文档文本内容
2.5 对数与对数函数
思维导图
知识点总结
知识点一 对数运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)log (M·N)＝ ；
a
(2)log ＝ ；
a
(3)log Mn＝ (n∈R)．
a
知识点二 换底公式
1．log b＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．
a
2．对数换底公式的重要推论：
(1)log N＝(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1)；
a
(2) ＝log b(a>0，且a≠1，b>0)；
a
(3)log b·log c·logd＝log d(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)．
a b c a
知识点三 对数函数的概念
一般地，函数y＝log x(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是
a．
知识点 对数函数的图象和性质
对数函数y＝log x(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表：
a
y＝log x (a>0，且a≠1)
a
底数 a>1 0<a<1
图象
定义域 (0 ，＋ ∞ )
值域 R
单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
共点性 图象过定点 ，即x＝1时，y＝0
x∈(0,1)时，y∈ ； x∈(0,1)时，y∈ ；
函数值特点
x∈[1，＋∞)时，y∈ x∈[1，＋∞)时，y∈
对称性
函数y＝log x与y＝ 的图象关于 x 轴 对称
a
典型例题分析
考向一 对数运算性质的应用
例1 计算下列各式：
(1)log ；(2)log (32×42)；
5 2
(3)log 35－2log ＋log 7－log .
5 5 5 5
反思感悟 对数式化简与求值的基本原则和方法(1)基本原则
对数式的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问
题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．
(2)两种常用的方法
①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；
②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．
考向二 对数换底公式的应用
例2 (1)计算：(log 3＋log 3)log 2＝________.
4 8 3
(2)已知log 9＝a,18b＝5，求log 45.(用a，b表示)
18 36
反思感悟 利用换底公式化简与求值的思路
考向三 对数函数的概念及应用
例3(1)下列给出的函数：
①y＝log x＋1；
5
②y＝log x2(a>0，且a≠1)；③
a
④y＝log ；⑤y＝log(x>0，且x≠1)；
3 x
⑥ 其中是对数函数的为( )A．③④⑤ B．②④⑥ C．①③⑤⑥ D．③⑥
(2)已知对数函数的图象过点M(8,3)，则f ＝________.
反思感悟 判断一个函数是否为对数函数的方法
对数函数必须是形如y＝log x(a>0，且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：
a
(1)对数式系数为1.
(2)底数为大于0且不等于1的常数．
(3)对数的真数仅有自变量x.
考向四 对数函数的图象问题
例4 (1)函数y＝x＋a与y＝log x的图象可能是下图中的( )
a
反思感悟 现在画图象很少单纯依靠描点，大多是以常见的函数为原料加工，所以一方面
要掌握一些平移、对称变换的结论，另一方面要关注定义域、值域、单调性、关键点．
考向五 反函数
例5 函数f(x)与g(x)互为反函数，若f(x)＝ (x<0)．求函数g(x)的解析式，定义域、值
域．反思感悟 互为反函数的常用结论
(1)同底的指数函数、对数函数互为反函数．
(2)若f(x)与g(x)互为反函数，则f(x)的定义域、值域分别为g(x)的值域、定义域．
(3)互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称．
考向六 解对数不等式
例6 解下列关于x的不等式：
(1)
(2)log (2x－5)>log (x－1)．
a a
反思感悟 对数不等式的三种考查类型及解法
(1)形如log x>log b的不等式，借助y＝log x的单调性求解，如果a的取值不确定，需分
a a a
a>1与0<a<1两种情况进行讨论．
(2)形如log x>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式(b＝log ab)，再借助y＝
a a
log x的单调性求解．
a
(3)形如log a>log a(f(x)，g(x)>0且不等于1，a>0)的不等式，可利用换底公式化为同底的
f(x) g(x)
对数进行求解，或利用函数图象求解．
基础题型训练
一、单选题
1．通过科学研究发现：地震时释放的能量 （单位：焦耳）与地震里氏震级 之间的关
系为 .已知2011年甲地发生里氏9级地震，2019年乙地发生里氏7级地震，
若甲、乙两地地震释放能量分别为 ，则 和 的关系为（ ）A． B． C． D．
2．已知 ，函数 与 的图像只可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知 ，则 的大小关系为( )
A． B． C． D．
4．设 ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
5．已知函数 ，若不等式 恒成立，则实数a的取值
范围为（ ）
A． B． C． D．6．已知函数 ，若实数 满足 ，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．已知 ，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数 ，则（ ）
A． 在 单调递增
B． 在 单调递增，在 单调递减
C． 的图象关于直线 对称
D．函数 的最小值为0
三、填空题
9．若 ，则a=__________.
10．函数 的定义域为________.
11．已知函数 （ 且 ），若对 ，，都有 ．则实数a的取值范围是___________．
12．已知 ，设 ，则 的大小关系为（用“<”号连接）
______．
四、解答题
13．已知函数 .
(1)若函数 的最小值为 ，求实数 的值；
(2)若函数 ，用定义证明函数 在 上单调递减.
14．已知 ，用对数的定义证明公式： ．
15．已知，a= ， ，求 的值．
16．设 为奇函数，a为常数．
（1）求a的值．
（2）若 ，不等式 恒成立，求实数m的取值范围．
提升题型训练一、单选题
1．已知函数 且 ，则函数恒过定点（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．9
3．已知 满足 则（ ）
A． B． C． D．
4．已知 <1，那么a的取值范围是( )
A．0<a< B．a>
C． <a<1 D．0<a< 或a>1
5．已知 ， ， ，则下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．若 ， ， ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．下列命题是真命题的是（ ）A．若幂函数 过点 ，则
B． ，
C． ，
D．命题“ ， ”的否定是“ ， ”
8．下列函数中，值域是 的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
9．已知三个式子 ， ， 同时成立，则 的取值范围为________．
10． ______．
11．方程 的解为___________.
12．已知函数 ，则使不等式 成立的 的取值范围是
_______________
四、解答题
13．求下列各式的值：
（1） ；
（2） ．14．已知函数 .
(1)判断函数 的奇偶性，并进行证明；
(2)若实数 满足 ，求实数 的取值范围.
15．（1）将根式化为分式指数幂的形式 ；
（2）若 求 的值.
16．对于在区间 上有意义的函数f(x)，若满足对任意的 ，有
恒成立，则称f(x)在 上是“友好”的，否则就称f（x）在 上是
“不友好”的.现有函数
(1)当a=1时，判断函数f(x)在 上是否“友好”；
(2)若函数f(x)在区间 (1≤m≤2)上是“友好”的，求实数a的取值范围
(3)若关于x的方程 的解集中有且只有一个元素，求实数a的取值范
围.
