里用两种求法来表示
同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．
【知识迁移】
（1）把两个全等的 和 如图②放置，其三边长分别为 ，显然
，用 分别表示出四边形 、梯形 、 的面积，再探究这三个图形面积之间
的关系，验证勾股定理 ；
【方法运用】
（2）请利用“双求法”解决下面的问题：如图③，网格中小正方形的边长均为1，连接其中三个格点，可
得 ，则 边上的高为________；
【拓展延伸】
（3）如图④，在 中， 是 边上的高， ，设 ，请直接写出x的值．
