文档内容
2.4 指数与指数函数
思维导图
知识点总结
知识点一 无理数指数幂
一般地，无理数指数幂aα(a>0，α为无理数)是一个确定的 ． 有理数指数幂的运算性质
同样适用于无理数指数幂．
知识点二 实数指数幂的运算性质
1．aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)．
2．(ar)s＝ a r s(a>0，r，s∈R)．
3．(ab)r＝ a r b r(a>0，b>0，r∈R)．
知识点三 分数指数幂的意义
正分数指数幂
规定： ＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)
分数指数幂
负分数指数幂
规定： ＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)
0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义
知识点四 有理数指数幂的运算性质整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：
(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
知识点四 指数函数的定义
一般地，函数 (a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.
思考 为什么底数应满足a>0且a≠1?
答案 ①当a≤0时，ax可能无意义；②当a>0时，x可以取任何实数；③当a＝1时，ax＝1
(x∈R)，无研究价值．因此规定y＝ax中a>0，且a≠1.
知识点五 两类指数模型
1．y＝kax(k>0)，当 时为指数增长型函数模型．
2．y＝kax(k>0)，当 时为指数衰减型函数模型．
知识点六 指数函数的图象和性质
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表：
a>1 00时， ； 当x>0时， ；
性质 函数值的变化
当x<0时， 当x<0时，
单调性 在R上是 在R上是
典型例题分析
考向一 运用指数幂运算公式化简求值
例1 计算下列各式(式中字母都是正数)：
(1)(2)
(3)
反思感悟 一般地，进行指数幂运算时，可将系数、同类字母归在一起，分别计算；化负
指数为正指数，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，可以达到化繁
为简的目的．
考向二 分数指数幂运算的综合应用
例2 (1)已知am＝4，an＝3，求的值；
(2)已知 ＝3，求下列各式的值．
①a＋a－1；②a2＋a－2；③
反思感悟 条件求值问题的解法
(1)求解此类问题应注意分析已知条件，通过将已知条件中的式子变形(如平方、因式分解
等)，寻找已知式和待求式的关系，可考虑使用整体代换法．
(2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式．
考向三 指数函数的图象及应用
例1 (1)函数y＝ax－(a>0，且a≠1)的图象可能是( )(2)函数f(x)＝1＋ax－2(a>0，且a≠1)恒过定点________．
(3)已知函数y＝3x的图象，怎样变换得到y＝x＋1＋2的图象？并画出相应图象．
反思感悟 处理函数图象问题的策略
(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指
数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点．
(2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)．
(3)利用函数的性质：奇偶性与单调性．
考向四 比较大小
例4 (1)比较下列各题中两个值的大小．
①1.7－2.5,1.7－3；②1.70.3,1.50.3；③1.70.3,0.83.1.
(2)设 则a，b，c的大小关系为________．(用“>”连接)反思感悟 比较幂值大小的3种类型及处理方法
基础题型训练
一、单选题
1．化简 的结果为（ ）
A． B．
C． D．
2．函数 ，则方程 的解集是（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数g（x）=3x+t的图象不经过第二象限，则t的取值范围为
A．t≤–1 B．t<–1
C．t≤–3 D．t≥–3
4．已知 ， ， ，则
A． B．C． D．
5．已知函数 ，则使得 成立的 的取值范围是
A． B．
C． D．
6．设函数 ，若存在 ，使得 成立，则实数
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．已知函数 ，则下列叙述正确的是（ ）
A．当 时，函数在区间 上是增函数
B．当 时，函数在区间 上是减函数
C．若函数 有最大值2，则
D．若函数 在区间 上是增函数，则 的取值范围是
8．已知函数 ，则（ ）
A． 为偶函数 B． 是增函数
C． 不是周期函数 D． 的最小值为三、填空题
9．若 为方程 的两个实数解，则 ___________．
10．若指数函数 在 上是增函数，则实数 的取值范围是__________．
11．已知函数 ， ， 的图象如下图所示，则 ， ， 的大小关系为
__________．（用“ ”号连接）
12．化简 的结果是________.
四、解答题
13．计算：
(1) ；
(2) 已知 ，求 .
14．计算：(1) ；
(2)15．已知二次函数 在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，
(1)求函数 的解析式；
(2)设 ．若 在 时恒成立，求 的取值范围．
16．已知函数 的表达式为 ，其中 、 为实数.
(1)若不等式 的解集是 ，求 的值；
(2)若方程 有一个根为 ，且 、 为正数，求 的最小值；
(3)若函数 在区间 上是严格减函数，试确定实数 的取值范围，并证明你
的结论.
提升题型训练
一、单选题1．函数 是指数函数，则有
A． 或 B． C． D． 或
2．已知函数 ，且对于任意的 ，都有 ，
则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．定义在 上的函数 满足 时， ，则
的值为
A．-2 B．0 C．2 D．8
4．已知函数 可以表示成一个偶函数 和一个奇函数 之差，若
对 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）.
A． B． C． D．
5．已知函数 （ ，且 ），则 是（ ）
A．偶函数，值域为 B．非奇非偶函数，值域为
C．奇函数，值域为 D．奇函数，值域为
6．已知a、b、c是正实数，且 ，则a、b、c的大小关系不可能为
（ ）
A． B． C． D．
二、多选题7．下列函数在区间 上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
8．若函数 同时满足： 对于定义域上的任意x，恒有 ； 对于
定义域上的任意 ，当 时，恒有 ，则称函数 为“理想函
数” 下列四个函数中：能被称为“理想函数”的有（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
9．函数 的定义域为_________.
10．已知函数 的值域为R，则实数a的取值范围是___________.
11．已知集合 ，且下列三个关系： 有且只有一个正确，则
函数 的值域是_______．
12．已知函数 ，若不等式 对 恒成立，则实
数a的取值范围是_______．四、解答题
13．计算： ．
14．已知函数 ， ，若对任意 ，都有 ，求实
数 的取值范围
15．一片森林原来面积为2014万亩，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，
当砍伐的面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积
的 ，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的 ．
（1）求每年砍伐面积的百分比；
（2）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
（3）今后最多还能砍伐多少年？
16．已知f(x)是定义在R上的偶函数，f（-1）=0，且满足在区间（-∞，0]单调递增．
(1)判断f(x)在（0，+∞）的单调性，并加以证明；
(2)函数 ．若 对x∈（0，1]恒成立，求实数m的取
值范围．
